课后分层练(十八)　两条直线的交点坐标-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(十八)]　两条直线的交点坐标 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　　 ) A．(－4，－3) B．(4，3) C．(－4，3) D．(3，4) 解析：选C.由方程组得 2．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　　 ) A．12 B．10 C．－8 D．－6 解析：选B.将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5， 将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5， ∴m＋n＝10. 3．(多选)下列选项中，正确的有(　　 ) A．直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为(1，3) B．直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为(2，1) C．直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3交点坐标为(－2，2) D．直线l1：x－2y＋1＝0和l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0两两相交 解析：选AD.方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(1，3)，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合，B错误； 方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2，C错误； 方程组的解为 方程组的解为 方程组的解也为 所以三条直线两两相交且交于同一点(1，1)，D正确． 4．(易错题)直线x＋a2y＋6＝0和(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为(　　 ) A．－1或2 B．0或3 C．－1或0 D．－1或3 解析：选C.两直线无公共点，即两直线平行． 当a＝0时，这两条直线分别为x＋6＝0和x＝0，无公共点． 当a≠0时，＝≠，解得a＝－1. 综上，a＝0或a＝－1. 5．△ABC的三个顶点分别为A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，如果直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，那么实数a的值等于(　　 ) A． B．1＋ C．1＋ D．2－ 解析：选A.lAC：＋＝1，即3x＋2y－6＝0. 由得 因为S△ABC＝， 所以×a×(3－)＝， 得a＝或a＝－(舍去). 6．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝________． 解析：由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.又点(1，m)在直线上，所以a＋2m－1＝0，所以m＝－2. 答案：－2 7．已知直线l1：kx＋y－1＝0，l2：x＋ky＋1＝0，若l1∥l2，则k＝________；若曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点，则实数k的取值范围是________． 解析：因为l1∥l2，所以k2－1＝0，即k＝±1，经检验k＝1. y＝|x|＝ 直线l1化为y＝－kx＋1，恒过(0，1)，画出函数图象，如图，因为曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点， 所以－k＝0或0<－k<1或－1<－k<0， 即－1<k<1. 答案：1　(－1，1) 8．经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________． 解析：由得 ①若所求直线在两坐标轴上的截距都为0，设直线方程为y＝kx，代入点(－4，3)，得k＝－，∴3x＋4y＝0； ②若所求直线在两坐标轴上的截距不为0，设直线方程为＋＝1. 代入(－4，3)，得a＝－1. ∴x＋y＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0. 答案：x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 9．求经过直线l1：3x＋4y－5＝0与直线l2：2x－3y＋8＝0的交点M，且满足下列条件的直线方程： (1)与直线2x＋y＋5＝0平行； (2)与直线2x＋y＋5＝0垂直． 解：法一　由解得 所以交点M的坐标为(－1，2). (1)斜率k＝－2，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0. (2)斜率k＝，由点斜式得所求直线方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0. 法二　设直线方程为(3x＋4y－5)＋λ(2x－3y＋8)＝0， 即(3＋2λ)x＋(4－3λ)y＋(－5＋8λ)＝0.(*) (1)因为与直线2x＋y＋5＝0平行， 所以(3＋2λ)×1－(4－3λ)×2＝0，解得λ＝. 经检验λ＝符合题意． 代入(*)式化简得2x＋y＝0. (2)因为与直线2x＋y＋5＝0垂直， 所以2×(3＋2λ)＋1×(4－3λ)＝0，解得λ＝－10. 代入(*)式化简得x－2y＋5＝0. 【综合运用】 10．已知a，b满足2a＋b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点(　　 ) A．(－，2) B．(，) C．(，) D．(2，－) 解析：选D.由2a＋b＝1，得b＝1－2a， 代入直线方程ax＋3y＋b＝0中，得ax＋3y＋1－2a＝0，即a(x－2)＋3y＋1＝0， 令 解得 所以该直线必过定点(2，－). 11．若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是(　　 ) A．{θ|0°<θ<60°} B．{θ|30°<θ<60°} C．{θ|30°<θ<90°} D．{θ|60°<θ<90°} 解析：选C.由题可知k≠－1， 联立解得 ∴两直线的交点坐标为(，). ∵两直线的交点在第一象限， ∴解得k>. 又直线l的倾斜角为θ，则tan θ>， ∴30°<θ<90°. 12．(多选)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值可以为(　　 ) A．－ B．－ C． D．2 解析：选ABC.设三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0分别为l1，l2，l3，斜率分别为k1，k2，k3，且k1＝，k2＝－，k3＝m， 当l3∥l1时，k3＝k1即m＝，l1，l2，l3不能构成三角形； 当l3∥l2时，k3＝k2即m＝－，l1，l2，l3不能构成三角形； 由可得 所以直线l1，l2的交点为(－1，－)， 当直线l3过直线l1，l2的交点(－1，－)时，l1，l2，l3不能构成三角形， 此时－m＋－1＝0，可得m＝－， 综上所述，实数m的取值集合为{－，－，}． 13．(2025·湖南长沙期末模拟)设直线l1：x＝0，l2：3x－4y＝0，点A的坐标为(1，1)，过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N(M，N的纵坐标均为正数). (1)点A是M，N中点，求斜率k； (2)求△MON(O为坐标原点)面积的最小值． 解：(1)由题意可得直线l的方程为y－1＝k(x－1)，如图所示， 联立解得M(0，1－k)， 联立 解得N(，)， 又点A是M，N中点，可得＋0＝2，且＋1－k＝2，解得k＝. (2)因为M，N的纵坐标均为正数， 所以解得k<， 易知△MON的面积为S＝|OM||xN|＝×|1－k|×||＝， 令3－4k＝t，则t>0， 因此S＝＝＝(t＋＋2)≥(2＋2)＝， 当且仅当t＝时，即t＝1时，等号成立，此时k＝， 所以S的最小值为，即△MON的面积的最小值为. 14．(2025·湖北武汉高二期末模拟)已知0<k<4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，求使得这个四边形面积最小的k值． 解：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，所以四边形的面积S＝×(2k2＋2－2)×4＋(4－k＋4)×2×＝4k2－k＋8(0＜k＜4)，故四边形面积最小时，k＝. 【创新探索】 15．如图，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程． 解：设B(x0，y0)，则AB的中点E的坐标为， 由条件得 得解得 即B(6，4). 同理可求得C点的坐标为(5，0). 故所求直线BC的方程为＝，即4x－y－20＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $