第2章 2.5.1 圆的标准方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦圆的标准方程这一核心知识点，从圆的定义出发，结合两点间距离公式推导得出标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²，系统梳理点与圆位置关系的几何法和代数法判断，以及直接法、待定系数法、几何法求圆方程的方法，为后续学习直线与圆的位置关系等内容搭建知识支架。 该资料以李白《古朗月行》诗句创设情境，引导学生用数学眼光观察现实世界中的圆。通过问题链驱动定义推导和方程构建，培养数学思维中的推理能力，如例4结合几何法与代数法求圆方程，强化数学语言表达与模型意识。课中助力教师引导探究，课后学生可通过例题解析和练习题巩固知识，有效查漏补缺。

2.5.1　圆的标准方程 [学习目标]　1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法、几何法求圆的标准方程，并能准确判断点与圆的位置关系． 导语 《古朗月行》 唐 李白 小时不识月，呼作白玉盘． 又疑瑶台镜，飞在青云端． 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代的人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写，如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的直角坐标方程如何表示？ 一、圆的标准方程 问题1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示　平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 确定圆的要素：圆心和半径， 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 问题2　已知圆心为C(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 提示　设圆上任意一点P(x，y)，则|PC|＝r，由两点间的距离公式，得＝r， 两边平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 知识梳理 1．圆的定义 圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合． 2．圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 注意点： (1)当圆心在原点O(0,0)，半径长r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (3)圆上的点的坐标都满足圆的标准方程，满足圆的标准方程的点都在圆上． 例1　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1,2)，半径为 B．圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2,0)，半径为b C．圆(x－)2＋(y＋)2＝2的圆心为(，－)，半径为 D．圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(2,2)，半径为 答案　AC 解析　圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1,2)，半径为，A正确； 圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2,0)，半径为|b|，B错误；圆(x－)2＋(y＋)2＝2的圆心为(，－)，半径为，C正确； 圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(－2，－2)，半径为，D错误． (2)方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于直线x－y＝0对称 D．关于直线x＋y＝0对称 答案　D 解析　易得圆心C(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称． 反思感悟　通过圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)确定其圆心为(a，b)，半径为r. 跟踪训练1　圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　) A．－1或－3 B．－1或3 C．1或－3 D．1或3 答案　C 解析　圆心的坐标为(1,0)， 由圆心到直线x－y＋a＝0的距离为， 得＝， 即|1＋a|＝2，解得a＝1或a＝－3. 二、点与圆的位置关系 问题3　点M0(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的条件是什么？在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外的条件又是什么？ 提示　点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径． 知识梳理 点与圆的位置关系及判断方法 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置关系 几何法(利用距离判断) 代数法(利用方程判断) 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 例2　(1)已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 答案　A 解析　由题意，得a＋b＝1，ab＝－， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8， ∴点P在圆C内． (2)已知点P(2,1)和圆C：2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝________.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________． 答案　－2或－6　a<－6或a>－2 解析　当点P在圆C上时，2＋(1－1)2＝1，解得a＝－2或a＝－6. 当点P在圆C外时，2＋(1－1)2>1， 解得a<－6或a>－2. 反思感悟　判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 跟踪训练2　若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________________． 答案　a>或a<－ 解析　∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1， 解得a>或a＜－. 三、求圆的标准方程 角度1　直接法求圆的标准方程 例3　(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________． 答案　(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 解析　∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切， ∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. (2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是________________． 答案　(x－1)2＋(y－2)2＝25 解析　∵AB为直径， ∴AB的中点(1,2)为圆心， |AB|＝＝5为半径， ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. 反思感悟　直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离及点到直线的距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 跟踪训练3　求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)； (3)求过两点C(－1,2)和D(1,2)，圆心在x轴上的圆的标准方程． 解　(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8， ∴圆心为(0,0)或(0，－8)，又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. (3)设圆心为M(a，0)，∵|MC|＝|MD|， ∴(a＋1)2＋(0－2)2＝(a－1)2＋(0－2)2， 即a2＋2a＋1＋4＝a2－2a＋1＋12， ∴a＝2，r＝|MC|＝， ∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝13. 角度2　待定系数法求圆的标准方程 例4　求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程． 解　方法一　(待定系数法) 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有解得 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 方法二　(几何法)由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由得 即圆心坐标为(4，－3)， 半径为r＝＝5. 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 反思感悟　待定系数法求圆的标准方程的策略 根据条件设出圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，再由题目给出的条件，列出关于a，b，r的方程组，求出a，b，r代入标准方程即可． 跟踪训练4　过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 答案　C 解析　方法一　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有 解得 即圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 方法二　因为kAB＝＝－1，线段AB的中点坐标为(0,0)． 所以线段AB的垂直平分线的方程为y＝x. 由解得 所以圆心坐标为(1,1)，半径为2， 所以所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 1．知识清单： (1)圆的标准方程． (2)点与圆的位置关系的判断． 2．方法归纳：直接法、几何法、待定系数法． 3．常见误区：几何法求圆的标准方程出现漏解情况． 1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(　　) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝16 答案　C 2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 答案　A 解析　方法一　(直接法) 设圆的圆心为C(0，b)，则＝1， ∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1. 方法二　(数形结合法) 作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)， 故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1. 3．已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为____________． 答案　[0,1) 解析　由题意知 即解得0≤a<1. 4．若方程(x－m)2＋(y－2)2＝m2－m－2表示圆的标准方程，则m的取值范围是________________________________________________________________________． 答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析　由m2－m－2>0， 得m<－1或m>2. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1．圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是(　　) A．(1，) B．(－1，) C．(1，－) D．(－1，－) 答案　C 解析　由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋)2＝1，得圆心坐标为(1，－)． 2．圆心为(1,2)，且过点(0,0)的圆的标准方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝ B．x2＋y2＝5 C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．x2＋y2＝ 答案　C 解析　因为圆的圆心为(1,2)，且过点(0,0)，则圆的半径r＝＝，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5. 3．若直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长，则a等于(　　) A．9 B．－9 C．1 D．－1 答案　B 解析　因为直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长，所以直线2x－5y＋a＝0经过该圆的圆心(2，－1)，即2×2－5×(－1)＋a＝0，解得a＝－9. 4．已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在(　　) A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 答案　B 解析　由圆的标准方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圆心为(a，1)， 则原点与圆心的距离为. ∵0＜a＜1，∴＞＝r，即原点在圆外． 5．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　圆的圆心为(－a，－b)，∵直线经过第一、二、四象限，∴a<0，b>0，即－a>0，－b<0，∴圆心在第四象限． 6．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的标准方程为(　　) A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1 答案　B 解析　两圆关于直线x－y－1＝0对称，则两圆半径相等且圆心关于直线对称，圆C1的圆心为(－1,1)，设圆C2的圆心为(x，y)， 则解得 则圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1. 7．(5分)与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的标准方程为________________． 答案　(x－1)2＋y2＝18 解析　圆C的半径R＝6，设所求圆的半径为r， 则＝，所以r2＝18， 又圆心为(1,0)，则所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝18. 8．(5分)若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1,2)，则圆C的半径为________． 答案　1或5 解析　根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝－x上， 当圆心C在y＝x上时，设圆心C的坐标为(a，a)， 此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2， 将(1,2)代入可得(1－a)2＋(2－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5， 此时圆的半径为1或5； 当圆心C在y＝－x上时， 设圆心C的坐标为(a，－a)， 此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2， 将(1,2)代入可得(1－a)2＋(2＋a)2＝a2，即a2＋2a＋5＝0，方程无解， 综上所述，圆的半径为1或5. 9．(10分)已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)． (1)若点M(6,9)在圆N上，求半径a；(5分) (2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．(5分) 解　(1)∵点M(6,9)在圆N上， ∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10. 又a>0，∴a＝. (2)由已知，得圆心N(5,6)． ∵|PN|＝＝， |QN|＝＝3， ∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内， ∴a的取值范围是3<a<，即a∈(3，)． 10．(12分)已知点A(1，－2)，B(－1,4)，求： (1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；(6分) (2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程．(6分) 解　(1)当AB为直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小． 即AB的中点(0,1)为圆心，半径r＝|AB|＝， 则圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10. (2)方法一　AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0， 又圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3,2)， r＝|AC|＝＝2， 故所求圆的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. 方法二　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则解得 故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20. 11．若一圆的圆心为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 答案　A 12．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　) A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B．所有圆Ck均不经过点(3,0) C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D．所有圆的面积均为4π 答案　ABD 解析　圆心坐标为(k，k)，即圆心C始终在直线y＝x上，A正确； 令(3－k)2＋(0－k)2＝4， 化简得2k2－6k＋5＝0， ∵Δ＝36－40＝－4<0，∴方程2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确； 由(2－k)2＋(2－k)2＝4， 化简得k2－4k＋2＝0， ∵Δ＝16－8＝8>0，∴方程k2－4k＋2＝0有两个不相等的实数根， ∴经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误； 由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确． 13．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9 答案　B 解析　由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0， 得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0， 则解得即P(－1,1)． ∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)， ∴|PC|＝＝5， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 14．(5分)已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为________． 答案　－4 解析　∵点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点， ∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5. ∵y∈[－1,1]， ∴当y＝1时，－(y＋2)2＋5有最小值－4， 即x2－4y的最小值为－4. 15．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　A 解析　设圆心C(x，y)， 则＝1， 化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1， 所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5， 所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当点C在线段OM上时取等号． 16．(12分)设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的标准方程． 解　设圆心为(a，b)，半径长为r， 依题意，得 消去r，得2b2－a2＝1，① 圆心到直线l的距离d＝. 设a－2b＝k，则a＝2b＋k，代入①式， 整理得2b2＋4kb＋k2＋1＝0. 判别式Δ＝8(k2－1)≥0，解得|k|≥1， 当|k|＝1时，dmin＝. 当k＝1时，a＝b＝－1，圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2； 当k＝－1时，a＝b＝1，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $