4 4.3　第2课时　空间中的距离问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第2课时空间中的距离问题 学1.能用向量方法解決点到直线、点到平面、相互平行的直线、相 习互平行的平面间的距离问题，培养直观想象、数学运算的核心素 目养.2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问 标题中的作用，提升数学运算、逻辑推理的核心素养 任务一点到平面的距离 ？问题导思 问题1.如图，设点P是平面a外一点，点A是平面a内的已知点，o 是平面α的单位法向量.如何求平面a外一点P到平面α的距离？ 提示：如图所示，过点P作PP'⊥平面a,垂足为点P',则线段PP的 长度就是点P到平面a的距离，而P户∥o,所以向量PA在法向量o 方向上的投影向量的长度PA就等于线段PP'的长度 新知构建 点P到平面a的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量 PA,在平面α的单位法向量o方向上所作投影向量的长度，即d= PA-no. [微思考]当直线与平面平行时，如何求直线与平面的距离？两平行 平面间的距离呢？ 提示：如果一条直线1与一个平面α平行，可在直线1上任取一，点P, 将线面距离转化为，点P到平面α的距离求解；如果两个平面α，B互相 ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 平行，在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转 化为点P到平面B的距离求解 典例□如图，在长方体ABCD-AB1CD1中，AB=2,AD=AA1=1,E 为AB中点 D A D (1)求点B,到平面AEC的距离； (2)求点C到平面AEC的距离， 解：(1)依题意，建立如图所示的空间直角坐标系. ↑2 D B D 7℃y A1(1,0,1),E(1,1,0),B(1,2,1),C(0,2,0) E元=(-1,1,0)，A1E=(0,1,-1) 设平面AEC的法向量为n=(x,y,z), nA E=y-z=0, 则nEC=-x+y=0, 令z=1,可得y=1,x=1, 所以n=(1,1,1), 又B1E=(0,-1,-1), 取%=贵=(9,9,5)， 所以点B到平面AEC的距离为B正=-5-|=5 (或者点B到平面AEC的距离为BE引=后=) (2)由(1)可知，C1(0,2,1),AC1=(-1,2,0), 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以点C到平面A1C的距离为A,Cg=-5+|=9 (或者点C到平面ABC的距离为A,C引=言=9) 规律方法 用向量法求点面距离的步骤 第一步（建系）：建立恰当的空间直角坐标系； 第二步（求点坐标）：写出（求出）相关点的坐标； 第三步（求向量）：求出相关向量的坐标(A, a内两不共线向量，平面 a的法向量n)； 第四步（术距离）加d□炉骨引|或（或取平面a的法向量n的单包 法向量o)】 对点练1.如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面 MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2W3.求点A到平面MBC的 距离 M 解：取CD的中点O,连接OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD, 又平面MCD⊥平面BCD, 所以MO⊥平面BCD 依题意以点O为原，点，OC,BO,OM所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系O-z,如图所示 ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 2 因为△BCD与△CD都是边长为2的正三角形， 所以OB=OM=5, 则O0,0,0),C(1,0,0),0,0,V3),B(0,-3,0),A(0, -5,23) 所以BC=(1,5,0),B应=(0，V3,3) 设平面BC的法向量为=(x,y,), (n1BC, (n-BC=0, 由 得 n1B应， nBM=0, x+V3y=0, 即(V5y+5z=0,取x=5,可得平面MBC的-个法向量为n= (3,-1,1) 又BA=(0,0,25), 所以所求距离d=|BA贵1=2 5 学生用书↓第117页 任务二 点到直线的距离 ?问题导思 问题2.如图，设点P是直线1外一点，是直线1的单位方向向量， 如何利用这些条件求，点P到直线1的距离？ P 独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 提示：如图所示，过点P作直线1的垂线，垂足为点P,则垂线段 PP的长度就是点P到直线I的距离 在Rt△PPA中，|PA=PAl,于是，点P到直线I的距离为 IPP'I=VPA-PA=VPA-PAl 新知构建 点到直线的距离：若点P是直线1外一点，是直线1的单位方向向 量，点A是直线1上任意一点，则点P到直线1的距离为d= VPAP-PA下，6=十 [微思考]如何求两条平行线之间的距离？ 提示：两条平行线之间的距离可以转化为其中一条直线上的任意一，点 到另一条直线的距离 典例2如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-AB'CD',AB=1, BC=2,AA'=3,求点B到直线A'C的距离 2 解：因为AB=1,BC=2,AA'=3, 所以A(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0), 所以直线A'C的方向向量A元=(1,2，一3) 法-：B元=(0,2,0)， 6=需=应，品，一品 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 则1B元12=4, B就，=房， 所以，点B到直线AC的距离为√BC-BCl =4-=2厨 法二：因为瓦=0,2,0所以Bc在证上的投影长为爵=产， 所以点B到直线AC的距离为d=↓ B武AC 2 A =V4-浮=2厨 规律方法 向量法求点到直线的距离的一般步骤 第一步（建系）：建立空间直角坐标系； 第二步（求方向向量）：求直线的方向向量； 第三步（求模）：计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方 向向量上的投影向量的模； 第四步（求距离）：利用勾股定理求点到直线的距离 另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化， 对点练2.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD, 若己知AB=3,AD=4,PA=1,求点P到直线BD的距离 解：如图所示，以，点A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、 y轴、之轴建立空间直角坐标系 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则P(0,0,1),B(3,0,0),D0,4,0) 所以PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0), 6=爵=(-唐0)， 则1PB12=10,PB6=-号， 所以点P到直线BD的距离为√P-|P1=V10-第=号 任务三线线距、线面距和面面距 典例3如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB1CD1中，E为线段DD1 的中点，F为线段BB的中点. (I)求直线FC到直线AE的距离； (2)求直线FC到平面ABE的距离. 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系 z↑D 得B(1,1,1),E(0,0,),F(1,1克)，A(1,0,0),C(0,1,1) 因为FC1=（-1,0,),A正=（-1,0，)， 所以A正∥FC1,即AE∥FC1, 所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离， 6盛=(-50，)，=(0,1，) 1正2年，证6-得， ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以直线FC到直线AE的距离为√A-Al =-()- (2)因为AE∥FC1,FC1丈平面ABE,AEC平面ABE,所以FC∥平 面AB1E, 所以直线FC1到平面ABE的距离等于C1到平面ABE的距离， C1B1=(1,0,0),AB1=(0,1,1),A正=（-1,0克)， 设平面ABE的一个法向量为=(x,y,z), 正n=0,即x+z=0, 则A1n=0,y+z=0, 取2=2，可得=(1，一2,2)， 所以C到平面ABE的距离为CB1贵=-22=， 所以直线FC1到平面ABE的距离为青 学生用书↓第118页 规律方法 求线面距离或两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离 对点练3.直四棱柱ABCD-ABCD1中，底面ABCD为正方形，边长 为2，侧棱AA=3,M,N分别为AB1,AD1的中点，E,F分别是 CD,BC1的中点. (1)求证：平面AN∥平面EFBD; (2)求平面AMN与平面EFBD的距离. 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m☐ 您身边的互联网+教辅专家 解：(1)证明：法一：连接BD1,NF(图略)， 因为M,N分别为AB1,AD1的中点，E,F分别是CD1,B1C1的 中点，所以N∥EF∥BD1, 因为N丈平面EFBD,EFc平面EFBD, 所以N∥平面EFBD, 因为NF綊AB,所以ABFN是平行四边形， 所以AN∥BF, 因为AN丈平面EFBD,BFc平面EFBD, 所以AN∥平面EFBD, 因为AN∩N=N,所以平面AN∥平面EFBD. 法二：如图所示，建立空间直角坐标系D-y% 则A(2,0,0),N(1,0,3),B(2,2,0),E(0,1,3),F1,2,3), M2,1,3) 所以EF=(1,1,0),M=(-1,-1,0),A=(-1,0,3),BF= (-1,0,3), 所以EF=一M,AN=BF, 所以EF∥N,AN∥BF, 因为N丈平面EFBD,EFc平面EFBD, 所以N∥平面EFBD, 因为AN丈平面EFBD,BFC平面EFBD, 所以AN∥平面EFBD, ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又N∩AN=N,所以平面AN∥平面EFBD. (2)法一：由(I)知平面AN∥平面EFBD,所以平面AN与平面EFBD 的距离等于B到平面AN的距离h. 在△4MN中，AM=AN=V10,N-反，S△AwN=寺×V2XV10-克 9, 所以由B,4N=aB可得号X9h=专X生X2X3X1,所以h= 6/19 19Γ 法二：设平面AN的一个法向量为n=(x,y,2), nMN=0,即-x+3z=0,则可取n=(6,-3,1一 则1nA=0, 因为AB=(0,2,0), 所以平面AN与平面EFBD的距离为d=AB引== 19 [教材拓展6]异面直线间的距离（源自于教材P143阅读材料） 典例④如图，在正方体ABCD-ABCD1中，AB=1,M,N分别是棱 AB,CC1的中点，E是BD的中点，则异面直线DM,EN间的距离 为() A.9 B号 C.1 D.等 答案：A ·独家授权侵权必究·