2.2.3 直线的一般式方程（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 人教A版2019选择性必修第一册·高二 2.2 直线的方程 2.2.3 直线的一般式方程 章节导读 确定直线位置的几何要素：点、方向 直线的倾斜角和斜率 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 直线的一般式方程 点到直线、两平行直线间的距离 两条直线间的位置关系 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 确定圆的几何要素：圆心、半经 圆的标准方程 圆的一般方程 两点间的距离公式 两条直线平行和垂直的判定 学 习 目 标 1 2 3 掌握直线一般式方程、以及其特点及适用范围 理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系,培养数学抽象的核心素养 能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化. 能用直线的一般式方程解决问题 旧知回顾 我们前面学习了直线的哪几种方程？ 形式 几何条件 直线方程 应用范围 直线过点(x0, y0), 且斜率为k 在y轴上的截距为b, 且斜率为k 过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2) 过点P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0) 斜率存在 斜率存在 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0且不过原点 点斜式 斜截式 两点式 截距式 以上四种形式的直线方程，都有其使用的局限性，也就是说，每一种形式都不能表示所有直线. 那么，是否能找到一种直线方程，它没有局限性，可以表示所有直线呢？ 新知探究 问题1 你能发现以下直线方程的几种形式有什么共同特点？ y y y y x x x x 能否统一写成 ？ ？ ？ 上述四式都可以写成二元一次方程的形式：Ax+By+C=0 新知探究 问题2.1 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x , y的二元一次方程表示吗？ 在平面直角坐标系中，直线可以分为两类. 直线与x轴不垂直（ k存在） 直线与x轴垂直（ k不存在） 由点斜式,得：y-y0=k(x-x0) 可化为：kx-y-kx0+y0=0 由图像,得：x=x0 可化为： x+0*y-x0=0 对于过点Ｐ(x0,y0)的直线方程 两者都是关于x,y的二元一次方程． 任意一条直线可以用关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不同时为0)来表示． x y 0 Ｐ(x0,y0) ● x y 0 Ｐ(x0,y0) ● 直线方程 二元一次方程 新知探究 问题2.2 每一个关于x , y的二元一次方程都表示直线吗？ Ax+By+C=0 （其中A、B不同时为0） B≠0时， 表示一条不垂直x轴的直线 B＝0时,则A≠0, 表示一条垂直x轴的直线 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0 （其中A、B不同时为0）表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式. 就是直线的斜率 直线方程 二元一次方程 新知探究 问题2.1 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x , y的二元一次方程表示吗？ 问题2.2 每一个关于x , y的二元一次方程都表示直线吗？ 结论： (1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示, (2)关于x,y的二元一次方程都表示一条直线. 平面直角坐标系 中的每一条直线 关于的二元一次方程：Ax+By+C=0（A、B不同时为0） 一一对应 定义新知 直线的一般式方程 我们把关于x, y的二元一次方程 Ax+By +C=0 (其中A, B不同时为0) 叫做直线方程的一般式方程, 简称一般式. 适用范围： 任意一条直线 注意 : 对于直线方程的一般式的书写，一般作如下约定： (1)x的系数为正; (2)x,y的系数及常数项一般不出现分数; (3)按含x项，含y项、常数项顺序排列. (4)无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式 新知探究 问题3 在方程Ax+By+C=0中，A,B,C为何值时，方程表示的直线为： (1)平行于x轴; (2)平行于y轴; (3)与x轴重合; (4)与y轴重合; (5)过原点 (5) C=0，A、B不同时为0 (1) A=0 , B≠0 ,C≠0 (2) B=0 , A≠0 , C≠0 (4) B=0 , A≠0, C=0 (3) A=0 , B≠0 ,C=0 典例分析 例1 已知直线经过点A(6,－4), 斜率为 , 求直线的点斜式和一般式方程. 典例分析 方法技巧 在直角坐标系中画直线时，通常找出直线与两个坐标轴的交点，然后连结这两个点. 例2 把直线l的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形． O x y 1 1 2 3 4 2 A B 新知探究 问题4 直线 试讨论：(1) 的条件是什么？ (2) 的条件是什么？ 解： （1）当B1，B2≠0时, 即A1B2－A2B1＝0, 且B1C2－B2C1 ≠ 0或A1C2－A2C1≠0. 当B1=B2=0时, 即A1B2－A2B1＝0, 且A1C2－A2C1≠0. 综上， A1B2－A2B1＝0, 且B1C2－B2C1 ≠ 0或A1C2－A2C1≠0. 反之，亦成立。 反之，亦成立。 新知探究 问题4 直线 试讨论：(1) 的条件是什么？ (2) 的条件是什么？ 解： （2）当B1，B2≠0时, 当B1=0或B2=0时, 即 A1A2＋B1B2＝0. A1A2＋B1B2＝0也成立 综上，l1⊥l2 ⇔ A1A2＋B1B2＝0. 课后练习 课本练习 1. 根据下列条件, 写出直线的方程, 并把它化为一般式: (1) 经过点A(8,－2), 斜率是 (2) 经过点B(4, 2), 平行于x轴; (3) 经过点P1(3,－2), P2(5,－4); (4) 在x轴、y轴上的截距分别是 , －3. (1) x+2yￚ4=0; (2) y=ￚ2; (3) x+yￚ1=0; (4) 2xￚyￚ3=0. 课后练习 课本练习 2.求下列直线的斜率以及在y轴上的截距, 并画出图形: x y O 5 l (1) x y O -5 l (2) 4 x y O (-2,1) l (3) • x y O l (4) 课后练习 课本练习 3. 已知直线l的方程是Ax+By+C=0. (1)当B≠0时, 直线l的斜率是多少? 当B=0时呢? (2)系数A, B, C取什么值时, 方程Ax+By+C=0表示经过原点的直线? 直线的一般式方程 题型一 题型探究 【例1】根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式. (1)斜率是,且经过点 (2)斜率为4,在 轴上的截距为-2; [解析] 由点斜式方程得 , 即 [解析] 由斜截式方程得,即 直线的一般式方程 题型一 题型探究 (3)在 <m></m> 轴上的截距为3，且平行于 <m></m> 轴； [解析] 由题意得 <m></m> ，即 <m></m> . (4)经过 <m></m> ， <m></m> 两点； [解析] 由两点式方程得 <m></m> ，即 <m></m> . (5)在 <m></m> ， <m></m> 轴上的截距分别是 <m></m> ， <m></m> . [解析] 由截距式方程得 <m></m> ，即 <m></m> . 直线的一般式方程 题型一 题型探究 (6)经过点 且在两坐标轴上的截距相等. [解析] 当直线过原点时,设其方程为 , 则,即 当直线不过原点时,设其方程为 , 则,解得,即 , 综上,直线的方程为或 直线的一般式方程 题型一 题型探究 解题感悟 1.在求直线方程时，直接求一般式方程有时并不简单，常用的还是先根据给定条件选用特殊形式求方程，然后转化为一般式. 2.由直线的一般式方程 <m></m> （ <m></m> 、 <m></m> 不同时为0）求直线在两坐标轴上的截距时，令 <m></m> ，得直线在 <m></m> 轴上的截距；令 <m></m> ，得直线在 <m></m> 轴上的截距.由两截距的位置可知直线的位置. 利用一般式研究两直线的平行与垂直问题 题型二 题型探究 【例2】(1) (多选题)下列关于两直线的位置关系的判断正确的有( ) ACD A. 直线与 平行 B. 直线与直线 平行 C. 直线与直线 垂直 D. 直线与直线 相交但不垂直 [解析] 对于A,直线即,直线 即, 因为 ,且 , 所以两条直线平行. 对于B,直线即 ,与另一条直线的方程相同, 所以两条直线重合. 对于C,因为 ,所以两条直线垂直. 对于D,因为 ,所以两条直线不平行, 又因为 ,所以两条直线不垂直,所以这 两条直线既不平行也不垂直,即相交但不垂直.故选ACD. 利用一般式研究两直线的平行与垂直问题 题型二 题型探究 (2)若直线与直线垂直,则 ( ) B A. -1 B. 1 C. 0 D. 9 [解析] 由题意得,解得 故选B. (3)若直线与直线平行,则 ( ) A A. 1 B. -2 C. 1或-2 D. [解析]由两直线平行,可得 ,解得或 当 时,两直线的方程分别为,两直线平行; 当 时,两直线的方程都可化为,两直线重合. 综上, 故选A. 利用一般式研究两直线的平行与垂直问题 题型二 题型探究 解题感悟 已知直线, 直线不同时为 （1）平行判断: （2）垂直判断: 利用一般式研究两直线的平行与垂直问题 题型二 题型探究 【例3】(1)过点且与直线 平行的直线方程是( ) B A. B. C. D. [解析] 设所求的直线方程为 所求直线过点 将点代入直线方程得,解得 , 则所求的直线方程为 ,故选B. (2)已知直线经过点,且与直线垂直,则直线 的方程为( ) C A. B. C. D. [解析] 直线与直线 垂直, 可设直线的方程为 , 直线经过点,即 , 故直线l的方程为 故选C. 利用一般式研究两直线的平行与垂直问题 题型二 题型探究 解题感悟 1.与直线 平行的直线方程都可表示为 2.与直线 垂直的直线方程都可表示为 含参的一般式方程问题 题型三 题型探究 【例4】(1)如果,那么直线 不经过( ) B A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 [解析] 由题意得 . , ,故直线不经过第二象限. 解题感悟 解决含参的一般式方程的直线过象限问题时,一般将直线方程化为斜截式进行判断. 含参的一般式方程问题 题型三 题型探究 【例5】(1)已知直线 ,当k变化时,所有直线都恒过点( ) D A. B. C. D. [解析] 直线方程可化为 , 故直线过定点 ,故选D. (2)直线 恒过的定点的坐标是( ) A. B. C. D. D [解析] 原方程可化为 , 由直线恒过定点可知 解得所以直线恒过定点 , 故选D. 含参的一般式方程问题 题型三 题型探究 解题感悟 解决含参的一般式方程过定点的问题时,可将原方程整理成以参数为主元的方程,利用此方程恒成立求出定点坐标. 课堂达标 1.直线的斜率及在轴上的截距 分别是( ) A A. 3,-1 B. -3,1 C. ,1 D. 3,1 [解析] 由直线得,所以直线的斜率, 在 轴上的截距 2.直线 的位置关系是( ) B A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直 [解析] 因为 ,所以两直线垂直. 课堂达标 3.若直线和直线平行,则实数 的值为( ) A. 0或 B. -1或-2 C. -1 D. -2 C [解析] 由题意得 , 解得或 当时,两直线方程都可化为 ,两直线重合; 当时,两直线方程分别为 ,两直线平行, 综上, 4.无论取何实数,直线都过定点,则 的坐标为________. [解析] 由得 , 直线过定点,即的坐标为 课堂小结 点斜式 斜率和一点坐标 斜截式 斜率k和截距b 两点坐标 两点式 点斜式 两个截距 截距式 最后都要化成一般式Ax+By+C=0(A, B不同时为0) 感谢聆听! $$