课后分层练(九)　空间中直线、平面的垂直-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(九)]　空间中直线、平面的垂直 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝(　　 ) A．4 B．－4 C．5 D．－5 解析：选D.因为α⊥β，所以a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋2×(－4)＋(－2)·k＝0，所以k＝－5. 2．已知直线l1的方向向量a＝(1，2，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，则m＝(　　 ) A．1 B．2 C． D．3 解析：选B.由于l1⊥l2，所以a⊥b，故a·b＝－2＋6－2m＝0，即m＝2. 3．已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　 ) A．(1，0，－2) B．(1，0，2) C．(－1，0，2) D．(2，0，－1) 解析：选C.由题意知，＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(x，－1，z)． 因为PA⊥平面ABC， 所以 解得 故点P的坐标为(－1，0，2)． 4．(多选)在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是(　　 ) A．⊥ B．⊥ C．⊥ D．⊥ 解析：选ABC.由题意知PA⊥平面ABCD， 所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确； 又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故⊥，C选项正确；D选项不一定成立． 5．(多选)已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则能使l⊥α的是(　　 ) A．m＝(1，2，1)，n＝(1，0，1) B．m＝(0，1，0)，n＝(0，3，0) C．m＝(1，－2，1)，n＝ D．m＝(1，－2，3)，n＝(－2，2，2) 解析：选BC.因为直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，要使l⊥α，只需m∥n. 对于A，m＝(1，2，1)，n＝(1，0，1)，因为≠≠，所以m，n不平行，故A错误； 对于B，m＝(0，1，0)，n＝(0，3，0)，因为m＝，所以m∥n，故B正确； 对于C，m＝(1，－2，1)，n＝，因为m＝－2n，所以m∥n，故C正确； 对于D，m＝(1，－2，3)，n＝(－2，2，2)，因为≠≠，所以m，n不平行，故D错误． 6．设直线l的方向向量u＝(－2，2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6，12)，若直线l⊥平面α，则实数t＝________． 解析：由题意知u∥v，所以.解得t＝－4. 答案：－4 7． 如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是_________． 解析： 以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 依题意可得，D(0，0，0)，P，A，M，所以＝－＝＝－＝ 所以＝·＝0，所以PM⊥AM. 答案：PM⊥AM 8． 在四面体A­BCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点．则平面BEF与平面ABC是否垂直？________．(填“是”或“否”) 解析： 建立如图所示空间直角坐标系Bxyz，取A(0，0，a)，则易得B(0，0，0)，C，D，E，F， 则有＝， ＝(0，0，a)，＝. 因为＝0， 所以EF⊥AB，EF⊥BC. 又因为AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以EF⊥平面ABC. 又因为EF⊂平面BEF， 所以平面ABC⊥平面BEF. 答案：是 9．在棱长为a的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E. 证明： 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，C1(0，a，a)． 设AE＝BF＝x，则E(a，x，0)，F(a－x，a，0)． ∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)． ∵＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0， ∴⊥，即A1F⊥C1E. 【综合运用】 10．(多选)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AB，CC1，A1D1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是(　　 ) A．A1E⊥AC1 B．BF∥平面ADD1A1 C．BF⊥DG D．A1E∥CH 解析：选BCD. 设正方体的棱长为1，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，E，C(0，1，0)，F，C1(0，1，1)，H，G，A(1，0，0)，B(1，1，0)，所以＝＝(－1，1，1)，＝＝＝， 因为≠0，所以A1E与AC1不垂直，故A错误； 易知平面ADD1A1的一个法向量为v＝(0，1，0)，因为·v＝0，所以BF∥平面ADD1A1，故B正确； 因为＝0，所以BF⊥DG，故C正确； 因为，所以A1E∥CH，故D正确． 11． (2025·潍坊一中月考)如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在线段BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________. 解析： 如图，建立空间直角坐标系，则D(0，a，0)． 设Q(1，x，0)(0≤x≤a)，P(0，0，z)，则＝(1，x，－z)，＝(－1，a－x，0)． 由PQ⊥QD，得－1＋x(a－x)＝0，即x2－ax＋1＝0. 由题意知关于x的方程x2－ax＋1＝0只有一解， 所以Δ＝a2－4＝0，解得a＝2，这时x＝1，x∈[0，2]. 答案：2 12． 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________. 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，0，3a)，C，D. 设E(0≤z≤3a)，则＝＝＝. 又＝2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a.故AE＝a或2a. 答案：a或2a 13． 如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证： (1)PB∥平面EFH； (2)PD⊥平面AHF. 证明：(1)因为E，H分别是线段AP，AB的中点，所以PB∥EH. 因为PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，所以PB∥平面EFH. (2) 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，H(1，0，0)．＝(0，2，－2)，＝(1，0，0)，＝(0，1，1)， 所以＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0， ＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0. 所以⊥⊥，所以PD⊥AF，PD⊥AH. 因为AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF，所以PD⊥平面AHF. 14．在直三棱柱A1B1C1­ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1. 已知G，E分别为A1B1和CC1的中点，D，F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点). 若GD⊥EF，求线段DF长度的取值范围． 解： 建立如图所示的空间直角坐标系， 则E，设F(x，0，0)，D(0，y，0)且x，y∈(0，1)， 则，由于GD⊥EF， 所以＝0，即x＋2y－1＝0，x＝1－2y， 所以＝， 又因为x，y∈(0，1)，所以1－2y∈(0，1)，得y∈， 所以，即线段DF长度的取值范围为[). 【创新探索】 15． 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝，BC＝4.设点E在棱PC上，，若DE∥平面PAB，则λ＝________． 解析： 如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B，D(0，0，0)，C. 设PD＝a，则P(0，0，a)，＝(0，0，a)，＝(1，0，－a)，. 因为，所以＝＝(0，0，a)＋＝. 设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量， 则即 令z＝1，得x＝a，所以n＝(a，0，1)． 因为DE∥平面PAB，所以·n＝0， 所以－3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0. 因为a≠0，所以λ＝. 答案： 16． 如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB. 解：(1) 证明：易知PD，DA，DC两两垂直，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图． 设AD＝a，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F， 所以＝(0，a，0)，所以＝0，所以⊥，即EF⊥CD. (2)设G(x，0，z)，则＝＝(a，0，0)，＝(0，－a，a)， 若使GF⊥平面PCB，则需＝0且＝0， 由＝·(a，0，0)＝a＝0，解得x＝， 由＝·(0，－a，a)＝＝0，解得z＝0， 因为CB，CP为平面PCB内两条相交直线，故GF⊥平面PCB， 所以点G的坐标为，即G为AD的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $