精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

玉溪一中2025—2026学年上学期高二月考（12月） 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数（　　） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的左顶点为，直线与双曲线交于点，，若直线与的斜率之积是，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 4. 设，向量，，，且，∥，则等于（   ） A. B. C. 3 D. 9 5. 已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱，，的中点，为上的动点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. C. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D. 若直线与直线平行，过该直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据、、、，下列说法正确的是（ ） A. 该样本数据的第百分位数为 B. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数 C. 剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 D. 若、、、的平均数为，方差为，、、、的平均数为，方差为，则、、、的方差为 10. 已知实数满足方程，则（ ） A. 点到点的距离为定值 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 若，则的面积为 C. 椭圆上存在4个点，使得 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则在上的投影向量是________________ 13. 某公司2025年全年投入某项技术的研发资金为120万元，并且计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元的年份是__________．（参考数据.） 14. 已知在正四棱锥中，，点是该正四棱锥内切球球面上的动点，则正四棱锥的体积为______，的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为，，，已知，. （1）求A； （2）若，求的面积. 16. 已知中，，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设所在直线与轨迹的另一个交点为，当的面积最大且点在第一象限时，求的值. 17. 如图，直三棱柱中，分别为和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 18. 已知为上的偶函数，当时函数. （1）求并求的解析式； （2）若函数在的最大值为，求值并求使不等式成立实数的取值范围. 19. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年上学期高二月考（12月） 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合，，利用交集的定义即可求解. 【详解】对于集合，由于，解得，则， 对于集合，由于，即，则，所以； 故选：A 2. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，求得两复数，按运算法则进行计算. 【详解】在复平面内，复数对应的点分别为， 则， 得． 故选： 3. 已知双曲线的左顶点为，直线与双曲线交于点，，若直线与的斜率之积是，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知，令，，，应用斜率的两点式及已知得，进而求离心率. 【详解】由题设，如下图所示，，， 所以，则， 所以双曲线离心率. 故选：D 4. 设，向量，，，且，∥，则等于（   ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【详解】由，∥，得，解得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：C. 5. 已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 6. 已知函数若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象进行数形结合分析可得. 【详解】由，得， 所以或. 再由，图象如下： 显然与有三个交点，所以有三个不同的实数根. 所以必须有四个不同的实数根，即与有四个交点， 因，再结合图象分析判断可得. 故选：D. 7. 如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱，，的中点，为上的动点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，，， 则， 设平面的法向量， 则有，令， 则解得，所以， 而，设，故， 设，则，得到，解得， 可得，即，设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得，故A正确. 故选：A 8. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. C. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D. 若直线与直线平行，过该直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 【答案】C 【解析】 【分析】将直线的方程可化为，令可判断A；由坐标原点到直线的最大距离为可判断B；先由两平行线间距离公式解出，再比较圆心到直线的距离和半径的关系可得C；先由两平行线间关系解出，再当直线与直线垂直时，取最小值，结合点到直线的距离和勾股定理可判断D. 【详解】对于A选项，直线的方程可化为， 由可得，所以，直线恒过定点，A错； 对于B选项，直线过定点，设为， 所以坐标原点到直线的最大距离为，故B错误； 对于C选项，当时，直线的方程为， 设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为， 由平行线间的距离公式可得，解得， 圆心为，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 所以，直线、都与圆相交， 所以，当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于，C对； 对于D选项，因为直线与直线平行，则，解得， 即点在直线上，连接，则， 由勾股定理可得， 当直线与直线垂直时，取最小值， 且，则，D错. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据、、、，下列说法正确的是（ ） A. 该样本数据的第百分位数为 B. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数 C. 剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 D. 若、、、的平均数为，方差为，、、、的平均数为，方差为，则、、、的方差为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据中位数的定义可判断A选项；由频率分布直方图中中位数、平均数的概念即可判断B；由极差的定义即可判断C；由方差计算公式即可判断D. 【详解】对于A选项，由，所以样本数据的第百分位数为，A错； 对于B选项，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，则其平均数大于中位数，B对； 对于C选项，若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为， 因为，则，由不等式的基本性质可得， 即新样本数据的极差不大于原样本数据的极差； 若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为， 因为，则，即新样本数据的极差不大于原样本数据的极差； 若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为，即新样本数据的极差等于原样本数据的极差； 综上可知剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差，C对； 对于D选项，由，则， 所以、、、的方差为，D错. 故选：BC. 10. 已知实数满足方程，则（ ） A. 点到点的距离为定值 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】整理可得点的轨迹为圆，根据为该圆圆心可知A正确；利用可求得B错误；利用的几何意义将问题转化为点到点的距离的最大值，利用圆的几何性质可求得C正确；采用三角换元的方式，结合辅助角公式和正弦型函数最值可求得D正确. 【详解】对于A，由得：， 点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 点到点的距离为该圆的半径，即定值，A正确； 对于B，，，的最大值为，B错误； 对于C，的几何意义为点到点的距离， 圆心到点的距离， 的最大值为，C正确； 对于D，设，，， ， ，， 当，即时，取得最大值，最大值为，D正确. 故选；ACD. 11. 已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 若，则的面积为 C. 椭圆上存在4个点，使得 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和几何性质，结合三角形周长计算判断A；根据椭圆的定义和余弦定理，结合三角形面积公式计算判断B；根据椭圆几何性质可以判断C；根据椭圆的定义和常数代换法求得式子的最值判断D. 【详解】对于A，椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点， 则，，， 所以的周长为，A正确. 对于B，若，根据余弦定理可得 ， 可得，解得， 则的面积为，B正确. 对于C，由椭圆的性质可知：当点为椭圆的左顶点或右顶点时，最大， 此时，则，所以椭圆上不存在点，使得，C错误. 对于D，因为， 所以 当且仅当，即时取等号， 的最小值是，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则在上的投影向量是________________ 【答案】 【解析】 【分析】求得和的坐标，根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以，， 所以在上的投影向量是. 故答案为：. 13. 某公司2025年全年投入某项技术的研发资金为120万元，并且计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元的年份是__________．（参考数据.） 【答案】2036 【解析】 【分析】设第年投入万元（2025年为第年），则，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】设第年投入万元（2025年为第年），则， 令，即， 所以， 则， 则第年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元， 即2036年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元. 故答案为：2036 14. 已知在正四棱锥中，，点是该正四棱锥内切球球面上的动点，则正四棱锥的体积为______，的最小值为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】求出几何体的高后可求它的体积，利用数量积的运算律可得，求出的最小值后可得数量积的最小值. 【详解】连接，设与交于点，连接，则底面． 由题意得，该正四棱锥内切球的球心在上，， 所以，则该正四棱锥的体积． 设正四棱锥内切球的半径为， 则，解得． 设的中点为，则， 当的长度最小时，取得最小值． 因为， 所以，则的长度最小为， 则，所以， 即的最小值为． 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为，，，已知，. （1）求A； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合题干条件可得的值，结合，即可求得的值，从而求出的值即可求解； （2）由（1）可得，由正弦定理可得.结合，解得，.由，结合，得，利用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理得，又， ∴. ∵，∴，∴. 又∵，∴. ∵，∴. 【小问2详解】 由（1）知，，∴. 由正弦定理得，即，∴. 又，∴，解得，. ∵， ∴，即，解得或. 又，∴，∴， ∴的面积. 16. 已知中，，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设所在直线与轨迹的另一个交点为，当的面积最大且点在第一象限时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据条件得，化简即可求解； （2）根据条件得，进而求出直线的方程，再利用弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 设，由，得， 整理得到，又点不能在轴上， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由题意可得，当到x轴距离最大时，即纵坐标最大时满足题意， 此时，所以， 所在直线方程为，即， 又圆心到直线的距离，半径， 可得. 17. 如图，直三棱柱中，分别为和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接， 因为，，故， 由直三棱柱的性质可得，故， 故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可证，再利用线面平行的判定定理可证平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，根据可求的长，再求出平面的法向量后可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故，设. 由直三棱柱可得平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 故，且. 因为，故即，故（舍去）， 故，，又. 设平面的法向量为，则, 所以，取， 故与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 18. 已知为上的偶函数，当时函数. （1）求并求的解析式； （2）若函数在的最大值为，求值并求使不等式成立实数的取值范围. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由为上的偶函数，得，可求的值；当时，代入 求得当时的解析式； （2）讨论对称轴的位置，确定的单调性，根据在的最大值为求得，根据的对称性与单调性解不等式得的范围. 【小问1详解】 ∵为R上的偶函数， ∴， ∴关于x=1对称， ∴ . 又， ， 当即时， ， 故. 【小问2详解】 当 时在上单调递增，的最小值为，与题意矛盾， 同理当对称轴即时，则在上单调递减， ，矛盾. 若，则，， ， ， 显然当时，在上值域为 在上最大值为，符合题目要求.故. 不等式成立即成立， 当时函数为增函数， 所以在对称轴右侧为增函数，左侧为减函数，距离对称轴越远其值越大， ，解得 故m的取值范围为 【点睛】的奇偶性的处理方法：若具有奇偶性，则的对称轴为轴或对称中心为原点，可以得到也有对称轴或对称中心，方法是通过平移变换与伸缩变换将的图象变换到的图象，在变换过程中对称轴或中心也跟着作相应的变换.如为R上的偶函数，向右平移个单位得到的图象，则的图象关于对称，再将的图象横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则的图象关于对称. 19. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的方程为， 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线． （2）①设点，其中且， 由（1）可知的方程为， 因为，所以， 因此，三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程，得， 则， 由（1）可知， 所以 ， 所以为定值1； （法二）设，则有，解得， 同理由，解得， 所以， 所以为定值1； 由椭圆定义，得， ， 解得，同理可得， 所以 ． 因为，所以的周长为定值． ；②存在； 【解析】 【分析】（1）设，由题意可得，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解； （2）设点，其中且. （ⅰ）由可知三点共且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，进而表示出，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由得，，进而表示出，化简计算即可；（ii）由（ⅰ）可知三点共线，且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，计算化简可得，结合由内切圆性质计算即可求解. 【小问1详解】 设点，由题意可知， 即， 经化简，得的方程为， 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线， 根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程， 得， ，（*） 因为， 所以 ， 将（*）代入上式，化简得， （法二）设，依条件有，解得， 同理由，解得， 所以． 由双曲线的定义，得， 根据，解得， 同理根据，解得， 所以 ， 由内切圆性质可知，， 当时，（常数）． 因此，存在常数使得恒成立，且． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $