黑龙江省齐齐哈尔市联谊校2026届高三第三次统一考试数学试题

齐市普高联谊校高三第三次统一考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A由U={1,2,3,4,5,6〉，A={1,3,4,5,得CuA={2,6}.故选A 2.D由题意知(2+3i)(1一2i)=2-4i+3i一6=8一i,所以复数(2+3i)(1-2i)在复平面内对应的点为 (8,一1)，位于第四象限.故选D. 3.C00s480°=c0s(360°+120)=c0s120°=c0s(180°-60°)=-0s60°=-7.故选C 4.C依题意，9层塔从上层到下层挂灯盏数依次排成一列可得等差数列(a4,k∈N,k≤9，所以9如1十9X8 2 ×3=126,解得a=2,所以a=2+(9-1)×3=26,即塔的底层共有灯26盏.故选C. 5BA心=A8+BD-A成+号BC=A成计号(A心-A店=号A计号AC=号a+号私放选B 6.D当0<a<1时，由m>n可得，a"<a”:由a">a”可得m<1,所以“m>”是“a">a"”既不充分也不必要 条件.故选D. =号放选D 7.D因为)=iam(2x+骨+登）=tm(2x+号)，所以f)=im答=m吾- 8.A对于题干等式两边同乘工一3y得(x一3)P=(侵一号+4)(x-3),化简可得(x-3)-4(x一3)= 10-y-号又由--号2√·（一=6，当且仅当-y--警时等号成立，则有一30- 4(x-3y)-16≥0，解得x-3y≥2+2√5（负值已舍）.故选A, 9ABD对于A.因为3<a<10,5<K30,故品<日<号，故2<合<10，放A正确：对于B,因为6<2a< 20,5<b30,故11<2a十b<50,故B正确；对于C,因为3<a<10,故-10<-a<-3,又因为5<b<30,故 -5ba<27放C错误：对于D.因为3<a<10,所以9<d<10,又5<<30，放动<石<号，是<号< 20,所以瓷<专2-号+2<2，故D正确.故选ABD b 10.AC若a∥B,y∩a=a,y∩3=b,则a∥b,A正确：若a∥B∥y,c∥y,aCa,bC3,直 线c与直线a,b可能异面，可能平行也可能相交，B错误；由a⊥a,a⊥B,得a∥β， 同理可得β∥Y,所以a∥B∥Y,C正确；如图，长方体ABCD-EFGH中，取平面 ABCD,DCGH,ADHE依次为平面a,B,Y,取BC为直线a,EH为直线c,显然满 足a⊥B,a⊥Y,aCa,a⊥B,cCY,但a∥c,D错误.故选AC 11.AD对于A,当a=0时，f(x)=x3-1,f(-x)=-x-1,故f(-x)+f(x)=-2,所以f(x)的对称 中心为(0，一1)，故A正确；对于B,若函数f(x)在R上单调递增，则f(x)=3x一2ax≥0恒成立，△= 4a≤0，解得a=0,故B错误；对于C,当a=0时，y=|x|,因为|(-x)3|=|x3|,所以y=|x3|是偶函 数，即曲线y=|f(x)十1|关于x=0对称，是轴对称图形，所以C错误；对于D,f(x)=3x2一2ax,令 f()=0,得x=号或0，已知a∈N,当a=0时，f()=3r>≥0，此时f)无极值，舍去，当a∈N时， 号>0，令1(x)>0,得>号或x<0,令了(x)<0,得0<<号，故(x)的极大值为f(0)=a-1,极小 值为/（号）=%号+a-1=一努+a-1,令a-1-号+a-1=0,即2d-27a+27=0,变形为 2(a3-27)-27a+81=0,2(a-3)(a2+3a+9)-27(a-3)=0,(a-3)(2a2+6a-9)=0,又a∈N,则 【高三第三次统一考试·数学参考答案第1页（共4页）】 26-L-306C a=3,故D正确.故选AD. 12.5因为a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a-b|=√/4+（一3）=5. 13.27π因为棱长为3的正方体的八个顶点都在同一个球面上，所以球的直径是正方体的体对角线，即球的半 径，=图区-35，所以球的表面积为×()=27 2 14.12由f(x)=f(4一x)知f(x)的图象关于直线x=2对称，又y=|x2一4x的图象也关于直线x=2对称， 所以函数y=|x2一4x与y=f(x)的图象有6个交点，分3对分别关于直线x=2对称，每对交点的横坐标 之和为4，所以∑4=12. 1 15.解：(1)由a2=b十c2-bc,得bc=b十c2一a2,… …2分 2bc 4分 由于A∈（0，π)，故A与空，…6分 (2)由Sc=号csin A三号cX号_号故c=2,…9分 又bc=B+c2-a2,所以bc=(b十c)2-2bc-a, 故a2=(b+c)2-36c=16-6=10,解得a=√/10. 13分 1解：0油1=方八0=后得方品 3分 上两式联立，解得a=2,b=3.…6分 (2由D知)=二，所以)的定义域为6，+o》 ………………………8分 法-：由=2乐3得2x一厅+3y=0, 10分 令√元=t,当x=0时，y=0,… 11分 当x>0时，y>0,关于1的方程2y2一t十3y=0有正实数根1，t2,且tt2= >0,t1十t2= 2>0,4=1 √6 24y≥0，所以0<12， 14分 所以，)的值域为[o,】 15分 送二：/0)=0，>0时，f（）=2x+32+元 10分 因为2√元十是≥26，当且仅当x三号时，取等号，… 12分 所以0 6 14分 2+3 所以的值城为[o,] 15分 17.(1)解：因为S。=m20,当n=1时，a1=S=m-2 1分 当n≥2时，a=S-S1=m-2-(m-2点）=2 …3分 【高三第三次统一考试·数学参考答案第2页（共4页）】 26-L-306C 又{a:}是等比数列，所以a=2=m- 4分 解得m=1,… 5分 所以{an}的通项公式为an=. 7分 (2)证明：由(1)知，6，=20一1」 9分 所以T,=b+b十b十…+b。=2十立十 、30+…+2212一11 2n-1 所以2=+是++…+23+ 2n1Γ， 两式相减得：号工。=号十号十十…十2 2-1=1+ 2 2m-1=3 2+3 2n1 2+1 2,…13分 所以Tn=3-21十3 15分 18.(1)证明：取AB的中点P,连接NP,CP,则NP∥AA,NP=之AA. 1分 又在直三棱柱ABC-A1BC中，AA1=CC,AA1∥CC, 所以NP/cC,Np=CC. 2分 因为M为CC1的中点，所以NP∥MC,NP=MC, 所以四边形MNPC为平行四边形，所以MN∥PC.…3分 又MNt平面ABC,PCC平面ABC,所以MN∥平面AB1C.…5分 (2)证明：因为BB⊥平面ABC,ABC平面ABC,所以BB1⊥AB. 因为AB⊥BC,BB1∩BC=B,BB1,BCC平面BCC1B,所以AB⊥平面BCCB1.…7分 因为BB1∥CC,M为CC上一点，所以△BBM的面积为定值，即S△B,M=2 X2×2=2,…9分 所以Vg=V周=号58码w·AB=号×2X2=专为定值.… …10分 (3)解：由题知BC1,BB,B1A两两垂直，以B1为坐标原点，以BC1,B1B, B1A所在直线分别为x轴，y轴和之轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则B1(0,0,0),A(0,2,2),C(2,2,0),N(0,1,1),B1A=(0,2,2),B1C=(2,2,0). …11分 1a·BA=2y+2x=0, B 设平面ABC的一个法向量为a=(xy,),则 a·B1C=2x+2y=0, 取x=1,则y=一1，之=1，所以a=(1,一1,1).…13分 设M(2,m,0)(0<m<2),直线MN与平面AB1C所成角为0， 则=(-2,1-m1,sn0=osN.a|=:a MN·a m-2 5W5 √/4+(1-m)2+1X√/5 =2,…15分 解得m=子或孕（舍去）.所以CM=2-号-号， 即直线MN与平面AB,C所成角的正弦值为票时，CM的长为号 17分 19.(1)解：当a=1时，f(x)=e-x2-x,f(x)=e2-2x-1, 1分 所以f(0)=1,f(0)=0，……2分 【高三第三次统一考试·数学参考答案第3页（共4页）】 26-L-306C 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=1. 3分 (2)解：函数y=f(x)十x的零点的个数即为方程ae=x2根的个数. 由ae2=x2得a= ,“… 分 令g()=,则g'(x)=2二兰=2卫 e" e g'(x)=0时，x=0或x=2:g'(x)>0时，0<x<2;g(x)<0时，x<0或x>2; 所以g(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为（一∞，0），(2，十∞)， g)的极小值为g<0)=0,极大值为g2)=兰， 显然x→一∞时，g(x)→十∞，x→十∞时，g(x)0,… …5分 所以函数y=(x)+x的零点的个数，讨论如下： ①当a<0时，有0个零点：②当a=0或a>专时，有1个零点：③当a=专时，有2个零点：④当0<a<号 时，有3个零点.… …9分 (3)证明：由已知f(x)=ae-x2-x,所以f(x)=ae-2x-1, 因为f(x)有两个极值点，所以f(.x)=ae-2x一1=0有两个不相等的实数根，…10分 由ae-2x一1=0得a=2士，令)-中，则直线y=a与葡线y=(x)拾有两个交点，() 22一-12，（合）=0，由x)>0得<分，由x)<0得>7， e 所以h(x)的单调递增区间为(-∞，号)，单调递减区间为（号，十∞）， 11分 所以(x)的极大值也是Ax)的最大值为（号）=是，没有极小值，且（一）=0，>-2时，h(x)>0, 因为f(x)恰有两个极值点x1,x2(<x2),所以0<a 2 …12分 因为x1,2是函数f(x)的两个极值点（不妨设<x2), 所以f(x1)=0,f(x2)=0,即ae1-2x1-1=0,ae2-2x2-1=0. 两式相减化得2=一史 a x-x2 13分 于是要证明4士<h名，即证明。平<名一，两边同除以中， 2 x1一C2 即证学<，即证x1一)e学>e9-1,即证(m-)e学-e2+1>0, C1一x2 令x一x2=t,t<0,即证不等式te章一e十1>0，当t<0时恒成立. 14分 设0=et-e+1,则g0=+i…e·2-t=(号+1)et-t=-e[et-(3+1)] …15分 设m0)=-台-1，则m0=2ct-号-号(et-1D, 当10时，m()<0,m()单调递减，所以m()>m(0)=0,即et-(分+1)>0，所以p()<0, 所以(t)在t0时是减函数，故o(t)在t=0处取得最小值(0)=0，所以o(t)>0得证.…16分 2 所以十型<n 2 …17分 【高三第三次统一考试·数学参考答案第4页（共4页）】 26-L-306C齐市普高联谊校高三第三次统一考试 学 校 数学 考生注意： 班 级 装 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 姓名 4.本卷命题范围：集合、逻辑、不等式、函数及导数、平面向量、复数、三角函数、解三角形、数 列，立体几何。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 装 合题目要求的。 1.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,4,5},则CuA 订 A.{2,6} B.{3,4,5} C.{3,4) D.{6} 线 2.在复平面内，复数(2+3i)(1一2i)对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 内 C.第三象限 D.第四象限 不 3.c0s480°的值为 要 A号 B司 c- D 2 4.据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一 答 线 层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯 题 A.38盏 B.32盏 C.26盏 D.18盏 5在△ABC中，点D为边BC上-点，且BD=号BC,设A店-a,A心-b,则 AA-号a-号b a+号b BAD=2 +号8 CAi=号a D.=号a-b 【高三第三次统一考试·数学第1页（共4页）】 26-L-306C 扫描全能王创建 6.已知a>0,a≠1，m,n∈R,则“m>n”是“am>a"”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 7将函数y=an(2x+)的图象向左平移个单位长度，得到函数f(x)的图象，则f(不） A√2 B号 C.5 n9 8.已知>0>y,且x-3y=1-3+4,则x-3y的最小值为 A.2+2√5 B.2√5-1 C.1+25 D.2√5-2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知3<a<10,5<b<30,则下列结论正确的有 A<&<10 B.11<2a+b<50 C.2<b-a<20 D8片20<2 b 10.已知a,b,c是三条不同的直线，a,B,y是三个不同的平面，则下列说法正确的是 A.若a∥B,y∩a=a,y∩B=b,则a∥b B.若a∥β∥y,c∥y,aCa,bCB,则a∥b∥c C.若a⊥a,a⊥B,a⊥Y,则a∥B∥y D.若a⊥B,a⊥Y,aCa,a⊥B,cCy,则a⊥c 11.已知函数f(x)=x3一ax2+a一1，则下列说法正确的是 A.当a=0时，f(x)的对称中心为(0，一1) B.若函数f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是[一√3，√3] C.曲线y=|f(x)+1|不可能是轴对称图形 D.若f(x)的极大值与极小值互为相反数，且a∈N,则a=3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= 13.一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 14.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(4-x),若函数y=|x2-4x与y=f(x)的图象有6个 交点，交点横坐标为x(i=1,23,45,6),则立x= 【高三第三次统一考试·数学…第2页（共4页）】 26-L-306C 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2=b十c2-bc. (1)求角A的大小： (2)若6+c=4,△ABC的面积为号，求a的值 16.(本小题满分15分) 已知函数)=年6的图象过点1，号)和点(，品) (1)求实数a,b的值； (2)写出f(x)的定义域，并求f(x)的值域 17.(本小题满分15分) 已知等比数列{a.}的前n项和为S.,且S,=m- 2m1 (l)求m的值及{an}的通项公式； (2)若bn=(2n一1)an,求数列{bn}的前n项和Tm 【高三第三次统一考试·数学第3页（共4页）】 26-L-306C 扫描全能王创建 18.(本小题满分17分) 如图，在直三棱柱ABC-A,B,C中，AB⊥BC,AB=BC=AA,=2,M是棱CC1上一点（不 包含端点)，N是AB1的中点. (1)若M是CC1的中点，求证：MN∥平面AB,C, (2)求证：三棱锥B-AMB,的体积为定值，并求出此定值； (3)若直线MN与平面AB,C所成角的正弦值为9，求CM的长 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ae一x2一x,a∈R,e=2.71828…是自然对数的底数. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)讨论函数y=f(x)十x的零点的个数； (3)若函数fx)恰有两个极值点西，证明：0<a<是且士产<h名 Je 2 【高三第三次统一考试·数学第4页（共4页）】 26-L-306C 架 扫描全能王创建