专题十八：尺规作图-2025-2026学年数学寒假中考备战专题练习

专题十八:尺规作图 一、单选题 1．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】解：根据作图可得，，故A，B正确； ∵是角平分线， ∴，故D选项正确， 而不一定成立，故C选项错误， 故选：C． 2．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点若，，则的值为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】A 【分析】过点D作于点H，根据角平分线的性质得出的长，再根据三角形面积公式求解即可． 本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作于点H， 由作图可知，是的角平分线， 又， ， 的值为， 故选：A． 3．小鹿和小唯玩尺规作图接力游戏，如图，过的边上一点作．以下作图步骤：①作射线；②以为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交于点；③以点为圆心，的长为半径作弧，交前面的弧于点；④以为圆心，的长度为半径作弧，交于点．若小鹿先开始，则属于小鹿的作图步骤是（　　） A．② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是简单的尺规作图，直接根据利用尺规作图的方法，作一个角等于已知角的作图顺序即可得出正确的排列顺序． 本题的解题关键是掌握“尺规作图：画一个角等于已知角”， 作图顺序为：②④③①，即可解答． 【详解】解：根据“尺规作图：画一个角等于已知角”，可知作图顺序为：②④③①， ∴若小鹿先开始，则属于小鹿的作图步骤是②③． 故选B． 4．如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 【详解】∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 5．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点．再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点，若，则点到的距离等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的性质，如图，过点作于点，由作图过程可知平分，根据角平分线的性质得，再根据确定的长，即可得出结论．解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：如图，过点作于点， 由作图过程可知：平分， ∵，即， ∴， ∵，， ∴， ∴点到的距离等于． 故选：C． 6．已知，求作，作法： （1）以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点，； （2）分别以，为圆心，以长为半径在角的内部画弧交于点； （3）作射线，则为的平分线，可得．    根据以上作法，某同学有以下3种证明思路： ①可证明，得，可得； ②可证明四边形为菱形，，互相垂直平分，得，可得； ③可证明为等边三角形，，互相垂直平分，从而得，可得． 你认为该3种证明思路中，正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等边三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：①由作图得：， ， ， ，故①正确，符合题意； ②由作图得：， 四边形为菱形， 平分， ，故②正确，符合题意； ③，但不一定与相等， 不一定是等边三角形，故③错误，不符合题意； 3种证明思路中，正确的有①②， 故选：A． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等边三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 7．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点在网格线上，以为直径的半圆与边相交于点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，若，先画边上的高，再画点关于的对称点； (2)在图2中，若点在离最近格点三分之一处，设和Q分别为边与上的动点，当与之和达到最小值时，画出点和Q． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理、轴对称的性质、垂线段最短、无刻度尺作图等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． （1）如图：先将线段向上平移两个单位长度，再连接与其的交点即为点；由圆周角定理可证,即为边上的高； （2）先作出关于的对称点，连接,分别过作即是、的对称轴，则,连接交圆弧于点,连接与的交点即为点P，连接作并延长交于Q即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：点和Q即为所求． 8．如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线交于点，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的画法和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于，，，进而得，，又由作图可知，为的角平分线，得到，即可得，得到，，即得，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可求解，由矩形的性质可得掌握角平分线的画法是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 又由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 9．如图，已知. （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． （3）作射线交于点D． （4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点． （5）作直线，交分别于点E，F． 依据以上作图，若，，，则的长是（    ）. A．2 B．1 C． D．4 【答案】C 【分析】利用作法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形得到，然后利用平行线分线段成比例定理计算的长． 【详解】解：由作法得平分，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形为平行四边形， 而， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质． 10．如图，在中，，，为边的中线．以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线射线与分别交于点、点，连接，以下结论正确的有几个（   ） （1）点是的外心；（2）平分；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由作图可知，点是的内心，故（1）错误．证明，推出，，，可以证明（2）、（3）正确，利用相似三角形的性质证明（4）错误即可． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线， ，是的中线， ∴是的角平分线 ∴点是的内心，故（1）错误； ，， ， 在和中， ， ， ，，，即平分，故（2）正确； ， ， ， ，故（3）正确； ，， ， ，即，整理得， ， ， ，故（4）错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键． 二、填空题 11．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是 （填，，，中的一种）．    【答案】 【分析】利用可证得，那么． 【详解】解：由作图知， ∴， ∴，所以利用的条件为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键． 12．如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查基本作图—作角，根据作图可知，，求解即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴； 故答案为：． 13．如图，在中，以点D为圆心，以一定长度为半径作弧，与边交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接交于点E，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查尺规作垂线，解直角三角形，根据作图可知，解直角三角形求出的长，线段的和差关系，求出的长即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是作已知直线的垂线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先由作图可得，证明，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 15．如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E，F两点；再以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连接，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，由作图方法可知，垂直平分，则由三线合一定理可推出点A在直线上，再分点P在点A下方和点P在点A上方，两种情况画出示意图讨论求解即可． 【详解】解：由作图方法可知，垂直平分， ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∴点A在直线上， 如图所示，当点P在点A下方时， ∴， 由作图方法可知， ∴； 如图所示，当点P在点A上方时， 同理可得 由作图方法可知， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 16．如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，且，①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交，于，；②分别以，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则的大小为 度． 【答案】15 【分析】本题主要考查了解直角三角形、圆周角定理及作图基本作图，根据题意，先求出的度数，再结合作图步骤，得出即可解决问题．能根据题意得出的度数及平分是解题的关键． 【详解】解：为半圆的直径，点为半圆上一点， ． ， ， ． 由作图步骤可知，平分， ． 故答案为：15． 17．如图，，以点O为圆心，适当长为半径作弧，与，分别交于点C，D．再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接，过点P分别作，交于点E，，交于点F．若，则四边形的面积为 （用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】过P作于M，则，由作图可知平分，即，即可得，进而由平行线的性质可得，得到，据此可得四边形是菱形，得到，再根据平行线的性质可得，解直角三角形得到，最后利用菱形的面积公式计算即可得解. 【详解】解：如图所示，过P作于M，则， 由作图可知平分，且， ∴， ∴在中，直角边， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴. 故答案为. 【点睛】本题考查了角平分线的画法和性质，平行线的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键. 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B均在格点上，点C是小正方形边的中点，以为直径的半圆与边相交于点D．    （Ⅰ）的面积等于 ； （Ⅱ）若点P在半圆上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 取格点，连接，则、、三点共线，取格点，，连接并延长交网格线于，连接，，得四边形为平行四边形，取格点，，并连接交网格线于，交于，连接，交半圆于点，点即为所求． 【分析】（Ⅰ）结合图形根据三角形的面积公式计算即可； （Ⅱ）取格点，连接，由网格特点可知，由圆周角定理可知，则、、三点共线，取格点，，连接并延长交网格线于，连接，，由网格特点可知四边形为平行四边形，则，，取格点，，并连接交网格线于，交于，连接，交半圆于点，可知为小正方形边的中点，则，，由可知，，则，所以，令与交于点，可知为小正方形边的中点，，，同理可知，所以，，可知四边形为四边形，所以，所以，由圆周角定理可知，所以，点即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，边上的高为3， ∴， 故答案为：； （Ⅱ）如图所示，点即为所求．    故答案为：如图，取格点，连接，则、、三点共线，取格点，，连接并延长交网格线于，连接，，得四边形为平行四边形，取格点，，并连接交网格线于，交于，连接，交半圆于点，如图所示，点即为所求． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定，圆周角定理，格点作图，解题的关键是学会利用平行四边形性质作图． 三、解答题 19．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段； 求作：矩形，使． 【答案】作图见详解 【分析】根据矩形的性质运用尺规作图即可． 【详解】解：（1）画射线，在上截取，即以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以为半径画弧交于点； （2）分别以点为圆心，以为半径，画弧，交于点，连接，以点为端点，在上取， （3）分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，可得矩形， 如图所示，即为所求图形． ∴矩形即为所求图形． 【点睛】本题主要考查尺规作图，线段的垂直平分线的作图，矩形的作图，矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 20．如图，在中，，延长到点．请利用尺规作图法在内部作射线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，涉及三角形外角的性质，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 作出的平分线即可． 【详解】解：以为圆心，任意长为半径，与、分别交于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的为半径画弧，两弧交于点，作射线，射线即为求作的． 理由：，， 由作法可知，平分， ， 射线即为求作的． 21．如图已知，请用尺规作图法：求作点，使，且点在边的高上（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查尺规作垂线，掌握尺规作高，垂直平分线的方法是关键． 根据尺规作高，尺规作垂直平分线的方法即可求解． 【详解】解：如图， 以点为圆心，以为半径画弧，交于点， 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接交于点，则是边的高， 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点， ∴是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得到， ∴点即为所求． 22．如图，，按照下列步骤作图： ①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于E、F两点； ②分别以E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P； ③作射线，交于点M． (1)试根据作图过程，说明是的平分线的理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接、易证，可得； （2）依据角平分线的性质和平行线的性质可求得，最后依据三角形内角和求解即可． 【详解】（1）连接、， 根据作图知：， 在与中， ， ， ， 是的平分线． （2）由题意得，是的平分线， ， ∵， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质、角平分线的证明和性质、平行线的性质以及三角形内角和定理；解题的关键是熟练运用相关性质转换求值． 23．如图，在平行四边形中，连接，点E为上一点． (1)在边的下方求作一点F，使得且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接、、．若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）在的下方作，且，连接即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： ； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 24．图①、图②均是的正方形网格，小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．    (1)线段的长为______； (2)在图①中，以线段为腰画一个等腰钝角三角形； (3)在图②中，以线段为边画一个轴对称四边形，使其面积为8． 【答案】(1) (2)如图所示 (3)如图所示 【分析】本题考查作图-对称变换，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）利用勾股定理即可求解； （2）取格点C，使得，且，连接即可； （3）取格点，使得，且，构成菱形，菱形面积为8，且为一个轴对称图形，即可得解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，等腰如图所示；    （3）解：如图，四边形如图所示， ， 四边形为菱形，即为轴对称图形， ， 菱形面积为．    25．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点均在格点上，且． （I）线段的长等于 ； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 图见解析，取圆与网格线的交点，连接相交于点；取圆与网格线的交点，连接，，分别与网格线相交于点；连接并延长，与圆分别相交于点；连接相交于点，则点即为所求 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （I）根据网格，运用勾股定理即可求解； （II）根据圆与格点，确定圆心，再运用垂径定理，四边形的内角和得到，根据圆周角定理，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（I）； （II）如图， 取圆与网格线的交点，连接相交于点，即为圆心； 取圆与网格线的交点，连接，，分别与网格线相交于点，如图所示，取格点矩形，，连接，分别与交于点，连接并延长，与圆分别相交于点， ∴点是弦的中点， ∴； 连接相交于点，如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 则点即为所求． 26．（1）已知：如图，、是内两点，求作：的直径，使． （2）已知：如图，、是的半径，求作：弦，使其与、的交点是的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接，，，根据对称的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得到． （2）令与的交点为，与的交点为，根据对称的性质可得，根据等边对等角可得，根据等角的补角相等可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据平行线分线段成比例可得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可推得． 【详解】（1）作法：连接并延长，以为圆心，的长为半径，画弧，与的延长线交于点；连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于点，，连接，在的右侧与交于点；连接并延长，与交于点，即为所求．    理由：连接，，，如图，    根据作法可知，点与点关于点对称，是的垂直平分线， ∵，，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． （2）作法：延长，以点为圆心，的长为半径，画弧，与的延长线交于点；延长，以点为圆心，的长为半径，画弧，与的延长线交于点；连接，，分别于交于点，点，连接，即为所求．    理由：令与的交点为，与的交点为，如图，      根据作法可知，，, ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理，， ∴， 故． 【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线和线段，对称的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边对等角，等角的补角相等，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握尺规作垂线和线段是解题的关键． 试卷第2页，共27页 试卷第1页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十八:尺规作图 一、单选题 1．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点若，，则的值为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 3．小鹿和小唯玩尺规作图接力游戏，如图，过的边上一点作．以下作图步骤：①作射线；②以为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交于点；③以点为圆心，的长为半径作弧，交前面的弧于点；④以为圆心，的长度为半径作弧，交于点．若小鹿先开始，则属于小鹿的作图步骤是（　　） A．② B．②③ C．①③ D．③④ 4．如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点．再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点，若，则点到的距离等于（　　） A． B． C． D． 6．已知，求作，作法： （1）以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点，； （2）分别以，为圆心，以长为半径在角的内部画弧交于点； （3）作射线，则为的平分线，可得．    根据以上作法，某同学有以下3种证明思路： ①可证明，得，可得； ②可证明四边形为菱形，，互相垂直平分，得，可得； ③可证明为等边三角形，，互相垂直平分，从而得，可得． 你认为该3种证明思路中，正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点在网格线上，以为直径的半圆与边相交于点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，若，先画边上的高，再画点关于的对称点； (2)在图2中，若点在离最近格点三分之一处，设和Q分别为边与上的动点，当与之和达到最小值时，画出点和Q． 8．如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线交于点，则的长为（    ）． A． B． C． D． 9．如图，已知. （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． （3）作射线交于点D． （4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点． （5）作直线，交分别于点E，F． 依据以上作图，若，，，则的长是（    ）. A．2 B．1 C． D．4 10．如图，在中，，，为边的中线．以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线射线与分别交于点、点，连接，以下结论正确的有几个（   ） （1）点是的外心；（2）平分；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是 （填，，，中的一种）．    12．如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为 ． 13．如图，在中，以点D为圆心，以一定长度为半径作弧，与边交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接交于点E，若，则的长为 ． 14．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的长为 ． 15．如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E，F两点；再以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连接，则的度数是 ． 16．如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，且，①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交，于，；②分别以，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则的大小为 度． 17．如图，，以点O为圆心，适当长为半径作弧，与，分别交于点C，D．再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接，过点P分别作，交于点E，，交于点F．若，则四边形的面积为 （用含a的代数式表示）． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B均在格点上，点C是小正方形边的中点，以为直径的半圆与边相交于点D．    （Ⅰ）的面积等于 ； （Ⅱ）若点P在半圆上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 三、解答题 19．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段； 求作：矩形，使． 20．如图，在中，，延长到点．请利用尺规作图法在内部作射线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 21．如图已知，请用尺规作图法：求作点，使，且点在边的高上（不写作法，保留作图痕迹）． 22．如图，，按照下列步骤作图： ①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于E、F两点； ②分别以E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P； ③作射线，交于点M． (1)试根据作图过程，说明是的平分线的理由； (2)若，求的度数． 23．如图，在平行四边形中，连接，点E为上一点． (1)在边的下方求作一点F，使得且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接、、．若，求证：四边形是菱形． 24．图①、图②均是的正方形网格，小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．    (1)线段的长为______； (2)在图①中，以线段为腰画一个等腰钝角三角形； (3)在图②中，以线段为边画一个轴对称四边形，使其面积为8． 25．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点均在格点上，且． （I）线段的长等于 ； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 26．（1）已知：如图，、是内两点，求作：的直径，使． （2）已知：如图，、是的半径，求作：弦，使其与、的交点是的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）    试卷第8页，共8页 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $