第七单元 数学广角—植树问题（易错专项讲义）数学人教版五年级上册

该小学数学讲义通过框架图系统梳理植树问题知识体系，涵盖线段两端栽、两端不栽、封闭图形等类型，明确“总距离÷株距=间隔数”及棵数与间隔数关系公式，突出“是否两边植树”等关键要点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于易错点分类剖析训练，针对公式混淆、间隔数计算等5类易错点，结合典例（如大桥路灯安装）分析错因并示范正确推理，配套绿道植树、锯木头等场景化专练，培养模型意识与推理能力，分层题目满足不同学生需求，助力教师精准教学与学生自主复习。

第七单元 数学广角—植树问题易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：情况混淆，公式张冠李戴。 2 易错点2：对“间隔数”的理解和计算错误。 3 易错点3：对“两旁”、“两侧”、“两边”植树问题处理错误。 5 易错点4：将“植树问题”模型迁移到其他类似场景时识别错误。 7 易错点5：“封闭图形”与“直线型”植树问题混淆，错误地加1或减1。 8 模块一 易错知识点梳理 1．在一条线段上植树（两端都栽树）的问题。 总距离÷株距=间隔数，棵数=间隔数+1。 2．在一条线段上植树（两端都不栽树）的问题。 棵数=间隔数－1。 3．在一条首尾相接的封闭曲线上植树的问题。 棵数=间隔数。 4．解决植树问题关键要弄清两点:（1）是否两边都要植树；（2）根据两端的植树情况弄清棵数与间隔数之间的关系。 5．锯钢管问题可以看成在一条线段上两端都不植树的问题，锯的次数=段数-1。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：情况混淆，公式张冠李戴。 【典例1】在一条全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？ 【错误答案】100 ÷ 5 = 20（棵） 【错解分析】 1、公式混淆：错误地套用了“只栽一端”的公式（棵数=间隔数）。而题目明确要求“两端要栽”，应使用“两端都栽”的公式：棵数 = 间隔数 + 1。 2、审题不清：没有抓住“两端要栽”这个关键条件。 【正确解答】 1、求间隔数：100 ÷ 5 = 20（个） 2、求棵数（两端都栽）：20 + 1 = 21（棵）答：一共需要21棵树苗。 【易错专练1】武汉建成长80.5公里的生态滨水绿道，计划在绿道两侧种植垂柳，每隔5米种一棵（两端都种），一共需要准备多少棵垂柳苗？ 【易错专练2】园林工人在一条全长800米的公路两旁栽椰子树，每隔25米栽一棵，两端都要栽，一共要栽多少棵椰子树？ 【易错专练3】校园里有一条长12米的小路，现在要在这条路的右边每隔2米摆一盆花，路的两头都要摆，一共需要多少盆花？ 【易错专练4】学校门前的马路长3千米，在路的某一边每隔6米栽一棵树，两端都栽，学校门前的这条马路某一边共栽多少棵树？ 【易错专练5】两个班在一条长40米的走廊一侧摆花盆，每隔5米放一盆花，两端都要放，一班摆前20米，二班接着一班摆，二班需要摆多少盆花？ 易错点2：对“间隔数”的理解和计算错误。 【典例2】工程队埋电线杆，每隔40米埋一根（两端都埋），共埋了21根。这段路有多长？ 【错误答案】40×21 = 840（米） 【错解分析】未用间隔数计算：错误地将“棵数”直接与“间隔距离”相乘。路长应该是间隔数×间隔距离，而不是棵数×间隔距离。 逆向思维薄弱：已知“两端都埋”时棵数与间隔数的关系是“棵数=间隔数+1”，逆向推导“间隔数=棵数－1”这一步不熟练。 【正确解答】 求间隔数：两端都埋，间隔数 = 棵数－1 = 21 －1 = 20（个） 求路长：路长=间隔数×间隔距离= 20 × 40 = 800（米） 答：这段路有800米长。 【易错专练1】一个果园的一边等距离地栽了18棵桃树，每两棵桃树中间又栽了一棵杏树，一共要栽多少棵杏树？ 【易错专练2】有52位少先队员排成两列纵队去看展览，队伍前进的速度是每分钟25米，而且前后两人都相距1米。现在要通过一个75米长的地下通道，需要多长时间？ 【易错专练3】在一条长180米的公路的一侧植树，每隔3米植一棵。两端都不植，一共植树多少棵？ 【易错专练4】从南镇到北镇的路的一边共有27根电线杆，相邻两根电线杆之间的距离是30米，现在要重新修改，除两端的2根不动，其余的要拆除，重新在中间竖19根。这时相邻两根电线杆之间的平均距离是多少米？ 【易错专练5】王林学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，开头不种树，一共能种多少棵树？ 易错点3：对“两旁”、“两侧”、“两边”植树问题处理错误。 【典例3】在一条60米长的走廊两旁摆花（两端都要摆），每隔4米摆一盆。一共需要多少盆花？ 【错误答案】(60 ÷ 4 + 1) = 15 + 1 = 16（盆） 【错解分析】 1、“两旁”与“一边”混淆：题目问的是“两旁”一共需要多少盆，错误答案只计算了“一边”的数量。 2、解题不完整：解决了模型问题（求一边的盆数），但最后一步“乘以2”被遗漏。 【正确解答】方法：先算一边，再算两边。 1、一边的盆数（两端都摆）：间隔数：60 ÷ 4 = 15（个）盆数：15 + 1 = 16（盆） 2、两边的总盆数：16 × 2 = 32（盆）答：一共需要32盆花。 【易错专练1】阳光小学准备在秋季运动会上安排轮滑比赛，赛道长160米。如果每隔4米放一个障碍物，第一个障碍物离起点和最后一个障碍物离终点都是10米，那么需要放多少个障碍物？ 【易错专练2】110米栏属于田径中的一个径赛项目。它要求运动员在110米长的赛道上，以跑跳结合的方式跨越10个栏架并抵达终点。如图，每相邻两个栏架间距离相等，其中第一栏距离起跑线13.72米，最后一栏距离终点线14.02米，那么每相邻两个栏架之间的距离是多少米？ 【易错专练3】元旦到了，学校准备开元旦联欢会。计划在相距100米的两栋教学楼间拉一条彩条，挂19个红灯笼（两端不挂），要求每相邻两个红灯笼之间的距离相等，那么相邻两个红灯笼之间的距离是多少米？ 【易错专练4】在一条公路的两旁从头到尾一共栽有56棵柏树，相邻两棵柏树之间的距离都是30米。这条公路长多少米？ 【易错专练5】在一条公路上每隔20米架设一根电线杆，路的一端架设另一端不架设，共用了45根电线杆。这条路全长多少米？ 易错点4：将“植树问题”模型迁移到其他类似场景时识别错误。 【典例4】一座大桥全长300米，在桥的两侧从头到尾共安装了62盏路灯（两端都有）。相邻两盏路灯之间的距离是多少米？ 【错误答案】300 ÷ 62 ≈ 4.84（米） 【错解分析】 1、未识别模型：这是“植树问题”的逆应用。错误地将“总长”直接除以“总盏数”，混淆了“盏数”与“间隔数”。 2、忽略“两侧”：62盏是两侧的总和，需要先求出一侧有多少盏。 3、类型判断：“两端都有”对应“两端都栽”模型。 【正确解答】 1、求一侧的盏数：62 ÷ 2 = 31（盏） 2.、求一侧的间隔数（两端都有）：间隔数 = 盏数 - 1 = 31 - 1 = 30（个） 3、求间隔距离：间隔距离 = 总长 ÷ 间隔数 = 300 ÷ 30 = 10（米）答：相邻两盏路灯之间的距离是10米。 【易错专练1】把2米的木头锯成0.2米长的小段，每锯一次要用1.5分钟，则需要锯多少分钟才能锯完？ 【易错专练2】将一根10米长的钢筋要全部截成0.6米长的小段，一共可以截成多少段这样的小段？若每截一段需要0.5分钟，截成这些小段一共要多少分钟？ 【易错专练3】爸爸要用锯子把一根长4米的木料和一根长5米的钢管分别锯成5段。锯断一次木料所用的时间是3.2分钟，锯断一次钢管所用的时间是6.8分钟，他30分钟能锯完吗？45分钟呢？ 【易错专练4】走楼梯的益处很多，有助于活动关节和降压降脂等。小刚家住在9楼，为了锻炼身体，他步行上楼回家。从1楼走到5楼，他用了120秒，如果用同样的速度，小刚走到自己家所在楼层共需要多长时间？ 易错点5：“封闭图形”与“直线型”植树问题混淆，错误地加1或减1。 【典例5】一个圆形花坛的周长是60米，如果沿着花坛每隔5米放一盆花，一共需要放多少盆花？ 【错误答案】60 ÷ 5 + 1 = 12 + 1 = 13（盆）或 60 ÷ 5 - 1 = 12 - 1 = 11（盆） 【错解分析】 1、模型识别错误：看到“圆形”，没有意识到这是“封闭图形”植树问题，而错误地将其当作“直线型”问题来处理。 2、公式误用：凭感觉或模糊记忆，错误地进行了“加1”或“减1”。根本原因是对封闭图形“首尾相连，棵数等于间隔数”的本质理解不深。 【正确解答】 1、求间隔数：间隔数 = 周长 ÷ 间隔距离 = 60 ÷ 5 = 12（个） 2、求盆数（封闭图形）：盆数 = 间隔数 = 12（盆）答：一共需要放12盆花。 【易错专练1】王爷爷在自家圆形菜地的边缘等距离地搭了40个豇豆架（用于豇豆攀爬生长）。现在他打算拆除豇豆架，在菜地边缘改种茄子苗，每隔6米种一棵，一共种了60棵茄子苗。原来相邻两个豇豆架之间的距离是多少米？ 【易错专练2】学校运动会开幕式上有一个方阵表演，这个方阵有3层，最外层4条边上每边有25人，第二层4条边上每边有15人，中心的一层4条边上每边有5人，这个方阵最少一共有多少人？ 【易错专练3】学校100周年校庆的舞台是长方形的，舞台上方每隔3米安装一盏投射灯，四个角都要安装（如图所示），一共安装了36盏投射灯，舞台的面积是多少平方米？ 【易错专练4】植树节时，五年级同学在正方形空地上栽树（四个角都栽），最外层每边栽了10棵树苗，最外层一共栽了多少棵树苗？整个空地全部栽满，每两棵树的间隔相同，这块空地一共栽了多少棵树苗？ 【易错专练5】为了庆祝国庆节，同学们举行联欢会，他们打算在教室四周挂上气球。教室长8米，宽6米，每隔2米挂一个气球，四角都挂上，共需多少个气球？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 数学广角—植树问题易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：情况混淆，公式张冠李戴。 2 易错点2：对“间隔数”的理解和计算错误。 4 易错点3：对“两旁”、“两侧”、“两边”植树问题处理错误。 6 易错点4：将“植树问题”模型迁移到其他类似场景时识别错误。 9 易错点5：“封闭图形”与“直线型”植树问题混淆，错误地加1或减1。 11 模块一 易错知识点梳理 1．在一条线段上植树（两端都栽树）的问题。 总距离÷株距=间隔数，棵数=间隔数+1。 2．在一条线段上植树（两端都不栽树）的问题。 棵数=间隔数－1。 3．在一条首尾相接的封闭曲线上植树的问题。 棵数=间隔数。 4．解决植树问题关键要弄清两点:（1）是否两边都要植树；（2）根据两端的植树情况弄清棵数与间隔数之间的关系。 5．锯钢管问题可以看成在一条线段上两端都不植树的问题，锯的次数=段数-1。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：情况混淆，公式张冠李戴。 【典例1】在一条全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？ 【错误答案】100 ÷ 5 = 20（棵） 【错解分析】 1、公式混淆：错误地套用了“只栽一端”的公式（棵数=间隔数）。而题目明确要求“两端要栽”，应使用“两端都栽”的公式：棵数 = 间隔数 + 1。 2、审题不清：没有抓住“两端要栽”这个关键条件。 【正确解答】 1、求间隔数：100 ÷ 5 = 20（个） 2、求棵数（两端都栽）：20 + 1 = 21（棵）答：一共需要21棵树苗。 【易错专练1】武汉建成长80.5公里的生态滨水绿道，计划在绿道两侧种植垂柳，每隔5米种一棵（两端都种），一共需要准备多少棵垂柳苗？ 【答案】32202棵 【分析】根据1公里＝1千米，1千米＝1000米，将80.5公里单位换算成米。根据两端都种，用总长除以5米的间隔的商再加1，可求得绿道一侧种植的垂柳苗棵树。再用结果乘2，可求得绿道两侧种植垂柳苗棵树。 【解答】80.5公里＝80.5千米＝80500米 80500÷5＋1 ＝16100＋1 ＝16101（棵） 16101×2＝32202（棵） 答：一共需要准备32202棵垂柳苗。 【易错专练2】园林工人在一条全长800米的公路两旁栽椰子树，每隔25米栽一棵，两端都要栽，一共要栽多少棵椰子树？ 【答案】66棵 【分析】在植树问题中，树的棵数＝间隔数＋1（两端都栽），间隔数＝公路的长度÷间隔长度，据此求出公路一旁椰子树的棵数，再乘2即可求解。 【解答】（800÷25＋1）×2 ＝（32＋1）×2 ＝33×2 ＝66（棵） 答：一共要栽66棵椰子树。 【点评】本题考查植树问题，明确树的棵数与间隔数之间的关系是解题的关键。 【易错专练3】校园里有一条长12米的小路，现在要在这条路的右边每隔2米摆一盆花，路的两头都要摆，一共需要多少盆花？ 【答案】7盆 【分析】根据题意可知，小路的长度除以间隔的距离，等于间隔数，因为两头都要摆，再用间隔数加1，等于一共需要多少盆花。 【解答】12÷2＝6（个） 6＋1＝7（盆） 答：一共需要7盆花。 【易错专练4】学校门前的马路长3千米，在路的某一边每隔6米栽一棵树，两端都栽，学校门前的这条马路某一边共栽多少棵树？ 【答案】501棵 【分析】根据1千米＝1000米进行单位统一，再算出3000÷6＝500（个）间隔。两端都栽树，树的总数比间隔多1，所以这条马路上一边共栽500＋1＝501（棵）树。 【解答】3千米＝3000米 3000÷6＝500（个） 500＋1＝501（棵） 答：学校门前的这条马路某一边共栽501棵树。 【易错专练5】两个班在一条长40米的走廊一侧摆花盆，每隔5米放一盆花，两端都要放，一班摆前20米，二班接着一班摆，二班需要摆多少盆花？ 【答案】4盆 【分析】根据题意，每隔5米放一盆花，可算出除去从起点后要摆8盆花，算上起点的一共要摆9盆，相同的方法算出一班学生摆的盆数，再计算二班需要摆的盆数。 【解答】40÷5＋1－（20÷5＋1） ＝8＋1－5 ＝9－5 ＝4（盆） 答：二班需要摆4盆花。 易错点2：对“间隔数”的理解和计算错误。 【典例2】工程队埋电线杆，每隔40米埋一根（两端都埋），共埋了21根。这段路有多长？ 【错误答案】40×21 = 840（米） 【错解分析】未用间隔数计算：错误地将“棵数”直接与“间隔距离”相乘。路长应该是间隔数×间隔距离，而不是棵数×间隔距离。 逆向思维薄弱：已知“两端都埋”时棵数与间隔数的关系是“棵数=间隔数+1”，逆向推导“间隔数=棵数－1”这一步不熟练。 【正确解答】 求间隔数：两端都埋，间隔数 = 棵数－1 = 21 －1 = 20（个） 求路长：路长=间隔数×间隔距离= 20 × 40 = 800（米） 答：这段路有800米长。 【易错专练1】一个果园的一边等距离地栽了18棵桃树，每两棵桃树中间又栽了一棵杏树，一共要栽多少棵杏树？ 【答案】17棵 【分析】根据植树问题的解题方法，两端都植，段数＝棵数－1，18棵桃树有（18－1）个段数，即要栽的杏树棵数。 【解答】18－1＝17（棵） 答：一共要栽17棵杏树。 【易错专练2】有52位少先队员排成两列纵队去看展览，队伍前进的速度是每分钟25米，而且前后两人都相距1米。现在要通过一个75米长的地下通道，需要多长时间？ 【答案】4分钟 【分析】有52位少先队员排成两列纵队，每列纵队有26人，前后两人都相距1米，根据一一间隔排列，有25个1米，每列队伍的总长是25米。队伍要通过一个75米长的地下通道，这支队伍行驶全程是本身的长度加上地下通道的长度，最后根据时间＝路程÷速度得出需要的时间。 【解答】（52÷2－1）×1 ＝（26－1）×1 ＝25×1 ＝25（米） （25＋75）÷25 ＝100÷25 ＝4（分） 答：需要4分钟。 【易错专练3】在一条长180米的公路的一侧植树，每隔3米植一棵。两端都不植，一共植树多少棵？ 【答案】59棵 【分析】根据：两端都不栽，棵数＝段数－1，总长÷间隔长＝段数。由题意知，这条公路长180米，每隔3米植一棵，则180除以3计算出段数，再减1即可计算出一共植树的棵数，据此解决本题。 【解答】180÷3＝60 60－1＝59（棵） 答：一共植树59棵。 【易错专练4】从南镇到北镇的路的一边共有27根电线杆，相邻两根电线杆之间的距离是30米，现在要重新修改，除两端的2根不动，其余的要拆除，重新在中间竖19根。这时相邻两根电线杆之间的平均距离是多少米？ 【答案】39米 【分析】根据植树问题的解题方法，两端都植，段数＝棵数－1，原来间距×原来段数＝总长度，据此先求出总长度；重新修改时，两端的2根不动，属于两端都不植，段数＝棵数＋1，总长度÷修改后的段数＝修改后的平均间距，据此列式解答。 【解答】30×（27－1） ＝30×26 ＝780（米） 780÷（19＋1） ＝780÷20 ＝39（米） 答：这时相邻两根电线杆之间的平均距离是39米。 【点评】关键是掌握植树问题的解题方法，理解棵数和段数之间的关系。 【易错专练5】王林学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，开头不种树，一共能种多少棵树？ 【答案】100棵 【分析】由题意知：从头到尾种树，开头不种树，即只栽一端。根据：只栽一端，棵树＝段数，总长÷间隔长＝段数，又知一条路长400米，每隔4米种一棵树，所以用400除以4计算出段数，也就是求出能种多少棵树。 【解答】400÷4＝100（棵） 答：一共能种100棵数。 易错点3：对“两旁”、“两侧”、“两边”植树问题处理错误。 【典例3】在一条60米长的走廊两旁摆花（两端都要摆），每隔4米摆一盆。一共需要多少盆花？ 【错误答案】(60 ÷ 4 + 1) = 15 + 1 = 16（盆） 【错解分析】 1、“两旁”与“一边”混淆：题目问的是“两旁”一共需要多少盆，错误答案只计算了“一边”的数量。 2、解题不完整：解决了模型问题（求一边的盆数），但最后一步“乘以2”被遗漏。 【正确解答】方法：先算一边，再算两边。 1、一边的盆数（两端都摆）：间隔数：60 ÷ 4 = 15（个）盆数：15 + 1 = 16（盆） 2、两边的总盆数：16 × 2 = 32（盆）答：一共需要32盆花。 【易错专练1】阳光小学准备在秋季运动会上安排轮滑比赛，赛道长160米。如果每隔4米放一个障碍物，第一个障碍物离起点和最后一个障碍物离终点都是10米，那么需要放多少个障碍物？ 【答案】个 【分析】赛道长160米，第一个障碍物离起点和最后一个障碍物离终点都是10米，用160－10×2＝160－20＝140米，说明是在140米长的跑道上，每隔4米放一个障碍物，两头都放。 根据植树问题，两端都栽，数量关系： 棵数＝间隔数＋1＝全长÷间距＋1。 【解答】160－10×2 ＝160－20 ＝140（米） 140÷4＋1 ＝35＋1 ＝36（个） 答：需要放36个障碍物。 【易错专练2】110米栏属于田径中的一个径赛项目。它要求运动员在110米长的赛道上，以跑跳结合的方式跨越10个栏架并抵达终点。如图，每相邻两个栏架间距离相等，其中第一栏距离起跑线13.72米，最后一栏距离终点线14.02米，那么每相邻两个栏架之间的距离是多少米？ 【答案】9.14米 【分析】分析题目，从起跑线到终点线之间的10个栏架之间有（10－1）个间隔，先用赛道的总长度分别减去第一栏到起跑线的长度、最后一栏到终点线的长度，再除以（10－1）即可求出每相邻两个栏架之间的距离。 【解答】（110－13.72－14.02）÷（10－1） ＝82.26÷9 ＝9.14（米） 答：每相邻两个栏架之间的距离是9.14米。 【易错专练3】元旦到了，学校准备开元旦联欢会。计划在相距100米的两栋教学楼间拉一条彩条，挂19个红灯笼（两端不挂），要求每相邻两个红灯笼之间的距离相等，那么相邻两个红灯笼之间的距离是多少米？ 【答案】5米 【分析】根据题意，相距100米的两栋教学楼间拉一条彩条，挂19个红灯笼（两端不挂），属于植树问题中两端都不栽的情况，则间隔数＝棵数＋1，即19个红灯笼有（19＋1）个间隔；再用两栋教学楼的距离除以间隔数，求出相邻两个红灯笼之间的距离。 【解答】100÷（19＋1） ＝100÷20 ＝5（米） 答：相邻两个红灯笼之间的距离是5米。 【易错专练4】在一条公路的两旁从头到尾一共栽有56棵柏树，相邻两棵柏树之间的距离都是30米。这条公路长多少米？ 【答案】810米 【分析】先求出公路一旁栽的柏树数量，由于从头到尾都栽了柏树，所以间隔数比柏树的数量少1，用公路一旁栽的柏树数量减去1，即可求出间隔数，再用间隔数乘相邻两棵柏树的距离，就能算出公路的长度，据此解答。 【解答】56÷2＝28（棵） （28－1）×30 ＝27×30 ＝810（米） 答：这条公路长810米。 【易错专练5】在一条公路上每隔20米架设一根电线杆，路的一端架设另一端不架设，共用了45根电线杆。这条路全长多少米？ 【答案】900米 【分析】根据植树问题的解题方法，一端植一端不植，棵数＝段数，间距×段数＝全长，据此列式解答。 【解答】45×20＝900（米） 答：这条路全长900米。 易错点4：将“植树问题”模型迁移到其他类似场景时识别错误。 【典例4】一座大桥全长300米，在桥的两侧从头到尾共安装了62盏路灯（两端都有）。相邻两盏路灯之间的距离是多少米？ 【错误答案】300 ÷ 62 ≈ 4.84（米） 【错解分析】 1、未识别模型：这是“植树问题”的逆应用。错误地将“总长”直接除以“总盏数”，混淆了“盏数”与“间隔数”。 2、忽略“两侧”：62盏是两侧的总和，需要先求出一侧有多少盏。 3、类型判断：“两端都有”对应“两端都栽”模型。 【正确解答】 1、求一侧的盏数：62 ÷ 2 = 31（盏） 2.、求一侧的间隔数（两端都有）：间隔数 = 盏数 - 1 = 31 - 1 = 30（个） 3、求间隔距离：间隔距离 = 总长 ÷ 间隔数 = 300 ÷ 30 = 10（米）答：相邻两盏路灯之间的距离是10米。 【易错专练1】把2米的木头锯成0.2米长的小段，每锯一次要用1.5分钟，则需要锯多少分钟才能锯完？ 【答案】13.5分钟 【分析】求一个数里面包含几个另一个数，用除法计算，用2除以0.2计算出锯成的总段数；再根据“锯的次数＝总段数－1”计算出需要锯的总次数（植树问题中的两端都栽：间隔数＝棵数－1）；最后用锯的总次数乘每锯一次要用的时间即可计算总共需要的时间。 【解答】（2÷0.2－1）×1.5 ＝（10－1）×1.5 ＝9×1.5 ＝13.5（分钟） 答：需要锯13.5分钟才能锯完。 【易错专练2】将一根10米长的钢筋要全部截成0.6米长的小段，一共可以截成多少段这样的小段？若每截一段需要0.5分钟，截成这些小段一共要多少分钟？ 【答案】16段；8分钟 【分析】用钢筋的长度÷每段的长度，最后无论剩下多长，只要不够小段的长度，就不能截成一小段，结果用“去尾法”解答。 求截成这些小段一共需要的时间，用这样的段数乘截一段需要的时间，据此解答。 【解答】10÷0.6≈16（段） 16×0.5 ＝16×0.5 ＝8（分钟） 答：一共可以截成16段这样的小段，截成这些小段一共要8分钟。 【易错专练3】爸爸要用锯子把一根长4米的木料和一根长5米的钢管分别锯成5段。锯断一次木料所用的时间是3.2分钟，锯断一次钢管所用的时间是6.8分钟，他30分钟能锯完吗？45分钟呢？ 【答案】不能；能 【分析】将“锯木头问题”类比“植树问题中两端都不栽”模型知：把木料锯成5段需要锯：5－1＝4（次），把钢管锯成5段也需要锯：5－1＝4（次）。已知锯断一次木料所用的时间是3.2分钟，锯断一次钢管所用的时间是6.8分钟，就分别求出所需要的时间，将时间相加起来和30分钟和45分钟相比较就可以解决问题。 列出综合算式之后，观察式子建议使用乘法分配律逆运算进行简便运算。 【解答】5－1＝4（次） 3.2×4＋6.8×4 ＝（3.2＋6.8）×4 ＝40（分钟） 35＜40＜45 答：他30分钟锯不完，45分钟能锯完。 【易错专练4】走楼梯的益处很多，有助于活动关节和降压降脂等。小刚家住在9楼，为了锻炼身体，他步行上楼回家。从1楼走到5楼，他用了120秒，如果用同样的速度，小刚走到自己家所在楼层共需要多长时间？ 【答案】240秒 【分析】从1楼走到5楼，需要走（5－1）层楼梯，用120÷（5－1），求出走1层楼梯需要的时间；从1楼走的9楼，需要走（9－1）层楼梯，用走1层楼梯需要的时间×（9－1），即可解答。 【解答】120÷（5－1）×（9－1） ＝120÷4×8 ＝30×8 ＝240（秒） 答：小刚走到自己家所在楼层共需要240秒。 易错点5：“封闭图形”与“直线型”植树问题混淆，错误地加1或减1。 【典例5】一个圆形花坛的周长是60米，如果沿着花坛每隔5米放一盆花，一共需要放多少盆花？ 【错误答案】60 ÷ 5 + 1 = 12 + 1 = 13（盆）或 60 ÷ 5 - 1 = 12 - 1 = 11（盆） 【错解分析】 1、模型识别错误：看到“圆形”，没有意识到这是“封闭图形”植树问题，而错误地将其当作“直线型”问题来处理。 2、公式误用：凭感觉或模糊记忆，错误地进行了“加1”或“减1”。根本原因是对封闭图形“首尾相连，棵数等于间隔数”的本质理解不深。 【正确解答】 1、求间隔数：间隔数 = 周长 ÷ 间隔距离 = 60 ÷ 5 = 12（个） 2、求盆数（封闭图形）：盆数 = 间隔数 = 12（盆）答：一共需要放12盆花。 【易错专练1】王爷爷在自家圆形菜地的边缘等距离地搭了40个豇豆架（用于豇豆攀爬生长）。现在他打算拆除豇豆架，在菜地边缘改种茄子苗，每隔6米种一棵，一共种了60棵茄子苗。原来相邻两个豇豆架之间的距离是多少米？ 【答案】9米 【分析】封闭图形里植树，棵数＝段数，茄子苗的间距×段数＝菜地周长，菜地周长÷豇豆架的个数＝豇豆架的间距，据此列式解答。 【解答】6×60÷40 ＝360÷40 ＝9（米） 答：原来相邻两个豇豆架之间的距离是9米。 【易错专练2】学校运动会开幕式上有一个方阵表演，这个方阵有3层，最外层4条边上每边有25人，第二层4条边上每边有15人，中心的一层4条边上每边有5人，这个方阵最少一共有多少人？ 【答案】168人 【分析】已知方阵最外层每边有25人，第二层每边有15人，中心的一层每边有5人，用每条边上的人数乘4，再减去每条边顶点处重复计算的4人，求出每层人数，再相加，就是这个方阵的总人数。 【解答】（25×4－4）＋（15×4－4）＋（5×4－4） ＝（100－4）＋（60－4）＋（20－4） ＝96＋56＋16 ＝168（人） 答：这个方阵最少一共有168人。 【易错专练3】学校100周年校庆的舞台是长方形的，舞台上方每隔3米安装一盏投射灯，四个角都要安装（如图所示），一共安装了36盏投射灯，舞台的面积是多少平方米？ 【答案】720平方米 【分析】观察可知，一条长边有11盏灯，根据植树问题两端都栽，长边两端都有灯，可知长边有个间隔，每个间隔是3米，可用乘法计算长的长度，用，可得到宽除了两端中间有7盏灯，又根据植树问题两端都不栽，可知宽有个间隔，再乘3可得宽的长度，最后根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【解答】长：（11－1）×3 ＝10×3 ＝30（米） 宽：（36－11×2）÷2 ＝（36－22）÷2 ＝14÷2 ＝7（盏） （7＋1）×3 ＝8×3 ＝24（米） 面积：30×24＝720（平方米） 答：舞台的面积是720平方米。 【易错专练4】植树节时，五年级同学在正方形空地上栽树（四个角都栽），最外层每边栽了10棵树苗，最外层一共栽了多少棵树苗？整个空地全部栽满，每两棵树的间隔相同，这块空地一共栽了多少棵树苗？ 【答案】36棵；100棵 【分析】将每边栽的数量乘4，再减去四个角上多算了一遍的4棵，求出最外层一共栽了多少棵树苗。整个空地全部栽满，说明栽了10行10列的树苗，那么用10×10，即可计算出这块空地一共栽了多少棵树苗。 【解答】10×4－4 ＝40－4 ＝36（棵）       10×10＝100（棵） 答：最外层一共栽了36棵树苗；这块空地一共栽了100棵树苗。 【易错专练5】为了庆祝国庆节，同学们举行联欢会，他们打算在教室四周挂上气球。教室长8米，宽6米，每隔2米挂一个气球，四角都挂上，共需多少个气球？ 【答案】14个 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，先求出教室一周长度，再根据植树问题的解题方法，封闭图形植树，棵数＝段数，教室一周长度÷气球间距＝气球个数，列式解答即可。 【解答】（8＋6）×2÷2 ＝14×2÷2 ＝14（个） 答：共需14个气球。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $