第5章 函数的概念、性质及应用（知识清单）数学沪教版2020必修第一册

第5章 函数的概念、性质及应用 清单01函数的概念 1、函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素： （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 清单02相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。 清单03函数的表示方法 （1）列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法。 （2）解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.这个等式通常叫作函数的解析表达式,简称解析式。 （3）图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 清单04函数解析式的四种求法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 清单05函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数 清单06函数的单调性 1、增函数与减函数 （1）如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称f(x)是区间I上的 增函数 ， 也称f(x)是区间I上 单调递增 ，如图1。 （2）如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称f(x)是区间I上的 减函数 ， 也称f(x)是区间I上 单调递减 ，如图2。 图1 图2 注意：①区间上的自变量的两个值，必须是任意的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值；②有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定。 2、函数的单调区间 如果函数在区间上是 增函数 或 减函数 ，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间． 注意：单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2.。 ②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形。 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论。 ④判断：根据定义域做出结论。 4、与的和与差的单调性（相同区间上）： 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 5、复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 清单07函数的零点 1、对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  2、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 3、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 4、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 清单08二分法求函数零点 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 清单09反函数 1、反函数定义 一般地，对于函数)，设它的定义域为，值域为，如果对中任意一个值，在中总有唯一确定的值与它对应，使,这样得到的。在习惯上，自变量用表示，而函数用表示，所以把它改写为 2、关于反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数与图像关于直线对称；若点在的图像上，则点必在图像上； 3、求反函数的步骤 （1）求反函数的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由解出； （3）改写：在中，将,互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 易错点1抽象函数的定义域理解不到位导致出错 错误：求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域” 注意：在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域 例题1 函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【详解】由于函数的定义域为，则， 所以函数的定义域为， 则函数中， 所以，即的定义域为.故答案为：. 易错点2忽略讨论最高项系数是否为0导致出错 错误：在解不等式问题时漏了考虑最高项系数为0的情况， 注意：在解不等式问题时，需要特别注意最高项系数为0的情况 例题2 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 函数的定义域为，即不等式的解集为 （1）当时，得到，显然不等式的解集为； （2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于0，故解集为不可能． （3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为， 得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得； 综上，的取值范围为 故选：B 易错点3 分段函数不分类讨论致错 错误：在解决分段函数的求值问题时不分类讨论导致出错 注意：解决分段函数求值问题，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数，应看成一个整体才有意义，它的定义域应是各部分x范围的并集，求值时要重视x的取值范围 例题3若函数则方程f(x)＝1的解是(　　) A.或2 B.或3 C.或4 D．±或4 【答案】C 【详解】当－1≤x≤2时，由f(x)＝1得，3－x2＝1， 所以x＝或x＝－(舍去)． 当2＜x≤5时， 由f(x)＝1得，x－3＝1，所以x＝4. 综上，f(x)＝1的解是x＝或x＝4. 易错点4 用换元法求函数值域或解析式时忽略定义域导致出错 错误：忽略函数换元后新元的范围导致最后计算出错 注意：函数问题一定要注意定义域优先原则 例题4 的值域为 【答案】 【详解】设则， ， 故函数的值域为.故答案为： 易错点5 对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念理解错误而致误 错误：函数在某一区间上的单调，则指此区间是相应单调区间的子区间 注意：单调区间是一个整体概念，例如函数的单调减区间是I，指的是函数递减的最大范围是区间I，而 例题5已知函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2，若f(x)在区间(4,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为 . 【答案】[,+∞) 【详解】当a=0时,f(x)=-2x+2在(4,+∞)上单调递减,不满足题意; 当a≠0时,解得a≥.综上,实数a的取值范围为[,+∞). 易错点6 根据函数奇偶性求解析式时忽视“”的范围 错误：题目求得是时的解析式，而解答时直接设 注意：在利用函数的奇偶性求函数解析式时需要注意的取值范围 例题6设为奇函数，且当时，，则当时，= 【答案】 【详解】设，则，，因为奇函数，即，则， 所以，当时，． 易错点7 判断函数奇偶性时忽视定义域导致出错 错误：没有先判断函数的定义域或者导致出错 注意：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数 例题7函数的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】C 【详解】由函数的定义域可得， 则， 由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.故选：C. 易错点8 对函数的零点概念理解错误而致误 错误：在解决函数零点问题时对零点概念的理解出错 注意：零点不是点，而是函数与x轴交点的横坐标，也是方程f(x)=0的根 例题8函数的零点为 . 【答案】5 【分析】令，得解出即可求解. 【详解】令，得，所以，解得或（舍去）. 故答案为：5. 1．函数的零点是 . 【答案】 【分析】令，即可得解. 【详解】由，得，所以， 所以函数的零点是. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的奇偶性为 ． 【答案】既是奇函数又是偶函数 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数化简，再根据奇偶性的定义分析判断. 【详解】由，得，解得， 所以函数定义域为，定义域关于原点对称， 所以， 因为，且， 所以函数既是奇函数又是偶函数. 故答案为：既是奇函数又是偶函数 3．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用换元法，转化为二次函数在给定区间上求值域即可. 【详解】令，则， 可得， 因为函数在上单调递增， 当时，，可得， 所以函数的值域为. 故答案为：. 4．已知，，则 . 【答案】 【分析】先由解析式得到函数定义域，再将两式相乘化简，即可得出结果. 【详解】因为，， 所以要使有意义，只需，即且； 所以，且. 故答案为 5．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】运用函数单调性求最值即可. 【详解】的定义域满足，即.则函数定义域为. 在内单调递减，在也是单调递减， 则在定义域内单调递减，则. 故答案为：． 6．若函数的定义域为，则函数的定义域是 【答案】 【分析】由题意可得，解不等式求出的范围即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，所以， 所以，解得：， 所以函数的定义域是， 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的单调严格增区间为 ． 【答案】和 【分析】首先去绝对值，画出函数的图象，由图象判断函数的增区间. 【详解】， 由图像知，    该函数的单调增区间为和． 故答案为：和 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的定义域为，值域，则的定义域为 ，值域为 ． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的求法列不等式组即可求解新函数定义域，由函数平移变换法则可得新函数值域. 【详解】因为的定义域为， 所以要使有意义，则，所以， 所以的定义域为， 的图象是的图象向左平移所得，所以值域不变，即的值域为． 故答案为：，. 9．已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性可得答案. 【详解】因为为奇函数，所以， 设，则， 则，所以. 故答案为：. 10．若函数是定义在上的偶函数，则 ． 【答案】2 【分析】由函数为偶函数，定义域关于原点对称，求得，代入求解即可． 【详解】因为函数是定义在，上的偶函数， 所以，解得， 所以， 所以． 故答案为：2． 11．（24-25高一上·上海·期末）若函数在上存在零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用判别式列不等式来求得正确答案. 【详解】依题意，函数在上存在零点， 所以， 解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 12．设函数定义域为，对于下列命题： ①令，则函数为偶函数； ②若存在常数，使得对任意的，都有成立，则是的最大值； ③若对于任意的，都有成立，则在上严格递减； ④若函数的图像是一条连续的曲线，且对，有，则函数在区间上不存在零点. 其中，所有真命题的序号为 . 【答案】①③ 【分析】利用函数奇偶性的定义判断命题①；利用函数最大值的定义判断命题②；利用函数单调性的定义判断命题③；结合零点存在定理的理解，判断命题④. 【详解】令，则函数定义域为， ，所以函数为偶函数，命题①正确； 若存在常数，使得对任意的，都有成立，若是的最大值，还需要，，命题②错误； 若对于任意的，都有成立， 则任意的，有，都有，即， 所以在上严格递减，命题③正确； 若函数的图像是一条连续的曲线，且对，有，则函数在区间上可能存在零点， 如函数，满足，函数区间上有零点0，命题④错误. 故答案为：①③ 13．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，然后再利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 又的单调递增区间为， 在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故选：B. 14．（23-24高一上·上海金山·月考）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为时，，所以利用即可求解. 【详解】设，则，则. 故选:C. 15．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 【答案】(1)不是奇函数也不是偶函数 (2)偶函数 (3)奇函数 【分析】根据奇偶性的定义逐一判断即可 【详解】（1）因为 所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以不是奇函数也不是偶函数； （2）函数的定义域为，关于原点对称． 又∵，∴是偶函数． （3）当时，，则， 当时，，则． 综上，对，都有． ∴为奇函数. 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数 (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若时函数值等于，求a的取值集合． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）直接根据函数解析式得出函数性质，作图即可. （2）根据分段函数性质对分类讨论，列出方程即可求解. 【详解】（1）函数的图象如下图所示： （2）当时，，可得：； 当时，，可得：； 当时，，可得； 综上所述，a的取值构成集合为. 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是一次函数，且，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式； （4）已知，求的表达式． 【答案】（1）或；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用待定系数法即可得到答案； （2）（3）利用换元法即可求解. （4）利用方程组法即可得到答案； 【详解】（1）设． ∵， ，解得或， ∴或． （2）令则． ∵， ∴． （3）令，，则，即． ∵， ∴， ∴． （4）∵，① ∴．② 得， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数的概念、性质及应用 清单01函数的概念 1、函数的概念：一般地，设是非空的 ，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的 ，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素： （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的 ； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 清单02相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的 和 完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为 。分段函数的定义域是各段定义域的 ，值域是各段值域的 。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。 清单03函数的表示方法 （1）列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为 。 （2）解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为 .这个等式通常叫作函数的解析表达式,简称解析式。 （3）图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 清单04函数解析式的四种求法 1、 ：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 2、 ：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。 3、 ：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、 ：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 清单05函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是 关于 对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是 关于 对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有 的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有 的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有 的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值 ，取最值时的自变量也互为相反数 清单06函数的单调性 1、增函数与减函数 （1）如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称f(x)是区间I上的 ， 也称f(x)是区间I上 ，如图1。 （2）如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称f(x)是区间I上的 ， 也称f(x)是区间I上 ，如图2。 图1 图2 注意：①区间上的自变量的两个值，必须是任意的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值；②有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定。 2、函数的单调区间 如果函数在区间上是 或 ，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间． 注意：单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、定义法证明函数单调性的步骤 ① ：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2.。 ② ：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形。 ③ ：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论。 ④ ：根据定义域做出结论。 4、与的和与差的单调性（相同区间上）： 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 5、复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性 ，则y＝f[g(x)]为 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性 ，则y＝f[g(x)]为 ．简称“ ”． 清单07函数的零点 1、对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的 . 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与 的公共点的横坐标.  2、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内 ，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 3、函数零点的求法 ① ：根据零点定义，求出方程的实数解; ② ：作出函数图象，利用函数性质求解 4、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与 的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的 ； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 清单08二分法求函数零点 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步 ，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 清单09反函数 1、反函数定义 一般地，对于函数)，设它的定义域为，值域为，如果对中任意一个值，在中总有唯一确定的值与它对应，使,这样得到的 在习惯上，自变量用表示，而函数用表示，所以把它改写为 2、关于反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的 和 ， （2）互为反函数的两个函数与图像关于 对称；若点在的图像上，则点必在图像上； 3、求反函数的步骤 （1）求反函数的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由解出； （3）改写：在中，将,互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 易错点1抽象函数的定义域理解不到位导致出错 错误：求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域” 注意：在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域 例题1 函数的定义域为，则的定义域为 . 易错点2忽略讨论最高项系数是否为0导致出错 错误：在解不等式问题时漏了考虑最高项系数为0的情况， 注意：在解不等式问题时，需要特别注意最高项系数为0的情况 例题2 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 易错点3 分段函数不分类讨论致错 错误：在解决分段函数的求值问题时不分类讨论导致出错 注意：解决分段函数求值问题，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数，应看成一个整体才有意义，它的定义域应是各部分x范围的并集，求值时要重视x的取值范围 例题3若函数则方程f(x)＝1的解是(　　) A.或2 B.或3 C.或4 D．±或4 易错点4 用换元法求函数值域或解析式时忽略定义域导致出错 错误：忽略函数换元后新元的范围导致最后计算出错 注意：函数问题一定要注意定义域优先原则 例题4 的值域为 易错点5 对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念理解错误而致误 错误：函数在某一区间上的单调，则指此区间是相应单调区间的子区间 注意：单调区间是一个整体概念，例如函数的单调减区间是I，指的是函数递减的最大范围是区间I，而 例题5已知函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2，若f(x)在区间(4,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为 . 易错点6 根据函数奇偶性求解析式时忽视“”的范围 错误：题目求得是时的解析式，而解答时直接设 注意：在利用函数的奇偶性求函数解析式时需要注意的取值范围 例题6设为奇函数，且当时，，则当时，= 易错点7 判断函数奇偶性时忽视定义域导致出错 错误：没有先判断函数的定义域或者导致出错 注意：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数 例题7函数的奇偶性为（ ） A． 奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 易错点8 对函数的零点概念理解错误而致误 错误：在解决函数零点问题时对零点概念的理解出错 注意：零点不是点，而是函数与x轴交点的横坐标，也是方程f(x)=0的根 例题8函数的零点为 . 1．函数的零点是 . 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的奇偶性为 ． 3．函数的值域为 ． 4．已知，，则 . 5．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ． 6．若函数的定义域为，则函数的定义域是 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的单调严格增区间为 ． 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的定义域为，值域，则的定义域为 ，值域为 ． 9．已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是 . 10．若函数是定义在上的偶函数，则 ． 11．（24-25高一上·上海·期末）若函数在上存在零点，则实数的取值范围是 ． 12．设函数定义域为，对于下列命题： ①令，则函数为偶函数； ②若存在常数，使得对任意的，都有成立，则是的最大值； ③若对于任意的，都有成立，则在上严格递减； ④若函数的图像是一条连续的曲线，且对，有，则函数在区间上不存在零点. 其中，所有真命题的序号为 . 13．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·上海金山·月考）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数 (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若时函数值等于，求a的取值集合． 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是一次函数，且，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式； （4）已知，求的表达式． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $