课后分层练(十四)　两条直线平行和垂直的判定-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(十四)]　两条直线平行和垂直的判定 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　 ) A．－3 B．3 C．－ D． 解析：选B.kAB＝＝3，因为l∥AB，所以k＝3. 2．已知直线l的倾斜角为20°，直线l1∥l，直线l2⊥l，则直线l1与l2的倾斜角分别是(　　 ) A．20°，110° B．70°，70° C．20°，20° D．110°，20° 解析：选A.如图， 因为l∥l1，所以l1的倾斜角为20°， 因为l2⊥l，所以l2的倾斜角为90°＋20°＝110°. 3．(多选)满足下列条件的直线l1与l2，其中l1⊥l2的是(　　 ) A．l1的倾斜角为45°，l2的斜率为1 B．l1的斜率为－，l2经过点A(2，0)，B(3，) C．l1经过点P(2，1)，Q(－4，－5)，l2经过点M(－1，2)，N(1，0) D．l1的一个方向向量为(1，m)，l2的一个方向向量为(1，－) 解析：选BCD.l1的倾斜角为45°，则其斜率为tan 45°＝1，所以l1∥l2或l1与l2重合，所以A不符合题意； l2经过点A(2，0)，B(3，)，则其斜率为kl2＝＝， 因为×＝－1，所以l1⊥l2，所以B符合题意； l1经过点P(2，1)，Q(－4，－5)，则有kPQ＝＝1， l2经过点M(－1，2)，N(1，0)，则有kMN＝＝－1， 因为kPQ·kMN＝－1，所以l1⊥l2，所以C符合题意； l1的一个方向向量为(1，m)，则kl1＝m，l2的一个方向向量为，则kl2＝－，kl1·kl2＝－1， 所以l1⊥l2，所以D符合题意． 4．(易错题)直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为(　　 ) A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1 C．y＝3x－3 D．y＝3x＋1 解析：选A.当直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°时，所得直线斜率为－，此时，该直线的方程为y＝－x，再将该直线向右平移1个单位长度可得直线y＝－(x－1)，即y＝－x＋. 5．(知识融合)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.若l1∥l2，则3×(－3)＝－m×3(m＋2)，解得m＝1或m＝－3，而当m＝－3时，l1，l2重合，故舍去，则“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件． 6．(多选)设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论中正确的是(　　 ) A．PQ∥SR B．PQ⊥PS C．PS∥QS D．RP⊥QS 解析：选ABD.由斜率公式知，kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝， 所以PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS.而kPS≠kQS，所以PS与QS不平行，故ABD正确． 7．若不同的两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为 ． 解析：由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1. 答案：－1 8．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率． 解：由斜率公式可得kAB＝＝，kBC＝＝0，kAC＝＝5.由kBC＝0知直线BC∥x轴， 故BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在． 设AB，AC边上高线的斜率分别为k1，k2，由k1kAB＝－1，k2kAC＝－1， 即k1＝－1，5k2＝－1，解得k1＝－，k2＝－. 综上可知，BC边上的高所在直线的斜率不存在； AB边上的高所在直线的斜率为－； AC边上的高所在直线的斜率为－. 9．当m为何值时，过A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)两点的直线： (1)倾斜角为135°； (2)与过(3，2)，(0，－7)两点的直线垂直； (3)与过(2，－3)，(－4，9)两点的直线平行． 解：(1)由kAB＝＝tan 135°＝－1， 解得m＝－或m＝1. (2)由kAB＝，且＝3， 得＝－，解得m＝或m＝－3. (3)令＝＝－2，解得m＝或m＝－1. 经检验，当m＝或m＝－1时，均符合题意． 【综合运用】 10．已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3的值是(　　 ) A．1 B． C． D．1或 解析：选D.由k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，解方程得或又l1∥l2，所以k1＝k2，所以k1＋k2＋k3＝1或. 11．(知识融合)已知两点A(2，0)，B(3，4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，则y的值是(　　 ) A．19 B． C．5 D．4 解析：选B.由O，A，B，C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补，又由题意得∠COA＝90°，所以∠CBA＝90°，所以AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即·＝－1，解得y＝. 12．如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长|AD|＝5 m，宽|AB|＝3 m，其中一条小路为AC，另一条小路过点D.在BC上有一点M，使得两条小路AC与DM互相垂直，此时BM的长为 m. 解析：以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，3)，D(5，3)，C(5，0)，设M(x，0)，0<x<5.由题意可知直线AC和直线DM的斜率都存在，由于AC与DM互相垂直，所以kAC·kDM＝－1，即·＝－1，解得x＝，所以BM的长为 m. 答案： 13．已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0). (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ； (2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角． 解：(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3， 又PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1，即×3＝－1.① 由已知得kPN＝－2，又PN∥MQ， 可得kPN＝kMQ，即＝－2.② 联立①②，解得x＝0，y＝1，即Q(0，1). (2)设Q(m，0)，因为∠NQP＝∠NPQ，所以kNQ＝－kNP. 又kNQ＝，kNP＝－2， 所以＝2，即m＝1，所以Q(1，0). 又因为M(1，－1)，所以MQ⊥x轴． 所以直线MQ的倾斜角为90°. 【创新探索】 14． 如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，求△ABC的面积的最小值． 解：以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，垂直于l1的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设B(a，－2)，C(b，3).∵AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1， ∴·＝－1，则ab－6＝0，ab＝6，b＝. ∴Rt△ABC的面积S＝|AB|·|AC|＝·＝· ＝≥＝6(当且仅当a2＝4时取等号). 所以△ABC的面积的最小值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $