2 4.2　超几何分布-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

4.2　超几何分布 学习目标 1.通过具体实例，了解超几何分布的概念及特征，掌握超几何分布的均值的计算，培养数学抽象、数学运算的核心素养.　2.了解二项分布与超几何分布的区别与联系，会用超几何分布解决一些简单的实际问题，培养学生数学建模、数学运算的核心素养. 任务一　超几何分布 问题1.已知4件产品中有2件次品，从中任取2件，记取出次品件数为X.试问： (1)取出的次品数X服从二项分布吗？ (2)你能写出X的分布列吗？ 提示：(1)X不服从二项分布. (2)随机变量X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 故X的分布列为P(X＝k)＝(k＝0，1，2). 超几何分布：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布. [微提醒]　(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”.(2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型. 角度1　超几何分布的判断 (多选题)下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　) A.抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X B.有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X C.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 D.在10道数学题中有6道选择题和4道非选择题，任意取出4道，记取到的选择题数X 答案：CD 解析：A、B是独立重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故A、B不符合题意；C、D符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布，故选CD. 角度2　超几何分布的概率与分布列 (链教材P217例4)某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数.求X的分布列. 解：依题意知，随机变量X服从超几何分布， 所以P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4). 所以P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P [变式探究] 1.(变设问)本例中，求所选出4人中至少1位男生的概率. 解：法一：所选出4人中至少1位男生的概率为P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＋＝. 法二：所选出4人中至少1位男生的概率为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝. 2.(变条件)如果把本例中的条件“从中选出4人参加数学竞赛考试”改为“从中选出5人参加数学竞赛考试”，求X的分布列. 解：由题意得P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)， 所以P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝； P(X＝4)＝＝；P(X＝5)＝＝. 故X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 学生用书⬇第171页 1.判断一个随机变量是否服从超几何分布的依据 (1)总体是否可分为两类明确的对象(多类对象可转化为两类对象). (2)是否为不放回抽样. (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 2.求超几何分布的分布列的步骤 对点练1.(1)下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　) A.将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X B.某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X C.从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为X D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X 答案：C 解析：对于A，将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布，故A不满足；对于B，某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X，则X服从两点分布，故B不满足；对于C，从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布，故C满足；对于D，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X，则X不服从超几何分布，故D不满足.故选C. (2)端午节赛龙舟是我国的传统习俗，某地一共有8支龙舟队伍，其中专业队2支，业余队6支，从中随机取出3支队伍. ①求既有专业队又有业余队的概率； ②设X表示取到业余队的个数，求随机变量X的分布列. 解：①依题意，既有专业队又有业余队的概率为＝. ②X的可能取值为1，2，3， 则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 任务二　超几何分布的均值 问题2.我们已经知道，若随机变量X～B(n，p)，则其均值EX＝np，方差DX＝np(1－p)，用起来非常方便，同样，随机变量X服从超几何分布，猜想一下有没有类似的结论呢？ 提示：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E()＝p，即EX＝np. 超几何分布的均值：一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝. 超几何分布的方差公式推导起来繁琐，且不太好记忆，课标不再作要求，只需利用方差的定义求解即可. (链教材P218练习T2)学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用X表示抽取的志愿者中女生的人数. (1)求抽取的2人恰有1个女生的概率； (2)请写出随机变量X的分布列、均值EX与方差DX. 解：(1)依题意知，抽取的2人恰有1个女生的概率P＝＝. (2)由题意可知X的可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故EX＝0×＋1×＋2×＝(也可直接用EX＝＝＝). DX＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝. 1.求解超几何分布的分布列与均值 (1)验证随机变量服从超几何分布，代入公式计算随机变量取值的概率. (2)求分布列，计算随机变量的均值. 2.若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则EX＝或用均值的定义求解亦可. 对点练2.某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个. (1)求该学生能通过自主招生初试的概率； (2)若该学生答对的题数为X，求X的分布列以及均值. 解：(1)该学生通过自主招生初试的概率P＝＋＝. (2)该学生答对题的数量X的可能取值为2，3，4， 则P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 所以X的分布列为 X 2 3 4 P EX＝2×＋3×＋4×＝(或EX＝＝＝). 学生用书⬇第172页 任务三　超几何分布的简单应用 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.聊天机器人棋型的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90％，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为50％. (1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和均值； (2)设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为80％，求p的值. 解：(1)由题可知ξ的所有取值为2，3，4，且ξ服从超几何分布， P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝，P(ξ＝4)＝＝＝， 故ξ的分布列为 ξ 2 3 4 P 则Eξ＝2×＋3×＋4×＝. (2)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采纳”为事件C， 由已知得，P(C)＝0.8，P(C｜A)＝0.9，P(C｜B)＝0.5，P(B)＝p，P(A)＝1－p， 所以由全概率公式得P(C)＝P(A)·P(C｜A)＋P(B)·P(C｜B)＝0.9(1－p)＋0.5p＝0.9－0.4p＝0.8， 解得p＝0.25. 解决超几何分布应用问题的步骤 第一步：将现实生活问题转化为数学问题； 第二步：判断问题是否符合超几何分布模型； 第三步：根据超几何分布的有关知识求解. 对点练3.(2025·河南信阳期末)袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. (1)若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为X，求X的分布列和均值； (2)若从袋中不放回地取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，求在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率. 解：(1)由题意得，X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＝1. (2)设事件A＝“最后得分为8分”，事件B＝“恰取到一个红球”. 由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球1个红球或1个黑球2个红球， 所以P(A)＝＝，P(AB)＝＝， 所以P(B｜A)＝＝＝. 任务再现 1.超几何分布的概念及均值.2.超几何分布的简单应用(利用超几何分布求概率) 方法提炼 公式法、类比法 易错警示 超几何分布模型的判断及概率的计算 1.一批零件共有10个，其中有3个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意知，恰有1个不合格品的概率为P＝＝.故选C. 2.设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则抽得次品数的期望为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：法一：设抽得次品数为X，则随机变量X的可能取值有0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以EX＝0×＋1×＋2×＝.故选D. 法二：EX＝＝＝.故选D. 3.(2025·河北石家庄期中)有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有7个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，一次性从中摸出6个球，至少摸到2个白球就中奖，则中奖的概率为　　　　. 答案： 解析：记中奖为事件A，则P(A)＝＝，所以中奖的概率为. 4.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.则该商家拒收这批产品的概率是　　　　. 答案： 解析：由题意知，这20件产品中有20－3＝17件合格品，所以该商家接收这批产品的概率为P＝＝＝，故商家拒收这批产品的概率为1－P＝1－＝. 学科网（北京）股份有限公司 $