课后分层练(十七)　直线的一般式方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(十七)]　直线的一般式方程 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．过点(2，1)，斜率k＝－2的直线方程为(　　 ) A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0 C．y－2＝－2(x－1) D．2x＋y－5＝0 解析：选D.根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0. 2．过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　　 ) A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0 解析：选A.过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程为y－3＝(x－2)，化简可得x－2y＋4＝0. 3．(多选)两条直线l1：ax＋y＋1＝0和l2：x－a2y－1＝0互相垂直，则a的值可以是(　　 ) A．0 B．1 C．－1 D．－2 解析：选AB.由两条直线垂直的充要条件可得a·1＋1·(－a2)＝0，解得a＝0或a＝1. 4．(易错题)直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　 ) 解析：选C.将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a. A中，由图知l1∥l2，而a≠b，故A错误； B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知b>0，a>0，两者矛盾，故B错误； C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故C正确； D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知a>0，b>0，两者矛盾，故D错误． 5．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的一般式方程为(　　 ) A．15x－10y－6＝0 B．15x－10y＋6＝0 C．6x－4y－3＝0 D．6x－4y＋3＝0 解析：选A.由题意，可知直线l的斜率k＝，故可设直线l的方程为y＝x＋b，则有－b＝1，解得b＝－，所以直线l的方程为y＝x－，即15x－10y－6＝0. 6．(多选)三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值可以是(　　 ) A．－1 B．1 C．2 D．5 解析：选CD.直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋ay＝3与另两条直线不平行，所以a≠±1. 7．设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0.若l1∥l2，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________. 解析：若l1∥l2，则2(a＋1)－3×1＝0，解得a＝. 若l1⊥l2，则(a＋1)×1＋3×2＝0，解得a＝－7. 答案：　－7 8．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是____________________________． 解析：直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)， ∵所求直线过点A且斜率为－， ∴所求直线的方程为y＋2＝－x， 即x＋2y＋4＝0. 答案：x＋2y＋4＝0 9．(2025·山东潍坊期末)(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)若直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，求a的值． 解：(1)∵l1∥l2，∴2×3－m(m＋1)＝0，且(m＋1)×(－2)－4×3≠0， 解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3. (2)当1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直． 当2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直． 当1－a≠0且2a＋3≠0，即a≠1且a≠－时，直线l1，l2的斜率k1，k2都存在， 且k1＝－， k2＝－， ∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即(－)·(－)＝－1，∴a＝－1. 综上，当a＝1或a＝－1时，直线l1与直线l2互相垂直． 【综合运用】 10．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　 ) A． B．[0，)∪ C． D． 解析：选D.∵k＝－，∴－1≤k<0. ∴倾斜角的取值范围是. 11．(多选)已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论错误的是(　　 ) A．不存在k，使得l2的倾斜角为90° B．对任意的k，l1与l2都有公共点 C．对任意的k，l1与l2都不重合 D．对任意的k，l1与l2都不垂直 解析：选AC.对于A，当k＝0时，直线l2的方程为x＝0，其倾斜角为90°，故A错误． 对于B，直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，即k(x＋y＋1)＋x＝0过定点(0，－1)，而定点在直线l1上，故B正确． 对于C，当k＝－时，直线l2的方程为x－y－＝0，即x－y－1＝0，l1与l2重合，故C错误． 对于D，若两直线垂直，则1×(k＋1)＋(－1)×k＝0，方程无解，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确． 12．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是________，直线PA，PB与x轴围成的图形的面积为________． 解析：如图，由x－y＋1＝0得A(－1，0)，又点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，所以P为线段AB中垂线上的点，且B(5，0)，直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角互补，则斜率互为相反数，故直线PB的斜率k＝－1，则其方程为y＝－(x－5)，即x＋y－5＝0. 因为|PA|＝|PB|，PA⊥PB，所以直线PA，PB与x轴围成的图形是等腰直角三角形，其高为|AB|＝3，故面积为|AB|×3＝9. 答案：x＋y－5＝0　9 13．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线． (1)求实数m需满足的条件； (2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值． 解：(1)由解得m＝2. 又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0，故m≠2. (2)由题意知，m≠2， 由－＝1解得m＝0. 14．已知正方形的中心为G(－1，0)，一边所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在的直线方程． 解：正方形的中心G到已知边的距离为d＝＝. 设正方形与已知直线平行的一边所在的直线方程为x＋3y＋c＝0，则d＝＝， 解得c＝7或c＝－5(舍去). 故所求一边的直线方程为x＋3y＋7＝0. 又由于正方形另两边所在的直线与已知直线垂直， 故设另两边所在的直线方程为3x－y＋m＝0. 则d＝＝， 解得m＝9或m＝－3. 因此正方形另两边所在的直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 综上所述，正方形其他三边所在的直线方程分别为x＋3y＋7＝0，3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0. 【创新探索】 15．(知识融合)已知集合A＝{(x，y)|＝a＋1}，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，当a取何值时，A∩B＝∅？ 解：集合A，B分别为Oxy平面上的点集． 集合A表示l1：(a＋1)x－y－2a＋1＝0(x≠2)， 集合B表示l2：(a2－1)x＋(a－1)y－15＝0. 由 得a＝±1. ①当a＝1时，B＝∅，A∩B＝∅； ②当a＝－1时，集合A表示直线y＝3(x≠2)， 集合B表示直线y＝－，两直线平行，A∩B＝∅； ③由l1可知(2，3)∉A，当(2，3)∈B，即2(a2－1)＋3(a－1)－15＝0时，可得a＝－4或a＝，此时A∩B＝∅. 综上可知，当a的值为－4，－1，1，时，A∩B＝∅. 学科网（北京）股份有限公司 $