课后分层练(五)　空间直角坐标系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(五)]　空间直角坐标系 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．点A(－2，3，－4)关于坐标平面Oxz对称点A′的坐标为(　　 ) A．(－2，－3，－4) B．(2，－3，4) C．(－2，－3，4) D．(2，3，－4) 解析：选A.点A的坐标中横、竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数即得A′的坐标为(－2，－3，－4). 2．已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是(　　 ) A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定 解析：选A.由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1)． 3．如图，在长方体OABC­O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为(　　 ) A．(3，5，4) B． C． D． 解析：选C.由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是，5，4，故点P的坐标是. 4．已知＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为(　　 ) A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，10，12) D．(4，2，3) 解析：选A.＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12，14，10)． 5．已知点B的坐标是(－1，2，1)，则＝(　　 ) A． B．6 C． D．5 解析：选A.由B点坐标是(－1，2，1)，得＝－i＋2j＋k，故2＝1＋4＋1＝6，故＝. 6．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过点P作平面Oyz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为________． 解析：由于垂足在平面Oyz上，所以纵坐标、竖坐标不变，横坐标为0. 答案：(0，，) 7．已知点A的坐标为(－1，3，0)，点B的坐标为(0，1，1)，则cos 〈〉＝________． 解析：由题设知＝(－1，3，0)＝－i＋3j，＝(0，1，1)＝j＋k， 故＝＝＝(－i＋3j)·(j＋k)＝3， 所以cos 〈〉＝. 答案： 8．已知三棱锥P­ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的坐标系Bxyz，则向量的坐标为________． 解析：＋＝. 答案： 9．已知ABCD­A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出的坐标． 解：＝2i＋2j＋2k＝(2，2，2)， ×2k＝2i＋2j＋k＝(2，2，1)， ×2j＝j＝(0，1，0)． 【综合运用】 10．(2025·四川资阳高二期末)如图，棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则|PE|＋|PF|的最小值为(　　 ) A．3 B． C．1＋ D． 解析：选D.作F关于平面BCC1B1的对称点F′，连接EF′交平面BCC1B1于点P0. 可以证明此时的P0使得|PE|＋|PF|最小，任取P1(不含P0)，此时P1E＋P1F＝P1E＋P1F′>EF′. 在点D处建立如图所示空间直角坐标系， 则D1(0，0，3)，B(3，3，0)，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以E(1，1，2)，F(2，2，1)， 又点F距平面BCC1B1的距离为1，所以F′(2，4，1)， |PE|＋|PF|的最小值为||＝＝. 11．(多选)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　 ) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 解析：选ACD.根据题意知，点B1的坐标为(4，5，3)，选项A正确； B的坐标为(4，5，0)，C1的坐标为(0，5，3)， 故点C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，选项B错误； 在长方体中AD1＝BC1＝＝5＝AB， 所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分， 即点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，选项C正确； 点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，选项D正确． 12．已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是(　　 ) A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定 解析：选D.由＝－i＋j－k只能确定向量＝(－1，1，－1)，而向量的起点A的坐标未知，故终点B的坐标不确定． 13．(2025·湖北武汉高二期末)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为棱B1C1上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围________． 解析：设(0≤λ≤1)． 因为， 所以＝·×cos 45°＋λ×1××cos 45°＝1＋λ. 所以向量在向量方向上的投影数量为，其取值范围为[，]. 答案：[，] 14．已知在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标． 解：如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． ∵三棱柱各棱长均为1， ∴OA＝OC＝O1A1＝O1C1＝，OB＝. ∵A，B，C均在坐标轴上， ∴A，B，C. ∵点A1与C1在平面Oyz内， ∴A1. ∵点B1在平面Oxy内的射影为B，且BB1＝1， ∴B1， 即该三棱锥各顶点的坐标为A，B，C，A1，B1，C1. 【创新探索】 15．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，平行六面体高为2，顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点，设△AB1D1的重心为G，建立适当的空间直角坐标系并写出点A1，B1，A，D1，G，B的坐标. 解：如图，以O为坐标原点，分别以OC1、OD所在直线为y，z轴，以过点O作B1C1的平行线为x轴建立空间直角坐标系. 点A1(x，y，z)在平面xOy上，则z＝0， 由图可知它到y轴投影为点D1，对应数值为－2，则y＝－2， 到x轴投影对应数值为2，则x＝2，即A1(2，－2，0)； 同理得B1(2，2，0)，A(2，0，2)，D1(0，－2，0)，B(2，4，2)， 故由三角形重心坐标公式(，，)，得G(，0，). 学科网（北京）股份有限公司 $