课后分层练(六)　空间向量运算的坐标表示-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(六)]　空间向量运算的坐标表示 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(a，3，b＋2)在同一条直线上，那么(　　 ) A．a＝3，b＝－3 B．a＝6，b＝－1 C．a＝3，b＝2 D．a＝－2，b＝1 解析：选C.根据题意＝(1，－1，3)，＝(a－1，－2，b＋4)， 因为与共线，所以， 所以(a－1，－2，b＋4)＝(λ，－λ，3λ)， 所以解得 2．在空间直角坐标系中，若点A的坐标是(1，－2，11)，点B的坐标是(4，2，3)，点C的坐标是(6，－1，4)，则△ABC一定是(　　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C.因为＝(3，4，－8)，＝(5，1，－7)，＝(2，－3，1)，所以2＝32＋42＋(－8)2＝89，2＝52＋1＋(－7)2＝75，2＝＋1＝14，所以2＝2，所以△ABC一定是直角三角形． 3．如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为(　　 ) A．3 B． C．2 D． 解析：选B.由题意可建立以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系(图略)，则E(0，0，6)，B(6，6，0)，M(6，0，4)，O(3，3，3)， 所以＝，即线段OM的长为. 4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是(　　 ) A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直 C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行 解析：选D.设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，M，N， 所以＝＝(0，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，0)，＝(0，1，0)， 所以＝0，所以MN⊥CC1，选项A正确，不符合题意；＝0，所以MN⊥AC，选项B正确，不符合题意；易知，且M，N∉BD，所以MN∥BD，选项C正确，不符合题意；设，得无解，所以MN与A1B1不平行，选项D错误，符合题意． 5．(多选)已知空间向量m＝(－1，2，5)，n＝(2，－4，x)，则下列选项中正确的是(　　 ) A．当m⊥n时，x＝2 B．当m∥n时，x＝－10 C．当|m＋n|＝时，x＝－4 D．当x＝时，cos 〈m，n〉＝ 解析：选ABD.因为m⊥n，m＝(－1，2，5)，n＝(2，－4，x)，所以m·n＝(－1)×2＋2×(－4)＋5x＝－10＋5x＝0，解得x＝2，故A正确；因为m∥n，所以存在λ∈R，使得m＝λn，则(－1，2，5)＝λ(2，－4，x)＝(2λ，－4λ，λx)，即解得故B正确； 因为m＋n＝(－1＋2，2－4，5＋x)＝(1，－2，5＋x)，所以|m＋n|＝＝＝，解得x＝－5，故C错误；因为x＝，则m＝(－1，2，5)，n＝(2，－4，)，所以cos 〈m，n〉＝＝＝，故D正确． 6．(多选)若向量a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，则(　　 ) A．a·b＝－2 B．|a|＝|b| C．cos 〈a，b〉＝ D．(a＋b)⊥(a－b) 解析：选ABD.因为a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，所以A中等式成立； 因为|a|＝，|b|＝，所以|a|＝|b|，故B中等式成立； 因为cos 〈a，b〉＝＝－，所以C中等式不成立； 因为a＋b＝(－1，2，1)，a－b＝(3，2，－1)，所以(a＋b)·(a－b)＝－3＋4－1＝0，即(a＋b)⊥(a－b)，故D中关系成立． 7．已知向量a＝(1，－2，1)，b＝(3，0，5)，则a·b＝________. 解析：a·b＝(1，－2，1)·(3，0，5)＝3－0＋5＝8. 答案：8 8．若a＝(2，3，－1)，b＝(－2，1，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________. 解析：a·b＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，|a|＝，|b|＝，所以cos 〈a，b〉＝＝－， 所以sin 〈a，b〉＝，因此以a，b为邻边的平行四边形的面积为|a||b|sin 〈a，b〉＝××＝6. 答案：6 9．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H是C1G的中点． (1)求证：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值； (3)求FH的长． 解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz， 则B1(1，1，1)，C(0，1，0)，E，F，G，C1(0，1，1)，H. (1)＝＝(－1，0，－1)，所以＝·(－1，0，－1)＝0，所以EF⊥B1C. (2)因为＝， 所以＝·＝， ＝， ＝， 所以cos 〈〉＝， 所以EF与C1G所成角的余弦值是. (3)因为＝，所以＝，所以FH的长为. 【综合运用】 10．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，若＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论正确的有(　　 ) A．＝6 B．AP⊥AD C．∥ D．＝ 解析：选BD.由＝(4，2，0)知，＝≠6，A错误； ＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，所以＝－4＋4＋0＝0，所以⊥，即AP⊥AD，B正确； 易知＝(2，3，4)，若∥，则存在实数λ，使得，即此方程组无解，故不平行于，C错误； ＝(4，2，0)，＝(2，－1，－4)，所以＝(6，1，－4)，所以＝，D正确． 11．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·2b＝－2，则x的值为(　　 ) A．2 B．－2 C．0 D．1 解析：选A.因为c－a＝(1，1，1)－(1，1，x)＝(0，0，1－x)，2b＝2(1，2，1)＝(2，4，2)， 所以(c－a)·2b＝2－2x＝－2，所以x＝2. 12．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________． 解析：由题意，得a，b的夹角不可能为180°，a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4.设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝<0.又因为|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，即实数x的取值范围是(－∞，－2). 答案：(－∞，－2) 13．已知向量a＝(1，2，－2)，b＝(4，－2，4)，c＝(3，m，n). (1)求a－b； (2)若a∥c，求m，n； (3)求cos 〈a，b〉． 解：(1)因为a＝(1，2，－2)，b＝(4，－2，4)， 所以a－b＝(1，2，－2)－(4，－2，4)＝(－3，4，－6). (2)因为a＝(1，2，－2)，c＝(3，m，n)， 若a∥c，则＝＝，解得m＝6，n＝－6. (3)因为a＝(1，2，－2)，b＝(4，－2，4)， 所以a·b＝1×4＋2×(－2)＋(－2)×4＝－8，|a|＝＝3，|b|＝＝6， 故cos 〈a，b〉＝＝＝－. 【创新探索】 14．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，求当△MAD1的面积最小时，棱CC1的长． 解：如图所示，建立空间直角坐标系，D(0，0，0)， 设M(0，1，t)，D1(0，0，z)，A，z≥t≥0，z≠0，＝(0，－1，z－t)，＝， 因为⊥，所以＝－1＋t(z－t)＝0，即z－t＝， 则＝ ＝，当且仅当t＝时取等号， 所以当△MAD1的面积最小时，CC1＝z＝. 学科网（北京）股份有限公司 $