1.3.1 空间直角坐标系-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 新课导入 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式， 对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法……”我们应如何理解吴文俊先生的这段话？如何刻画点在直线上、平面内、空间内的位置？本节课我们就来研究这个问题. 学习目标 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置. 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 新知学习 探究 一 空间直角坐标系及点的坐标 思考1．利用单位正交基底是如何建立平面直角坐标系的？ 提示：选定一点 和一个单位正交基底{，，以 为原点，分别以，的方向为正方向，以它们的长度为单位长度作为 轴、轴，就建立了平面直角坐标系. 思考2．在平面直角坐标系中，如何定义向量的坐标及点的坐标的呢？ 提示：在单位正交基底{，}下，若向量，那么向量 的坐标为，点 的坐标为. ［知识梳理］ 1．空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底｛,,｝.以点为原点，分别以,,的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：①_ _ _ _ _ _ 、②_ _ _ _ _ _ 、③_ _ _ _ _ _ ，它们都叫做坐标轴.这时我们建立了一个空间直角坐标系叫做原点，,,都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为④_ _ _ _ _ _ 平面，⑤_ _ _ _ _ _ 平面，⑥_ _ _ _ _ _ 平面，它们把空间分成八个部分. 【答案】 轴； 轴； 轴； ； ； 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向⑦_ _ _ _ _ _ _ _ 的正方向，食指指向⑧_ _ _ _ _ _ 的正方向，如果中指指向⑨_ _ _ _ _ _ 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 【答案】 轴； 轴； 轴 3.点的坐标 在单位正交基底{，，}下与向量对应的有序实数组，叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标. ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定是的形式.（ ） （2） 空间直角坐标系中，在坐标平面内的点的坐标一定是的形式.（ ） （3） 点位于平面内.（ ） （4） 空间直角坐标系中，点到坐标平面的距离为3.（ ） 【答案】（1） × （2） × （3） √ （4） √ 2．点在坐标平面内的射影的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.点 在坐标平面 内的射影即由 作平面 的垂线，垂足的坐标为. 3．已知在长方体中，，，点是的中点，点是的中点，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点，，的坐标. 解：由于 为坐标原点，所以， 因为，，则，，，， 因为点 是 的中点，点 是 的中点，所以，. （1）建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性. （2）求某点的坐标的方法：作垂直于平面，垂足为，求的横坐标，纵坐标，即点的横坐标，纵坐标，再求点在轴上射影的竖坐标，即为点的竖坐标，于是得到点的坐标. 二 空间向量的坐标表示 思考．同学们还记得相等向量吗？任给一个空间向量能用过原点的向量表示吗？ 提示：相等向量是大小相等、方向相同的向量，任何向量都可以平移到以坐标原点 为起点，所以任给一个空间向量可以用过原点的向量表示. ［知识梳理］ 在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使. 有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. ［例1］ （对接教材例1）已知在直三棱柱中， ，，建立如图所示的空间直角坐标系，求向量,,的坐标. 【解】 由题意可设,,,,,. 用坐标表示空间向量的步骤 ［跟踪训练1］．如图，垂直于正方形所在的平面，，分别是，的中点，且，试建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标. 解：因为， 平面，，所以以，，｝为单位正交基底，建立空间直角坐标系如图所示. 设,,, 因为,,，，.（答案不唯一，建立空间直角坐标系不同，答案不同） 三 空间中点的对称问题 ［例2］ 在空间直角坐标系中，已知点，求： （1） 点关于各坐标平面对称的点的坐标； （2） 点关于各坐标轴对称的点的坐标； （3） 点关于坐标原点对称的点的坐标. 【答案】（1） 【解】设点 关于 坐标平面的对称点为，则点 在 轴上的坐标及在 轴上的坐标与点 的坐标相同，而点 在 轴上的坐标与点 在 轴上的坐标互为相反数.所以，点 关于 坐标平面的对称点 的坐标为.同理，点 关于，坐标平面的对称点的坐标分别为，. （2） 设点 关于 轴的对称点为，则点 在 轴上的坐标与点 的坐标相同，而点 在 轴上的坐标及在 轴上的坐标与点 在 轴上的坐标及在 轴上的坐标互为相反数.所以，点 关于 轴的对称点 的坐标为. 同理，点 关于 轴、轴的对称点的坐标分别为，. （3） 点 关于坐标原点对称的点的坐标为. 求解空间中点的对称问题的策略 （1）空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解. （2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论. ［跟踪训练2］． （1） 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4 （2） 在空间直角坐标系中，已知点在平面上的射影为，在平面上的射影为，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.依题意，点 关于坐标平面 的对称点为，也就是，所以，，.即. （2） 因为点 在平面 上的射影为，在平面 上的射影为，所以. 课堂巩固 自测 1．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题意，在空间直角坐标系 中，与点 关于 平面对称的点的横、纵坐标不变，竖坐标变为相反数，即为. 2．在空间直角坐标系中，点到坐标平面和的距离分别为（ ） A. 3，4 B. 4，7 C. 3，7 D. 5，7 【答案】C 【解析】选.因为 轴 平面，轴 平面，所以点 到坐标平面 和 的距离分别为3，7. 3．若点，关于轴对称，则_ _ _ _ . 【答案】2 【解析】因为点，关于 轴对称,所以，，，所以. 4．（教材P18 T3改编）已知是棱长为2的正方体，，分别为和的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出，，的坐标. 解：设，,, 则 ， ， . 1.已学习：空间直角坐标系的概念、空间点的坐标及空间向量的坐标. 2.须贯通：求空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标，要考虑数形结合、类比联想的思想的应用. 3.应注意：混淆空间点的坐标和向量的坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知，，分别是空间直角坐标系中轴、轴、轴的正方向上的单位向量，且，则点的坐标是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】A 【解析】选.由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点 的坐标为. 2．在空间直角坐标系中，已知点，点，则（ ） A. 点和点关于轴对称 B. 点和点关于轴对称 C. 点和点关于轴对称 D. 点和点关于原点中心对称 【答案】B 【解析】选.由题得点 与点 的横坐标与竖坐标互为相反数，纵坐标相同，所以点 和点 关于 轴对称. 3．在空间直角坐标系中，点的坐标为，则到平面的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】选.由题意可知，点 到平面 的距离为该点竖坐标的绝对值，即为3. 4．在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影是点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.点 在坐标平面 内的射影是点，故点 的坐标是. 5．以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为，为坐标原点，所以，, 又因为 为长方体， 所以. 6．（多选）在空间直角坐标系中，已知点，则（ ） A. 在轴上的投影向量的坐标为 B. 在轴上的投影向量的坐标为 C. 在轴上的投影向量的坐标为 D. 点在坐标平面内的射影的坐标为 【答案】ABD 【解析】选.在 轴上的投影向量的坐标为，正确；在 轴上的投影向量的坐标为，正确；在 轴上的投影向量的坐标为，错误；点 在坐标平面 内的射影的坐标为，正确. 7．在空间直角坐标系中，过点作轴的垂线，则垂足与点的中点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】，， 【解析】过点 作 轴的垂线，垂足的坐标为，故所求中点坐标为，，. 8．[（2025·聊城期末）]在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意知，在空间直角坐标系 中， 点 关于平面 的对称点为，又， 所以 解得 所以点 的坐标为. 9．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； 在轴上的投影向量的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； 【解析】根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点 在坐标平面 上的投影坐标的横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变，所以空间向量 在坐标平面 上的投影向量的坐标是；空间中点 在 轴上的投影坐标的横坐标为1，纵坐标与竖坐标均为0，所以空间向量 在 轴上的投影向量的坐标是. 10．（13分）如图所示，在四棱锥中，建立空间直角坐标系，若，，，是的中点，求点的坐标. 解：方法一：设点 在 轴、轴、轴上的射影分别为，，，它们的坐标分别为,,，所以点 的坐标是. 方法二：设，，的单位向量分别为，，，则{，，}为空间的一个基底， . 所以点 的坐标是. B 能力提升 11．（多选）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为1，，的中点分别为，，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】选.在等边三角形 中，，，所以，则，，，，，则，.故，，正确，错误. 12．在空间直角坐标系中，点在平面，平面，平面上的射影分别为，，，则四面体的体积为_ _ _ _ . 【答案】1 【解析】由，可得点 在 平面，平面，平面上的射影分别为，，， 平面，且 是直角三角形，所以. 13．（13分）在单位正交基底{，，}下，已知向量，，求向量在和上的投影向量的坐标. 解：因为， ， 所以，故向量 在 上的投影向量的坐标为，在 上的投影向量的坐标为. 14．（15分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为 ，我们将这种坐标系称为“空间斜 坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜 坐标系”下向量的斜 坐标：，，分别为“斜 坐标系”下三条数轴轴、轴、轴正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜 坐标为，记作. （1） 若，，求的斜 坐标；（5分） （2） 在平行六面体中，，， ，如图，以，，}为基底建立“空间斜 坐标系”.若，且，求.（10分） 【答案】 （1） 解：由，， 知，， 所以， 所以. （2） 设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，， 由题知，， 因为，所以， 由 知,所以, 即, 解得. C 素养拓展 15．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图2所示的空间直角坐标系，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】部分点、线在平面 的射影如图所示，可得点 的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $