专题08 数列通项及数列求和问题（期末真题汇编，重庆专用）高二数学上学期人教A版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08数列通项及数列求和问题 ☆5大高频考点概览 考点01数列通项的求法 考点02数列求和中的分组求和问题 考点03数列求和中的裂项相消问题 考点04数列求和中的错位相减问题 考点05数列中的综合应用问题 目目 考点01 数列通项的求法 一、单选题 1 1 1 1.(23-24高二上重庆部分学校调研)对于数列a,,若满足：mR,=a+4,+子4++3一a,则称R为 (8 数列a的优值，现已知数列a,的优值R=子，记数列0+骨}的前暖和为S,则S.的最大值为 () A. 2 B. 23 3 D. 2.(23-24高二上重庆第一中学校期末)已知Sn为数列{an}的前项和，若a1=2且Sn1=2Sn,设 1 1 1 1 b,=1+10g2an,则 bb3 b2b3 b3bs 的值是() b2023b2024 2022 4045 A. B. 2023 C. D. 1517 2023 2024 2023 2024 3.(24-25高二上·重庆九龙坡区)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，,且an1=Sn+2,其中n∈N广，若在a 与a之间插入5个数，使这7个数组成公差为d的等差数列，则d=() 3 A·2 B.2 C.3 D.4 二、多选题 4.(24-25高二上重庆第八中学校期末)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,已知S1=2Sn+1,则下 列结论正确的是() A.数列S,+1}为等比数列 B.数列(an}不是等比数列 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 C.S,=2a-1 D.数列 S 是递增数列 a 5.(24-25高二上重庆九龙坡区)设数列an}的前n项和为Sn,已知a1=3,3(n+1a.-na+1=0 (n∈N),则下列结论正确的是() A.a3=81 B 为等比数列 C.a =n.3-1 g n D.S=4 三、解答题 6.(23-24高二上重庆期末)记数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=2n2-3n+1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)在数列an}中，从第二项起，每隔三项取出一项a2,a6,a1o,…)组成新的数列{bn}，求数列{bn}的前n项 和Tn· 7.(23-24高二上重庆九龙坡区)已知正项数列an}(neN,)中，a=5,前n项和为Sn,且·请从下 面两个条件中任选一个条件填在题目横线上，再作答. 条件：①ai+1-2an+1=a+2an；②nan+l)=2Sn (1)求数列{an}的通项公式； 回设久a中，数列®的前项和为，证期：工<分 1 8.(23-24高二上·重庆第十八中学期末)已知数列an}中，a,=2,数列{an}的前n项和Sn满足： a1=2Sn+2(n+10(n∈N）. (1)证明：数列an+1是等比数列，并求通项公式a; 1 (2)设bn=l0g;(a,+1),且数列 的前n项和工，求证：工，<} .e24底二上重庆第一中学校期内已如数列a的首项a=片且aa,+aeN): 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 b,-2n-1 (1)证明：数列{2”·an}是等差数列，并求出{a}的通项公式： (②记c.为数列b,}中能使6，≥，（meN)成立的最小项，求出G、G以及数列c的前2023项和 2m+1 10.(24-25高二下·重庆西南大学附属中学校期末)数列{an}中，a1=-2,满足a1+3an=4n+1 (1)证明：数列{an-n}为等比数列； (2)求数列{an}的前n项和n 目目 考点02 数列求和中的分组求和问题 一、解答题 1.(24-25高二上重庆长寿区期末)在等差数列an}中，a3=5,am+2=an+4. (1)求数列{a}的通项公式a,和前10项的和So; (2)若数列{bn}满足bn=3,求数列3b。-an}的前n项和T. 3”,n为奇数， 2.(24-25高二上·重庆北碚区·调研)已知数列{an}为等差数列，b,= an,n为偶数 记Sn,Tn分别为数列 {an},bn}的前n项和.S4=10,T=32. (I)求an}的通项公式： (2)求Tn。 3.(24-25高二上重庆第一中学校期末)己知公差为d的等差数列{an}和公比为99≠1)的等比数列bn}满足： a3-b3=a5-b4=a,-b5 (1)求9的值； (2)若d=4,且a,=1,cn=(-1)”am+bn,求数列{cn}的前n项和Sn 4.(23-24高二上重庆第十八中学期末)已知数列an}为等差数列，a,+a3=6,S4=16. (1)求数列{an}的通项公式： (2)设bn=an+2,求数列bn}的前n项和Tn. 5.(23-24高二上重庆部分学校调研)某市2023年总发电量为12亿度，其中火力发电量10亿度，水力发 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 电量2亿度.为了节约非可再生资源，充分利用可再生资源，从2024年开始，每年水力发电量是上一年的 2倍，而火力发电量每年比上一年减少1亿度，同时规定一旦某年发电量的总度数超过15亿度，以后每年 水力发电量将保持不变.记2023年为第一年，每年火力发电量（单位：亿度）构成数列{a},每年水力发 电量（单位：亿度）构成数列{bn}. (1)写出这两个数列的通项公式： (2)从2023年算起，累计各年发电量的总数，哪一年开始不低于100亿度？ (备注：√489≈22.1) 6.(23-24高二上·重庆九龙坡区)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，42+a4=-10,且a是a2和a4的 等比中项， (1)求数列{an}的通项公式： 2",n≤6 (2)已知b,= a,n≥7' 求数列{bn}的前30项和T0· 目目 考点03 数列求和中的裂项相消问题 一、 解答题 1.(24-25高二上重庆巴蜀中学教育集团期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,a,=-1,且数列 S 是公差 n 为1的等差数列. (1)求数列{an}的通项公式： (2若数列6满足，=，neN),工为数列b的前n项和，求工. anan+ 1 2.2425高二上重庆第八中学校期末数列a,中，4=30。-0-2a,a=0. (1)求证：数列 为等差数列： a (2)求满足a4,+a,4+…+a4,>7的n的最小值. 3.(24-25高二上·重庆九龙坡区)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a2+a,=14,S。=110 (1)求数列an}的通项公式： (2)设6，=12 a an 一，n为数列bn}前n项的和，求T0 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 4.(24-25高二上重庆期末)已知数列{an}中，41=2，Sn为数列{an}的前n项和，S,=n+n. (1)求数列an}的通项公式： 1 (2)若数列{b}总满足b.= 一’求数列b,}的前n项和工. 5.(23-24高二上重庆部分学校：调研)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2+a,=13,S4=a3· (1)求数列{an}的通项公式an; ②记么d,数列。的前吸和为求证，了<分 aan+ 6.(23-24高二上·重庆南开中学校期末)己知等差数列{an}满足：4=7，a+a,=26 (1)求an; 若b.三1N,求数列b,的前20项的和 7.(23-24高二上重庆巴蜀中学校期末)已知数列{an}为等差数列，{an}的前项和为Sn,a6=11,S,=9 (1)求数列{a}的通项公式： (2)求证： 25,ls -+ 8.(24-25高二上·重庆巴川系期末)汉诺塔，又称河内塔，是一个源于印度古老传说的益智玩具，由法国数 学家爱德华·卢卡斯于1883年发明，其玩法如下：如图，设有个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在 上套在A柱上，现要将套在.A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘 套在小盘上面，假定有三根柱子A,B,C可供使用，用4，表示将个圆盘全部从A柱上移到C柱上所需 要移动次数的最小值 B (1)写出a1,a2,a3; (2)写出an和an的关系式，并证明：数列{an+1是等比数列； 3③记工了1+、求使得工，2023成立的正整数的最小值 台aak+Hak+1 9.(24-25高二上重庆主城七校期末)已知{an}为等差数列，{b}为等比数列且公比大于0，a1=2,b=3, / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2a3=5(a5-a4),6b3=b-b4 (I)求{an}和(b}的通项公式： (2)设cn=(-1)”- 16n (neN),记数列{cn}的前n项和为Sn,求Sn anan+l b 目目 考点04 数列求和中的错位相减问题 一、解答题 1.(23-24高二上重庆第八中学校期末)已知数列{an}的首项a,=1,设Sn为数列{an}的前n项和，且有 2S,=(n+1)a. (1)求数列{an}的通项公式： (2)令cn=a,2”，求数列{cn}的前n项和Tn 2.(23-24高二上·重庆巴蜀中学校期末)已知{an}的前n项和为Sn,且满足n∈N”,S.=2a.-2 (1)求{an}的通项公式： (2)若数列{bn}满足：b=1,且Hn∈N,b+1+b。=2n,求数列{anb,}的前n项和 3.(23-24高二上重庆第一中学校期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2=2an（n∈N) (I)求an}的通项公式： (2)设bn=anl0g2a2m+1,求数列{b,}的前n项和T 4.(23-24高二上重庆南开中学校期末)己知数列an}满足a=1,a+1=2an+n+1 (1)求证：数列{an+n+2}是等比数列，并求出an; (②记6，=2-受，S是数列么，的前n项和若对任意的n∈N都有6,4-S.>m,求实数m的取值范围 5.(23-24高二上重庆七校期末)数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且a=b=1,a2b2=6, a3b=27,公比0<q≤3. (1)求数列{a}、{b,}的通项公式： 因法无-会会+…+会，证明：无<成立 .9 / 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 6.(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校期末)已知数列{an}是公差为正的等差数列，a2=5,且a,+1, 3 2(nEN). 3 a-2,a4+1成等比数列，若数列bn}前n项和为Sn,并满足Sn=二bn+2n- 2 (I)求数列an},{b,}的通项公式 2若c,a+2-6,求数列c的前项和Z 7.(24-25高二上·重庆南开中学校期末)设Sn为数列{an}的前n项和，且满足S,=2a,-1n∈N). (1)求数列{an}的通项公式： (2)令bn=n·an,求数列{bn}的前n项和Tn. 8.(24-25高二上重庆巴川系期末)已知等差数列{an}的公差d≠0，a+a,=22,且a,42,4成等比数列； 数列{bn}的前n项和Sn,且满足2Sn=3b,-3 (I)求数列{an},{bn}的通项公式： (2设c=&,求数列c的前项和无 9.(24-25高二上·重庆部分区·期末)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a,=b=1,a2+b2=2,a,+b=3. (1)求数列{an}和数列bn}的通项公式： (2)若cn=an·b,求数列cn}的前n项和Sn· 目目 考点05 数列中的综合应用 一、单选题 3 3 1.(24-25高二上·重庆第一中学校期末)己知数列an}满足a= 1-a=+则 1+L+…+1+1=) aa a17a18 19 29 A·20 341 C. 531 B. D. 20 380 380 2.(2425高二上重庆南开中学校期末已知双曲线C: y2 a2 b2 =1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F,F2, 点Q?0,在双曲线右支上存在点P,使得PF,PQPR成等比数列，则双曲线离心率取值范围是() A.B. c. D. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(23-24高二上重庆第十八中学期末)若数列{Fm}满足F=1,F=1,Fn=Fm1+F-2,(n≥3，n∈N), 则称数列F,}为Fibonacci数列，该数列是由意大利数学家斐波那契于1202年提出，此数列在现代物理、准 晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.则下列结论错误的是() A.F+F3+F+…+F2023=F2024 B.数列{Fn}各项除以2后所得的余数构成一个新数列{an},若数列{an}的前n项和为Sn,则 S2023=1349 C.记F2=m,则数列{Fn}的前2021项的和为m-2 D. E2+fB++F=Ra F2022 二、多选题 4.(24-25高二上·重庆主城七校期末)已知数列{an}和{bn}(n∈N是等比数列，则下列结论中正确的是() A.{a}是等比数列 B.{a}可能是等差数列 C.a1+a2,a3+a4,a+a6是等比数列 D 是等比数列 b 5.(23-24高二上·重庆第一中学校期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,下列说法正确的是() A.若S。=2n2+n+1,则{an}为等差数列 B.若{a}为等差数列，则{2}为等比数列 C.若{an}为正项等比数列，则log;a,}为等差数列 D.若{an}为等差数列， 则5 为等差数列 n 6.(23-24高二上重庆巴蜀中学校期末)已知数列{a,}满足：n∈N,a1=a+2a,+b,其中beR,数列 an}的前n项和是Sn,下列说法正确的是() / 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.当b∈(1，+o)时，数列{a,n}是递增数列 B.当b=-6时，若数列{an}是递增数列，则a1∈(-0，-3(2，+0 4a=2时，3，≥n+3n C.当b= 2 D.当b=-2,a1=3时， 1+1 +…+1≤3 a1+2a2+2an+210 7.(23-24高二上·重庆九龙坡区)《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学 问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠， 一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，，以此类推。记每个月新生的老鼠数 量为a,每个月老鼠的总数量为bn,数列an},bn}的前n项和分别为Sn,Tn,可知 a1=12,b=14,a2=84,b2=98,则下列说法正确的是() A.a7=12×7 B.b,=2×77 C.S,=2x77-2 D.3=7'-7 3 8.(23-24高二上重庆期末)设n∈N,已知数列{an}为等比数列，则() A.{2a}一定为等比数列 B.{a}一定为等比数列 C.当n>2时，{a-a-2}一定为等比数列D.当n>2时，{22}可能为等比数列 三、填空题 9.(2425高二上重庆第一中学校期末)无人机表演美轮美色，为了精确的控制每一台参演的无人机，程序 员需要为每一台无人机编写控制代码.己知一位程序员每天最多可以编写110行该类代码，从第二台无人机 开始，后一台无人机需要的控制代码数量是前一台的Q倍(a>0),已知控制1000台无人机需要24300行代 码，控制2000台无人机需要32400行代码.某无人机表演公司接到客户临时通知，将表演规模从3000台增 加到5000台，仅有2天的时间准备，则该公司最少需要组织名程序员编写新增的控制代码. 四、解答题 10.2425商=上重优九龙凌区已知数列6)满E4+今+会+叶名 +2=n,n∈N，{b,}的前项和为 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 In.等差数列{an}满足a=b,a4=T,且{an}前n项和为Sn (I)求数列{an}和b,}通项公式： (2)若对n∈N°，有S≤元(Tn+1恒成立，求实数2的最小值； (3)设数列{an}中的项落在区间T.+l,T,m+1中的项数为cmm∈N),求数列{cm}的前n项和Hn· 11.(2425高二上·重庆期末)已知数列{an}的前nn∈N)项和Sn满足a2+4Sn=9-4n,且a1>0,a,<0. (1)求数列{an}的通项公式： (2)集合A={xx=2S。-na,n∈N},数列{c}为等比数列且cn∈A(n∈N),如果数列 为递减数列，求 等比数列{cn}的公比q. 12.(23-24高二上·重庆第八中学校期末)已知等差数列{an}的首项a,=-1,公差d≤0，记{an}的前n项和 为S,neN). (1)若S-25a,a4=25,求Sn; (2)若对于每个n∈N,存在实数x,使an+x,a+1+3x,a+2+8x成等比数列，求公差d的取值范围. 专题08 数列通项及数列求和问题 5大高频考点概览 考点01 数列通项的求法 考点02 数列求和中的分组求和问题 考点03 数列求和中的裂项相消问题 考点04 数列求和中的错位相减问题 考点05 数列中的综合应用问题 地 城 考点01 数列通项的求法 一、单选题 1．(23-24高二上·重庆部分学校·调研)对于数列，若满足：，则称为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将中的变为后两式相减可得数列的通项公式，然后令即可求出的最大值. 【详解】由已知得①， 则当时，② 所以①-②得，即， 又当时，，符合， 故， 所以 令，得， 所以的最大值为. 故选：D. 2．(23-24高二上·重庆第一中学校·期末)已知为数列的前项和，若且，设，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的关系求得以及，再利用裂项求和法即可求得结果. 【详解】由题可知：，，当时，， 两式做差可得：； 对，令，故可得，即可的， 故数列是从第二项起，公比为的等比数列，则； 又，则； 故 . 故选：D. 3．(24-25高二上·重庆九龙坡区·)已知等比数列的前项和为，且，其中，若在与之间插入5个数，使这7个数组成公差为的等差数列，则（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用关系可得，结合等比数列定义写出通项公式，进而得，，根据等差数列通项求公差. 【详解】因为，当时，， 两式相减，得，即，故公比为2， 所以，而当时，得， 所以等比数列的通项公式为，， 所以，，所以所求的公差为． 故选：D 二、多选题 4．(24-25高二上·重庆第八中学校·期末)设首项为1的数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列不是等比数列 C． D．数列是递增数列 【答案】ACD 【分析】通过构造法可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，选项A正确；根据选项A求出数列的通项公式，可得选项B错误；利用等比数列通项公式及前项和公式可得选项C正确；根据可得选项D正确. 【详解】由题意，可知， ∵，∴， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故选项A正确； 由A得，，∴， 当时，， 当时，满足上式，∴， ∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故选项B错误； ∵，∴，故选项C正确； ∵，∴， ∴数列是递增数列，故选项D正确. 故选：ACD． 5．(24-25高二上·重庆九龙坡区·)设数列的前项和为，已知，（），则下列结论正确的是（   ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】由题设得，是首项为3，公比为3的等比数列，即可判断A、B、C选项；应用错位相减法、等比数列前项和，可判断D选项. 【详解】由（），得，又，则， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，故B选项正确； 所以，则，可得，故A选项正确，C选项错误； 由，则 两式相减，得， 所以，，故D选项正确. 故选：ABD. 三、解答题 6．(23-24高二上·重庆·期末)记数列的前n项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，从第二项起，每隔三项取出一项组成新的数列，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列的求和公式，利用其与通项的关系，可得答案； （2）根据数列的通项公式，写出的通项公式，利用等差数列的求和公式，可得答案. 【详解】（1）由题：， 当时，有，两式相减可得：， 当时，，不满足上式，故； （2）由题可知，由于，故， 故. 7．(23-24高二上·重庆九龙坡区·)已知正项数列中，，前项和为，且______．请从下面两个条件中任选一个条件填在题目横线上，再作答． 条件：①；②． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）若选①，通过因式分解化简递推公式，得是公差为2的等差数列，结合可求数列的通项公式； 若选②，时，求出，利用公式，化简后证得数列为等差数列，由条件求出公差，即可得出数列的通项公式； （2）利用放缩法及裂项相消求和法证明不等式. 【详解】（1）若选①，由，得(， 即(， 因为为正项数列，所， ∴是公差为2的等差数列，又， ∴. 若选②，，当时，， 两式作差得：，则， 两式作差得：， 即，所以数列为等差数列， 时，，可得 公差， ∴. （2）∵， ∴. 8．(23-24高二上·重庆第十八中学·期末)已知数列中，，数列的前n项和满足：． (1)证明；数列是等比数列，并求通项公式； (2)设，且数列的前n项和，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）由数列的通项与前项和的关系，结合等比数列的定义、通项公式，可得所求； （2）由对数的运算性质和数列的裂项相消求和，结合不等式的性质，可得证明． 【详解】（1）由数列的前项和，满足， 可得时，， 上面两式相减可得，即， 则， 当时，，即， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，可得，即； （2）， ， 则 ． 9．(23-24高二上·重庆第一中学校·期末)已知数列的首项，且，. (1)证明：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)记为数列中能使成立的最小项，求出、以及数列的前2023项和. 【答案】(1)证明见解析， (2)，，数列的前2023项和为. 【分析】（1）借助等差数列的定义即可证明，由等差数列的性质可得的通项公式； （2）求出后，根据规律找到满足条件能使成立的最小项，并对不同的值，计算满足条件的个数，从而求和得解. 【详解】（1）由，则， 又， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 有，则； （2）由，故， 令，得. 若，则，即， 若，则，即， 故有，， 若，则，即， 若，则，即， 若，则，即， 由时，共个数， 故数列的前2023项和为： . 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得，从而分类讨论的取值范围，求得对应的值，从而得解. 10．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学校·期末)数列中，，满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等比数列的定义即可证明； （2）由题意，由等差、等比数列求和公式以及分组求和法即可求解. 【详解】（1）由，得，又， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得（，. 所以 . 地 城 考点02 数列求和中的分组求和问题 一、解答题 1．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)在等差数列中，． (1)求数列的通项公式和前10项的和； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义和公式，求公差和通项，再代入求和公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，利用等差和等比前项和公式，即可求解. 【详解】（1）已知等差数列中，，可得公差为2， 即，则，， ； （2） 设， 则 . 2．(24-25高二上·重庆北碚区·调研)已知数列为等差数列，记分别为数列的前项和．． (1)求的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，可求与，可明确数列的通项公式. （2）利用分组求和法结合等差、等比数列的求和公式求解. 【详解】（1）设的公差为． 可得． 由， 解得. 所以． （2） ． 3．(24-25高二上·重庆第一中学校·期末)已知公差为的等差数列和公比为的等比数列满足：. (1)求的值； (2)若，且，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列和等比数列项之间的关系建立等量关系，解方程组即可得到的值； （2）将和代会（1）中求得，从而求得以及，从而知道，对进行奇偶讨论，分别出对应的数列的前项和. 【详解】（1）∵， ∴， 即，即， 因为，所以解得. （2）将，代入（1）中等式可得，∴， 由得， ∴， 则， 当为奇数时， ， 当为偶数时， 综上所述 4．(23-24高二上·重庆第十八中学·期末)已知数列为等差数列，，． (1)求数列的通项公式： (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算求得首项和公差，再由等差数列的通项公式，即可得解； （2）采用分组求和法，结合等差、等比数列的求和公式，即可得解． 【详解】（1）设数列的公差为， 因为，， 所以，，解得，， 所以数列的通项公式为． （2）， 所以 ． 5．(23-24高二上·重庆部分学校·调研)某市2023年总发电量为12亿度，其中火力发电量10亿度，水力发电量2亿度．为了节约非可再生资源，充分利用可再生资源，从2024年开始，每年水力发电量是上一年的2倍，而火力发电量每年比上一年减少1亿度，同时规定一旦某年发电量的总度数超过15亿度，以后每年水力发电量将保持不变．记2023年为第一年，每年火力发电量（单位：亿度）构成数列，每年水力发电量（单位：亿度）构成数列． (1)写出这两个数列的通项公式； (2)从2023年算起，累计各年发电量的总数，哪一年开始不低于100亿度？ （备注：） 【答案】(1)， (2)从2030年开始累计各年发电量的总数开始不低于100亿度. 【分析】（1）根据题意，结合数列的变化规律，确定数列类型，即可求得通项公式； （2）根据（1）中所求，求出数列的前n项和，结合参考数据以及即可求得结果. 【详解】（1）由题意，当时，，当时，，， 又，，， . （2）设表示数列的前n项和， 当时，， 当时， ，令，得，化简整理得，解得，又，则，， 所以从2030年开始累计各年发电量的总数开始不低于100亿度. 6．(23-24高二上·重庆九龙坡区·)已知数列是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项， (1)求数列的通项公式： (2)已知，求数列的前30项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程组求解； （2）利用等差数列和等比数列的求和公式，分组求和即可. 【详解】（1）设数列的公差为， 则① 又是和的等比中项，即， 所以②， 由①②得， 所以； （2）由（1）可得， 所以， 所以. 地 城 考点03 数列求和中的裂项相消问题 一、解答题 1．(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知数列的前n项和为，且数列是公差为1的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足为数列的前n项和，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用数列的通项和前n项和的关系求解； （2）由，利用裂项相消法求解. 【详解】（1）解：由题知，则， 所以．       当， 又也符合，所以． （2）， 所以， . 2．(24-25高二上·重庆第八中学校·期末)数列中，． (1)求证：数列为等差数列： (2)求满足的n的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）两边同时除以即可； （2）先裂项相消求和，然后解不等式. 【详解】（1），又， ∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列， . （2）由（1）知，， ， ， ，的最小值为11． 3．(24-25高二上·重庆九龙坡区·)设等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列前项的和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设出等差数列的公差，化简题目中的等式，可得答案； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由题意设等差数列的公差为， 由题意，解得，所以. （2）， 所以数列的前50项和， 所以. 4．(24-25高二上·重庆·期末)已知数列中，，为数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列总满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用,求得; (2)利用裂项相消法，求得. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，， 由，当时，，符合 综上所述，； （2）， 则； 故. 5．(23-24高二上·重庆部分学校·调研)已知是等差数列的前项和，若，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式即可求解；. （2）根据（1）的结论求出，利用裂项相消求和法,可求出,进而可证明结论. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则 由题意可知，即，解得， 所以数列的通项公式为 （2）由（1）知，，， 所以. 所以 ， 当时，. 故. 6．(23-24高二上·重庆南开中学校·期末)已知等差数列满足：，. (1)求； (2)若，求数列的前20项的和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，从而求出与的值即可得到； （2）根据的通项公式可知利用裂项相消求和法即可求出． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得，解得， 所以， 所以， （2）设数列的前项和为， 由（1）可知， 所以． 7．(23-24高二上·重庆巴蜀中学校·期末)已知数列为等差数列，的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接由等差数列及其求和公式中的基本量计算出等差数列的首项和公差即可得解. （2）由（1）得，由裂项相消法求和即可得证. 【详解】（1）设数列的公差为，由题得， 解得，所以. （2）由（1）可得，所以， 所以. 8．(24-25高二上·重庆巴川系·期末)汉诺塔，又称河内塔，是一个源于印度古老传说的益智玩具，由法国数学家爱德华・卢卡斯于1883年发明，其玩法如下：如图，设有个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在柱上，现要将套在.柱上的盘换到柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子，，可供使用，用表示将个圆盘全部从柱上移到柱上所需要移动次数的最小值. (1)写出，，； (2)写出和的关系式，并证明：数列是等比数列； (3)记，求使得成立的正整数的最小值. 【答案】(1)，，； (2)，证明见解析 (3)10 【分析】（1）按照题意，得到，，； （2）分析得到，变形得到，证明出结论； （3）在（2）基础上，得到，从而得到，裂项相消法求和，得到，从而得到不等式，结合指数函数单调性，得到，求出答案. 【详解】（1）显然， 当时，按照半径从小到大，将圆盘依次编号1，2， 故可将1号先套在柱上，将2号套在柱上，再将1号套在柱上， 故， 当时，按照半径从小到大，将圆盘依次编号1，2，3， 先将1号套在柱上，2号套在柱上，再将1号套在柱上，将3号套在柱上， 此时共进行了4次移动， 接下来借助柱，将柱上的1号和2号，套在柱上，和步骤相同， 故； （2）事实上，要将个圆盘全部转移到柱上，只需先将上面的个圆盘转移到柱上，需要次转移，然后将最大的那个圆盘转移到柱上，需要1次转移， 然后将柱上的个圆盘转移到柱上，需要次转移， 所以， 则， 所以为公比为2的等比数列，且首项为； （3）由（2）知，，故， ， 故 ， ，故，，，， 因为在R上单调递增，且， 故，解得， 故使得成立的正整数的最小值为10. 9．(24-25高二上·重庆主城七校·期末)已知为等差数列，为等比数列且公比大于，，，， (1)求和的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设数列公差为，数列公比为，利用等差数列通项公式和等比数列通项公式将条件转化为的方程，解方程求，再利用等差数列通项公式，等比数列通项公式求结论； （2）由（1）可得，分别在为偶数和奇数条件下，利用分组求和法，裂项相消法及等比数列求和公式求结论. 【详解】（1）设数列公差为，数列公比为， 由，得解得． 所以． 由于，即，又，， 所以，解得或（舍去） 所以； （2）由（1）得： 所以 所以 所以 当为偶数时： 当为奇数时： . 地 城 考点04 数列求和中的错位相减问题 一、解答题 1．(23-24高二上·重庆第八中学校·期末)已知数列的首项，设为数列的前项和，且有. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到，两式相减构造常数列即可求出数列的通项公式； （2）利用错位相减法求和方法进行求和即可 【详解】（1）由， 当时，， 两式相减，得，即， 即对恒成立，所以是常数列， 所以，所以 （2）由（1）知，， 所以， 所以， 两式相减，得， 所以 2．(23-24高二上·重庆巴蜀中学校·期末)已知的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)若数列满足：，且，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时求出，当时利用进行求解即可； （2）由所给等式可知的奇数项和偶数项分别成等差数列，利用等差数列的通项公式分别求出及的通项公式，分类讨论利用错位相减法进行求和. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，因为①， 所以②， ①-②得，即， 所以，当时，满足上式， 所以. （2）因为，所以，两式相减得，所以的奇数项和偶数项分别成等差数列， 当为奇数时，，令，则， 所以，此时； 当为偶数时，，令，则， 所以，此时； 记的前项和为， 当时， 令①， 所以②， ①-②得， 所以， 令， 发现， 所以， 所以当为偶数时，； 当为奇数时，为偶数， 所以， 所以 3．(23-24高二上·重庆第一中学校·期末)已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系，消去即可得； （2）借助错位相减法求和即可得. 【详解】（1）由， 则当时，有， 则，即， 当时，，即， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 即； （2）由，故， 则， 故， 则， 即 ， 故. 4．(23-24高二上·重庆南开中学校·期末)已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列，并求出； (2)记，是数列的前n项和.若对任意的都有，求实数m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由数列递推式推出，结合等比数列定义，即可证明结论，继而求得； （2）由（1）可得的表达式，利用错位相减法求得，由此分离参数可得，构造函数，结合函数的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）证明：由题意知数列满足，， 故， 由于，故， 故数列是首项为4，公比为2的等比数列， 则； （2）由（1）得， 故， 则， 故 ， 故， 则对任意的都有，即， 即恒成立； 由于， 令，则函数在上单调递增， 故，故，当时取等号， 故. 5．(23-24高二上·重庆七校·期末)数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，公比． (1)求数列的通项公式； (2)若，证明：恒成立. 【答案】(1)， (2)证明见详解 【分析】（1）根据等差数列以及等比数列的通项公式列方程组，求得公差和公比，即可求得答案； （2）利用错位相减法求得的表达式，即可证明结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为，，则 ，解得或（舍去）， ，. （2）由（1）得， ，① ，② ①②得，， ，， . 6．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知数列是公差为正的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足. (1)求数列，的通项公式. (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比中项，结合等差数列基本量的计算可得公差，即可求解，利用的关系，作差可得为等比数列，即可求解， （2）利用错位相减法求和，结合等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）设公差为，由，，成等比数列， 故，即，化简得， 由于，故，因此， 由可得时， 两式作差可得， 令，则，故， 因，所以为等比数列，公比为3， 因此，故， （2）， ， ， 故， 故 7．(24-25高二上·重庆南开中学校·期末)设为数列的前项和，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用与的关系求解即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 所以，即， 又由解得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，经检验时满足通项公式， 所以. （2）由（1）可得， 所以①， ②， ①②得， 所以. 8．(24-25高二上·重庆巴川系·期末)已知等差数列的公差，，且，，成等比数列；数列的前项和，且满足. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据题目条件得到和，求出首项和公差，得到，再利用求出，为等比数列，故； （2）在（1）基础上，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1），故， ，，成等比数列，故，即， 化简得， 因为，所以， 将代入得，， ， ①中，令得，解得， 当时，②，①-②得，即， 所以为首项为3，公比为3的等比数列， 故； （2）， 故①， 所以②， 式子①-②得 ， 故. 9．(24-25高二上·重庆部分区·期末)已知等差数列和等比数列满足． (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差、等比数列通项公式基本量列方程组求解即可； （2）用错位相减法求数列的前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 由得：，解得（舍去），， 于是，. （2）， 则，① ，② ①②，得 . 所以. 地 城 考点05 数列中的综合应用 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆第一中学校·期末)已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累加法得到数列的通项公式，再用裂项相消得到数列的和. 【详解】由题意可知 即， ∴， ∴ . 故选：D. 2．(24-25高二上·重庆南开中学校·期末)已知双曲线的左，右焦点分别为，点，在双曲线右支上存在点，使得成等比数列，则双曲线离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则得，由和可推得为关于的方程的两根，求得，（*），在中，利用余弦定理得，将（*）代入化简得，根据，可得，即，解不等式可得. 【详解】 如图，不妨设， 由题意，， 则，即①， 又，即②， 由①，② 可知，可看成关于的方程的两根， 则，故得，（*）. 在中，因， 运用余弦定理，由可得：， 化简得：， 将（*）代入整理得：， 化简得：，即， 由图可得，则有， 即得：，也即， 分解因式得：， 即， 因，解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：选设未知数后，通过变形后求得，是关键，再利用余弦定理建立方程，结合图形得将其化成关于的齐次不等式，求解即得. 3．(23-24高二上·重庆第十八中学·期末)若数列满足，，，，则称数列为数列，该数列是由意大利数学家斐波那契于1202年提出，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．则下列结论错误的是（    ） A． B．数列各项除以2后所得的余数构成一个新数列，若数列的前n项和为，则 C．记，则数列的前2021项的和为 D． 【答案】C 【分析】利用斐波那契数列的性质逐项判断即可求解. 【详解】对于A：因为，，，， 所以 ，故A正确； 对于B：显然，由（，）可知， （，）可由判断， 若，则， 若或，则， 由此可得，，，，，，，（，）， 所以，故B正确； 对于C：因为，，，， 所以 ， 又由选项B，易知， 所以， 则，故C错误； 对于D：（，） ， 又因为，所以， 故，故D正确. 故选：C. 【点睛】关键点晴：本题选项B的解决键是，利用斐波那契数列的性质确定数列是以为周期的周期数列，利用周期性求出数列的前项和. 二、多选题 4．(24-25高二上·重庆主城七校·期末)已知数列和是等比数列，则下列结论中正确的是（    ） A．是等比数列 B．可能是等差数列 C．，，是等比数列 D．是等比数列 【答案】ABD 【分析】根据等比数列性质，和等比，等差数列的定义来逐一分析每个选项是否正确. 【详解】对于选项A，设数列的公比为（），则（常数）. 所以是以为首项，为公比的等比数列，选项A正确. 对于选项B，当时，数列是等比数列，公比为， 此时，那么是公差为的等差数列，所以可能是等差数列，选项B正确. 对于选项C，设数列的公比为（）.当,. 因为等比数列的项不能为，所以此时不是等比数列，选项C错误. 对于选项D，设数列的公比为（），数列的公比为（）. 则（常数）， 所以是以为首项，为公比的等比数列，选项D正确. 故选：ABD. 5．(23-24高二上·重庆第一中学校·期末)已知数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．若，则为等差数列 B．若为等差数列，则为等比数列 C．若为正项等比数列，则为等差数列 D．若为等差数列，则为等差数列 【答案】BCD 【分析】利用与的关系，并结合等差数列的定义即可判断选项A，利用等差数列，等比数列的定义可判断B，C，D. 【详解】对于A，由，当时，， 当时，， ，所以数列不是等差数列，故A错误； 对于B，因为是等差数列，设其公差为，则， 为非零常数，所以数列为等比数列，故B正确； 对于C，因为是正项等比数列，设其公比为，则， 为常数， 所以数列为等差数列，故C正确； 对于D，若是等差数列，设其公差为，则， ， 则， 所以数列为等差数列，故D正确. 故选：BCD. 6．(23-24高二上·重庆巴蜀中学校·期末)已知数列满足：，其中，数列的前项和是，下列说法正确的是（    ） A．当时，数列是递增数列 B．当时，若数列是递增数列，则 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】对于A，利用作差法，结合配方法，可得答案； 对于B，利用作差法，结合递推公式，建立不等式组，可得答案； 对于C，整理递推公式，联立数列的不等关系，利用累加法，可得答案； 对于D，整理递推公式，联立数列的不等关系，利用累乘法，可得答案. 【详解】因为且， 所以，数列是递增数列，故A正确； 若数列是单调递增数列， 当时， 且，所以，又因为是单调递增的， 所以只需要，则，解得或，故B错误； ，所以， 所以，所以，故C正确； 易知是递增数列，所以，则， 即，所以， 即，所以， 当时，，所以 所以，D正确， 故选:ACD. 7．(23-24高二上·重庆九龙坡区·)《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半．1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推．记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列的前项和分别为，可知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意得，，从而得到数列和为等比数列，利用等比数列的通项公式及求和公式求解即可. 【详解】由题意可得: ，， 即，且， 所以数列是以首项，公比为7的等比数列， ∴，， 当时，，且满足上式， ∴， ∵， ∴数列是以首项，公比为7的等比数列， ∴， ∴， 故BC正确；AD错误. 故选：BC. 8．(23-24高二上·重庆·期末)设，已知数列为等比数列，则（    ） A．一定为等比数列 B．一定为等比数列 C．当时，一定为等比数列 D．当时，可能为等比数列 【答案】ABD 【分析】设出的公比为，AB选项，利用等比数列的定义进行判断；CD选项，可举例说明. 【详解】设的公比为， A选项，，故一定为等比数列，A正确； B选项，，故一定为等比数列，B正确； C选项，不妨设，此时公比为1，则， 故不是等比数列，C错误； D选项，不妨设，此时， 所以当时，可能为公比为1的等比数列，D正确. 故选：ABD 三、填空题 9．(24-25高二上·重庆第一中学校·期末)无人机表演美轮美色，为了精确的控制每一台参演的无人机，程序员需要为每一台无人机编写控制代码.已知一位程序员每天最多可以编写110行该类代码，从第二台无人机开始，后一台无人机需要的控制代码数量是前一台的倍，已知控制1000台无人机需要24300行代码，控制2000台无人机需要32400行代码.某无人机表演公司接到客户临时通知，将表演规模从3000台增加到5000台，仅有2天的时间准备，则该公司最少需要组织 名程序员编写新增的控制代码. 【答案】6 【分析】设控制第一台无人机需要行代码，，利用等比数列前项和公式列方程组求得，再由等比数列前项和公式求得从3000台增加到5000台增加的量即可得．用等比数列的片断和性质更加简单． 【详解】法一：设控制第一台无人机需要行代码，显然，由题意 ，解得， 将表演规模从3000台增加到5000台，需要增加的代码行数为： ， ， 因此至少该公司最少需要组织6名程序员编写新增的控制代码. 故答案为：6. 法二：设控制第台无人机需要的代码行数为，由题意是公比为的等比数列， 则仍然成等比数列， 由已知，，， 所以，，， 从而表演规模从3000台增加到5000台，需要编写控制代码行数为，以下同法一． 四、解答题 10．(24-25高二上·重庆九龙坡区·)已知数列满足，，的前项和为．等差数列满足，，且前项和为． (1)求数列和通项公式； (2)若对，有恒成立，求实数的最小值； (3)设数列中的项落在区间中的项数为，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先利用数列通项与前项和的关系求出，然后得到为等差数列，求得，再求得、，计算数列的通项公式即可； （2）由参变量分离法可得出，令，分析数列的单调性，求出该数列的最大值，由此可求得实数的取值范围； （3）先求出区间的端点值，然后明确的项为奇数，得到中奇数的个数，得到通项公式，然后求和即可. 【详解】（1）由题可知，当时，； 当时，得， 因为，两式相减得， 经检验，当时，，则，， 所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，，等差数列的公差. 所以. （2）由（1）可得， 对，有恒成立，即，即， 令，则， 当且时，，即，可得； 当且时，，即，可得， 所以，数列中的最大项为，则， 因此，实数的取值范围是. （3）由（1）可知，，， 因为，所以为奇数， 故为区间的奇数个数， 显然，为偶数，所以， 所以. 11．(24-25高二上·重庆·期末)已知数列的前项和满足，且，． (1)求数列的通项公式； (2)集合，数列为等比数列且，如果数列为递减数列，求等比数列的公比． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退一相减法可得数列的通项公式； （2）根据（1）可确定，设等比数列通项公式，根据数列的单调性列不等式，分情况讨论解的情况，即可得解. 【详解】（1）由题意当时， ，解得， ①， 当时②， 由①②得，即，则， 当时，则，，与矛盾， 当时，则，，满足，即， 则数列是公差为的等差数列，即数列的通项公式； （2）由（1）得，， ，即集合为正整数集， 依题意设，且数列的各项都为正整数，则，， 当时，若，则， 即存在，即存在不为正整数，故时不合题意， 当时，， 由得，必然存在使成立， 故存在，这与为递减数列相矛盾，故时不合题意， 当时，则，即，而为递减数列，故时合题意， 综上所述，等比数列的公比． 12．(23-24高二上·重庆第八中学校·期末)已知等差数列的首项，公差．记的前项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求公差的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式直接代入计算即可； （2）根据等比数列的性质得到，通过代入和整理，得到对于每个，存在实数使此式成立，则，结合不等式特征求解即可. 【详解】（1）因为等差数列的首项，公差为， 所以，，， 因为，所以， 化简得，因为，所以， 所以 （2）由题意得，，， ， 因为成等比数列， 所以， 则， 化简整理得，对于每个，存在实数使此式成立， 则，即， 即， 当时，符合题意； 当时，则二次函数开口向上， 则，原不等式解为， 所以相差距离为，则之间一定有一个整数， 所以只能为，即，所以. 综上所述，公差的取值范围为 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $