利用不等式（组）法求数列的最值专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专项训练 利用不等式（组）法求数列的最值（学生版） 解题通法：对于数列最大项问题，常见思路为利用确定范围，再由确定最大项项数. 专项训练： 一、单选题 1．已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（    ） A．5 B．5或6 C．10 D．9或10 2．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，则取得最大值时n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 4．数列，满足：，，，则数列的最大项是第（    ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 5．已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知数列的通项公式为，它的前项中最小项是（   ） A． B． C． D． 7．已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（    ） A． B． C． D． 8．已知为等差数列的前项和，满足，，则数列中（    ） A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 二、多选题 9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（     ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 10．已知数列满足，且，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列的 C．数列 的前7项为负数 D．数列最大项的值为 11．已知数列的前n项和为，若当且仅当时，最小，则的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知数列的通项公式为，若是中唯一的最大项，则实数的取值范围为 . 13．在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为 . 14．已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第 项. 四、解答题 15．已知数列的通项公式为，求数列的最大项． 16．记为等差数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)若，求使取得最大值时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项训练 利用不等式（组）法求数列的最值（详解版） 解题通法：对于数列最大项问题，常见思路为利用确定范围，再由确定最大项项数. 专项训练： 一、单选题 1．已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（    ） A．5 B．5或6 C．10 D．9或10 【答案】D 【知识点】数列的概念及辨析 【分析】因式分解得到，故当时，；当时，，当时，，从而得到答案 【详解】， 当时，；当时，，当时，， 故当或10时，取得最小值. 故选：D 2．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，则取得最大值时n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】写出等比数列的通项公式 【分析】先求出的通项公式，利用函数的性质即可求得取得最值时的值. 【详解】因为数列为等比数列，，公比， 所以 ， 所以，当时，最大， 即 ，解得：， 所以当时，最大. 故选：B. 3．已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 【答案】C 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】利用差比较法确定正确答案. 【详解】；；，， 当时，，所以， 所以数列中的最大项的项数或. 故选：C 4．数列，满足：，，，则数列的最大项是第（    ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】确定数列中的最大（小）项、累加法求数列通项、求等差数列前n项和 【分析】根据累加法求出，.设数列的最大项是第项，由得出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得， ， ， ， ， 两边分别相加可得， ， 所以有. 因为， 所以，. 设数列的最大项是第项， 则有，即， 整理可得，，解得. 又，所以. 故选：A. 5．已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定数列中的最大（小）项、根据数列的单调性求参数 【分析】当时，解，得出单调性，判断出在时，取最小值：；当，利用二次函数的对称性和最值，建立关于的不等式组求解． 【详解】当时，，令，得：， 解得：或，因此可知：； 又当时，，当时，，所以在时，取最小值：． 当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线， 因为是中唯一的最小项，所以，且， 解得，且， 即． 故选：B 6．已知数列的通项公式为，它的前项中最小项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】由条件说明，再假设数列的第项最小，，，列不等式求其解，可得结论. 【详解】因为，故，，所以， 假设数列的第项最小，，， 则，故， 所以， 所以，即数列的前项中最小项是， 故选：D. 7．已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】解不等式可得出结论. 【详解】由可得，因为，则当时，， 当时，， 所以，当时，取最小值， 故选：B. 8．已知为等差数列的前项和，满足，，则数列中（    ） A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【知识点】确定数列中的最大（小）项、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】通过已知条件先算出等差数列的首项，公差，然后写出的通向公式，最后写出数列的通项公式分析即可. 【详解】在等差数列中，设首项为，公差为， 因为， ， 解得， 所以等差数列的通项公式为： ， 所以， 当时，， 当时，， 所以数列有最大项为第1项，有最小项第7或第8项， 故选：C. 二、多选题 9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（     ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 【答案】AB 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、等比数列前n项和的其他性质 【分析】根据条件判断，分和两情况讨论得成立与否得出，即可判断A；对于B，利用A的结论和等比数列项的性质即可判定；对于C，D，由前面推得的即可判断. 【详解】对于A，由可得，（*）， 由可得. 当时，因，则，则（*）不成立； 所以，则，（*）成立，故，即A正确； 对于B，因，故B正确； 对于C,D，由上分析，且， 则是数列中的最大值，故C错误，D错误. 故选：AB 10．已知数列满足，且，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列的 C．数列 的前7项为负数 D．数列最大项的值为 【答案】ABD 【知识点】确定数列中的最大（小）项、由递推数列研究数列的有关性质、由递推关系证明等比数列 【分析】利用等比数列的定义结合条件等式变形可判定A，从而求出通项公式判断BC，根据数列的单调性判断D. 【详解】根据， 可知是等比数列，首项为，公比为，故A正确； 则有，所以，故B正确，C错误； 不妨设最大项为，则， 即， 解之得，即最大项为，故D正确. 故选：ABD 11．已知数列的前n项和为，若当且仅当时，最小，则的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】由不等式法逐一判断每一选项中的数列什么时候为正，什么时候为负或0，由此即可判断求解. 【详解】对于A，当时，，，当时，，所以或5时最小，不满足题意； 对于B，当时，，，当时，， 故，故最小， 对于C，当时，，当时，，满足题意； 对于D，当时，，当时，，最大，不满足题意． 故选：BC． 三、填空题 12．已知数列的通项公式为，若是中唯一的最大项，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】先由题可得当时的最大项，再由二次函数对称性可得，最后由是中唯一的最大项可得答案. 【详解】当时，由， 因此当或3时，取得最大值； 当时，， 时，， 则该代数式对应函数对称轴为直线，因为是中唯一的最大项， 所以，且，解得. 故答案为： 13．在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】根据题意得到数列是递减数列，由求解. 【详解】因为等差数列中，当且仅当时取得最大值， 所以数列是递减数列， 又，所以 ， 解得， 所以d的取值范围为. 故答案为： 14．已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第 项. 【答案】 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】 通过列举法进行观察，然后利用差比较法比较求得正确答案. 【详解】依题意，， 则， 当时，， 所以当时，， 所以数列的最大项为第项. 故答案为： 四、解答题 15．已知数列的通项公式为，求数列的最大项． 【答案】最大项为． 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项 【分析】法一：用作差法判断数列的单调性，找到最大项； 法二：空前绝后法得到数列的最大项. 【详解】法一：． 当时，；当时，． 因此， 所以数列的最大项为． 法二：设数列的最大项为，则，即，解得， 因为，所以，故数列的最大项为． 16．记为等差数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)若，求使取得最大值时的值． 【答案】(1)； (2)3. 【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由递推式可得，，结合已知可得，再代入，可得，即可得答案； （2）由题意可得，由，求解即可. 【详解】（1）解：因为为等差数列，且，， 所以当时，则有， 两式相减，得（为等差数列的公差）， 解得； 当时，则有， 即，， 解得， 所以； （2）由（1）知， 所以， 所以， 当取得最大值时， 则有，即， 整理得，解得，所以 又因为， 解得， 所以最大，且. 所以当取得最大值时，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $