专题05 数列与方程、不等式2种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

专题05数列与不等式、不定方程 目录 类型一、数列与不等式问题 类型二、数列与不定方程问题 压轴专练 类型一、数列与不等式问题 数列与不等式的综合问题核心是利用数列的通项公式、前n项和公式，结合不等式的性质、证明方法（比较法、放缩法等），解决“不等式证明、参数范围、最值求解”三大类问题。解题的关键是“桥梁搭建”——要么将数列问题转化为不等式问题（如用不等式放缩数列求和），要么将不等式问题转化为数列问题（如利用数列单调性求最值） 1.数列中不等式问题常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． （9）． 2.数列中不等式恒成立问题 求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得 例1．（1）已知数列的前项和为，若对一切正整数，不等式恒成立，则满足条件的最小整数为______. 【答案】2020 【分析】 首先根据得到，代入，可得不等式对一切正整数恒成立，转化为， 通过不等式可得的最大值，进而可得满足条件的最小整数. 【详解】 解：当时，，得， 当时，， 整理得 ，等式两边同除得， 则数列是以为首项，1为公差的等差数列， ， 则， 所以不等式对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立， 令，当时，最大， ， 解得，因为，， 此时， ，即。 所以满足条件的最小整数为2020. 故答案为：2020 （2）已知数列的前项和为，前项积为，满足． (1)求，和； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意计算出，将条件中的变为，然后化简可得是等比数列，计算可得； （2）由（1）可得，采用放缩法可得，根据数列求和公式计算即可得证. 【详解】（1）当时，， 当时，， ∵数列的前项积为，满足， ∴时，，化为，变形为， 时，， 数列是首项为4，公比为2的等比数列， ∴， 时，亦满足上式，即； （2）先证明左边：即证明，， 又由，解得， 又， 所以， 再证明右边：， ∴． 变式1-1．（1）已知数列满足，，若，且存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，令，进而证明数列是以为首项，为公差的等差数列，故可得，，在结合题意将问题转化为，再求数列的最大值代入解一元二次不等式即可得答案. 【详解】 ，． 令， ， 又， ∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ，即， ， ∵存在，使得成立， ． 令得则，， 或．， ，即，解得， ∴实数的取值范围是． 故选：D． （2）已知数列满足：，.设，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】由，可得，进而得到，结合，分和分类讨论，确定数列的单调性，求出最大值，进而得解. 【详解】由数列满足、得：是首项为，公比为的等比数列， ∴，∴， ∴， 当时，，∴，当且仅当时取等号，， 当时，，∴， 当时，数列单调递增，当时，数列单调递减， 则当或时，， 而任意的，恒成立，则， ∴实数的取值范围为. （3）数列满足，，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据给定条件求出数列通项，再由数列为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计算作答. 【详解】 数列中，，，则有，而， 因此，数列是公比为2的等比数列，，即， 则，因数列为单调递增数列，即，， 则，， 令，则，，当时，，当时，， 于是得是数列的最大值的项，即当n=3时，取得最大值，从而得， 所以的取值范围为. 故选：C 变式1-2．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据已知得到，应用等比数列的定义判断证明即可； （2）由（1）得到数列的通项公式，利用分组求和、等比数列前n项和公式求和； （3）由（2）得到数列的通项公式，对进行放缩得，应用裂项相消法证明结论. 【详解】（1）由题可得，，所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，所以， 所以. （3）由（2），则， 所以． 令，则， 其前项和为； 令，则， 其前项和为， 所以． 变式1-3．（1）已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）①，且， 当时，代入①得； 当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. （2），，③ ，④ ③-④得， 所以，所以，且，化简得， 令，所以， 所以的最大值为，所以. 所以的取值范围为. （2）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值； 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【详解】（1）由可得， 相减可得， 因此， 由于为正项数列，所以，因此， 故， 故数列为等差数列，且公差为2， 又，所以， 故 （2），故， 由可得，化简可得， 因此， 记， 则， 当时，，故，而， 当时，， ，故， 故为数列的最小项，故， 故的最大值为 （3）设数列的前n项和为，已知，. (1)证明数列为等比数列； (2)设数列的前n项积为，若对任意恒成立，求整数的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)0 【分析】（1）利用数列作差得到递推关系，再利用等比数列定义证明； （2）根据等比数列定义求出通项公式和前n项和与积，进而对化简，利用裂项相消法求和，分参求的取值范围. 【详解】（1）因为，① 当时，，② ①②得：，即， 经检验符合上式， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）知，所以， ， 所以 ， 所以恒成立，即， 化简得：， 令，所以， 所以数列是递增数列，最小值为， 所以，故整数的最大值为0. 类型二、数列与不定方程问题 数列与不定方程方法总结： 其解题核心主要是整数性质的应用： （1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。 （2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。 （3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两个： ①通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量 ②将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值 （4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点： ① 所解得变量非整数，或不符合已知范围 ②等式两侧为一奇一偶 例2.（1）已知数列中，，，为数列的前项和．数列满足． （1）证明：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设数列的前项和为问是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 【详解】（1）证明：由可得：， ， ， ， ， ， 将以上式子相加可得：， ，， 又也适合上式， ， ， 数列是首项、公差均为1的等差数列，； （2）解：由（1）可得， ， 假设存在正整数，，使得，，成等差数列， 则，即， 又，可解得：或， 故存在或，使得，，成等差数列已知数列，的通项公式分别为，，（2）数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， (1)求，，，及的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，，. (2)①，；②不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据数列中的每一项都能被2整除，可推出所求数列即为，进而写出前三项和通项公式； （2）①先确定和时，对应的等差数列的首尾两项，进而可解得公差，的值； ②利用等差数列的通项公式可得；假设在数列中存在三项（其中）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及反证法即可判断. 【详解】（1）因为，，所以数列中的每一项都能被2整除， 所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列， 所以由，的公共项从小到大排列构成的数列为， 则，，，，. （2）①由，得. 当时，，， 由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为的等差数列，故； 当时，，， 由题意，在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为的等差数列，故. ②不存在，理由如下： 由题意，即，所以． 假设在数列中存在三项，，（其中）成等比数列， 则，即．化简得． 又因为，所以， 得，所以， 又因为，所以， 即，所以，即，这与题设矛盾． 所以在中不存在三项，，（其中）成等比数列 变式2-1．已知数列的前项和为，且数列是等差数列. (1)求的通项公式； (2)设，试问是否存在正整数（其中），使得成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由题可得是以2为首项，1为公差的等差数列，求出，当时求出，判断是否符合即可求解； （2）求出，根据成等比数列得到方程，判断正整数数组是否符合题意，证明当时数列单调递减即可求解. 【详解】（1）因为， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以， 所以， 当时，， 又符合， 所以的通项公式为； （2）由（1）知， 由题意成等比数列得，又， 又， 则， 所以 当时，左边，右边，上式成立， 所以正整数数组满足题意， 由，当时， 所以当时数列单调递减， 则， 而，故当时（*）方程无正整数解， 综上，存在唯一的正整数数组满足题意. 变式2-2．已知正项数列的前n项和为，且． (1)求证： (2)在与间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）利用和等比数列的定义即可得出，再由放缩法和等比数列前n项和公式即可证明. （2）利用等差数列的通项公式即可得出；假设在数列中存在三项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及其反证法即可得出. 【详解】（1）因为，，所以即，① 当时，② ②①得：即， 当时，，所以， 所以是以2为首项，为公比的等比数列， 所以，又因为， 所以 当时，； 当时，， 综上所述：. （2）因为，，由题意知：， 所以 假设在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列， 则，即 化简得：， 又因为m，k，p成等差数列，所以， 所以即，又，所以 即，所以，这与题设矛盾. 所以在数列中不存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 变式2-3．已知数列的前项和满足（为不等于0的常数），且. (1)证明：为等比数列； (2)设且，若，求正整数的值； (3)是否存在，使得依次成等差数列？若存在，给出符合题意的的个数；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由与的关系证明即可； （2）求出，分类讨论去掉绝对值求和即可，整理得，求出即可； （3）假设存在，使得成等差数列，列出方程组求解即可判断是否存在. 【详解】（1）证明：因为，① 所以，② ②-①，得. 由，得，即. 由，得， 且，所以. 所以是公比为的等比数列. （2）由题意，得. 当时，，不满足题意，故. 当时， . 由题意，得，整理得，解得. （3）假设存在，使得成等差数列. 而成等差数列 由，解得，或（舍去）. 当时，， 所以方程组不存在不等于1的解， 故不存在，使得成等差数列. 压轴专练 1．数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造等比数列得，由题意对于任意的恒成立，故只需求出即可. 【详解】由题意令，所以，对比，可得， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以， 对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 显然当增大时，减小，此时增大， 所以. 故选：A. 2．已知数列中，，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造常数列，求出，得出，继而求解对任意的恒成立的问题，构造函数，解，即可. 【详解】因，则， 则，即， 因，则，故数列是各项为的常数列， 则，即，则， 因对于任意的，，不等式恒成立， 则，即对任意的恒成立， 令，， 则，， 即，得或， 故实数t的取值范围为. 故选：B 3．已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数列的递推关系求得，进而得，再利用裂项相消法求得，通过函数的单调性和有界性得到，即可求得的最小值. 【详解】因为 ，① 当时，，∵，∴； 当时，，② ①②两式相减得，整理，得 ∴，又， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. ∴，∴． ∴. ∴. 对于，，， 所以. 由恒成立，得. 故选：D. 4．设，数列，数列，设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的有（    ） A．无穷 B．4个 C．3个 D．1个 【答案】C 【分析】根据构成三角形的条件两边之和大于第三边，列出不等式组求解；借助最值解决对任意都满足的问题. 【详解】因为长为的线段均能构成三角形，所以. 由，有，即， 若，则对任意的都成立。 若，则，而当时，有最大值. 要使任意的都有，即要，解得可为任意正整数. 由，有，即， 所以，因，当时，有最大值. 要使任意的都有，即要，解得. 由，有，即， 若，则对任意的都成立。 若，则，当时，有最小值. 要使任意的都有，即要，解得. 综上，，所以满足条件的有3个． 故选：C 二、解答题 5．设等差数列的公差为，且，令，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式代入化简可得，进而可得，代入即可解得，进而可得； （2）构造数列，则，判断数列单调性，分为奇数和为偶数两种情况讨论数列的最小项，即可得解. 【详解】（1）由数列为等差数列，且， 则，则， 所以， 则， 又， 即， 解得或， 又，则， 所以； （2）由（1）得， 又， 设，则， 又，所以恒成立， 则数列为单调递增数列； 当为奇数时，恒成立，即； 当为偶数时，恒成立，即，； 综上所述. 6．数列的前项和为，且满足；递增的等差数列满足，． (1)求数列、的通项公式； (2)若是、的等比中项，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由得，两式作差得出该数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；设递增的等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于的方程，解出的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得； （3）利用数列单调性的求出数列的最大值，即可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，可得， 相减即有，即为， 所以，数列是首项和公比都为的等比数列，故. 设递增的等差数列的公差为，则， 因为，，即，整理得，解得或（舍去）， 则． （2）由是、的等比中项，可得， ， ， 相减可得 ． 化简可得． （3）不等式对一切正整数恒成立，即为恒成立． 由， 当时，；当时，，即， 可得数列从第二项起单调递减，即有最大值为， 则，整理得，解得或， 即实数的取值范围为． 7．已知数列满足，且；数列的前n项和为，满足． (1)求与的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义求出数列的通项公式；利用求出数列的通项公式； （2）利用错位相减求和求出，转化为恒成立，设，判断出的单调性可得答案. 【详解】（1）因为，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； 由知，当时，由得， 由得， 当时，， 可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）由（1）， ， ， 两式相减得 ， 所以， 则即恒成立， 即恒成立， 设，则， 当时，，当时，， 所以的最大值为， 所以. 8．已知等比数列的公比，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记， （i）求数列的前项和； （ii）若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据等比数列通项公式和求和公式可构造方程求得，进而得到； （2）（i）由（1）可得，利用错位相减法可求得； （ii）令，采用作差法可求得数列的单调性，确定，由此可得结果. 【详解】（1），，又，， 解得：或，，， ，解得：，. （2）由（1）知：； （i），， ， . （ii）令， ， 当时，；当时，； ， 若不等式恒成立，则， 即实数的取值范围为. 9．记为数列的前项和，已知． (1)求证：数列是等差数列； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用关系求得，注意的情况，即可证结论； （2）由题意，放缩得，再由裂项相消法即可得证. 【详解】（1）由题设且， 则，所以， 当时，，即， 综上，数列是公差为2的等差数列 （2）由题意及（1）得， 所以， 当时， 则， 又， 所以得证. 10.已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设由构成的新数列为是等差数列，求的值； (3)对于（2）中的等差数列，设，数列的前项和为，现有数列，，是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，13. 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，进而求出，再由等差数列求出值. （3）由（1）（2）求出，并用裂项相消法求和求出及，再探讨的性质并求出最大项即得. 【详解】（1）等差数列中，，而， 则，是方程的两根，由公差，得， 于是，，，， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知， ，由数列是等差数列，得， 则，化简得，而，解得， 当时，，数列为等差数列， 所以. （3）由（1）（2）得， 则， 因此， ， ， 由，得， 当时，，，当时，， 因此，由对一切都成立， 得，而，则， 所以存在整数，使对一切都成立，的最小值为13. 11.设数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)判断是否存在正整数，满足，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合计算推理即可求解. （2）由（1）求出并分离参数，构造数列，作差探讨单调性求出最大项即可. （3）由已知可得，换元赋值，再借助二项式定理比较大小求解. 【详解】（1）数列中，，当时，， 两式相减得，，即， 整理得，，当时，，解得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得，，则，， 依题意，， 设， 则， 当时，，当时，，即， 因此数列的最大项为， 所以的取值范围是. （3）假设存在正整数，满足， 则，即，由且，得， 设，则， 当时，不符题意；当时，，此时符合题意； 当时，，不符题意；当时，，不符题意； 当时，， 因此，即当时，不符题意， 所以存在正整数，满足. 12.已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件列方程求出数列的首项，公比或公差，进而求出通项公式； （2）用错位相减法求数列前项和； （3）利用反证法，先假设存在，再利用等比中项和等差中项的性质求解，进而证明不存在. 【详解】（1）由题意，当时，有；当时， 联立方程，解得或（舍）. 所以数列的通项公式. 由题意知，，则， 联立方程，解得， 所以数列的通项公式． 综上，，. （2）因为， 所以...①， ①×3得，...②， ①-②得，， ， 化简得：. （3）由（1）知. 所以，所以． 设数列中存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 则．故，即． 又因为m，k，p成等差数列，所以，故. 故，化简得，所以. 又因为，所以，故，即. 而，所以. 与假设矛盾． 所以在数列中不存在3项成等比数列 13.在数列中，，． （1）设，求数列的通项公式； （2）中是否存在不同的三项，，，，恰好成等差数列？若存在，求出，，的关系；若不存在，说明理由． 【答案】（1）．（2）不存在不同的三项，，成等差数列 【详解】（1）， 又， 所以，数列是首项为2、公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）得． 假设中是否存在不同的三项，，，，恰好成等差数列， 不妨设，则， 于是，所以． 因，，，且，所以是奇数，是偶数， 不可能成立， 所以不存在不同的三项，，成等差数列． 14.已知数列的前项和为，且．数列满足，且，前9项和为153． （1）求数列，的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求及使不等式对一切都成立的最小正整数的值； （3）设问是否存在，使得成立？若存在，求出的值； 若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 1007 （3） 【详解】（1）由． 故当时，． 时，，而当时，， ， 又，即， 为等差数列，于是． 而，故，， 因此，，即； （2） ． ． 易知单调递增，由，得，而，故，； （3）， ①当为奇数时，为偶数． 此时，， ，． ②当为偶数时，为奇数． 此时，． ， （舍去）． 综上，存在唯一正整数，使得成立． 15..已知数列的前项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36． （1）求数列和的通项公式； （2）设，且对于给定的正整数，存在正整数，，使得，，成等差数列（其中，分别计算，3时满足条件的整数，的一组通解（答案用表示，需要相应的推理过程）； （3）当为奇数时，放在前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项位置上，可以得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，该数列的前项和记为，是否存在正整数，，使得成立？若存在求出所有满足条件的，，若不存在，则说明理由． 【答案】（1）bn=n-1 （2）见解析（3），不存在 【详解】（1）因为， 于是数列是首项为1，公差为的等差数列， 所以，即， 当时，， 又因为，所以； 又因为，于是数列是等差数列，设公差为， 设的前项和为，由于， 即，又，， 所以； （2）由（1）可知，， 若对于任何给定的正整数，存在正整数，， 使得，，成等差数列，则，即， 于是， 所以，且 则对任意的，能整除─，且──． 由于当时，─1中存在多个质数， 所以──1只能取1或─1或─， 若，则，，于是，符合； 若，则，矛盾，舍去； 若，则，于是，矛盾． 综上，当时，存在正整数，，满足，且使得，，成等差数列． （3）由（1）知，，则，，，，，，，，，，， 构造的新数列，0，1，2，3，2，3，4，5，4，5，6，7，，，，，，，显然， 所以， ， 假设， 即有，当，，， 因为，不能得到完全平方， 故这样的，不存在． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05数列与不等式、不定方程 目录 类型一、数列与不等式问题 类型二、数列与不定方程问题 压轴专练 类型一、数列与不等式问题 数列与不等式的综合问题核心是利用数列的通项公式、前n项和公式，结合不等式的性质、证明方法（比较法、放缩法等），解决“不等式证明、参数范围、最值求解”三大类问题。解题的关键是“桥梁搭建”——要么将数列问题转化为不等式问题（如用不等式放缩数列求和），要么将不等式问题转化为数列问题（如利用数列单调性求最值） 1.数列中不等式问题常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． （9）． 2.数列中不等式恒成立问题 求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得 例1．（1）已知数列的前项和为，若对一切正整数，不等式恒成立，则满足条件的最小整数为______. （2）已知数列的前项和为，前项积为，满足． (1)求，和； (2)证明：． 变式1-1．（1）已知数列满足，，若，且存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2）已知数列满足：，.设，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为 （3）数列满足，，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式1-2．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 变式1-3．（1）已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. （2）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值； （3）设数列的前n项和为，已知，. (1)证明数列为等比数列； (2)设数列的前n项积为，若对任意恒成立，求整数的最大值. 类型二、数列与不定方程问题 数列与不定方程方法总结： 其解题核心主要是整数性质的应用： （1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。 （2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。 （3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两个： ①通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量 ②将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值 （4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点： ① 所解得变量非整数，或不符合已知范围 ②等式两侧为一奇一偶 例2.（1）已知数列中，，，为数列的前项和．数列满足． （1）证明：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设数列的前项和为问是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由． （2）数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， (1)求，，，及的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 变式2-1．已知数列的前项和为，且数列是等差数列. (1)求的通项公式； (2)设，试问是否存在正整数（其中），使得成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；若不存在，请说明理由. 变式2-2．已知正项数列的前n项和为，且． (1)求证： (2)在与间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 变式2-3．已知数列的前项和满足（为不等于0的常数），且. (1)证明：为等比数列； (2)设且，若，求正整数的值； (3)是否存在，使得依次成等差数列？若存在，给出符合题意的的个数；若不存在，说明理由. 压轴专练 1．数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知数列中，，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 4．设，数列，数列，设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的有（    ） A．无穷 B．4个 C．3个 D．1个 5．设等差数列的公差为，且，令，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 6．数列的前项和为，且满足；递增的等差数列满足，． (1)求数列、的通项公式； (2)若是、的等比中项，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围． 7．已知数列满足，且；数列的前n项和为，满足． (1)求与的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立．求实数的取值范围． 8．已知等比数列的公比，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记， （i）求数列的前项和； （ii）若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围 9．记为数列的前项和，已知． (1)求证：数列是等差数列； (2)若，求证：． 10.已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设由构成的新数列为是等差数列，求的值； (3)对于（2）中的等差数列，设，数列的前项和为，现有数列，，是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 11.设数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)判断是否存在正整数，满足，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 12.已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 13.在数列中，，． （1）设，求数列的通项公式； （2）中是否存在不同的三项，，，，恰好成等差数列？若存在，求出，，的关系；若不存在，说明理由． 15..已知数列的前项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36． （1）求数列和的通项公式； （2）设，且对于给定的正整数，存在正整数，，使得，，成等差数列（其中，分别计算，3时满足条件的整数，的一组通解（答案用表示，需要相应的推理过程）； （3）当为奇数时，放在前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项位置上，可以得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，该数列的前项和记为，是否存在正整数，，使得成立？若存在求出所有满足条件的，，若不存在，则说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $