2.3.3点到直线的距离公式课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3 直线的交点坐标与距离公式 一 二 三 学习目标 点到直线的距离公式的推导与证明 掌握点到直线的距离公式 会用距离公式解决实际问题 学习目标 复习导入 1.两点间的距离公式是什么? 2.如何利用向量求点P到直线l的距离? • • 设 ,则向量 在直线l上的投影向量 在Rt APQ中,由勾股定理,得 若直线l的法向量为 ,则点P到直线l的距离为 那么在平面直角坐标系内如何求点P到直线l的距离? 有相应的计算公式吗? 新知探究 问题1 如图,已知点P (x0, y0 ) ,直线l :Ax+By+C=0,如何求点P到直线l的距离呢? x y O P 直线l的方程 直线 l 的方程 直线PQ的方程 交点 点P的坐标 直线PQ的斜率 点P的坐标 点Q的坐标 两点间距离公式 思路简单运算繁琐 直线l的斜率 l⊥PQ 点P、Q之间的距离|PQ |( P到l 的距离) l 思路一:直接法 Q 实际求解顺序 垂线斜率 垂线方程 Q点坐标 |PQ|长度 直线 的斜率为 , 整理得 , 直线 的方程为 得 得 新知探究 新知探究 问题2 我们知道,向量是解决距离、角度问题的有力工具,能否用向量方法求点到直线的距离? 思路二:向量投影法 点P到直线l的距离,就是向量 的模. 设M(x,y)是直线l上的任意一点 M(x, y) 是与直线l的方向向量垂直的单位向量, 则 是 在 上的投影向量,则 追问1 如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量 ? 新知探究 追问1 如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量 ? M(x, y) 对于直线l:Ax+By+C=0,其方向向量为 其单位向量就是 则与 垂直的向量为 , 概念生成 点到直线的距离公式 点P(x0,y0) 到直线l:Ax+By+C=0的距离: 分子是P点坐标代入直线方程左边 分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根 追问 A=0或B=0时,此公式是否也成立? 说明: 1.用此公式时直线方程必须先化成一般式 2.此公式是在A≠0、B≠0的前提下推导的; 3.如果A=0或B=0,此公式也成立; 反思探究 比较上述两种方法: 第一种方法从定义出发,把问题转化为求两点间的距离,通过代数运算得到结果,思路自然; 第二种方法利用向量投影,通过向量运算求出结果,简化了运算. 问题3 除了上述两种方法,还有其他推导方法吗? 思路三:间接法(等面积) x y O l Q P R S 面积法求出|PQ| 求出|PR| 求出|PS| 利用勾股定理求出|RS| 求出点R的坐标 求出点S的坐标 典例解析 例3 求点P(-1,2)到直线l:3x=2的距离. 将直线l的方程可化为一般式:3x-2=0 解: O y x l:3x=2 P(-1,2) 另解:如图,直线3x=2平行于y轴, 变式 求点P(-1,2)到直线l: 的距离. 巩固练习 课本P77 典例解析 例2 已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),求∆ABC的面积. x y C O -1 1 2 2 3 3 1 B A 解:设AB边上的高为h, 则 ∴AB的方程为 化为一般式 h就是点 C 到AB边的距离. 点C(-1,0)到直线x+y-4=0的距离为 因此 典例解析 例2 已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),求∆ABC的面积. 还有其他方法吗? 求|AB|,|AC|,|BC| 余弦定理求cosA 求sinA 求三角形面积 求直线AB的方程 求lAB的与x轴交点D 求|CD| 三角形面积作差 能力提升 1.已知点,点是直线上的动点,则 的最小值为_. [解析] 的最小值就是点 到直线l的距离, 的最小值为 2.已知坐标原点到直线的距离小于,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. A [解析] 由题意可得 , 解得 , 即的取值范围为 3.已知点,求过点且与原点距离为2的直线 的方程. 能力提升 [解析] 当直线的斜率不存在时,直线的方程为 ,符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l的方程为 , 即 , 由点到直线的距离公式得,解得 , 所以直线l的方程为 故直线l的方程为或 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容? 点到直线的距离公式 点P(x0,y0) 到直线l:Ax+By+C=0的距离: $$