6 第一章 章末综合提升-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

章末综合提升 探究点一　直线的方程 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0).求： (1)BC边上的中线所在直线的方程； (2)BC边上的高所在直线的方程； (3)三角形ABC的面积. 解：(1)因为A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)， 所以线段BC的中点坐标为( 1，). 易知BC边上的中线所在直线的斜率不存在， 所以BC边上的中线所在的直线方程为x＝1. (2)因为kBC＝＝， 所以BC边上的高所在直线的斜率k＝－4， 所以BC边上的高所在直线的方程为y－3＝－4(x－1)，即4x＋y－7＝0. (3)因为直线BC的方程为y－0＝(x＋1)，即x－4y＋1＝0，则点A到直线BC的距离d＝＝. 又｜BC｜＝＝， 所以S△ABC＝××＝5. 求直线方程的关注点 方法 直接法、待定系数法 关键 掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程 注意 当不能确定某种条件是否具备时，要另行讨论条件不满足的情况 对点练1.(1)已知直线l的一个法向量为(1，－2)，且经过点A(1，0)，则直线l的方程为(　　) A.x－y－1＝0 B.x＋y－1＝0 C.x－2y－1＝0 D.x＋2y－1＝0 学生用书⬇第45页 (2)经过点(1，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是(　　) A.x＋y＝4 B.y＝x＋2 C.y＝3x或x＋y＝4 D.y＝3x或y＝x＋2 答案：(1)C(2)D 解析：(1)直线l的一个法向量为(1，－2)，所以设直线l的方程为x－2y＋C＝0，代入点A(1，0)，得1－0＋C＝0，解得C＝－1，故直线l的方程为x－2y－1＝0.故选C. (2)当直线过原点时，方程为y＝3x，符合题意；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，将点(1，3)代入直线方程中，则＋＝1，解得a＝－2，所以直线方程为y＝x＋2，综上，所求直线的方程为y＝3x或y＝x＋2.故选D. 探究点二　两条直线的平行与垂直 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值. (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等. 解：(1)因为l1⊥l2， 所以a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.① 又点(－3，－1)在l1上， 所以－3a＋b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝2. (2)因为l1∥l2且l2的斜率为1－a， 所以l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝. 故l1和l2的方程可分别表示为 l1：(a－1)x＋y＋＝0， l2：(a－1)x＋y＋＝0. 因为原点到l1与l2的距离相等， 所以4＝，解得a＝2或a＝. 因此 直线一般式方程下两直线的平行与垂直 　　已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 对点练2.(1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为　　　　. (2)已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，则m＝　　　　. 答案：(1)－3(2)－1 解析：(1)因为直线l1：ax－3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，所以2a－3(a＋1)＝0，解得a＝－3. (2)因为直线l1：x＋my＋6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0平行，所以解得m＝－1. 探究点三　两直线的交点与距离问题 已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是. (1)求a的值； (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件： ①P是第一象限的点； ②P点到l1的距离是P点到l2的距离的； ③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由. 解：(1)l2的方程即为2x－y－＝0， 所以l1和l2的距离d＝＝， 所以｜a＋｜＝. 因为a＞0，所以a＝3. (2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②， 则P点在与l1和l2平行的直线l'：2x－y＋c＝0上，且＝×， 即c＝或c＝. 所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得＝·， 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. 因为点P在第一象限， 所以3x0＋2＝0不符合题意. 联立方程 解得x0＝－3，y0＝，应舍去. 联立 解得x0＝，y0＝. 所以P( ，)即为同时满足三个条件的点. 1.平面直角坐标系中的距离公式 2.两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题. 3.解决解析几何中的交点与距离问题，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，培养数学运算的核心素养. 对点练3.(1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为(　　) A.－1 B.5 C.－1或5 D.－3或3 (2)(一题多解)已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：(1)C(2)C 解析：(1)因为点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，所以＝，即｜a－2｜＝3，解得a＝－1或a＝5，所以实数a的值为－1或5.故选C. (2)法一：由即直线l过点(1，2).设点Q(1，2)，因为｜PQ｜＝＝＞2，所以满足条件的直线l有2条.故选C. 法二：依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)， 即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.由题意得＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或λ＝，代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，故满足条件的直线l有2条.故选C. 探究点四　对称问题 (1)已知A(－3，0)，B(3，0)，C(0，3)，一束光线从点F(－1，0)出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点E(1，0)上.则点D的坐标为(　　) A. B. C.(1，2) D.(2，1) (2)已知点A(2，0)，B(－2，－4)，P在直线l：x－2y＋8＝0上，则｜PA｜＋｜PB｜的最小值等于　　　　. 答案：(1)C(2)12 解析：(1)根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出F，E关于AC，BC的对称点G，H，连接GH，交BC于D，则D点即为所求，如图所示，因为AC所在直线方程为y＝x＋3，F(－1，0)，设G(x，y)，则解得x＝－3，y＝2，即G(－3，2)，由BC所在直线方程为y＝－x＋3，E(1，0)，同理可得H(3，2)，所以直线GH方程为y＝2，由解得D(1，2).故选C. (2)设A关于l的对称点为A'(m，n)，则解得m＝－2，n＝8，所以A'(－2，8)，则＝＝12，所以｜PA｜＋｜PB｜的最小值是12. 学生用书⬇第46页 1.点关于点的对称问题：是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 2.点关于直线的对称问题：是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：(1)两点连线与已知直线互相垂直，斜率乘积等于－1；(2)两点的中点在已知直线上. 3.直线关于点的对称问题：可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的，我们往往利用平行直线系去求解. 对点练4.(1)与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　) A.3x－2y＋2＝0 B.2x＋3y＋7＝0 C.3x－2y－12＝0 D.2x＋3y＋8＝0 (2)已知点M(3，5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，则△MPQ周长最小为　　　　　　　. 答案：(1)D(2)4 解析：(1)设所求直线上一点的坐标为(x，y)，则其关于点(1，－1)对称的点的坐标为(2－x，－2－y)，则点(2－x，－2－y)在直线2x＋3y－6＝0上，即2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0，化简得2x＋3y＋8＝0.故选D. (2)由点M(3，5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5，1).同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3，5).则周长最小值为｜M1M2｜＝＝4. 探究点五　圆的方程 已知△ABC的顶点C(2，－8)，直线AB的方程为y＝－2x＋11，AC边上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0. (1)求顶点A和B的坐标； (2)求△ABC外接圆的一般式方程. 解：(1)联立所以顶点B(7，－3). 因为AC⊥BH，所以kAC·kBH＝－1，已知kBH＝－，所以kAC＝3， 所以设直线AC的方程为y＝3x＋b， 将C(2，－8)代入得b＝－14，所以直线AC的方程为y＝3x－14. 由可得顶点A(5，1). (2)设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将A(5，1)，B(7，－3)和C(2，－8)三点的坐标分别代入， 得 所以△ABC外接圆的一般式方程为x2＋y2－4x＋6y－12＝0. 1.圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解. 2.求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解. 对点练5.已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，求圆的方程. 解：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10， 则圆心为(a，b)，半径r＝， 圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝. 由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d2＋＝r2， 即＋8＝10，所以(a－b)2＝4. 又因为b＝2a，所以a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4. 故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10. 探究点六　直线与圆、圆与圆的位置关系 已知圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝16，直线l：(2m＋1)x＋(m－1)y－7m＋1＝0，m∈R. (1)证明：不论m取任何实数，直线l与圆C恒交于两点； (2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求此最短弦长及直线l的方程. 解：(1)证明：因为l：(2m＋1)x＋(m－1)y－7m＋1＝0， 所以m(2x＋y－7)＋(x－y＋1)＝0， 因为m∈R，所以⇒ 故直线l过定点A(2，3). 因为圆C的圆心为C(－1，2)，r＝4，＝＜4，则点A在圆内. 所以直线l与圆C恒交于两点. (2)由(1)知直线l过定点A(2，3)，所以当直线l被圆C截得的弦长最短时有l⊥AC， 弦心距d＝ ＝， 所以最短弦长为2＝2＝2. 因为kAC＝＝，所以kl＝－3，故直线l的方程为3x＋y－9＝0. 已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0. (1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2，3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程. 解：(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝13，圆C2：(x－4)2＋(y＋2)2＝13. 则C1(－2，2)，r1＝；C2(4，－2)，r2＝. 因为｜C1C2｜＝＝2＝r1＋r2， 所以圆C1与圆C2相切. 两圆方程相减得12x－8y－12＝0， 即3x－2y－3＝0，此方程即为过切点的两圆公切线的方程. (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0. 点(2，3)在此圆上，将此点坐标代入方程解得λ＝. 所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0， 即x2＋y2＋8x－y－9＝0. 学生用书⬇第47页 1.直线与圆问题的类型 (1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得. (2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解. 2.(1)圆与圆的位置关系主要是通过圆心距与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系来判断. (2)求两圆的公切线方程时，主要利用圆心到直线的距离等于半径求解.特别地，当两圆相切时，与求两圆公共弦所在直线方程的方法类似，将两圆的方程相减即得两圆公切线方程. (3)灵活地运用圆系方程进行解题可以使问题化繁为简，提高运算效率. 对点练6.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为2. (1)求圆C的方程； (2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标. 解：(1)设圆心C(a，0)(a＞0)， 则圆心C到直线l：4x－3y－3＝0的距离d＝， 由题意可得，d2＋()2＝22，即＋3＝4， 解得a＝2或a＝－(舍去). 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)证明：因为P是直线x＋y＋4＝0上的动点， 设P(m，－m－4)， 因为PA为圆C的切线，所以PA⊥AC， 即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆. 设圆上任一点Q(x，y)， 则·＝0， 因为＝(x－m，y＋m＋4)，＝(x－2，y)， 所以·＝(x－m)(x－2)＋y(y＋m＋4)＝0， 即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0， 令 所以经过A，P，C三点的圆必过定点(－1，－3)和(2，0). (2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　) A. B.2 C.3 D.3 答案：D 解析：化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为＝＝3. 溯源(北师版P23例23)求点P(－2，1)到下列直线的距离： (1)3x＋4y－1＝0；(2)y＝2x＋3；(3)2x＋5＝0. 点评：两题都是考查点到直线的距离问题，而高考题高于教材，彰显综合性，又考查由圆的一般方程求圆心等特征量问题.二者考查本质几乎相同，体现了真题源于教材而高于教材的命题理念. (2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A.1 B. C. D. 答案：B 解析：法一：因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，因为｜PC｜＝＝2，则｜PA｜＝＝，可得sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝，则sin∠APB＝sin 2∠APC＝2sin∠APCcos∠APC＝2××＝，cos∠APB＝cos 2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝( )2－( )2＝－＜0，所以sin α＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝.故选B. 法二：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝.过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，连接AB(图略)，可得｜PC｜＝＝2，则｜PA｜＝｜PB｜＝＝，因为｜PA｜2＋｜PB｜2－2｜PA｜·｜PB｜cos∠APB＝｜CA｜2＋｜CB｜2－2｜CA｜·｜CB｜cos∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，则3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－＜0，即∠APB为钝角，则cos α＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝，且α为锐角，所以sin α＝＝.故选B. 溯源(北师版P39A组T8)已知直线2x－y－1＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0相切，求切点坐标. 点评：两题都是考查直线与圆相切问题，而高考题高于教材，涉及圆的两条公切线问题和三角恒等变换(主要是二倍角)，体现了知识的内在联系，导向明确，符合新高考试题命题的趋势.从高考题可以得到如下启示：在平时的学习中，要用联系的观点看待知识，建立相关的知识联系，形成知识的多元联系表示方式，提升认知水平. (2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与☉C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值　　　　. 答案：2(2，－2，，－中任意一个皆可以) 解析：设点C到直线 AB 的距离为d，由弦长公式得｜AB｜＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝.由d＝＝，所以＝＝，解得m＝±或m＝±2. 溯源(北师版P40B组T1)已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋m＝0与x轴交于A，B两点，若｜AB｜＝4，求实数m的值. 点评：两题都是考查直线与圆的位置关系问题，涉及数形结合思想和逻辑推理能力.教材习题主要考查弦长问题，而高考题不仅考查弦长，还涉及求面积问题，同时还具有开放性特点，所以无论是考查内容，还是考查的深度、广度都高于教材，具有很好的导向作用. (2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程　　　　　　. 答案：x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正确) 解析：圆x2＋y2＝1的圆心坐标为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心坐标为C(3，4)，半径r2＝4，如图所示， 因为｜OC｜＝r1＋r2，所以两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条.因为kO C＝，所以l1的斜率为－，设直线l1：y＝－x＋b，即3x＋4y－4b＝0，由＝1，解得b＝(负值舍去)，则l1：3x＋4y－5＝0；由图可知，l2：x＝－1；l2与l3关于直线y＝x对称，联立解得l2与l3的交点为，在l2上取一点(－1，0)，设该点关于y＝x的对称点为(x0，y0)，则.所以＝＝，则l3：y＝(x＋1)－，即7x－24y－25＝0.所以与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程为x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正确). 溯源(北师版P38例10)已知圆C与x轴和y轴都相切，且与圆O：x2＋y2＝1相外切，求圆C的方程. 点评：两题都是考查直线与圆的相切问题，教材题目主要考查与x轴、y轴相切，圆与圆相切问题，综合性较强.而高考题主要考查一条直线与两圆相切，即公切线方程问题，两题关联性较强，高考题具有明显的开放性，所以高考题更符合新高考命题的发展方向. (2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是　　　　. 答案： 解析：因为点A(－2，3)，B(0，a)，kAB＝，所以直线AB关于y＝a对称的直线的斜率为，所以对称直线方程为y－a＝·x，即(3－a)x－2y＋2a＝0，又(x＋3)2＋(y＋2)2＝1的圆心(－3，－2)，半径为1，所以≤1，得6a2－11a＋3≤0，解得a∈. 溯源(北师版P39A组T9)经过点A(－1，2)的直线与圆x2＋y2－2x＋6y＋6＝0相交，求直线l的斜率的取值范围. 点评：两题都是考查由直线与圆的位置关系求参数问题，具有较强的相关性.又因高考题涉及对称性的知识，显然考查的广度、深度都高于教材题目.直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点，所以要能够运用代数法与几何法解决这两类问题. 学科网（北京）股份有限公司 $