课后分层练(十一)　用空间向量研究夹角问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(十一)]　用空间向量研究夹角问题 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则α与β的夹角为(　　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选B.设α与β所成的角为θ，且0°≤θ≤90°，则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝，所以θ＝60°. 2．若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1)，直线l的一个方向向量a＝(－2，－3，3)，则l与α所成角的余弦值为(　　 ) A．－ B． C．－ D． 解析：选D.设α与l所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝＝＝， 故直线l与α所成角的余弦值为. 3．在一个锐二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.由，知这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为. 4．(2025·镇江高二检测)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　 ) A． B． C． D． 解析： 选B.设正方体的棱长为1，依题意建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)， 所以＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，1)． 设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则即 令x＝1，所以n＝(1，1，1)，所以BB1与平面ACD1所成角的正弦值为. 5．(多选)直线l的方向向量为a，两个平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是(　　 ) A．若a⊥n，则直线l∥平面α B．若a∥n，则直线l⊥平面α C．若cos 〈a，n〉＝，则直线l与平面α所成角的大小为 D．若cos 〈m，n〉＝，则平面α，β夹角的大小为 解析：选BCD.对于A，若a⊥n，则直线l∥平面α或在平面α内，故选项A不正确； 对于B，若a∥n，则a也是平面α的一个法向量，所以直线l⊥平面α，故选项B正确； 对于C，直线与平面所成角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若cos 〈a，n〉＝，则直线l与平面α所成角的大小为，故选项C正确； 对于D，若cos 〈m，n〉＝，则平面α，β夹角的大小为，故选项D正确． 6． (多选)如图，三棱锥D­ABC的各条棱长均为2，OA，OB，OC两两垂直，则下列说法正确的是(　　 ) A．OA，OB，OC的长度相等 B．直线OD与BC所成的角是45° C．直线AD与OB所成的角是45° D．直线OB与平面ACD所成的角的余弦值为 解析：选AC.因为三棱锥D­ABC的各条棱长均为2，OA，OB，OC两两垂直， 将几何体放入正方体中， 所以OA＝OB＝OC＝，故A中说法正确； 如图，建立空间直角坐标系． 可得O(0，0，0)，A，B，C，D， 所以＝＝＝＝＝. 故＝0，即⊥，直线OD与BC所成的角是90°，故B中说法不正确； cos 〈〉＝，可得直线AD与OB所成的角是45°，故C中说法正确； 设平面ACD的法向量n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则y＝－1，z＝1. 所以n＝(1，－1，1)为平面ACD的一个法向量． 设直线OB与平面ACD所成的角为θ，则sin θ＝＝，cos θ＝，故D中说法不正确． 7．在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________ . 解析：平面xOy的一个法向量为n＝(0，0，1)， 设平面α的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则即3x＝4y＝az，取z＝1，则x＝，所以m＝. 由题意得|cos 〈n，m〉|＝.又因为a>0，所以a＝. 答案： 8． 如图，在三棱锥P­ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为________. 解析： 以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图， 设AB＝a，则OP＝＝()，可求得平面PBC的法向量为n＝， 所以cos 〈，n〉＝，设与平面PBC所成的角为θ，则sin θ＝. 答案： 9． 如图所示，在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.求异面直线AB与CD所成角的余弦值． 解：取BD的中点O，连接OA，OC.由题意知OA，OC，BD两两垂直． 以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则B(1，0，0)， D(－1，0，0)，C，A(0，0，1)， ∴＝(－1，0，1)，＝， ∴＝. ∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 【综合运用】 10．(多选)在正三棱柱A1B1C1­ABC中，AA1＝AB，则(　　 ) A．AC1与平面ABC所成角的正弦值为 B．AC1与平面ABC所成角的正弦值为 C．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 D．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 解析：选BC.取A1C1的中点E，AC的中点F， 连接EF，EB1，则EB1，EC1，EF两两垂直，则以E为原点，EB1，EC1，EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝2，则AA1＝2，所以A1(0，－1，0)，C1(0，1，0)，A()C，B1，所以＝，平面ABC的一个法向量为m＝， 所以AC1与平面ABC所成角的正弦值为＝＝＝，所以A错，B对； 取A1B1的中点K，所以K的坐标为， 所以侧面AA1B1B的一个法向量为＝. 所以AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为＝＝，故C对，D错． 11． (多选)(学科融合)(2025·高二四川宜宾期中)六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体)．如图所示，正八面体E­ABCD­F，下列说法中正确的有(　　 ) A．平面EAD∥平面FCB B．平面EAD⊥平面ECB C．异面直线AE与BF所成的角为60° D．若点P为棱EB上的动点，则直线AP与平面FAD成的角的正弦值的范围为[] 解析：选ACD.连接AC、BD、EF， 根据题意可设其交于点O，则A、E、C、F四点共面，且O为AC、BD、EF的中点， 所以四边形AECF、BEDF都是平行四边形，所以AE∥FC，DE∥BF， 又AE⊂平面EAD，FC⊄平面EAD，AE∥FC，所以FC∥平面EAD， DE⊂平面EAD，FB⊄平面EAD， 所以FB∥平面EAD， 又FB、FC在平面FCB内相交于点F， 所以平面EAD∥平面FCB， 故A对； 分别取AD、BC中点M、N，连接MN，则MN的中点为O， 由AD∥BC，AD⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以AD∥平面BCE， 又AD⊂平面ADE，则平面ADE与平面BCE的交线l与AD平行， 因为△EAD，△EBC都是等边三角形，所以EM⊥AD，NE⊥BC， 所以EM⊥l，EN⊥l，则∠MEN为平面ADE与平面BCE所成的平面角， 设AB＝2，则EM＝NE＝，MN＝2， 所以cos ∠MEN＝，故B错误； 由EF与AC垂直相交，且长度相等，则四边形AECF是正方形，所以AE∥FC， 则直线AE与BF所成的角即为BF与CF所成角， 在△BCF中，∠BFC＝60°，故异面直线AE与BF所成的角为60°，故C对； 根据正八面体结构，如图建立空间直角坐标系，令AB＝2， 则A，D，F，B，E，所以＝＝＝＝， 设平面FAD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥， 所以 即令x＝－1，则y＝z＝1， 所以平面FAD的一个法向量为n＝(－1，1，1)， 因为点P为棱EB上的动点， 所以设，(0≤λ≤1) 则＝＋λ＝(1－λ)，， 设直线AP与平面FAD成的角为θ， sin θ＝ ＝， 又0≤λ≤1， 当λ＝时，(sin θ)max＝，当λ＝1或0时直线AP与平面FAD成的角的正弦值的范围为，故D对． 12． 已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面BDC1的一个法向量是________(答案不唯一，写出一个即可)，直线CB1与平面BDC1所成角的正弦值等于________． 解析：不妨设AB＝1，则AA1＝2， 由题图可知D(0，0，2)，C1(0，1，0)，B(1，1，2)，C(0，1，2)，B1(1，1，0)，＝(1，1，0)，＝(0，1，－2)，＝(1，0，－2)． 设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，则y＝2，x＝－2. 故平面BDC1的一个法向量为n＝(－2，2，1)， 设CB1与平面BDC1所成角为θ， 则sin θ＝. 答案：(－2，2，1)　 13．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点E是DC的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，连接DB，DC，EB. (1)求证：AD⊥平面BDE； (2)求平面ADE与平面BDC夹角的余弦值． 解：(1) 取AE的中点O，连接DO， 因为DA＝DE，所以DO⊥AE， 又平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE， 所以DO⊥平面ABCE，过E作直线EF∥DO. 以E为原点，EA，EB，EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 因为AD＝DE＝2，∠ADE＝90°， 所以AE＝BE＝2， 则E(0，0，0)，A，B，D，C， 易知＝＝＝. 因为＝＋0×＋＝×0＋0×2×0＝0， 所以⊥⊥，即AD⊥BD，AD⊥EB， 又BD∩BE＝B，BD，BE⊂平面BDE，所以AD⊥平面BDE. (2)设平面ADE的法向量为n1，易知n1＝(0，1，0)．又＝＝， 设平面BDC的法向量为n2＝(x，y，z)， 则 即 令x＝1，得y＝－1，z＝－3， 所以平面BDC的法向量为n2＝(1，－1，－3)， 所以cos 〈n1，n2〉＝ ＝，所以平面ADE与平面BDC夹角的余弦值为. 【创新探索】 14．(2025·安徽合肥高二期末模拟)球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设Oa表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆Ob，Oc的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC(阴影部分)叫做球面三角形，若设二面角C­OA­B，A­OB­C，B­OC­A分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为S球面△ABC＝(α＋β＋γ－π)R2. (1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积； (2)若将图1中四面体OABC截出得到图2，若平面三角形ABC为直角三角形，AC⊥BC，设∠AOC＝θ1，∠BOC＝θ2，∠AOB＝θ3. ①求证：cos θ1＋cos θ2－cos θ3＝1； ②延长AO与球O交于点D，连接BD，CD，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，λ∈(0，1]，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sin θ的最小值． 解：(1)因为平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直， 所以α＝β＝γ＝， 所以球面三角形ABC的面积S球面△ABC＝(α＋β＋γ－π)R2＝R2. (2)①证明：由余弦定理可得： 且AC2＋BC2＝AB2， 所以4R2－2R2(cos θ1＋cos θ2)＝2R2－2R2cos θ3， 即2R2－2R2(cos θ1＋cos θ2)＝－2R2cos θ3， 消去2R2，则有1－(cos θ1＋cos θ2)＝－cos θ3， 即cos θ1＋cos θ2－cos θ3＝1. ②由题意可知AD是球的直径，则有AB⊥BD，AC⊥CD， 又AC⊥BC，BC∩CD＝C， 所以AC⊥平面BCD， 又因为BD⊂平面BCD， 所以AC⊥BD， 又因为AC∩AB＝A， 所以BD⊥平面ABC， 因为BC⊂平面ABC，所以BD⊥BC， 又因为直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为， 所以∠DAB＝，∠DCB＝， 不妨令R＝， 则AD＝2，AC＝2， 又因为AC⊥BC，AC⊥BD，BC⊥BD， 以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系： 设BE＝t，t∈， 则A(0，2，0)，C(0，0，0)，B，D， 可得S(0，1，0)，T，E，O， 则＝＝＝＝， 设平面OBC的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则 取z＝－2，则y＝，x＝0， 所以m＝； 设平面EST的一个法向量为n＝(a，b，c)， 则 取a＝t，则b＝t，c＝－1， 所以n＝， 要使sin θ取最小值，则|cos θ|取最大值， 因为|cos θ|＝|cos 〈m，n〉|＝， 令m＝2t＋1，m∈(1，13]， 则t＝， 所以＝2， 当且仅当m＝3，t＝时等号成立， 则， 所以sin θ取最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $