等比数列专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等比数列专项训练 等比数列专项训练 考点目录 等比数列的定义与特征值的计算 等比数列通项公式的性质 等比数列前项和的性质 等比数列的应用 考点一 等比数列的定义与特征值的计算 例1．（25-26高二上·广东广州·月考）在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（    ） A． B． C．18 D．24 例2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在等比数列中，，，则（    ） A．48 B．72 C．96 D．192 例3．（25-26高三上·湖南·月考）在正项等比数列中，若，，则 . 例4．（25-26高三上·上海·期中）已知等比数列，，，则 . 例5．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知等比数列中，，，为数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 例6．（2025·云南·模拟预测）在等比数列中，，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 变式1．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知为等比数列，其前项和为，，.数列公比的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式3．（2025·浙江·一模）等比数列满足，则当 时，取到最小值. 变式4．（25-26高三上·山西大同·期中）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，其中是和的等差中项，则 . 变式5．（25-26高三上·河南·期中）设是各项均为正数的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 变式6．（25-26高三上·青海西宁·期中）已知等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 考点二 等比数列通项公式的性质 例1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A．3 B． C． D． 例2．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，则（   ） A．11 B．31 C．32 D．121 例3．（2025·云南·模拟预测·多选）已知正项等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是单调递减数列 B． C． D． 例4．（2025·四川绵阳·一模·多选）已知公比不等于1的等比数列的前项和为，且成等差数列，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．成等差数列 D．若，则数列的最大项为 例5．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）在正项等比数列中，，则 ． 例6．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知正项等比数列，，则 ． 变式1．（23-24高二上·广东中山·月考）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．3 B．5 C． D．30 变式2．（24-25高二下·江西抚州·期末）在等比数列中，是方程的两根，则的值为（   ） A．-4 B．-2或2 C．-2 D．2 变式3．（25-26高二上·江苏苏州·月考·多选）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 变式4．（25-26高三上·河北·月考·多选）已知为等比数列的前项和，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是递减数列 D．是递增数列 变式5．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知整数数列是等比数列，，则的最小值为 ． 变式6．（23-24高二下·广东中山·期中）在等比数列中，若，，则 . 考点三 等比数列前项和的性质 例1．（25-26高二上·福建宁德·期中）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．85 B．15 C． D． 例2．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·重庆·月考）已知等比数列的前项和为，若，则 . 例4．（2025·四川成都·二模）在等比数列中，，，则 ． 变式1．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 变式2．（25-26高三上·广西·开学考试）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．512 B．-512 C．1024 D． 变式3．（25-26高三上·江苏盐城·期中）设等比数列的前项和为，若公比，则 . 变式4．（24-25高二下·吉林长春·期中）已知正项等比数列的前项和为，且，则 . 考点四 等比数列的应用 例1．（24-25高二下·四川广安·期中）算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 例2．（24-25高二下·四川资阳·期中）朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二下·北京怀柔·阶段练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数 ；第个图形的周长 ．    例4．（2024·广东茂名·一模）有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为 盏. 例5．（24-25高二下·广东广州·期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里. 例6．（25-26高二上·江苏苏州·月考）某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5G商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有10转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． (1)用表示，并求使数列是等比数列的实数； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60及以上？若能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由． 例7．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 变式1．（24-25高二下·北京·期中）谢尔宾斯基垫片（Sierpinski  Gasket）是一种分形图形，其构造过程如下： ①从一个边长为1的等边三角形开始； ②将三角形分成4个全等的等边三角形，去掉中间的三角形，完成一次操作； ③对剩下的3个三角形重复步骤②； 设第n次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和为，面积之和为． 下列结论错误的是（   ） A．经过n次操作，可以使得 B．经过n次操作，可以使得 C．经过n次操作，可以使得 D．经过n次操作，可以使得 变式2．（24-25高二下·陕西西安·期中）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期，感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（    ）轮传染？（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……） A．4 B．5 C．6 D．7 变式3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为 ，次操作后图中所有圆的面积总和为 . 变式4．（2025·陕西榆林·一模）某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为 ．（用含的式子表示） 变式5．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）某公司于2022年初花费150万元购买了一台生产设备，其第一年的维护费用为4万元，且往后每年较上一年上涨10%，设备生产厂家为提高设备出售率，在每年的维护费用中给予补贴，第一年补贴5000元，且往后每年增加1000元，当该公司每年的最终维护费用超过8万元时，该生产设备下一年将不再使用，则该生产设备可以使用 年（参考数据：）． 变式6．（24-25高二下·黑龙江·月考）生态采摘园商业模式是农业生态发展中创新与盈利的完美结合．年某地生态采摘园的苹果产量为千克，计划不超过天完成销售，销售渠道主要有批发销售和游客采摘零售两大渠道，根据往年数据统计，游客从开园第一天到闭园，采摘量（千克）和开园第（）天满足：．批发销售每天的销售量为千克，售价为每千克元，采摘零售的价格是批发销售价格的倍． (1)取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入； (2)采摘零售的总采摘量是多少？能否天内完成销售计划？ 变式7．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）某企业2023年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，2024年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2024年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元． (1)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元，求和； (2)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元，依上述预测，从2024年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $等比数列专项训练 等比数列专项训练 考点目录 等比数列的定义与特征值的计算 等比数列通项公式的性质 等比数列前项和的性质 等比数列的应用 考点一 等比数列的定义与特征值的计算 例1．（25-26高二上·广东广州·月考）在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（    ） A． B． C．18 D．24 【答案】C 【详解】在正项等比数列中，设公比为， 则，又，，10成等差数列， 则，则， 故， 故选：C 例2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在等比数列中，，，则（    ） A．48 B．72 C．96 D．192 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为， 则，可得， 所以. 故选：C 例3．（25-26高三上·湖南·月考）在正项等比数列中，若，，则 . 【答案】1024/ 【详解】由题意知，， 因为正项等比数列，所以， 由，可得， 所以，即. 故答案为： 例4．（25-26高三上·上海·期中）已知等比数列，，，则 . 【答案】 【详解】为等比数列，， . 故答案为：. 例5．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知等比数列中，，，为数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 故，解得，所以. （2）由（1）知，， 所以， 所以①， ②， ①②得 ， 所以. 例6．（2025·云南·模拟预测）在等比数列中，，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公比为，由，得. 因为成等差数列，所以， 得到， 即，解得（舍），或. 又，所以. （2）由， 设是数列的前项和，可得， 两边同乘以，得， 两式相减，得， 所以. 设是数列的前项和，可得， 即， 由. 变式1．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， 由，得， 又，所以，解得， 又，所以， 所以. 故选：B. 变式2．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知为等比数列，其前项和为，，.数列公比的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】因为，，则， 可得，解得， 所以数列公比的值为2. 故选：A. 变式3．（2025·浙江·一模）等比数列满足，则当 时，取到最小值. 【答案】2 【详解】等比数列满足， 公比，则， 于是，当时， 故当时，取到最小值. 故答案为：2. 变式4．（25-26高三上·山西大同·期中）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，其中是和的等差中项，则 . 【答案】// 【详解】由题可知，即 所以，解得或（舍） 所以. 故答案为：. 变式5．（25-26高三上·河南·期中）设是各项均为正数的等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的首项为，公比为， 则依题意，， 解得或， 因为，所以，故 所以的通项公式为； （2）因为， 所以①， ②， ①－②，得， 则. 变式6．（25-26高三上·青海西宁·期中）已知等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设的公比为，由，得， 由，得，解得 所以. （2）由，得， 所以. 考点二 等比数列通项公式的性质 例1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】是等比数列，设公比为， ， 是方程的两根， ，同号，且， ，解得， 又 ，故C正确． 故选：C． 例2．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，则（   ） A．11 B．31 C．32 D．121 【答案】B 【详解】由等比数列的性质知，又，所以， 设的公比为，则，所以或（舍）， 所以. 故选：B. 例3．（2025·云南·模拟预测·多选）已知正项等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是单调递减数列 B． C． D． 【答案】BC 【详解】设等比数列的公比为，由 得，解得，由，解得， 对于A，，数列是单调递增数列，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 例4．（2025·四川绵阳·一模·多选）已知公比不等于1的等比数列的前项和为，且成等差数列，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．成等差数列 D．若，则数列的最大项为 【答案】ACD 【详解】选项A：设等比数列的公比为（）， 由成等差数列，则，即， 因为，所以. 令，方程变为，解得或（，所以，舍去），即，故选项A正确； 选项B：若，则，故选项B错误； 选项C：等比数列前项和公式为且， ，， 因为，， 所以，故成等差数列，选项C正确； 选项D：若，由得. 等比数列的项为： ，，， …… 可见偶数项为正，奇数项为负，且，所以正项的绝对值逐渐减小， 即，因此数列的最大项为，故选项D正确. 故选：ACD 例5．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）在正项等比数列中，，则 ． 【答案】10 【详解】因为为等比数列，则， 所以， 又为正项等比数列，即， 所以. 故答案为：10. 例6．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知正项等比数列，，则 ． 【答案】58 【详解】是正项等比数列，则，， 所以， 故答案为：58. 变式1．（23-24高二上·广东中山·月考）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．3 B．5 C． D．30 【答案】B 【详解】为等比数列，，故， 且， 故. 故选：B 变式2．（24-25高二下·江西抚州·期末）在等比数列中，是方程的两根，则的值为（   ） A．-4 B．-2或2 C．-2 D．2 【答案】C 【详解】为等比数列，设公比为， 由韦达定理得，， 又，故符号相同，同为负数， ， 因为为等比数列，所以，， 故. 故选：C 变式3．（25-26高二上·江苏苏州·月考·多选）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 【答案】ACD 【详解】对于A，由等比数列性质可得， 若，因为，所以，不满足， 若，因为，所以，不满足， 所以，故A正确； 对于B、C，因为，为递减数列，所以， 又，所以，故B错误、C正确； 对于D，由B，C可得当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ACD. 变式4．（25-26高三上·河北·月考·多选）已知为等比数列的前项和，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是递减数列 D．是递增数列 【答案】ACD 【详解】A选项，设公比为，则， 因为，所以，又，故， 因为，所以， 因为，所以，则，， 故，A正确； B选项，假设，，则，，，满足， 故，B错误； C选项，，则，故， 故是递减数列，C正确； D选项，相邻两项的差为， 由于，所以， 故，所以，为递增数列，D正确. 故选：ACD 变式5．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知整数数列是等比数列，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为是各项均为整数的等比数列，且， 即，即，故， 设等比数列的公比为，则，则、同号，同理可知、同号， 要使得取最小值，则，所以， 因为，则有，此时，不合乎题意； 或，此时，合乎题意，此时； 或，此时，合乎题意，此时. 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 变式6．（23-24高二下·广东中山·期中）在等比数列中，若，，则 . 【答案】 【详解】设等比数列的公比为q，则或（舍）， 则. 故答案为：. 考点三 等比数列前项和的性质 例1．（25-26高二上·福建宁德·期中）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．85 B．15 C． D． 【答案】D 【详解】由题意得成等比数列， 设，则成等比数列，即， 解得或， 若，则，， 设的公比为，则，舍去； 若，则，，， 则，满足要求， 由于成等比数列， 故成等比数列，故，解得， 故选：D 例2．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列. 因为，所以，所以，故. 故选：C 例3．（25-26高三上·重庆·月考）已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【详解】等比数列中，， 因也成等比数列，则， 即，解得：. 故答案为: . 例4．（2025·四川成都·二模）在等比数列中，，，则 ． 【答案】20 【详解】设等比数列的公比为， 由可得，即得； 因此. 故答案为： 变式1．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 【答案】A 【详解】由题意可知，成等比数列， 所以，解得. 故选：A 变式2．（25-26高三上·广西·开学考试）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．512 B．-512 C．1024 D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则，， ∴，∴， ∴. 故选：C. 变式3．（25-26高三上·江苏盐城·期中）设等比数列的前项和为，若公比，则 . 【答案】64 【详解】由等比数列的性质得. 故答案为：64. 变式4．（24-25高二下·吉林长春·期中）已知正项等比数列的前项和为，且，则 . 【答案】52 【详解】因为为正项等比数列，所以也成等比数列， 则， 即， 两式相除得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得， 所以. 故答案为：52 考点四 等比数列的应用 例1．（24-25高二下·四川广安·期中）算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由条件可知，每层的红灯数构成等比数列，设最上面一层的红灯数为，公比，， 则，得， 中间一层的红灯数为. 故选：C 例2．（24-25高二下·四川资阳·期中）朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等， 设第一个音的频率为，相邻的两个音之间的频率之比为， 则将每个音的频率看作等比数列，共13项，且， 因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍，可得，可得， 所以，， 所以. 故选：B 例3．（24-25高二下·北京怀柔·阶段练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数 ；第个图形的周长 ．    【答案】 48 【详解】由题知，下个图形的边长是上一个图形的，边数是上一个图形4倍， 因为第1个图形的边数3，所以第2个图形的边数12，第3个图形的边数48. 设第个图形的周长为，则周长之间的关系为， 所以数列是首先为3，公比为的等比数列，所以. 故答案为：48；. 例4．（2024·广东茂名·一模）有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为 盏. 【答案】30 【详解】依题意，从下往上每层灯的数据构成等比数列，公比，，前6项和， 于是，解得， 所以底层所开灯的数量为30盏. 故答案为：30 例5．（24-25高二下·广东广州·期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里. 【答案】192 【详解】设第一天走里，则每日行走里程构成以为首项，为公比的等比数列. 由题意得，解得， 所以该人第一天走的路程为192里. 故答案为：192 例6．（25-26高二上·江苏苏州·月考）某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5G商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有10转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． (1)用表示，并求使数列是等比数列的实数； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60及以上？若能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上，理由见解析 【详解】（1）由题意知，经过次技术更新后，， 则， 即．设，则， 令，解得．又， 所以当时，是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知， 则，． 所以经过次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为， 对于任意，所以， 即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上． 例7．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 【答案】(1)约万元 (2)11年 【详解】（1）小李在乙公司工作第年的年薪为, 小李在乙公司连续工作年，万元， 所以，小李在乙公司连续工作5年，他在第5年的年薪约是万元； （2）由题意，小李在甲公司工作连续工作年的工资总收入为， 小李在乙公司工作10年的总收入， 则， 即, ，， 小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入. 变式1．（24-25高二下·北京·期中）谢尔宾斯基垫片（Sierpinski  Gasket）是一种分形图形，其构造过程如下： ①从一个边长为1的等边三角形开始； ②将三角形分成4个全等的等边三角形，去掉中间的三角形，完成一次操作； ③对剩下的3个三角形重复步骤②； 设第n次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和为，面积之和为． 下列结论错误的是（   ） A．经过n次操作，可以使得 B．经过n次操作，可以使得 C．经过n次操作，可以使得 D．经过n次操作，可以使得 【答案】C 【详解】初始时，大等边三角形边长为1，周长记为，面积记为； 第一次操作，将大等边三角形分成4个全等的等边三角形，每个小三角形的边长为，剩下3个三角形， 这3个三角形的周长之和为，面积为； 第二次操作，对剩下的3个边长为的三角形，每个又分成4个边长为的小三角形，剩下个三角形， 这个三角形的周长之和为，面积为； 以此类推，第n次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和， 面积，其中. 对于A，要使得，即，因为随着的增大而减小， 且时，，所以当足够大时，会有，故A正确； 对于B，要使得，即，因为随着的增大而增大， 且时，，所以当足够大时，会有，故B正确； 对于C，要使得，即，因为随着的增大而增大， 且，所以，故C错误； 对于D，要使得，即，因为随着的增大而增大， 且时，，所以当足够大时，会有，故D正确； 故选：C. 变式2．（24-25高二下·陕西西安·期中）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期，感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（    ）轮传染？（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由1个初始感染者经过第一轮传染，感染人数为，经过第二轮感染，感染人数为，…… 设第轮感染人数为，所以数列为等比数列，首项，公比. 所以经过轮后感染人数为， 若感染人数由1个初始感染者增加到1000人 则，因为且 又因为，所以， 所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮传染. 故选：B 变式3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为 ，次操作后图中所有圆的面积总和为 . 【答案】 【详解】次操作后，小圆的半径依次为， 大圆的半径依次为， 所以小圆半径是首项为，公比为等比数列， 大圆半径是首项为，公比为等比数列， 4次操作后图中最小的圆的半径为； 次操作后，小圆面积和为： ， 大圆面积和为： 所以大圆与小圆面积和为， 则所有圆的面积总和为. 故答案为： 变式4．（2025·陕西榆林·一模）某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为 ．（用含的式子表示） 【答案】41t 【详解】设表示该模型第轮比第轮参数增加的数量， 则，， 所以是首项为，公比为3的等比数列，通项公式为：， 所以，第一轮参数为， 第二轮参数增加的数量为， 第三轮参数增加的数量为， 第四轮参数增加的数量为， 第五轮参数增加的数量为， 所以第五轮训练的模型参数的数量为. 故答案为： 变式5．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）某公司于2022年初花费150万元购买了一台生产设备，其第一年的维护费用为4万元，且往后每年较上一年上涨10%，设备生产厂家为提高设备出售率，在每年的维护费用中给予补贴，第一年补贴5000元，且往后每年增加1000元，当该公司每年的最终维护费用超过8万元时，该生产设备下一年将不再使用，则该生产设备可以使用 年（参考数据：）． 【答案】10 【详解】由题可知设备维护费用构成等比数列，记为， 补贴费用构成等差数列，记为， 则该公司每年最终维护费用为数列， 即， 有 ， 故数列为递增数列， 当时，， 当时，， 故该生产设备可以使用10年． 故答案为：10. 变式6．（24-25高二下·黑龙江·月考）生态采摘园商业模式是农业生态发展中创新与盈利的完美结合．年某地生态采摘园的苹果产量为千克，计划不超过天完成销售，销售渠道主要有批发销售和游客采摘零售两大渠道，根据往年数据统计，游客从开园第一天到闭园，采摘量（千克）和开园第（）天满足：．批发销售每天的销售量为千克，售价为每千克元，采摘零售的价格是批发销售价格的倍． (1)取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入； (2)采摘零售的总采摘量是多少？能否天内完成销售计划？ 【答案】(1) (2)千克，不能 【详解】（1）当时，，得， 当时，， 整理有， 令函数，易知单调递减， 又因为，， 所以不等式的解为， 因此当时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入． （2）设采摘零售量前天和为千克， 前22天的采摘量为千克 后8天的采摘量为： （千克） 综上，采摘零售的总采摘量千克， 生态采摘园天批发销售和采摘零售总量为千克， 因为，所以天内不能完成销售计划． 变式7．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）某企业2023年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，2024年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2024年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元． (1)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元，求和； (2)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元，依上述预测，从2024年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润？ 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）由题意得是等差数列，， 所以，由题意得， 所以， 所以是首项为250，公比为的等比数列， 所以，所以. （2）是数列的前项和，所以， 是数列的前项和减去600， 所以， ， 又当时，函数单调递增， 所以函数单调递增，且时，时， 所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润. 2 学科网（北京）股份有限公司 $