精品解析：内蒙古自治区赤峰第四中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

赤峰第四中学2025-2026学年第一学期月考试题 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点到准线的距离是 A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为抛物线方程可化为，所以抛物线的焦点到准线的距离是，故选D. 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的几何性质. 2. 已知，且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】因为，，所以，解得. 故选：C. 3. 直线，则“”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的判定求参数，结合充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】若，则，可得或， 时，，即两直线平行，符合； 时，，即两直线重合，不符. 所以，即是的充要条件. 故选：C 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为 A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，椭圆的短轴长为，离心率为， 所以，，则，所以， 所以的周长为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程，以及简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5. 过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（ ） A. 12 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据圆心到直线距离等于半径得出或，再应用基本不等式计算最小值即可. 【详解】设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或， 所以，所以， 所以. 当且仅当时取最小值. 故选：A. 6. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的定义知道，然后知道三点共线线段和最小，所以在圆上找到离直线距离最近的点即可得到最小值. 【详解】由抛物线方程可得焦点，准线方程为， 如图： 过点P作准线的垂线，垂足为N， 因为点P在抛物线上，所以，所以， 当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即垂直于准线时，所求的和最小， 又因为Q在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径， 所以. 故选：A. 7. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式求，即可得答案. 【详解】由，，而且， 则 ， 显然，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 8. 设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设过点作的垂线，其方程为，联立方程，求得，，即，由，列出相应方程，求出离心率. 【详解】解：不妨设过点作的垂线，其方程为， 由解得，，即， 由，所以有， 化简得，所以离心率． 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线. B. 方程表示双曲线. C. 到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹为抛物线 D. 椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可判定A，根据双曲线方程可判定B，根据抛物线的定义可判定C，根据椭圆的离心率可判定D. 【详解】到两定点的距离差的绝对值等于正常数,且该常数小于两定点的距离的点的轨迹是双曲线，故A错误； 对于方程，若，则表示焦点在横轴的双曲线， 若，原式可化为，则表示焦点在纵轴的双曲线，故B正确； 根据抛物线的定义可知:该定点不能在定直线上，否则轨迹不能是抛物线，故C错误； 椭圆的离心率是焦距与长轴的比值，离心率越大说明焦距与长轴长越接近，则短轴长越短，此时椭圆越扁平，故D正确. 故选：BD 10. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（ ） A. 双曲线C的实轴长为 B. 双曲线C的离心率为 C. 若，则三角形的周长为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意可知，设，则，，代入可求解出，对A，根据，可求得实轴长为，可判断；对B，根据离心率，可判断选项；对C，根据，可知，则，，可求得，所以三角形的周长为，可判断；对D，设与双曲线联立，若有解，需要解之可求出取值，可判断选项. 【详解】根据题意可知，所以，设，则， 将分别代入到双曲线后相减可得，代入可求解出， 对A，根据，解之可得，所以双曲线C的实轴长为，故A错误； 对B，根据离心率，将代入可得，故B正确； 对C，根据，可知，则， ，故， 可求得， 所以三角形的周长为，故C正确； 对D，设与双曲线联立可得，若有解， 需要解之可求出或，故D正确. 故选：BCD 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（ ） A. 的面积最大值为 B. 的最小值为 C. 若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为 D. 椭圆上存在点，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】A列关系式，求椭圆方程，当点位于短轴顶点时，的面积最大；B证明四边形为平行四边形，再结合基本不等式可求；C设过点的圆的一般方程，将三点坐标代入求出圆方程，利用关于圆心对称，求出点坐标，再利用消参思想求出轨迹方程；D当点位于短轴顶点时符合题意. 【详解】由题意可知，，，，解得， 则，，, 当点位于短轴顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 因点与点关于原点对称，则四边形为平行四边形，则， 因，则 , 等号成立时，故B正确； 设过点的圆的方程为， 设，且，，， 则，，， 得，， 则过点的圆的方程为，圆心， 因为圆的直径，则关于点对称，则， 令，则， 因，则， 因，则点的轨迹方程为，C正确； 当点位于短轴顶点时，此时为等边三角形，，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】两圆作差相减，以能求出两圆的公共弦所在的直线方程. 【详解】圆：和圆：， 两圆作差相减，得直线方程为， 经检验，直线方程满足题意. 故答案为：. 13. 已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法可求得直线斜率，进而得到方程，与双曲线联立检验即可确定结果. 【详解】设，且， 由得：，即， 为中点，，，， 直线方程为：，即； 由得：， 则，满足题意； 直线的方程为：. 故答案为：. 14. 已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合四边形的面积分析可知当且仅当点P为左顶点时，取到最小值，进而可得线段AB的长度. 【详解】由椭圆方程可知：， 圆的圆心为（也为椭圆的左焦点），半径， 因为，可知四边形的面积， 当最小时，即为四边形的面积最小， 又因为， 可知当取到最小值时，四边形的面积最小，即最小， 且点P是椭圆上一动点， 由椭圆性质可知：当且仅当点P为左顶点时，取到最小值， 此时，由对称性可知：， 即，为等边三角形，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题．共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 底面，底面， 又，， 且平面, 平面， 所以是平面的一个法向量． 因为， 所以． 又平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 由，解得，令， 得平面的一个法向量为． 设直线与平面所成的角为， 则． 故：直线与平面所成角的正弦值为． 16. 已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，和 【解析】 【分析】（1）由在抛物线上，代入求出，即可求出抛物线的方程； （2）设，求出直线并与抛物线的方程联立，求出点坐标，将转化为，求出并检查是否符合题意即可. 【小问1详解】 由在抛物线上，则，解得， 因此可得抛物线的方程为. 【小问2详解】 存在点在抛物线上， 设点， 由直线的斜率为，且过， 则直线的方程为：，即， 联立，可得，解得，或， 即可得点的纵坐标为，代入，得，即， 若，则，即， 又， 则可得， 整理得，，解得，或，或，或， 当时，与重合，舍去， 当时，与重合，舍去， 当时，， 当时，， 综上知，抛物线上存在点，为和时，. 17. 如图，直三棱柱的体积为1，的面积为． （1）求点A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面⊥平面，求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可得三棱锥的体积为，由等体积法运算即可得解； （2）由垂直关系可得平面，求相应长度，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【小问1详解】 因为直三棱柱的体积为1，则三棱锥的体积为， 设点A到平面的距离为，则， 即，解得， 所以点A到平面的距离为. 【小问2详解】 过作，垂足为， 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面，可得，， 又因为平面且相交，所以平面， 所以两两垂直， 设，则， 由的面积可得， 即，解得， 即，， 又因为的面积为，解得， 以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则， 则，， 设平面的一个法向量，则， 令，则，可得， 设平面的一个法向量，则， 令，则可得， 则， 设二面角为，则，可得 所以二面角的正弦值为. 18. 已知双曲线的左，右顶点分别为，过的右焦点的直线与的右支交于两点．当与轴垂直时，． （1）求的方程； （2）直线与直线的交点分别为，求的最小值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据与轴垂直时得，结合得到，由此可得双曲线的标准方程； （2）设，与双曲线方程联立，表示点坐标，借助韦达定理可求最小值即可． 【小问1详解】 对双曲线，令，得， ∴当与轴垂直时，． 由得，即，故， ∵，∴，∴的方程为． 【小问2详解】 ①不合题意． ②设， 联立得，， ∴， ，解得， ∵，∴直线方程为， 故，同理， ∴ ． ∴当时，． 19. 已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. （1）若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； （2）当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； （3）已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据极线及焦点坐标分别列式即可求解即得椭圆方程； （2）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个根，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程，最后得出直线方程结合极线定义证明即可； （3）利用代数法证明点在椭圆C外，则点和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.根据题意中的概念求出点对应的极线MN方程，可得该直线恒过定点，最后利用点差法求出直线的斜率，即可求解. 【小问1详解】 因为极点对应的极线l为，即，所以， 因为右焦点是，所以，所以， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 当斜率存在时，设切线方程为， 联立椭圆方程，设切点， 可得，化简可得： ， 由题可得： 化简可得：，该方程只有一个根，记作， ，为切点的横坐标， 切点的纵坐标， 由于，则， 则切线方程为：， 化简得：． 当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程， 综上上一点,的切线方程为； 同理上一点,的切线方程为； 设，点在两个切线上，所以， 所以的直线方程为，根据极线定义直线MN为极点Q的极线； 【小问3详解】 由题意，设点的坐标为(,)， 因为点在直线上运动，所以， 联立，得， ，该方程无实数根， 所以直线与椭圆C相离，即点在椭圆C外，又都与椭圆C相切， 所以点和直线是椭圆C的一对极点和极线. 对于椭圆，与点对应的极线方程为， 将代入，整理得， 又因为定点T的坐标与的取值无关， 所以，解得，所以存在定点恒在直线上. 当时，T是线段的中点， 设，直线的斜率为， 则，两式相减， 整理得，即， 所以当时，直线的方程为，即. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是应用点差法结合韦达定理计算求参解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰第四中学2025-2026学年第一学期月考试题 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点到准线的距离是 A. 2 B. 4 C. D. 2. 已知，且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 3. 直线，则“”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为 A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 5. 过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（ ） A. 12 B. 9 C. D. 6. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线. B. 方程表示双曲线. C. 到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹为抛物线 D. 椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁 10. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（ ） A. 双曲线C的实轴长为 B. 双曲线C的离心率为 C. 若，则三角形的周长为 D. 的取值范围为 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（ ） A. 的面积最大值为 B. 的最小值为 C. 若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为 D. 椭圆上存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为__________. 13. 已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是____________． 14. 已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为________________． 四、解答题：本题共5小题．共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 17. 如图，直三棱柱的体积为1，的面积为． （1）求点A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面⊥平面，求二面角的正弦值． 18. 已知双曲线的左，右顶点分别为，过的右焦点的直线与的右支交于两点．当与轴垂直时，． （1）求的方程； （2）直线与直线的交点分别为，求的最小值． 19. 已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. （1）若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； （2）当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； （3）已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $