4.2.1 等差数列的概念（第一课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念（第一课时） 新课引入—等差数列的概念 1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，有9圈扇环形石板围绕最中间的天心石，从内到外各圈的石板数依次为：9，18，27，36，45，54，63，72，81 2.XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装对应的意大利尺码分别是：34，36，38，40，42，44，46，48 新课引入—等差数列的概念 3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位：℃)依次为：25.0, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6 4.某人向银行贷款万元，贷款时间为年，若个人贷款月利率为，则按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金万元，每月支付给银行的息(单位:万元)依次为： 在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律.类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？ 思考 新知讲解—等差数列的概念 第一组数：9，18，27，36，45，54，63，72，81 第二组数：34，36，38，40，42，44，46，48 第三组数：25.0， 24.4，23.8，23.2， 22.6 第四组数： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 新知讲解—等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示. 等差数列递推公式： 例1.判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项和公差. (1)； (2)； (4)； (5). 新知讲解—等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项为a1，公差是d，根据定义得: 当且时， d， d， d， …… d， 由此可归纳得，等差数列的通项公式为: ____________. 即； 即； 即； …… 即； 将各式累加得，等差数列的通项公式为: . 迭代法（不完全归纳法） 累加法 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 探究 新知讲解—等差数列的通项公式 等差数列的通项公式. 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 思考 当时，令 则 这些点均匀分布在直线上 ，数列是递增数列；，数列是递减数列； ，数列是常数列. 典例分析—等差数列的基本量求解 知三求一 例2.在等差数列中， （1）已知，，求与； （2）已知，且，求. （3）已知公差，则__________. ，即 典例分析—等差数列的基本量求解 知三求一 变式.（1）数列满足且，则; （2）已知数列满足则. , ， 即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，即 ，所以. 新知讲解—等差中项 由等差数列的定义可知，如果这三个数是等差数列，你能求出的值吗？ 思考 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，叫做与的等差中项，且. 数列是等差数列 数列是等差数列，若 且，则 数列是等差数列,若 且,则 典例分析—等差中项 例.(1)若，，则的等差中项为（ ） A. B. C. D. （2）在与之间顺次插入三个数，使这五个数成等差数列，求此数列. （3）若等差数列的前三项和为，第二项与第三项之积为，求数列的前三项，并写出通项公式. 由题意知的等差中项为(). 设数列的公差为，由题可得所以，.数列的通项公式为. 巩固训练—等差中项 巩固训练.(1)已知则公差___________； （2）等差数列，，中第一个项是第_________项； *（3）已知正项数列满足，且，则 ; *（4）已知数列满足，且，则 典例分析—等差数列的判定或证明 例4.已知数列满足，. (1)数列是否为等差数列？说明理由； (2)求. （1）数列是等差数列，理由如下： 因为，，所以， 所以，即数列=，公差为d=的等差数列. （2）由(1)可知，所以，. 典例分析—等差数列的判定或证明 例5.已知数列满足(，且)，证明：数列为等差数列. 解：将2an+(n-1)=nan+a1(n≥2)中的n替换为n+1得2an+1+nan=(n+1)an+1+a1. 两式相减并整理得(n-1)an+1=(2n-2)an-(n-1)an-1(n≥2)， 即(n-1)an+1-(n-1)an=(n-1)an-(n-1)an-1， 由n≥2得an+1-an=an-an-1， 即2an=an+1+an-1(n≥2). 故数列{an}为等差数列. 巩固训练—等差数列的判定或证明 巩固训练4.（1）判断下列数列是否是等差数列. ①；②，，. （2）数列满足，且，设 ①证明：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式. 巩固训练—等差数列的判定或证明 巩固训练5.已知数列满足，，令. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式. 因为-==，所以bn+1-bn=，又b1==1， 所以{bn}是首项为1，公差为的等差数列. 由(1)知bn=n+，所以an-1=，所以an=，n∈N*. 方法归纳—等差数列的判定或证明 ①定义法： ③通项法： ②等差中项法： 或 用于证明 课堂小结 等差数列的概念 1.递推公式 2.通项公式 3.等差中项 ①当时，叫做和的等差中项； ②数列是等差数列； ③若数列是等差数列，当，且时， $