课后分层练(十六)　直线的两点式方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(十六)]　直线的两点式方程 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是(　　 ) A．－ B．－ C． D．2 解析：选A.由直线的两点式方程得过点(－1，1)和(3，9)的直线方程为＝，即2x－y＋3＝0.令y＝0，得x＝－. 2．若直线＋＝1过第一、三、四象限，则(　　 ) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 解析：选B.因为直线过第一、三、四象限，所以它在x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负，所以a>0，b<0. 3．(多选)过点A(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程可以为(　　 ) A．x＋y－5＝0 B．x－y－5＝0 C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0 解析：选AC.当直线过点(0，0)时，直线方程为y＝x，即x－4y＝0； 当直线不过点(0，0)时，可设直线方程为＋＝1，把(4，1)代入，解得a＝5，所以直线方程为x＋y＝5. 综上可知，直线方程为x＋y－5＝0或x－4y＝0. 4．(易错题)两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　 ) 解析：选A.将两方程化为截距式l1：＋＝1，l2：＋＝1.假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合． 5．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　 ) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0 C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0 解析：选A.由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为＝，即2x＋y－8＝0. 6．(多选)若直线过点(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则该直线的方程为(　　) A．2x＋3y－6＝0 B．2x－3y＋6＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 解析：选AC.设直线的截距式方程为＋＝1.又直线过点(6，－2)， 则＋＝1，解得a＝2或a＝1， 则直线方程是＋＝1或＋＝1， 即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. 7．(学科融合)一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射后，通过点B(－1，6)，则入射光线所在直线的方程为________，反射光线所在直线的方程为________． 解析：∵点A(3，2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)，∴由两点式可得直线A′B的方程为＝，即y＝－2x＋4.同理，点B关于x轴的对称点为B′(－1，－6)，由两点式可得直线AB′的方程为＝，即y＝2x－4.∴入射光线所在直线的方程为y＝2x－4，反射光线所在直线的方程为y＝－2x＋4. 答案：y＝2x－4　y＝－2x＋4 8．求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式． 解：过A，B两点的直线的两点式方程是＝. 化为点斜式为y＋1＝－(x－4)，斜截式为y＝－x＋，截距式为＋＝1. 9．已知直线l经过点(1，6)和点(8，－8). (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 解：(1)因为直线l的两点式方程为＝， 所以＝，即＝x－1， 所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8， 所以＋＝1. 故所求截距式方程为＋＝1. (2)如图所示，直线l与两坐标轴围成的图形是Rt△AOB，且OA⊥OB，|OA|＝4，|OB|＝8， 故S△AOB＝|OA|·|OB|＝×4×8＝16. 故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16. 【综合运用】 10．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，8)，B(－4，0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为(　　) A．2x－y＋4＝0 B．x＋2y＋4＝0 C．2x＋y－4＝0 D．x－2y＋4＝0 解析：选D.由A(2，8)，C(6，0)，得AC的中点坐标为D(4，4)，则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4，4)，则所求直线方程为＝，即x－2y＋4＝0. 11．(多选)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围可以是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选BD.设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B(3，0)时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1； 过定点A的直线经过点C(－3，0)时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝， 满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪. 12．经过点P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，若使截距之和最小，则该直线的方程为________． 解析：设直线的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 因为直线过点P(1，4)，所以＋＝1. 则截距之和a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝， 即2a＝b时取得最小值，所以＋＝1， 解得a＝3，则b＝6，所以直线的方程为＋＝1，即2x＋y－6＝0. 答案：2x＋y－6＝0 13．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线y＝2x和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P(0，)，则直线AB的方程为________． 解析：依题意知，a＝2，P(0，5). 设A(x0，2x0)，B(－2y0，y0)， 则由中点坐标公式得x0－2y0＝0，2x0＋y0＝10， 解得x0＝4，y0＝2， 所以A(4，8)，B(－4，2)， 由直线的两点式方程，得直线AB的方程是＝，即3x－4y＋20＝0. 答案：3x－4y＋20＝0 14．已知直线l过点M(2，1)，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程． 解：根据题意，设直线l的方程为＋＝1，由题意知a>2，b>1， ∵l过点M(2，1)，∴＋＝1，解得b＝， ∴△AOB的面积S＝ab＝a·， 化简得a2－2aS＋4S＝0.　① ∴Δ＝4S2－16S≥0，解得S≥4或S≤0(舍去). ∴S的最小值为4， 将S＝4代入①式，得a2－8a＋16＝0，解得a＝4， ∴b＝＝2. ∴直线l的方程为x＋2y－4＝0. 【创新探索】 15．(2025·山东青岛期末)t∈R，且t∈(0，10)，由t确定两个任意点P(t，t)，Q(10－t，0). (1)直线PQ是否能通过点M(6，1)，点N(4，5)； (2)在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上． ①求证：顶点C一定在直线y＝x上． ②求图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A，B，C，D的坐标． 解：(1)令过P，Q的方程为＝，即tx－2(t－5)y＋t2－10t＝0， 假设直线PQ过点M， 则t2－6t＋10＝0，Δ＝36－40<0，无实根，故直线PQ不过点M. 假设直线PQ过点N， 同理得t2－16t＋50＝0，t1＝8－，t2＝8＋(舍去). ∵t∈(0，10)，∴当t＝8－时，直线PQ过点N(4，5). (2)由已知条件可设A(a，0)，B(2a，0)，C(2a，a)，D(a，a). ①证明：点C(2a，a)，即x＝2a，y＝a， 消去a得y＝x，故顶点C在直线y＝x上． ②令阴影部分面积为S，则S＝|10－t|×|t|－a2， ∵t>0，10－t>0，∴S＝(－t2＋10t)－a2， ∵点C(2a，a)在直线PQ上， ∴2at－2(t－5)a＝－t2＋10t， ∴a＝(10t－t2)， S＝×10a－a2＝－(a－)2＋， ∴当a＝时，Smax＝， 此时顶点A，B，C，D的坐标为A(，0)，B(5，0)，C(5，)，D(，). 学科网（北京）股份有限公司 $