精品解析：山东省滨州市惠民县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年第一学期期中学业检测九年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分30分） 1. 下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 卡西尼卵形线 C. 赵爽弦图 D. 费马螺线 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则的值为（ ）（） A. 0 B. 0.14 C. 0.5 D. 1 4. 据山东省工信厅对重点车企的排产调研，预计2025年10月全省新能源汽车整车的产量约万辆，按计划12月将达到万辆．若11月、12两月的月平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C D. 5. 如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（　　） A. 猫先到达B地 B. 老鼠先到达B地 C. 猫和老鼠同时到达B地 D. 无法确定 6. 如图，，可以看做是由绕点O顺时针旋转度得到的，若点在上，则旋转角的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C 当时y随x增大而减小 D. 图象经过点 8. 用配方法解方程x2﹣8x﹣20＝0，下列变形正确的是（ ） A. （x+4）2＝24 B. （x+8）2＝44 C. （x+4）2＝36 D. （x﹣4）2＝36 9. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为6，以点C为圆心，2为半径作．P为上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则________． 12. 二次函数的图象经过点，则关于x的一元二次方程的根为______． 13. 如图，小轩同学用计算机软件绘制函数的图象，发现该图象关于点成中心对称．若点，，，，…，都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小，则的值是________． 14. 圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为________； 15. 兰州牛肉拉面，被誉为中华第一面．如图，这是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当汤面的最大竖直高度为时，碗中汤面的水平宽度为________．（碗的厚度不计） 16. 已知抛物线的y与x的部分对应值如表： 下列结论： ①对称轴为直线； ②方程有两个不相等的实数根； ③若点，均在二次函数图象上，则； ④满足的x的取值范围是或． 其中正确结论的序号为 ________． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知． （1）画出关于原点中心对称的，并写出点A与点的坐标； （2）画出绕点O顺时针方向旋转得到． 19. 如图，在中，弦相交于点E，且．求证：． 20. 掷实心球是北京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是小杰投掷实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图2所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小杰某次试投时的数据如图2所示． （1）在图中画出实心球运动路径的示意图； （2）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式； （3）根据北京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（男生），若实心球投犾距离（实心球落地点C与出手点水平距离OC的长度)不小于10m，成绩为满分10分．请通过计算，判断小杰此次试投的成绩是否能达到满分． 21. 如图所示是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． （1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． （2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 22. 如图，已知等腰中，，以为直径作交于点，过作于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 23. 阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． 请回答：在图2中，的度数是______． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，若，，求的长度． （2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当______时，线段 有最大值，并求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中学业检测九年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分30分） 1. 下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 卡西尼卵形线 C. 赵爽弦图 D. 费马螺线 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； C不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； D不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标为； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键． 3. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则的值为（ ）（） A. 0 B. 0.14 C. 0.5 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的面积公式得到⊙O的面积S＝3.14，求得圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×1×sin30°＝3，即可得到结论． 【详解】∵⊙O的半径为1， ∴⊙O的面积S＝， ∴圆的内接正十二边形的中心角为＝30°， ∴过A作AC⊥OB， ∴AC＝OA＝， ∴圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×＝3， ∴则S−S1＝−3=0.14， 故选B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键． 4. 据山东省工信厅对重点车企的排产调研，预计2025年10月全省新能源汽车整车的产量约万辆，按计划12月将达到万辆．若11月、12两月的月平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设月平均增长率为，根据增长后的辆数，列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为，根据题意得， ， 故选：A． 5. 如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（　　） A. 猫先到达B地 B. 老鼠先到达B地 C. 猫和老鼠同时到达B地 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：以AB为直径的半圆的长是：∙AB． 设四个小半圆直径分别是a，b，c，d，则a+b+c+d=AB． 则老鼠行走的路径长是：a+b+c+d=(a+b+c+d)=∙AB． 故猫和老鼠行走的路径长相同． 故选C． 6. 如图，，可以看做是由绕点O顺时针旋转度得到的，若点在上，则旋转角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据点在上，得到是等腰三角形，利用三角形内角和定理求出，进而得到，由，即可求出． 【详解】解：是由绕点O顺时针旋转度得到， ，， 点在上， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 7. 关于二次函数的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 当时y随x增大而减小 D. 图象经过点 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A． ∵，∴图象开口向上，故错误； B、图象的对称轴为直线，故错误； C、∵对称轴为直线，图象开口向上，∴时y随x增大而增大，故错误； D、当时，，∴图象经过点，故正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性． 8. 用配方法解方程x2﹣8x﹣20＝0，下列变形正确的是（ ） A. （x+4）2＝24 B. （x+8）2＝44 C. （x+4）2＝36 D. （x﹣4）2＝36 【答案】D 【解析】 【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】x2﹣8x﹣20=0， 移项得：x2﹣8x=20， 配方得：x2﹣8x+16=20+16，即（x﹣4）2=36． 故选D． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解． 9. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 10. 如图，正方形的边长为6，以点C为圆心，2为半径作．P为上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，则，通过画图发现，点的运动路线为以A为圆心，2为半径的圆，当在对角线延长线上时，最大．再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值． 【详解】解：如图，连接，， 由旋转得：， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在以点A为圆心，半径为2的圆上， 如图，当在对角线延长线上时，最大， 在中，， ∴， 即长度的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题，寻找点的运动轨迹是本题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案． 【详解】解：∵点A（a，3）与点B（-5，b）关于原点对称， ∴a=5，b=-3， ∴a-b=-5-（-3）=8， 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）． 12. 二次函数的图象经过点，则关于x的一元二次方程的根为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，明确一元二次方程和抛物线与x轴交点之间的关系，是解题的关键． 确定二次函数与x轴的交点为和，即可求解． 【详解】解：∵当时， ∴二次函数的图象经过点， ∵二次函数的图象也经过点， ∴二次函数的图象与x轴的交点为和， ∴关于x的方程的根为或， 故答案为：或． 13. 如图，小轩同学用计算机软件绘制函数的图象，发现该图象关于点成中心对称．若点，，，，…，都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质．根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次减少， ∴， ∴， ∴， ∵， 当时，，即， ∴， 故答案为：． 14. 圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，根据勾股定理有，代入即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∴， ∵在中，， 即， 解得：， ∴的半径为． 故答案为：． 15. 兰州牛肉拉面，被誉为中华第一面．如图，这是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当汤面的最大竖直高度为时，碗中汤面的水平宽度为________．（碗的厚度不计） 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键．根据题意，求出抛物线表达式，当汤面的最大竖直高度为时，则令，解答出x的值，即可得出结果 【详解】解：根据题意得抛物线经过点， 设抛物线表达式，代入得， 解得， ∴抛物线表达式为， 当汤面的最大竖直高度为时， 令， 解得：， 碗中汤面的水平宽度为， 故答案为：20 16. 已知抛物线的y与x的部分对应值如表： 下列结论： ①对称轴为直线； ②方程有两个不相等实数根； ③若点，均在二次函数图象上，则； ④满足的x的取值范围是或． 其中正确结论的序号为 ________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值，再根据对称轴公式求出对称轴即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把，，代入得， ， 解得， ∴ ∴对称轴为直线，故正确； ∵，，， ∴，即为， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故错误； ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】（1）先将原方程整理为一般式，然后运用公式法求解即可； （2）先求出原方程的根的判别式，即可求解． 【详解】解：（1）原方程化为 ， ， 由求根公式得，， 所以原方程的解为 ； （2） ， 原方程无实数根． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程——公式法，理解运用公式法解一元二次方程时要先求出根的判别式以确定根的情况是解题的关键． 18. 如图，已知． （1）画出关于原点中心对称的，并写出点A与点的坐标； （2）画出绕点O顺时针方向旋转得到的． 【答案】（1），，图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查作旋转图形、作中心对称图形，解题的关键是根据要求找出对应点的位置． （1）分别作出三个顶点关于原点中心对称的点，即点，点，点，顺次连接，再根据点在坐标系中的位置写出坐标即可； （2）将O点分别与A，B，C连接构成，，，将，，绕点顺时针方向旋转，可得到点，点，点，顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， 19. 如图，在中，弦相交于点E，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，证明即可得到结论． 【详解】证明：由圆周角定理得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 20. 掷实心球是北京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是小杰投掷实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图2所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小杰某次试投时的数据如图2所示． （1）在图中画出实心球运动路径的示意图； （2）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式； （3）根据北京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（男生），若实心球投犾距离（实心球落地点C与出手点的水平距离OC的长度)不小于10m，成绩为满分10分．请通过计算，判断小杰此次试投的成绩是否能达到满分． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）小杰此次试投的成绩达到优秀． 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图象即可； （2）设该抛物线的表达式为，由抛物线过点A得到25a+4=2．求得a=−，于是得到结论； （3）根据题意解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：实心球运动路径如图所示． ； 【小问2详解】 解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为（5，4），点A的坐标为（0，2）． 设该抛物线的表达式为， 由抛物线过点A，有25a+4=2． 解得a=−， ∴该抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：令y=0，得． 解得=5+5，=5-5（C在x轴正半轴，故舍去）． ∴点C的坐标为（5+5，0）． ∴OC=5+5． 由＞1，可得OC＞5+5×1=10． ∴小杰此次试投的成绩达到优秀． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 21. 如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． （1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． （2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）最小数为10 （2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数10； 【小问2详解】 解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 22. 如图，已知等腰中，，以为直径作交于点，过作于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据易得到，结合半径相等得到，进而得到，结合得到，再利用切线的判定求解； （2）根据，进而得到，结合易得到，利用勾股定理求出、的长度，进而得到的长度，最后用来求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ． 又， ， ， ． ， ． 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ， ． 而， ， ， 即． 又， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，求出圆的半径和、、的长度是解答关键． 23. 阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． 请回答：在图2中，的度数是______． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，若，，求的长度． （2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当______时，线段 有最大值，并求出的最大值． 【答案】；（1）；（2） ，CD最大值为 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系属于综合题，仔细审题，理解题意是解决问题的关键． 阅读材料：根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，然后求出，再根据计算即可得解； 过点A作交的延长线于点，可得四边形是正方形，然后设，根据上面的结论表示出，再求出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； 过点作，取，连接，，由勾股定理可求的长，由可证，可得，由三角形的三边关系可得． 【详解】解：阅读材料： 根据旋转， ，， ，， ，即； 过点作交的延长线于点， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 根据上面结论，可知， 设， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故； 过点作，取， 连接，， ， ， ， 又，， ， ， 线段有最大值时，只需最大即可， 在中，， 当、、三点共线时， 取最大值，此时， 在等腰直角三角形中，， ， ， 最大为：，此时， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $