课后分层练(三)　空间向量的数量积运算-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(三)]　空间向量的数量积运算 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．(多选)下列结论中不正确的是(　　 ) A．(a·b)·c＝(b·c)·a B．若a·b＝－|a||b|，则a∥b C．若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，则a∥b D．若a2＝b2，则a＝b 解析：选ACD.A，C，D显然不正确．对于B，由a·b＝|a| |b|cos 〈a，b〉得，cos 〈a，b〉＝＝－1.又因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝180°，所以a∥b，B正确． 2．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选B.设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°. 3．(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　 ) A．2 B．2 C．2 D．2 解析：选BC.对于A，2＝2a2cos 120°＝－a2，A错误； 对于B，2＝2a2cos 60°＝a2，B正确； 对于C，2＝a2，C正确； 对于D，2a2，D错误． 4．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　 ) A．12 B．8＋ C．4 D．13 解析：选D.(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|·cos 120°＝2×4－2×5×＝13. 5．(多选)如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是(　　 ) A．与 B．与 C．与 D．与 解析：选BCD.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故＝0；因为AD⊥AB，AD⊥PA，且PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，故AD⊥PB，则＝0；同理可得＝0；而PC与AD所成角为∠PCB，显然不垂直． 6．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________． 解析：因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，所以2a·b＝46，则|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22. 答案：22 7．已知空间三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°.若|ka＋b＋c|>，则k的取值范围为__________． 解析：因为a，b，c的模均为1，它们之间的夹角均为60°，所以a2＝b2＝c2＝1，a·b＝c·b＝a·c＝. 又(ka＋b＋c)2＝k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2c·b＝k2＋2k＋3>6. 所以k2＋2k－3>0，即(k＋3)(k－1)>0⇒k<－3或k>1. 答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞) 8．如图，正四棱锥P­ABCD的各棱长都为a. (1)用向量法证明BD⊥PC； (2)求的值． 解：(1)证明：∵， ∴＝·＝cos 120°＝a2＝0. ∴⊥，∴BD⊥PC. (2)∵， ∴2＝＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，∴＝a. 【综合运用】 9．已知|a|＝4，空间向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则空间向量a在向量e方向上的投影向量的模长为(　　 ) A．2 B．－2 C．－ D． 解析：选A.由题意，|a|＝4，|e|＝1，〈a，e〉＝，则空间向量a在向量e方向上的投影数量为＝4×＝－2，所以所求投影向量的模长为2. 10．(多选)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，AB⊥AD，∠A1AD＝∠A1AB＝60°，P为A1D与AD1的交点，设＝c，则(　　 ) A．＝a＋b－c B．＝－a＋b＋c C．＝ D． 解析：选BD.A：＝a＋b＋c，故A错误； B：＝－a＋b＋c，故B正确； C：a·b＝0，b·c＝|b||c|cos 60°＝，a·c＝|a||c|cos 60°＝， 又， 所以＝，故C错误； D：＝(a＋b＋c)·＝a2＋，故D正确． 11．(数学文化)(2025·湖南长沙期末)《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的鳖臑A­BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC＝90°，BD＝2AB＝2CD＝2，E是BC的中点，H是△ABD内的动点(含边界)，且EH∥平面ACD，则·的取值范围是(　　 ) A．[0，3] B．[，3] C．[，] D．[3，] 解析：选B.设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得FG∥AD，EF∥AC，EG∥CD， 因为FG⊂平面EFG，AD⊄平面EFG，所以AD∥平面EFG， 同理AC∥平面EFG， 又因为AC，AD⊂平面ACD，AC∩AD＝A，所以平面EFG∥平面ACD. 因为EH∥平面ACD，所以H为线段FG上的点． 由AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，得AB⊥CD， 又∠BDC＝90°，则BD⊥CD， 由AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，得CD⊥平面ABD， 因为EG∥CD，所以EG⊥平面ABD，EG⊥FG，cos ∠EFG＝. 因为BD＝2AB＝2CD＝2， 所以FG＝AD＝，BC＝，EF＝AC＝. 所以·＝2＋·cos (π－∠EFG)＝－2cos ∠EFG＝2－2＝3－. 因为，所以∈. 12．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________． 解析：由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0， (a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝＝|b|， 所以cos 〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝60°. 答案：60° 13．已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为△ABC的重心． (1)证明：； (2)若向量的模长均为2，且两两夹角为，求. 解：(1)证明：因为G是△ABC的重心，所以＝0， 则＝0， 即. (2)由(1)得， 所以2＝ ，即＝. 【创新探索】 14．如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为(　　 ) A．8 B．4 C．2 D．1 解析：选D.·＝，∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥，∴＝0，∴＝2＝1，则(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为1. 15．已知球O内切于正四棱锥P­ABCD，PA＝AB＝2，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为(　　 ) A．[0，2] B． C． D． 解析：选A.令H是正四棱锥P­ABCD底面正方形中心，则PH⊥平面ABCD，而AH＝， 则PH＝，正四棱锥P­ABCD的体积V＝， 正四棱锥P­ABCD的表面积S＝4××22＋22＝4， 显然球O的球心O在线段PH上，设球半径为r，则V＝Sr，即r＝， 在△POA中，∠PAO<45°＝∠APO，于是OA>OP，又EF是球O的一条直径， 因此＝·＝， 显然OH≤QO≤AO，则min＝0，max＝AO2－OH2＝AH2＝2， 所以的取值范围为[0，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $