8 4.4 第2课时　二项式系数的性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦二项式系数的性质，涵盖对称性、单调性与最大值、系数和等核心知识点，通过任务驱动（性质构建、应用、杨辉三角问题）结合新知讲解、典例解析及对点练习，搭建从二项式定理基础到灵活运用的学习支架。 其亮点在于以核心素养为导向，通过“新知-典例-规律-练习”闭环设计，如用赋值法求(2x-1)^5系数和培养数学运算，杨辉三角数列求和发展逻辑推理。配套随堂与课时测评，助力学生提升思维能力，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

第2课时　二项式系数的性质 　 第4章　4.4　二项式定理 学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.掌握“赋值法”并会灵活应用，提升数学运算的核心素养. 任务一　二项式系数的性质 1 任务二　二项式系数性质的应用 2 任务三　与杨辉三角有关的问题 3 课时测评 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　二项式系数的性质 返回 1.对称性：二项式系数f(r)关于直线r＝对称，即f(r)＝f(n－r).在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 . 2.单调性和最大值：二项式系数f(r)从两端向中间逐渐增大，且当n是偶数时，展开式的项数n＋1是奇数，中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，展开式的项数n＋1是偶数，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值. 新知构建 3.各二项式系数的和： (1)＋＋＋…＋＝___； (2)＋＋＋…＝＋＋＋…＝_______. 2n 2n－1 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a5； 解：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. (2)｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜； 解：令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由(2x－1)5的通项Tk＋1＝(－1)k·25－k·x5－k， 知a1，a3，a5为负值， 所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243. 典例1 (3)a1＋a3＋a5； 解：由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35， 得2(a1＋a3＋a5)＝1－35， 所以a1＋a3＋a5＝＝－121. (4)a0＋a2＋a4； 解：因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35. 所以a0＋a2＋a4＝＝122. (5)a1＋a2＋a3＋a4＋a5； 解：因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数， 所以a0＝25＝32. 又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31. (6)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4. 解：因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5， 所以两边求导数得 10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4. 令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10. 规律方法 二项展开式中系数和的求法 1.对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. 2.一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 对点练1．(1)若(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022，则＋＋…＋＝_____；｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a2 022｜＝______. 令x＝0，得a0＝1. 令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0.所以＋＋…＋＝－a0＝－1. 因为｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a2 022｜＝a0－a1＋a2－a3＋…＋ a2 022， 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022＝32 022， 所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a2 022｜＝32 022. －1 32 022 (2)若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝____. 原等式两边求导，得10(2x－3)4＝a1＋2a2x1＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4. 令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝10. 10 返回 任务二　二项式系数性质的应用 返回 已知f(x)＝展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； 解：令x＝1，则展开式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992. 所以(2n)2－2n－992＝0， 所以(2n＋31)(2n－32)＝0， 所以2n＝－31(舍去)，或2n＝32，所以n＝5. 由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间的项，它们分别为：T3＝)3·(3x2)2＝90x6，T4＝)2·(3x2)3＝270. 典例2 (2)求展开式中系数最大的项. 解：令x＝1，则展开式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992. 所以(2n)2－2n－992＝0， 所以(2n＋31)(2n－32)＝0， 所以2n＝－31(舍去)，或2n＝32，所以n＝5. 展开式的通项公式为Tr＋1＝·3r·， 假设Tr＋1项系数最大， 则有 所以 即 所以≤r≤，因为r∈N， 所以r＝4， 所以展开式中系数最大的项为T5＝(3x2)4＝405. 规律方法 展开式中系数的最大项的求法 　　求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系 数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用 解出k，即得出系数的最大项. 对点练2．(1)求(1＋2x)7的展开式中二项式系数最大项及系数最大项. 解：(1＋2x)7的展开式中二项式系数最大项为第4项和第5项， T4＝(2x)3＝280x3，T5＝(2x)4＝560x4. 设第r＋1项的系数最大，由通项Tr＋1＝2rxr及题意知， Tr＋1的系数不小于Tr和Tr＋2的系数，即 解得≤r≤，r＝0，1，2，…，7，所以r＝5，即第6项的系数最大，T6＝(2x)5＝672x5. (2)求(1－2x)7的展开式中二项式系数最大项及系数最大项. 解：(1－2x)7的展开式中二项式系数最大项为第4项和第5项，T4＝(－2x)3 ＝－280x3，T5＝＝560x4. 设第r＋1项的系数最大，由通项Tr＋1＝(－2)rxr，易知系数最大时，r必为偶数，即Tr＋1＝2rxr. 因为，22×＜26×，所以系数最大项只能是T5 或T7. 因为T5＝(－2x)4＝560x4，T7＝(－2x)6＝448x6，所以系数最大项是T5＝560x4. 返回 任务三　与杨辉三角有关的问题 返回 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所 指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10， 5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值. 解：由题意及杨辉三角的特点可得 S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9) ＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋…＋(＋) ＝(＋＋＋…＋)＋(2＋3＋…9) ＝＋ ＝164. 典例3 规律方法 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 对点练3．如图数表满足：①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类 似杨辉三角，则第n(n≥2)行的第2个数是__________. 法一：由图中数字规律可知，第n行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1. 法二：设第n(n≥2)行的第2个数构成数列{}， 则有a3－a2＝2，a4－a3＝3，a5－a4＝4，…，an－ an－1＝n－1， 相加得an－a2＝2＋3＋…＋(n－1) ＝×(n－2)＝， 所以an＝2＋. 对点练4．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是____. 2n－1 32 观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；因为n＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1. 返回 随堂评价 返回 1.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的， 称为杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的a 所表示的数是 A.2　 　　　 B.4　　 　　 C.6　 　　　 D.8 √ 从第三行起头尾两个数均为1，中间数等于上一行肩上两数之和，所以a＝3＋3＝6. 故选C. 2.已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式 中常数项等于 A.240 B.120 C.48 D.36 √ 由题意2n＝64，解得n＝6，则， 则二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝··＝ 26－r··， 令3－r＝0，即r＝2，则26－r·＝24·＝240. 故选A. 3.设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为_____. 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.① 又Tk＋1＝(－3)4－k(2x)k，所以当k＝4时，x4的系数a4＝16.② 由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15. －15 4.已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x的项的系数为112. (1)求m，n的值； 解：由题意可得2n＝256，解得n＝8.Tk＋1＝mk，含x项的系数为m2＝ 112，解得m＝2或m＝－2(舍去).故m，n的值分别为2，8. (2)求展开式中奇数项的二项式系数之和； 解：展开式中奇数项的二项式系数之和为＋＋＋＋＝28－1＝128. (3)求(1＋m)n(1－x)的展开式中含x2的项的系数. 解：(1＋2)8(1－x)＝(1＋2)8－x(1＋2)8， 所以含x2的项的系数为24－22＝1 008. 返回 课时测评 返回 1.下面是(a＋b)n，当n＝1，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式. 借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是 A.5，9　　 　 B.5，10 　　 C.6，10　　 D.6，9 结合题意可得λ＝3＋3＝6，μ＝4＋6＝10，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设二项式的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是 A.第9项 B.第8项 C.第9项和第10项 D.第8项和第9项 √ 因为展开式的第5项为T5＝，所以令－4＝0，解得n＝16，所以展开式中系数最大的项是第9项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为 A.－2 B.－1 C.1 D.2 √ 令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11， 所以a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知的展开式中各项系数的和为32，则该二项展开式中系数最大的 项为 A.270x－1 B.270x C.405x3 D.243x5 令x＝1，得(a－1)5＝32，解得a＝3. 的展开式的通项为Tr＋1＝·(3x)5－r·＝(－1)r·35－r··x5－2r. 当r＝0时，35＝243； 当r＝2时，33·＝270； 当r＝4时，3·＝15. 所以该二项展开式中第3项的系数最大，故该二项展开式中系数最大的项为270x. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知(ax2＋)n(a＞0)的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是 A.展开式中奇数项的二项式系数和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含x15项的系数为45 √ 由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，即，可知n－4＝6，即n＝10， √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又展开式的各项系数之和为1 024，即当x＝1时，＝1 024，所以a＝1， 所以二项式为， 则二项式系数和为210＝1 024，则奇数项的二项式系数和为×1 024＝512，故A错误； 由n＝10可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为x2与的系数均为1，则该二项式展开式的二项式系数与系数相同，所以第6项的系数最大，故B正确； 若展开式中存在常数项，由通项Tr＋1＝x2(10－r)可得2(10－r)－r ＝0，解得r＝8，故C正确； 由通项Tr＋1＝x2(10－r)可得2(10－r)－r＝15，解得r＝2，所以系 数为＝45，故D正确， 故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.二项式(2x＋1)6的展开式中，第5项的系数等于_____. 60 因为二项式(2x＋1)6展开式的通项公式Tr＋1＝·(2x)6－r·1r， 所以T5＝(2x)2＝60x2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝______. 令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，① 令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，② ①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)， 所以a0＋a2＋…＋a2n＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(4－3x＋2y)n(n∈N＋)展开式中不含y的项的系数和为___. 要求(4－3x＋2y)n(n∈N＋)展开式中不含y的项， 只需令y＝0，所以(4－3x＋2y)n(n∈N＋)展开式中不含y的项的系数和即为(4－3x)n展开式的系数和. 令x＝1，得(4－3x)n展开式的各项系数和为(4－3)n＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(10分)已知(n∈N＋)的展开式中第7项是常数项. (1)求n的值； 解：展开式的通项为Tr＋1＝xn－r， 因为第7项为常数项，所以第7项T7＝xn－9， 即n＝9. (2)求展开式中二项式系数最大的项. 解：(因为n＝9，所以二项式系数最大的项为T5与T6， 即T5＝x3＝x3， T6＝＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)(1)已知(1－2x)2n＋1的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为1∶4，求n的值. 解：因为(1－2x)2n＋1的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为1∶4， 所以，解得n＝4. (2)记(1－2x)2n＋1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n＋1x2n＋1，n∈N＋， ①求｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a2n＋1｜； 解：由题意 (1＋2x)2n＋1＝｜a0｜＋｜a1｜x＋…＋｜a2n＋1｜x2n＋1， 令x＝1，得｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a2n＋1｜＝32n＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②设ak＝(－2)kbk，求和：1·b0＋2·b1＋3·b2＋…＋(k＋1)·bk＋…＋(2n＋2)·b2n＋1. 解：由题意ak＝(－2)k，又ak＝(－2)kbk， 所以bk＝. 所以(k＋1)bk＝(k＋1)＝k＋＝k＋＋＝(2n＋1)＋，k＞0， 所以1·b0＋2·b1＋3·b2＋…＋(k＋1)·bk＋…＋(2n＋2)·b2n＋1＝1·＋2·＋3·＋…＋(k＋1)·＋…＋(2n＋2)·＋(2n＋1)＝22n＋1＋(2n＋1)22n＝(2n＋3)·22n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为 A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1.令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63， 所以(1＋m)6＝64＝26，所以m＝1或m＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 12.(多选)关于(a－b)11的说法，正确的是 A.展开式中的二项式系数之和为2 048 B.展开式中只有第6项的二项式系数最大 C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最大 (a－b)11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确； 因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大，故B不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，故D不正确.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是____. 6 (1＋x)n的展开式的各项的系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(13分)已知的展开式的二项式系数之和为256. (1)求n的值； 解：由二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8. (2)若展开式中常数项为，求m的值； 解：设常数项为第r＋1项，则 Tr＋1＝x8－rmrx8－2r. 令8－2r＝0，即r＝4，则m4＝， 解得m＝±. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况. 解：易知m＞0，设第r＋1项系数最大. 则 化简可得≤r≤. 由于只有第6项和第7项系数最大， 所以 所以m只能等于2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则＋＋＋…＋的值为 A.28 B.28－1 C.27 D.27－1 √ 设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B. 则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…. 由已知可知：B－A＝38.令x＝－1， 得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n， 即：B－A＝(－3)n.所以(－3)n＝38＝(－3)8， 所以n＝8. 由二项式系数的性质可得： ＋＋＋…＋＝2n－＝28－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知展开式的第5项的系数与第3项的系数的比值为30.求： (1)展开式中的所有有理项； 解：展开式的通项Tr＋1＝)n－r··(－2)r(r＝0，1，…，n)， 由于展开式的第5项的系数与第3项的系数的比值为30，则＝30，化 简，得n2－5n－84＝0，解得n＝12或n＝－7(舍去). 展开式的通项Tr＋1＝(－2)r·(r＝0，1，2，…，12)，当r＝0，6，12时，为整数，则有理项为T1＝x6，T7＝26x＝59 136x， T13＝212x－4＝4 096x－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)n＋6＋36＋…＋6n－1的值； 解：展开式的通项Tr＋1＝)n－r··(－2)r(r＝0，1，…，n)， 由于展开式的第5项的系数与第3项的系数的比值为30，则＝30，化 简，得n2－5n－84＝0，解得n＝12或n＝－7(舍去). n＋6＋36＋…＋6n－1 ＝＋6＋36＋…＋611 ＝(1＋6＋62＋63＋…＋612)－ ＝×(1＋6)12－ ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)系数的绝对值最大的项. 解：展开式的通项Tr＋1＝)n－r··(－2)r(r＝0，1，…，n)， 由于展开式的第5项的系数与第3项的系数的比值为30，则＝30，化 简，得n2－5n－84＝0，解得n＝12或n＝－7(舍去). 设第r＋1项的系数的绝对值最大， 因为Tr＋1＝(－2)r·(r＝0，1，2，…，12)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 则 即 解得≤r≤， 所以r＝8， 所以系数的绝对值最大的项为T9＝28＝126 720. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 4.4　二项式定理 返回 $