专题04 椭圆5大高频考点（期末真题汇编，重庆专用）高二数学上学期人教A版

专题04 椭圆 5大高频考点概览 考点01 椭圆的概念及定义 考点02椭圆的离心率问题 考点03椭圆中的弦长面积问题 考点04椭圆中的直线方程问题 考点05椭圆中的定点定值定直线问题 地 城 考点01 椭圆的概念及定义 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】首先根据椭圆的性质和三角形顶点的坐标得出三角形边的关系，然后利用正弦定理将三角函数的比值转化为边的比值进行计算. 【详解】在中，顶点，，所以的长度为. 因为顶点在椭圆上，所以. 根据正弦定理：. 则. 故选：A. 2．(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知椭圆C的方程为，点P是椭圆上一点，点是椭圆左焦点，则下列选项正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．长轴长为2 C．离心率 D．最大值为 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程及其性质判断各项的正误. 【详解】由椭圆标准方程为，则， 所以焦点在x轴上，长轴长为，离心率为，且最大值为. 故选：D 3．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期末)已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（   ）. A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据椭圆方程及其性质，即可得点到左焦点的距离最小值. 【详解】由椭圆方程知，椭圆上点到左焦点的距离最小值为. 故选：D 4．(24-25高二上·重庆第八中学校·期末)点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件和斜率公式列出等式化简可得. 【详解】 设，因为，所以， 由已知，，化简得， 故选：B． 5．(24-25高二上·重庆第一中学校·期末)已知椭圆，圆交轴负半轴于，与在第一象限的交点为 为坐标原点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得是底角为，腰长为3的等腰三角形，进而可得，代入椭圆方程求参数值. 【详解】由题设是底角为，腰长为3的等腰三角形，得 所以，代入椭圆得，可得， 由，则，可得，即. 故选：C    6．(23-24高二上·重庆长寿区八校联考·期末)已知椭圆标准方程为，则此椭圆的短轴长为（   ） A．6 B．3 C．8 D．5 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程，求得b的值，即得答案. 【详解】由题意知椭圆标准方程为， 设椭圆的短轴长为2b，则，， 所以此椭圆的短轴长为， 故选：A 7．(23-24高二上·重庆第十八中学·期末)已知椭圆的一个焦点坐标，则（    ） A． B．5 C．5或3 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程和几何性质，准确计算，即可求解. 【详解】由椭圆的一个焦点坐标， 可得椭圆的焦点在 轴，所以，解得. 故选：B. 二、多选题 8．(24-25高二上·重庆·期末)已知点，动点满足，且动点的轨迹是椭圆，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由椭圆定义可知，则点在以为圆心为半径的圆内，即可判断各选项. 【详解】由已知可得， 即点在以为圆心为半径的圆内，且点，不重合， 即点在圆内， 由，在圆内， 在圆上，在圆外， 可知AC选项正确； 故选：AC. 三、填空题 9．(23-24高二上·重庆七校·期末)如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程 .    【答案】或 【分析】设切点为，与圆柱面相交于，由题意即为椭圆的长轴，椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，分析即得解. 【详解】对圆柱沿底面直径进行纵切，如图所示:切点为，与圆柱面相交于， 此时可知即为椭圆的长轴，在直角三角形中， ,又， 所以， 由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即， 所以椭圆的标准方程为或， 故答案为：或.    地 城 考点02 椭圆的离心率问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆南开中学校·期末)已知椭圆的上，下顶点分别为，左顶点为，左焦点为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的性质，得，结合条件得到，即可求解. 【详解】易知， 则，又，则， 得到，所以，解得或（舍）， 故选：C. 2．(23-24高二上·重庆第八中学校·期末)直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，结合点差法计算得，进而求出离心率. 【详解】直线的斜率，如图，    由，得，则直线的斜率， 设，则，两式相减得， 于是，而， 因此，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：C 3．(23-24高二上·重庆部分区·期末)已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，与椭圆的方程联立结合韦达定理求出的关系计算即得. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的方程为，即， 由消去并整理得：， 则，即， 设，则，而弦的中点为，即， 于是，解得，此时 所以椭圆的离心率. 故选：A 二、填空题 4．(24-25高二上·重庆巴川系·期末)椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小. 现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为 . 【答案】 【分析】作出图形，延长、交于点，连接，由光线反射可得出，且为的中点，结合中位线的性质和椭圆的定义可求出的值，进而可得出的值，由此可得出该椭圆的焦距. 【详解】如下图所示： 不妨设椭圆的焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右焦点，连接， 延长、交于点， 由题意可知，点与点关于直线对称，则，且为的中点， 又因为为的中点，则， 所以，点在以圆心为原点，半径为的圆上，故， 由题意可得，解得，故该椭圆的焦距为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用光线反射结合椭圆的定义、中位线的性质计算出的值，结合已知条件以及、、的关系求解. 5．(23-24高二上·重庆南开中学校·期末)已知，是椭圆C：的左、右焦点，P为C上异于顶点的一点，的平分线PQ交x轴于点Q.若，则椭圆C的离心率为 . 【答案】 【分析】根据角平分线性质定理结合椭圆定义即可得到关于的方程，则得到离心率的值. 【详解】设，则，则， 根据角平分线性质定理得，即，解得， 则根据椭圆定义得，， 故答案为：. 6．(23-24高二上·重庆第十八中学·期末)已知椭圆的右焦点为F，过点F作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，弦的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【分析】设直线的方程, 代入椭圆方程，由韦达定理, 弦长公式及中点坐标公式，求得中点坐标 坐标，求得垂直平分线方程，当时，即可求得点坐标，代入即可求得，即可求得，即可求得和的关系，即可求得椭圆的离心率. 【详解】因为倾斜角为的直线过点，即直线的斜率为1， 可知直线必与椭圆C相交， 设直线的方程为: ，，线段的中点， 联立方程 ，化为， 则， 可得， 且，，即， 可得的垂直平分线为:， 令 ，解得 ，即， 可知， 由题意可得：，则 ， 所以椭圆的离心率为. 故答案为: . 【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值． 7．(23-24高二上·重庆·期末)已知是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】求出，由椭圆定义得到，求出离心率. 【详解】因为，所以， 由椭圆定义得，即， 故离心率. 故答案为： 地 城 考点03 椭圆的弦长面积问题 一、单选题 1．(24-25高二上·重庆北碚区·调研)已知椭圆的左焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的对称性得到，然后结合椭圆定义得到，，最后分别在三角形和三角形中利用余弦定理计算即可. 【详解】 取椭圆的右焦点为，根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 根据椭圆的定义得， 又，所以，， 在三角形中，， 在三角形中，， 解得. 故选：A. 2．(24-25高二上·重庆主城七校·期末)已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线方程，联立直线与椭圆，根据的面积求出，利用弦长公式求出弦长. 【详解】如图： 由题，不妨设，直线斜率存在， 设直线方程， 联立， ， ， 解得， 故， 故选：D. 二、多选题 3．(24-25高二上·重庆第一中学校·期末)已知椭圆的左右两个焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，是椭圆上任意一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．最小值为 B．若直线经过点，则 C．存在点，使得 D．有且只有2个点，满足 【答案】AB 【分析】求出，由椭圆性质判断A，计算出面积判断B，根据以为直径的圆与椭圆的位置关系判断C，设，由面积关系及在椭圆上列方程组求得点坐标判断D． 【详解】椭圆中，，，所以， 选项A，的最小值是，A正确； 选项B，直线方程为，代入椭圆方程有，， 所以，B正确； 选项C，因此，因此以为直径的圆与椭圆只有两个公共点，为椭圆的短轴顶点，除这两个短轴顶点外，椭圆的其它点都在圆外，所以，从而不可能成立，C错； 选项D，设，由得， 即，，又在椭圆上，所以， 解方程组，得或或或， 因此满足条件的点有4个，D错， 故选：AB 三、填空题 4．(24-25高二上·重庆主城七校·期末)已知椭圆的左右焦点分别为、，过作直线交椭圆于、两点，其中点在轴下方，内切圆交边于点，则线段的长度取值范围为 . 【答案】 【分析】根据内切圆的有关性质知，，结合椭圆的定义可推出，注意到点在下方，所以，. 【详解】因为的内切圆交边于点，所以, 又因为在椭圆中，, 所以， 而，（等号取不到）因此. 故答案为：. 5．(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知椭圆的左右焦点分别为，O为坐标原点．直线与椭圆相交于M，N两点，满足，则点M坐标为 ． 【答案】 【分析】运用椭圆定义，结合余弦定理求解即可. 【详解】由，则，则， 又，所以，则点N为下顶点． 由余弦定理， 所以 所以，则，所以椭圆方程为，则点， 又，所以． 故答案为：. 四、解答题 6．(24-25高二上·重庆·期末)已知椭圆的离心率为，过椭圆C的焦点作x轴的垂线被椭圆C截得的弦长为2． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的上顶点A作直线交椭圆于另一点B（异于点A），求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆离心率以及弦长解方程可得，的值； （2）分别讨论直线AB斜率是否存在，联立椭圆方程并得出的表达式再由函数单调性可得最值. 【详解】（1）依题意不妨取右焦点，如下图所示; 易知椭圆C过点，则，得， 又因为得， 解得，， 椭圆C的方程为； （2）显然，设， 当直线AB斜率不存在时，可得，此时； 当AB斜率存在，设直线， 与椭圆方程联立可得， 则，则， 令，，， 则， 当，时，等号成立； 综上可得最大值为． 7．(23-24高二上·重庆长寿区·期末)已知点，是椭圆：的左右焦点，且椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点且斜率为2，与椭圆交于两点，求线段的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据短轴长和离心率，结合，求出，，得到椭圆方程； （2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据弦长公式求出答案. 【详解】（1）由题意得，解得， 又，故，解得， 故椭圆方程为； （2）由题意得，， 可得直线方程为， 联立与得， 设，故， 故. 8．(23-24高二上·重庆九龙坡区·)已知椭圆的离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于两点，且．求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆焦距及离心率即可得； （2）联立椭圆方程后，利用韦达定理及可得的值，即可求出的面积. 【详解】（1）∵椭圆：的离心率为，故， 又焦距为2，故，即有，，则， ∴椭圆的方程为； （2）联立，消去整理得， 由，则， 设，，则，， 故， 则， 化简得，即，满足， 故， 又点到直线的距离， ∴的面积， 故的面积为. 地 城 考点04 椭圆中的直线方程问题 一、单选题 1．(23-24高二上·重庆部分学校·调研)已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【详解】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 二、填空题 2．(23-24高二上·重庆部分区·期末)已知直线和椭圆，写出满足条件“直线与椭圆有两个公共点”的的一个值为 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】由题意将直线与椭圆方程联立，令，求出的范围即可得解. 【详解】由题意联立直线与椭圆方程有，即， 消去化简并整理得，， 由题意若直线与椭圆有两个公共点， 则当且仅当，解得或. 故答案为：3（答案不唯一）. 三、解答题 3．(24-25高二上·重庆巴川系·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为4，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)如图，过椭圆上一动点作圆的两条切线，，两切线的斜率之积为. （i）求的值； （ii）若交椭圆于另一点，与圆切于点，与轴交于点，记、的面积分别为、，若，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）直线的方程为或. 【分析】（1）由题设列出关于的方程组求出即可得解； （2）（i）设过点的圆O的切线方程为，结合圆心到该切线距离等于半径得到方程，设两切线斜率分别为，则由韦达定理结合题意即可求解； （ii）设直线，依次求出点B和，联立与椭圆的方程结合韦达定理和弦长公式求出，由圆心到距离求出，则结合题设即可依次求出和，从而得解. 【详解】（1）由题可得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）设过点的圆O的切线方程为即， 则圆O的圆心到该切线距离为， 两边平方整理得， 设两切线斜率分别为，则， 所以即. （ii）由（i）圆，由题意可设直线， 令得，即，则， 联立， 则即， 设，则， 则， 所以由即得， 又圆心到距离为，即， 所以， 整理得，故，即， 所以，即， 所以直线的方程为或. 【点睛】关键点点睛：求解圆的半径r的关键是理解两切线斜率是方程的两根. 4．(24-25高二上·重庆长寿区·期末)如图，已知直线和椭圆有两个不同的交点．    (1)求椭圆的焦点坐标和离心率； (2)若以为直径的圆过原点，求的值． 【答案】(1)焦点坐标为，离心率为． (2) 【分析】（1）先根据已知椭圆方程得出，即可得出焦点坐标及离心率； （2）先联立直线和椭圆方程得出韦达定理，再把以为直径的圆过原点转化为，计算即可求参. 【详解】（1）已知椭圆，则， 所以， 即焦点坐标为，离心率为． （2）设， 由， ， ， ， 由以为直径的圆过原点，可得，所以， ， . 5．(24-25高二上·重庆九龙坡区·)设，分别为椭圆：（）的左，右焦点，且，点在椭圆上，直线与椭圆相交于，两点（，不与椭圆的顶点重合）． (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率存在，且以为直径的圆经过原点，求证：直线与圆：相切； (3)若直线过点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据焦距得，将点代入椭圆方程结合求解即可； （2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，根据，得，代入化简可得，根据点到直线距离公式即可求证； （3）联立直线与椭圆方程得到韦达定理，根据三点共线可得，即，化简可得为定点，即可利用三角形面积关系得表达式，结合基本不等式求解最值. 【详解】（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为. 由已知，，即，因为点在椭圆上，所以， 又，所以，， 所以，解得（负根舍去），所以， 所以的标准方程是； （2）当直线有斜率时，设直线的方程为， 以 为直径的圆经过原点，即， 设 ，所以， 联立方程，得，即， ， 化简得，设到直线距离为，则， 所以直线与圆相切. （3）设直线的方程为，代入椭圆方程，得， 即.设点， 则. 因为点关于轴对称，则.设点， 因为三点共线，则，即， 即，即， 得 所以点为定点，， . 令，则， 当且仅当时取等号，所以的面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 6．(23-24高二下·重庆南开中学校·期末)已知椭圆的左右顶点为A₁，A₂， 左右焦点为F₁，F₂，过F₁，F₂分别作两条互相平行的直线l₁，l₂，其中l₁交E于A，B两点， l₂交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同侧， 直线A₁C与A₂A交于点P. 当l₁与x轴垂直时，△PF₁F₂是面积为1的等腰直角三角形. (1)求椭圆E的方程; (2)若直线A₁C与直线A₂A的斜率之和为1， 求直线l₁，l₂的方程; (3)求 的取值范围. 【答案】(1) (2)直线直线 (3) 【分析】（1）根据△PF₁F₂是等腰直角三角形得到直线方程和方程，然后求出，再根据得到方程组求解. （2）利用对称性得到,然后把条件转化为，再然后结合韦达定理求出和的斜率. （3）通过对称性得到，然后求出直线和直线方程，通过相乘得到P的轨迹方程，最后通过P的轨迹方程消元得到的取值范围. 【详解】（1） 设, 故直线的方程为 由,得, 所以 不妨设， 由△PF₁F₂是等腰直角三角形可得 所以直线方程为：，同理可得方程为：， 所以交点， 由△PF₁F₂是等腰直角三角形面积为1可得， 解得， 又在直线上， 所以, 所以，又， 所以 所以椭圆方程. （2） 由图形对称性可得：， 所以， 设, 将 和椭圆得方程联立得 所以 , 故直线直线 （3） 易得点关于原点对称， 由(2)知, 则直线，直线 , 将两式相乘得 ， 其中 ， 故点P的轨迹方程为：，即 设 则 当时， , 当时，, , , 综上， , 故. 【点睛】关键点点睛：（1）的关键是通过△PF₁F₂是等腰直角三角形得到方程组； （2）的关键是通过对称性把条件转化成一条直线与椭圆的交点问题，然后结合韦达定理求出斜率； （3）的关键是通过对称性结合韦达得到P的轨迹方程，最后通过P的轨迹方程消元得到取值范围. 7．(23-24高二上·天津四校·期末)已知椭圆：（）经过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆离心率以及经过的点即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可得点，进而根据向量垂直满足的坐标关系求解. 【详解】（1）由题意可得所以， 所以椭圆方程为； （2）由题意可得直线的斜率存在，故设直线的方程为，， ， 所以，所以， 故，, 所以， 所以， 所以，解得， 故直线的方程为.    地 城 考点05 椭圆中的定点定值定直线问题 一、解答题 1．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)在平面直角坐标系中，从上任取一点向轴作垂线段，为垂足.当点在上运动时，线段的中点的轨迹为曲线.（当为轴上的点时，规定与重合） (1)求的方程； (2)若在第四象限，点，，直线交轴于点，若与的面积相等，求点的坐标； (3)已知，两点在曲线上，，，三点不共线，且直线，均与以为圆心、为半径的圆相切.若在轴上的射影为，关于直线的对称点在轴上的射影为，求证：线段的中点在定圆上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用相关点法求解动点轨迹方程即得； （2）解法一：根据与的面积相等结合图形推出，写出直线的方程并与椭圆方程联立，即可求出点坐标；解法二：设，列出直线的方程，令求得，分别表示出和的面积，利用面积相等推得，将其代入椭圆方程即可求得点坐标. （3）设，，，当或斜率不存在时，易推出，当或斜率存在时，设，，利用直线与圆相切可推得，将直线与椭圆方程联立，求得，同法，即得，由条件求出和，可得，设线段的中点为，由，即得线段的中点在定圆上. 【详解】（1）依题意，设，则， 因为在上，则有，即， 所以曲线的方程为. （2）    解法一： 设，则，， 因为与的面积相等，则与的面积相等，则有， 又，，所以，故直线的方程为. 由解得，即，， 则点的坐标为. 解法二：设，则，，则直线的方程为， 令，得，即， 则的面积为， 的面积为， 所以， 即，即，即， 由，解得，所以，， 则点的坐标为. （3）    如图，设，，， 则当或斜率不存在时，的半径. 又因为，所以， 从而与轴相切，故，必分别为的长轴和短轴的一个端点，所以. 当且斜率存在时，设，， 则，即. 同理，. 所以. 由得. 同理，.又，所以. 设关于直线的对称点为，则所以，， 所以，又易知，所以. 设线段的中点为，则因为，所以， 所以线段的中点在定圆上. 2．(24-25高二上·重庆北碚区·调研)如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线分别交于两点． (1)若点在第二象限，且，求和圆的方程； (2)若直线的斜率存在，并分别记为，求证：为定值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）先根据条件，判断出四边形为正方形，再结合正方形的对角线和边长的长度关系，可求点坐标，进而可得和圆的方程. （2）设切线方程为，根据直线与圆相切，可得关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得，再结合在椭圆上，可证为定值. 【详解】（1）过作于，于，连接．如图： 由圆的方程，知圆的半径． 由，知． 又因为和圆相切，所以四边形为正方形． 所以． 由，解得． 所以圆的方程为． （2）设过点的圆的切线方程为：，即. 则． 两边同时平方，化简得. 则，为方程的两解. 由韦达定理：. 又因为，所以． 所以，为定值． 3．(23-24高二下·重庆第八中学校·期末)已知椭圆经过点，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值. (3)如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据待定系数法计算即可求解； （2）由题意求出，利用点到直线的距离公式求出到的距离，结合三角形面积公式计算即可求解； （3）设，利用平面向量的坐标表示和点差法计算表示出A、B、C、D的坐标，由直线的两点式方程分别表示出直线AD和BC，两直线方程相减可得，即可求解. 【详解】（1）由题意，点在椭圆上得，可得① 又由，所以②， 由①②联立且，可得， 故椭圆的标准方程为； （2）易知，则，所以， 设，联立与有， 则，由解得， 到的距离即为在边上高的最小值，即， 此时面积的最小值； （3）设，则，即， 又由，得， 整理得， 再代入得，即， 所以， 同理令，，则， 则，， 则直线的方程为 ， 同理的方程为 ， 两式相减，整理得，即点在定直线上. 【点睛】方法点睛：求定点、定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定点（值），再证明这个点（值）与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点（值）． 4．(23-24高二上·重庆第一中学校·期末)已知是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的动直线交曲线于不同的A，B两点，为线段上一点，满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【分析】（1）由中垂线的性质及椭圆定义可得结果； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理及两点间距离公式化简可得结果. 【详解】（1）如图，易知圆E的半径为4，线段的垂直平分线交线段于点， 由中垂线的性质可知：，所以， 即动点Q到定点的距离和为定值4，且, 根据椭圆定义可知：，所以， 即曲线C的方程为：. （2）由题意可得直线l的斜率存在．设直线l的方程为， 代入椭圆方程，整理得， 设，则，， 由， 得, 化简得， 当时，因，化简得，与直线l的斜率存在矛盾，不合题意； 当时，化简得 即，化简得， 又，所以，化简得， 所以点在直线上. 【点睛】解决本题第二问关键联立直线与椭圆方程，利用两点间距离公式及韦达定理化简条件可得结果. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04椭圆 ☆5大高频考点概览 考点01椭圆的概念及定义 考点02椭圆的离心率问题 考点03椭圆中的弦长面积问题 考点04椭圆中的直线方程问题 考点05椭圆中的定点定值定直线问题 目目 考点01 椭圆的概念及定义 一、单选题 1.(24-25高二上·重庆长寿区期末)在平面直角坐标系中，已知ABC的顶点A(-1,0)和C1,0),顶点B在 椭圆父+父=1上，则sn4+si血C=() 43 sinB A.2 B.3 C.4 D. 2.(24-25高二上·重庆巴蜀中学教育集团期末)已知椭圆C的方程为x2+2y2=2,点P是椭圆上一点，点 F是椭圆左焦点，则下列选项正确的是() A.焦点在y轴上 B.长轴长为2 c.离心率e=2 1 D.PF最大值为√2+1 3.(2425高二上重庆西南大学附属中学校期末)已知椭圆C的方程为+二-1，则椭圆C上一点P到左 925+i6 焦点F的距离最小值为() A.8 B.5 C.3 D.2 4.(24-25高二上重庆第八中学校期末)点A,B的坐标分别是-2,0)，2,0)，直线AM,BM相交于点M,且 它们的斜率之积是弓，则点M的轨迹方程是（) A. 8+4=(x*2到 B号+若-x2 -+ C.x2 -=1x≠±2) D.x 42 48=1(x*±2到 6425商上肤一中学校期末尼知腾圈C名+，，Q>3,圆+少9交x维负半排于 ,与C在第一象限的交点为N,O为坐标原点，∠MNO=30°，则a=() 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.23+1 B.2√5 C. 33+ D.3√5 6.23-24高二上重庆长寿区八校联考期末村已知椭圆标准方程为二+二-1，则此椭圆的短轴长为(） 925 A.6 B.3 C.8 D.5 7.(2324高二上重庆第十八中学期末已知椭圆父+上=1的一个焦点坐标F1,0,则m=() A.√17 B.5 C.5或3 D.3 二、多选题 8.(24-25高二上重庆期末)已知点A-1,0),动点P(x,y)满足PA+PB=2,且动点P的轨迹是椭圆，则 点B的坐标可能是() A.(0,0 B.1,0 C.(0, D.(1,1 三、填空题 9.(23-24高二上·重庆七校期末)如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别 粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒 和乒乓球厚度均忽略不计)，一个平面与两个乒乓球均相切，己知该平面截球简边缘所得的图形为一个椭圆， 请写出此椭圆的一个标准方程 目目 考点02 椭圆的离心率问题 一、单选题 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 1:@425药三上重肤商开学校期利已知装颜号+若=o>6>0的上，下顶点分州为4B,左项吉为 D,左焦点为F,且AF⊥BD,则椭圆的离心率为() A吉 B. 2-v3 c.5-1 1 2 2 D.2 2.(23-24高二上重庆第八中学校期末直线1：x-2y+5=0经过椭圆 23+=1(a>b>0)的左焦点F, 且与椭圆交于A,B两点，若M为线段AB中点，MF=OM,则椭圆的离心率为() A,② C.3 D.3-1 2 B. 2 2 B,2324高一上重肤部分区期未利已知椭圆C:无+(a>b>0,M(2,D是椭圆C的一条弦AB的中 点，点N(L,4)在直线AB上，则椭圆的离心率为() A.汽 2 B.√2 C.3 D.5 3 2 二、填空题 4.(24-25高二上·重庆巴川系期末)椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光 线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治 疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波依据椭圆光学性质， 冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小 碎裂结石 肾结石 声波 皮肤 碎石机 现有一个离心率为，的椭圆反射面，过椭圆上任意一点P作椭圆的切线1，若焦点在切线1上的射影H在一 个半径为6的定圆上，则该椭圆的焦距为 S.(23-24高上重庆南开中学校期末已知R,乃是椭圆CX+,>b>0的左、右焦点，P为C 上异于顶点的一点，∠FPF的平分线PQ交x轴于点Q.若PF=3QF,则椭圆C的离心率为 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 重庆第十八中学期末已知椭圆C,+X1a>b>0)的右焦点为F,过点 PF1 为严的直线交椭圆C于A、B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P若A8了， 则椭圆C的离心率 为」 7.(23-24高二上重庆期末)已知F,F是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P,使得PF2=FF2=2PF, 则椭圆的离心率为 目目 考点03 椭圆的弦长面积问题 一、单选题 1.2425高二上重庆北碚区调所已知椭圆C:。+少=1的左焦点为F,过坐标原点的直线与椭圆C交于 9 AB两点，若AF=2BF,则AB=() A.22 B.42 C.25 D.4V5 2.Q425高二上重庆主城七校期未末)已知椭圆C:二+r=1的一个焦点是F,过原点的直线与C相交于点 A,B,△ABF的面积是21 2, 则川AB=() 5 A.35 B.6v5 C.85 D.2v185 5 5 5 二、多选题 3.Q425高二上重庆第一申学校期未已知椭圆亡+上-1的左右两个焦点分别为F,R,过点M(2,的 84 直线与椭圆交于A,B两点，P是椭圆上任意一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是() A.PF,最小值为22-2 B.若直线AB经过点F,则SoB=2V2 C.存在点P,使得PE·PE,<0 D.有且只有2个点P,满足S.PF5,=4S.PMR 三、填空题 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 4.(2425高二上重庆主城七校期末)已知椭圆C:二+二-1的左右焦点分别为F、乃，过F作直线交椭圆 43 C于A、B两点，其中点B在x轴下方，△ABF内切圆交边AB于点N,则线段AN的长度取值范围为 5.2425高二上重庆巴蜀中学教有集团期末已知椭医兰+片=1，a>b>0)的左右焦点分别为 + F(-c,0),F(c,0),O为坐标原点.直线y=k(x-c),(化>0)与椭圆相交于M,N两点，满足 NE=2ME=2,M=MNI,则点M坐标为. 四、解答题 6.2425商二上重庆期未已知鞘圆C:若+茶=1o>6>0的离心率为 ,过椭圆C的焦点作x轴的垂 线被椭圆C截得的弦长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的上顶点A作直线交椭圆于另一点B(异于点A),求|AB的最大值， 2324商二上重庆长寿区期已知点斤，B是椭感C:于+片=川口>60的左右点，且精假C的 短轴长为22，离心率为3 (1)求椭圆C的方程， (2)若直线1过点F且斜率为2，与椭圆C交于A,B两点，求线段AB的值. 8,②324高上重肤九龙玻区已知椭圆C×+片>b>0,的离心率为，焦距为2 (1)求椭圆的标准方程； 9 (②若直线I:y=-+m(m∈R)与椭圆C相交于AB两点，且k,ka-令求A0B的面积。 目目 考点04 椭圆中的直线方程问题 一、单选题 ①(2324高三上电庆部分学校调酬已知直线的方程为+)+2m1,椭圆C的方程为。+片，则 直线1与椭圆C的位置关系为() A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定 二、填空题 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 2,2324商二上重庆部分区期已知直线1：-m+3=0和陋C:香+少-1，写出满足条件直线1与 椭圆C有两个公共点”的m的一个值为」 三、解答题 3.2425商二上重庆巴川系期未利已知椭画C号+若=川口>6>0)的左、右焦点分别为R,,袋为 4,点M2,V2)在椭圆C上 B (1)求椭圆C的方程； (2)如图，过椭圆C上一动点p作圆0：x+y2=2(>0)的两条切线4，人，两切线的斜率之积为- 2 (i)求r的值； (i)若（交椭圆C于另一点Q,与圆O切于点A,与x轴交于点B,记△0AB、△OPQ的面积分别为S,、 S2,若3S,=2S2,求直线4的方程 4.(24-25高二上·重庆长寿区期末)如图，已知直线：2x-y+m=0和椭圆C:x2+4y2=4有两个不同的交点 A,B. (1)求椭圆C的焦点坐标和离心率； (2)若以AB为直径的圆过原点，求m的值. ②425高上重肤九龙玻区设F,E分别为椭圆C：名+1(>6>0)的左，右焦点，目 F2,点 在椭圆C上，直线1与椭圆C相交于A,B两点(A,B不与椭圆的顶点重合)· 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)求椭圆C的方程： ②诺直线1的斜率存在，目以4B为直径的圆经过原点，求证：直线1与圆0：x+少广=二相切 (3)若直线1过点M(4,0),点B关于x轴的对称点为D,直线AD与x轴的交点为E,求△ABE面积的最大值. 南开中学校期肥知随圆E无+1Q>0,6>0的左右顶点入 点为F,F2,过F1,F2分别作两条互相平行的直线1,2，其中1交E于A,B两点，2交E于C,D两点，且 点A,C位于x轴同侧，直线AC与A2A交于点P.当1h与x轴垂直时，△PFF2是面积为1的等腰直角三 角形 (1)求椭圆E的方程： (2)若直线A1C与直线A2A的斜率之和为1，求直线1,2的方程； (3)求 PF 的取值范围。 7.2324商二上天津四校期末已知椭圆C:号+茶-1(0>6>0)经过点4机-2,01，离心率为 (1)求椭圆C的方程； (2)直线AP与椭圆C交于点P(异于顶点)与y轴交于点M,点F为椭圆的右焦点，O为坐标原点， MF⊥OP,求直线AP的方程 目目 考点05 椭圆中的定点定值定直线问题 一、 解答题 1.(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团期末)在平面直角坐标系x0y中，从⊙0：x2+y2=4上任取一点A向 x轴作垂线段AB,B为垂足.当点A在OO上运动时，线段AB的中点P的轨迹为曲线C,(当A为x轴上的 点时，规定A与P重合) (1)求C的方程； (2)若P在第四象限，点A,(2,0),B(0,I),直线B,P交x轴于点D,若△OB,D与△A,PD的面积相等，求点 P的坐标； (③)已知2，R两点在曲线C上，O,Q,R三点不共线，且直线00，OR均与以P为圆心、 25为半径的 圆相切若Q在x轴上的射影为M,R关于直线y=x的对称点在y轴上的射影为N,求证：线段MN的中点 在定圆上 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(Q425高二上重庆北倍区词列如图，在平面直角坐标系x0,中，已知M(K,是椭圆C:号+=1上 的一点，从原点0向圆M:(x-x户+y-w-号作两条切线分别交C于PQ两点. (1)若M点在第二象限，且OP.O0=0,求OM和圆M的方程： (2)若直线0P,0Q的斜率存在，并分别记为k,k2,求证：k·k2为定值 3.(23-24高二下重庆第八中学校期末)已知椭圆C:父+ a =>b>0)经过点-》 离心率e=】 B (1)求椭圆C的标准方程； (2)设过点P(4,3)且倾斜角为135的直线I与x轴，y轴分别交于点M,N,点R为椭圆C上任意一点，求 △RMN面积的最小值 (3)如图，过点P(4,3)作两条直线AB,CD分别与椭圆C相交于点A,B,C,D,设直线AD和BC相交于点Q.证 明点Q在定直线上 4.(23-24高二上重庆第一中学校期末)己知P是圆E:(x+√2)2+y2=16上的动点，F(√2,0)为定点，线段 PF的垂直平分线交线段PE于点？，点Q的轨迹为曲线C, (1)求曲线C的方程： (2)过点M(4,I)的动直线1交曲线C于不同的A,B两点，N为线段AB上一点，满足 |AMBN=AN|BM|,证明：点N在某定直线上，并求出该定直线的方程