等差数列专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等差数列专项训练 等差数列专项训练 考点目录 等差数列的定义与特征值的计算 等差数列通项公式的性质 等差数列前项和的性质 含有绝对值的等差数列的前项和 考点一 等差数列的定义与特征值的计算 例1．（25-26高二上·北京西城·期中）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 例2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 例3．（25-26高三上·上海·期中）等差数列中，，则该数列的公差为 . 例4．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为 . 例5．（24-25高二下·甘肃定西·期末）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 例6．（25-26高二上·重庆·期中）已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求的最小值． 变式1．（2025·四川遂宁·二模）已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·湖南·期中）记等差数列的前项和为.若则（    ） A．9 B．10 C．17 D．19 变式3．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知数列满足，，若，则 . 变式4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）等差数列中，前项和为，若，，则 . 变式5．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列中有多少项在到之间. 变式6．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列为等差数列. 考点二 等差数列通项公式的性质 例1．（25-26高二上·福建厦门·月考）在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（    ） A． B． C．18 D．24 例2．（2025·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 例3．（25-26高三上·江苏南通·期中·多选）设等差数列的前n项的和为，若，，则（ ） A． B． C．当时，取最大值 D．数列是递减数列 例4．（25-26高三上·河北沧州·月考·多选）已知公差为的等差数列的前项和为，则（    ） A． B．数列是等差数列 C．的前项和为 D． 例5．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知数列为等差数列，若，则的值为 . 例6．（25-26高三上·上海·月考）在等差数列中，若，，则的值为 . 变式1．（2025·浙江金华·一模）已知等差数列满足，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 变式2．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知等差数列满足，则等于（   ） A．9 B．6 C．3 D．2 变式3．（25-26高三上·贵州黔东南·期中·多选）已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．时，取最大值 变式4．（25-26高二上·江苏镇江·期中·多选）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．数列中的最小项为 变式5．（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为 ． 变式6．（24-25高二下·四川达州·月考）方程的两根的等差中项为 . 考点三 等差数列前项和的性质 例1．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·重庆·期中）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·江苏苏州·期中·多选）已知等差数列满足，数列满足（），数列和的前项和分别为和，则（    ） A．为递减数列 B．当时，取得最大值 C．没有最大项 D．当时，取得最大值 例4．（2025·四川绵阳·模拟预测·多选）已知是等差数列的前项和，，，则（   ） A． B． C．当时，取最大值 D．的最小值是0 例5．（25-26高三上·甘肃兰州·阶段练习）有两个等差数列，，其前项和分别为，.若，则 . 例6．（25-26高二上·甘肃·月考）已知等差数列的前项和为.若，则 . 变式1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（25-26高三上·河北·月考）设等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 变式3．（25-26高二上·重庆·期中·多选）已知等差数列的前n项和为，，则（   ） A． B． C．使的n的最大值为25 D． 变式4．（25-26高三上·云南·月考·多选）已知等差数列的公差为，前项和为，若．则（   ） A． B． C． D．存在最小值 变式5．（25-26高三上·湖南·月考）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 变式6．（24-25高二下·山西长治·期中）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则 ． 考点四 含有绝对值的等差数列的前项和 例1．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 例2．（25-26高二上·江苏泰州·期中）记数列的前项和为，已知. (1)设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 变式3．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知数列满足，，，若． (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； (3)求的前项和． 变式1．（25-26高三上·重庆·期中）已知等差数列的公差，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求. 变式2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列．且． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求． 变式3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设是公差不为零的等差数列，是的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $等差数列专项训练 等差数列专项训练 考点目录 等差数列的定义与特征值的计算 等差数列通项公式的性质 等差数列前项和的性质 含有绝对值的等差数列的前项和 考点一 等差数列的定义与特征值的计算 例1．（25-26高二上·北京西城·期中）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，因为且， 可得，解得. 故选：A. 例2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，由，可得，解得， 由，得，所以， 所以，解得，所以， 所以. 故选：B. 例3．（25-26高三上·上海·期中）等差数列中，，则该数列的公差为 . 【答案】 【详解】因为， 所以， 故答案为： 例4．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为 . 【答案】 【详解】在等差数列中，由，得，解得， 所以数列的公差. 故答案为： 例5．（24-25高二下·甘肃定西·期末）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由，可得， 因，代入解得，则， 因此. （2）由， 得 . 例6．（25-26高二上·重庆·期中）已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为d，由，得， 又，所以，得， 则； （2）由上可知， 所以，则， 即是以为首项，为公差的等差数列， 则， 由二次函数的性质可知或时，取得最小值. 变式1．（2025·四川遂宁·二模）已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为, 则，即， 又，即， 则由解得， 则. 故选：B. 变式2．（25-26高三上·湖南·期中）记等差数列的前项和为.若则（    ） A．9 B．10 C．17 D．19 【答案】C 【详解】因为数列等差数列，所以， 所以， 解得，所以， 故选：C. 变式3．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知数列满足，，若，则 . 【答案】 【详解】由数列满足，得数列是等差数列， 由，得公差，由，得，解得， 所以. 故答案为： 变式4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）等差数列中，前项和为，若，，则 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，由，， 得到，解得，所以， 故答案为：. 变式5．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列中有多少项在到之间. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的首项为，公差为， 因为， 所以，解得， 所以. （2）令，所以， 所以，所以项数有项， 所以中有项在到之间. 变式6．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列为等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意有， 解得， 所以. （2）由（1）, 所以， 所以， 所以数列为公差为的等差数列. 考点二 等差数列通项公式的性质 例1．（25-26高二上·福建厦门·月考）在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（    ） A． B． C．18 D．24 【答案】C 【详解】在正项等比数列中，设公比为， 则，又，，10成等差数列， 则，则， 故， 故选：C 例2．（2025·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 例3．（25-26高三上·江苏南通·期中·多选）设等差数列的前n项的和为，若，，则（ ） A． B． C．当时，取最大值 D．数列是递减数列 【答案】ACD 【详解】因为，，则， 对于选项A：可得公差，，故A正确； 对于选项B：可得，故B错误； 对于选项C：因为等差数列为递减数列， 当时，；当时，； 所以当时，取最大值，故C正确； 对于选项D：因为， 则， 所以数列是递减数列，故D正确； 故选：ACD. 例4．（25-26高三上·河北沧州·月考·多选）已知公差为的等差数列的前项和为，则（    ） A． B．数列是等差数列 C．的前项和为 D． 【答案】BC 【详解】因为等差数列的前项和为， 所以，所以是以为公差的等差数列， 对于A，由可得，则，所以，A不正确； 对于B，因为，所以， 所以，则，则，所以数列是等差数列，B正确； 对于C，由，可得， 所以，C正确； 对于D，由，可得，D不正确． 故选：BC． 例5．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知数列为等差数列，若，则的值为 . 【答案】10 【详解】因为数列为等差数列，所以， 所以， 故答案为：10 例6．（25-26高三上·上海·月考）在等差数列中，若，，则的值为 . 【答案】28 【详解】由题, ，， ,， ， ， . 故答案为：28 变式1．（2025·浙江金华·一模）已知等差数列满足，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】由题设，而， 所以. 故选：B 变式2．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知等差数列满足，则等于（   ） A．9 B．6 C．3 D．2 【答案】C 【详解】由等差数列可知：， 故选：C. 变式3．（25-26高三上·贵州黔东南·期中·多选）已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．时，取最大值 【答案】ABCD 【详解】， 则， 故， 所以，故AB正确， ， 则，即，故C正确； 由， 则时，取最大值，故D正确． 故选：ABCD． 变式4．（25-26高二上·江苏镇江·期中·多选）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．数列中的最小项为 【答案】ABD 【详解】由，可得， 由，可得，即，又因为，所以. 因为数列是等差数列，所以，所以数列是递减数列， 故A正确； 由A知数列是递减数列，且，，所以当时，最大， 故B正确； 由等差数列的前项和公式可知，， ， 所以使得成立的最小自然数，故C错误； 当时，； 当时，； 当时，， . 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，所以在时为增函数， 所以数列中的最小项为，故D正确. 故选：ABD 变式5．（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 变式6．（24-25高二下·四川达州·月考）方程的两根的等差中项为 . 【答案】 【详解】设方程的两根分别为和，，所以两根的等差中项为. 故答案为： 考点三 等差数列前项和的性质 例1．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，分别为等差数列，的前n项和， 所以， ， 所以. 故选：A. 例2．（25-26高三上·重庆·期中）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 等差数列的前n项和为，则成等差数列， 即成等差数列， 公差为，故，即， ， 故选：. 例3．（25-26高二上·江苏苏州·期中·多选）已知等差数列满足，数列满足（），数列和的前项和分别为和，则（    ） A．为递减数列 B．当时，取得最大值 C．没有最大项 D．当时，取得最大值 【答案】ABD 【详解】设等差数列的公差为，则由， 可得， 再由， 所以有，即为递减数列，故A正确； 因为， 由于开口向下，对称轴为，因为为正整数，所以当时，取得最大值，故B正确； 由 ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因为， 所以当时，取得最大值，故D正确； 令，则构造 所以函数在上单调递增， 即当时，数列单调递增，此时是最大值， 而，即， 结合当或时，，所以是数列的最大项，故C错误； 故选：ABD. 例4．（2025·四川绵阳·模拟预测·多选）已知是等差数列的前项和，，，则（   ） A． B． C．当时，取最大值 D．的最小值是0 【答案】BC 【详解】因为， 所以， 设数列的公差为， 所以， 对于A：，故A选项错误； 对于B：，故B选项正确； 对于C：， 所以当或时，取得最大值，，故C正确； 对于D：由C选项可知，当时，单调递减，所以没有最小值，所以D错误； 故选：BC 例5．（25-26高三上·甘肃兰州·阶段练习）有两个等差数列，，其前项和分别为，.若，则 . 【答案】 【详解】因为数列，是等差数列，其前项和分别为，， 所以，同理可得， 所以， 故答案为： 例6．（25-26高二上·甘肃·月考）已知等差数列的前项和为.若，则 . 【答案】12 【详解】在等差数列中，成等差数列，即成等差数列，所以，解得. 故答案为：12 变式1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】， 又， ， 当时，，所以使得为整数的正整数的个数是4个. 故选：D. 变式2．（25-26高三上·河北·月考）设等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【详解】因为是等差数列，且，，所以，，所以. 故选：A. 变式3．（25-26高二上·重庆·期中·多选）已知等差数列的前n项和为，，则（   ） A． B． C．使的n的最大值为25 D． 【答案】ABD 【详解】设等差数列的公差为，则， 又，所以，解得， 则，故AB正确； 令即，解得或（舍去）， 所以不等式的解集为， 又，所以的最大值为26，故C错误； 令， 则恒为负，，恒为正， 所以 .故D正确. 故选；ABD 变式4．（25-26高三上·云南·月考·多选）已知等差数列的公差为，前项和为，若．则（   ） A． B． C． D．存在最小值 【答案】BD 【详解】对于A，因为，所以，解得，A错误； 对于B，可知B正确； 对于C，C错误 对于D，，当时，存在最小值，D正确， 故选：BD． 变式5．（25-26高三上·湖南·月考）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 【答案】 【详解】由等差数列性质，可得，， 则，，从而. 又，则. 故答案为： 变式6．（24-25高二下·山西长治·期中）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【详解】由题意得， 所以，又， 所以， 故答案为：. 考点四 含有绝对值的等差数列的前项和 例1．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 当时， 两式相减得， 经检验，当时，，符合上式，所以； （2）设数列的前项和为， 由，则当时，，， 此时， 当时，， 所以； 综上所述，数列的前项和． 例2．（25-26高二上·江苏泰州·期中）记数列的前项和为，已知. (1)设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）因为， 当时，，又，故； 当，时，由，得， 两式相减得，即， 则，即， 又，故，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以． （2）由（1）得，则， 当时，则； 当时 ， 综上可得. 变式3．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知数列满足，，，若． (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； (3)求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，又， 所以是以为首项，3为公差的等差数列. （2）由（1）知， 所以， 令，解得， 可知当时，；当时，， 所以的最小值为. （3）因为，，， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， ， 所以. 变式1．（25-26高三上·重庆·期中）已知等差数列的公差，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为数列为等差数列，所以， 又，所以， 又，，解得， 所以由得到； （2）由（1）得，所以， 则， 所以，当时，，数列为首项是，公差为的等差数列， 所以， 当时，，数列为首项是，公差为的等差数列， 所以， 所以， 又，即，解得（舍）或. 变式2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列．且． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，解得，则或． 又因为，所以，解得，故，． （2）由上问得，则， 令，解得，此时， 令，解得，此时， 则前项和为， 第6到第16项和为， 则. 变式3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设是公差不为零的等差数列，是的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1），，，，，，，，，，，，，，. （2），，， 当且时，， 当且时，， 当且时， ； 当且时， ， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $