1.3解三角形题型训练-2026届高三数学二轮复习

1.3解三角形 目录 题型一：射影定理的应用 1 题型二：三角形中的面积、周长范围问题 3 题型三：三角形中的其它范围问题 8 题型四：解三角形的应用 12 题型五：三角形的内切圆相关问题 17 题型六： 三角与圆锥曲线的结合 22 多选题专练 23 综合训练 26 题型一：射影定理的应用 1．在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及三角形射影定理判断得解. 【详解】由，得，整理得， 在中，由射影定义得，则， 而，因此，又，则， 所以是直角三角形. 故选：B 2．外接圆半径为2，三个角的对边分别为，若，且，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及正弦定理求得，再由数量积确定角范围得解. 【详解】在中，由余弦定理得， 而外接圆半径，则由正弦定理得， 又，即，而，因此 所以. 故答案为： 3．在锐角中，分别是角的对边，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理对进行处理得到，然后根据为锐角三角形得到，再根据诱导公式和换元法得到，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】对两边同乘得， 由正弦定理得， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以，解得， ， 令，则， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 4．在中，角对边分别为，且. (1)求； (2)若，，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，即可求解角； （2）利用余弦定理求解第三边，再用正弦定理求角，即可求高. 【详解】（1）由可得：， 由三角形内角和定理可知：， 化简可得：， 因为，则，所以上式可化简为：， 又因为，所以; （2） 由余弦定理得：， 解得或（舍去）， 再由正弦定理可得：， 所以边上的高. 题型二：三角形中的面积、周长范围问题 1．已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理转化为求解. （2）由的面积为，得到，再利用余弦定理求解. 【详解】（1）中，， 由正弦定理可得：， 即， 又，， ∴，求得. （2）由的面积为， 即， ∵，∴， 由，利用余弦定理， 可得， 即， ∴， 即的周长为. 2．在中，角，，的对边分别为，，，且，. (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）结合，，在中利用正弦定理得到，再根据为锐角三角形，求得B的范围，利用三角函数的性质求解. 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． （2）在中由正弦定理得，又， 所以，， 所以， ， ， 因为为锐角三角形， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以周长的取值范围是. 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 (1)求A； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题设及正弦定理可得，即，根据，可得角A； （2）由正弦定理可得，从而，由为锐角三角形，得，即可求解． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 又， 所以， 因为B为三角形内角，， 所以，可得， 因为，所以； （2）由正弦定理可得， 所以， 故， 而因为为锐角三角形， 故，解得， 从而，所以， 故的取值范围是. 4．如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，在中与中分别使用余弦定理，从而可得的值，再根据三角形面积公式求解四边形的面积； （2）结合余弦定理，三角面积公式以及正弦型三角函数即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）连接BD，    在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，则， 从而， 因此四边形ABCD的面积为：． （2）连接BD．在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则， 因为， 所以， 因为，所以， 四边形ABCD的面积， 则①， 由，则②， 联立①②，解得，则， 当且仅当时，等号成立，四边形ABCD的面积取得最大值． 题型三：三角形中的其它范围问题 1．在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由，则，再由余弦定理和基本不等式求得，得到，即可求解． 【详解】如图，在中，，点为的中点，点为的中点，，则． 设，，由余弦定理可得， 又，故，当且仅当时取等号． 又， 则， 则 即的最大值为 故答案为：． 2．在中，内角所对的边分别为，该三角形面积大小记为，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】先根据三角形面积公式和余弦定理对进行化简，再利用三角函数的性质求其最大值. 【详解】由三角形面积，余弦定理， 有， 则 由基本不等式当且仅当时取等号，则， 所以， 令，则， 根据辅角公式， 其中，即， 因为，所以，两边平方可得， 则的最大值为. 故答案为：. 3．已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 . 【答案】 【分析】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入，利用面积关系找到一个等式，然后由余弦定理求边，最后转化为角的函数来求最值即可. 【详解】    取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，， 由，又因为， 所以， 再由余弦定理可知， 令，则， 即 因为，所以， 即， 因为，所以的最小值为， 故答案为： 4．记锐角的内角、、所对的边分别为、、，已知． (1)求B； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理化简可得出的值，结合角为锐角可得出角的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换得出，根据为锐角三角形可求出角的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为，即， 因为为锐角，故，所以， 由余弦定理可得，故. （2）因为，由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以，则， 所以，即的取值范围是. 5．在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角B的大小； (2)若，记边上的高为，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦定理化简得，再由余弦定理即可得解； （2）由三角形面积公式可得，结合正弦定理及三角恒等变换得，即可得解. 【详解】（1）根据正弦定理可得，化简整理得， 由余弦定理得，因为，故； （2）由，得，又， 所以 ， 在三角形中，故， 当，即时，. 题型四：解三角形的应用 1．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形和角边关系求出结果即可. 【详解】设树的高度为，由已知，得， 在中，. 化简得，解得. 所以树的高度为m. 故选：C. 2．为了测量某古塔（点为塔顶，点为在地平面上的射影）的高度，小张遥控无人机从地平面垂直向上飞行10米后，无人机悬停在古塔外面的处进行拍摄，拍到观测塔顶的仰角为，然后小张遥控无人机朝着水平方向（即垂直于直线的方向）沿直线飞行6米到达处，且距离比距离更远（四点共面），最后小张遥控无人机沿着直线朝着塔顶飞了14米恰好到达塔顶.若将无人机视为质点，则该古塔的高度约为（    ）    A．16.6米 B．17.3米 C．18.7米 D．19.2米 【答案】C 【分析】通过设未知数，利用三角函数关系和勾股定理建立方程，进而求解古塔的高度. 【详解】    设在地面的射影为，作，根据题意易知, 设， 在中，， 根据锐角三角函数：，则. 在中，， 根据勾股定理，则有， 化简得，解得或（舍去）. 所以，所以古塔高度约为米. 故选：C. 3．目前世界最大跨度斜拉桥——中国常泰长江大桥（如图（1））于2025年9月9日正式通车，这种桥体可减小梁体内弯矩，减轻结构重量，节省材料.如图（2）为一座斜拉桥的设计方案图，AB为主梁，CD为索塔，且CD垂直平分AB，AC，EC为两条斜拉索，若，，，，且，则索塔CD最高为 m. 【答案】 【分析】设，则，，结合，利用正切函数的单调性列不等式，求解即可. 【详解】设，则，. 因为，所以， 即，解得，即索塔CD最高为m. 故答案为： 4．如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则 ，塔高 .    【答案】 【分析】利用正弦定理解三角形得出，再解直角三角形即可得. 【详解】在中，易知， 由正弦定理可知：， 即米， 且米， 因为，则，所以米. 故答案为：， 5．目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高.该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰为，测得基站顶端的仰角为. (1)求出山高（结果保留一位小数）； (2)如图（第二幅），当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大？ 参考数据：，，，. 【答案】(1) (2)时，视角最大 【分析】（1）利用仰角差得，通过正弦定理求，结合直角三角形求山高即可. （2）用正切表示仰角，通过正切差公式表示视角的正切值，结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意可知，，，，， 在中，，所以， 在中，， 所以山高. （2）由题意知，，，且， 则， 在中，， 在中，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最大值， 又，所以此时视角最大. 综上，当时，视角最大. 题型五：三角形的内切圆相关问题 1．在中，内角的对边分别为，若，则该三角形内切圆面积的最大值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求得，进而求得三角形内切圆半径的关系式，利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】在中，由正弦定理及，得， 则 ， 整理得，而，即， 因此，，设该三角形内切圆半径为， 则，又，于是 ，由，得， 当且仅当时取等号，因此， 所以该三角形的内切圆面积的最大值为. 故答案为： 2．记内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)已知，的内切圆半径为. （ⅰ）当时，求； （ⅱ）求的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）利用正弦定理化简，可得，利用辅助角公式结合三角函数值即可求解； （2）（ⅰ）利用三角形面积与内切圆的半径关系化简可得，利用余弦定理可得，由正弦定理化简可得即可求解；（ⅱ）利用三角形面积与内切圆的半径关系化简可得，由余弦定理结合基本不等式可得，从而得到即可求解. 【详解】（1）易得， 由正弦定理得， 而，故， 易知，故， 即，由可知 （2）（ⅰ）记的面积为，则，即，， 而，即，故， 于是，解得， 而，故，同理， 故，得到 （ⅱ） ， 而，即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 3．已知的外接圆半径为，内切圆半径为，角的对边分别为，且，， (1)求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求出，再利用正弦定理求出； （2）根据等面积法求出，方法一：利用均值不等式求出，进而得到的取值范围； 方法二：利用正弦定理转化为函数，再由三角函数求值域即可得出范围. 【详解】（1）由题意，由余弦定理得， 又，则， 又由正弦定理：，解得. （2）由（1）得，则， ， 则， 方法一：由， 解得（当且仅当时取等号）， 又因为，故， 从而得. 方法二：在中，由正弦定理得， 即， 则 ， 又，则， ， 即， . 4．已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求. (2)若内心为，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和正、余弦定理化简已知式，结合三角形内角范围即可求得； （2）由内心和求得，设，可得，在中，利用正弦定理求出和,表示出，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得周长范围. 【详解】（1）由可得， 化简得， 则由正弦定理得 ， 又由余弦定理， 因，所以； （2）如图， 因内心为，则和分别平分和， 则，则， 设，则有，，， 由，可得， 在中，，由正弦定理， 则，，则 ， 又，，则 则的周长范围为. 题型六： 三角与圆锥曲线的结合 1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，可得出，利用椭圆定义求出，再利用余弦定理可求得的余弦值. 【详解】由题意可得，则， 所以，由椭圆定义可得， 由余弦定理可得. 故选：A. 2．已知的顶点和，顶点在椭圆上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据椭圆的定义得出的值，再结合正弦定理即可求出. 【详解】由题意得，椭圆， 由得， 和为椭圆的左右焦点，且， 顶点在椭圆上，根据椭圆的定义，可得， 由正弦定理，得， 故选：. 3．设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则 ． 【答案】 【分析】根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解. 【详解】根据题意，离心率为，所以，所以，设，， 由椭圆的定义可得，，因为，所以，因为的面积为， 所以，即，所以，即，解得， 因为，所以. 故答案为：. 多选题专练 1．已知的三个内角分别为，，，在线段上，且满足平分.则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A；利用诱导公式可判断B；求出，，由余弦定理可判断C；利用余弦二倍角公式求出，再由等面积可得判断D正确. 【详解】对于A，在中，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，因为，则， 则，故B错误； 对于C，由于，，且， 则， 由于，，则， 则， 在中，由余弦定理：， 即，故C正确； 对于D，由于，则， ， 由于，解得（负数舍去）； 因为在线段上，且满足平分．则在中，由等面积可得： ， 即， 解得：，故D正确. 故选：ACD. 2．中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．若且有唯一解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理边角互化及正弦两角和差公式化简可计算出，即可判断A，根据正弦定理和解三角形知识即可判断B，根据和差角公式求解，可判断C，根据余弦定理和三角形的面积公式求解，可判断D. 【详解】由，则， 则， 由于，所以，，，故A正确； 由正弦定理得，即， 又有唯一解，所以或，故B错误； 由，则，， 则，即，, 所以，则，所以，故C正确； 若，则由余弦定理得， 所以有，即，当且仅当时取等号， 的面积为，故D正确. 故选：ACD. 3．记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（   ） A．的周长为6 B．，，成等差数列 C．角的最大值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理结合等差数列的性质判断B，结合题意判断A，利用余弦定理结合基本不等式判断C，利用三角形面积公式判断D即可. 【详解】对于B，因为，所以， 则，，成等差数列，故B正确， 对于A，因为，所以，可得的周长为6，故A正确， 对于C，由余弦定理得， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 可得，由余弦函数性质得在上单调递减， 而，得到，即角的最大值为，故C错误， 对于D，由三角形面积公式得， 可得面积的最大值为，故D正确. 故选：ABD 综合训练 1．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理求出，再利用余弦定理求解. 【详解】在中，由射影定理得，而 则，解得，而，因此， 由余弦定理，得， 则，，所以. 故选：A 2．如图，在倾斜角为的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆，当太阳光线的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长度是，则旗杆的高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】如图   ，，则，，米， 由正弦定理， 即， 解得. 故选：C 3．如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，(单位：千米)，则A，B两点的距离为 千米． 【答案】3 【分析】根据三角形的性质和正弦定理分别求和，中，根据余弦定理求. 【详解】中，，，所以， 所以， 中，，，所以， ，即，得， 中，根据余弦定理, 即，得. 故答案为：3 4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满． (1)求C； (2)已知角C的平分线交AB于点M，且，当取最小值时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式化简求值； （2）应用面积计算得，再结合基本不等式计算得出得，，最后应用面积公式计算求解. 【详解】（1）由已知得， 在中，由正弦定理得， 化简得， 即， 又，所以，所以，又，所以. （2）由（1）得， 因为角C的平分线交AB于点M，所以， 又，所以， 又，所以，即， 所以， 当且仅当，即时取得最小值， 由，解得，， 所以. 5．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，然后通过三角函数的性质求出即可； （2）先利用余弦定理得出和的关系，再运用不等式即可求出. 【详解】（1）由正弦定理，得． 因为，所以， 所以，即，所以．     因为，所以． （2）因为，， 所以由余弦定理，得， 即，所以．     因为，，所以 化简得，所以， 当且仅当时，等号成立．     又因为，所以． 综上，的取值范围为． 6．的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1)的面积为 (2) 【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，再利用三角形的面积公式进行求解即可. （2）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，再结合角的范围进行计算即可. 【详解】（1）根据题意，以及正弦定理可得， 因为 ，因为，所以， 所以，又， 所以，由余弦定理可得，可得， 即，因为，所以，所以. （2）由正弦定理可得，因为，所以， 因为角为钝角，所以，可得，则，，即， 所以的取值范围为. 7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求证：； (2)设边上的中点为D. （ⅰ）若，，求； （ⅱ）记，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式化简，再结合三角函数求出； （2）（ⅰ）利用余弦定理以及即可； （ⅱ）在和中利用正弦定理，结合两角和差、倍角公式得出，令，结合辅助角公式和三角函数的最值求出最大值，并检验其存在性，即可求出的最大值. 【详解】（1），则， 因，则，则， 又，则或者（舍），则； （2）（ⅰ）因，，，， 则在和中利用余弦定理可得， ， 得，则为等边三角形，故； （ⅱ）在和中利用正弦定理可得， ，， 两式联立可得，，即，即 则，即， 则， 因，则令， 则，其中， 则，得， 当时，， 因，则，则，则， 故当，即时，有最大值，此时， 故的最大值为. 8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及正弦定理边化角，再利用和角的正弦求得得，进而求出及三角形面积. （2）结合（1）中信息，利用正弦定理边化角及二倍角的正弦求解. 【详解】（1）在中，及余弦定理， 得，，整理得， 由正弦定理得，即， 则，即，由， 得，，因此，即， 由，得，又，则， 所以的面积为. （2）由（1）及为锐角三角形，得，解得， 由正弦定理得，， 所以的取值范围为. 9．已知函数． (1)求函数的对称中心和单调递增区间； (2)若中，，且，求面积的最大值． 【答案】(1)对称中心为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）化简得，利用整体法可求函数的对称中心和单调递增区间； （2）由可得，利用余弦定理结合基本不等式即可求解. 【详解】（1） ， 由，得，所以函数的对称中心为， 由，得， 所以函数的单调递增区间为； （2）因为，可得，所以， 因为，所以， 所以，解得， 由余弦定理可得： 则，所以，当且仅当时取等号， 由于面积 则面积的最大值 10．记的内角，，的对边分别为，，，已知，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦的两角和公式化简得，可得，即可得解； （2）利用余弦定理结合已知条件计算可得，再利用三角形面积公式计算即可. （3）利用正弦定理把边转化为角，结合角的范围，即可求解. 【详解】（1）根据， 可得， 所以，因为，所以； （2）由（1）可知，，根据余弦定理， 因为，则，即， 又因为，所以，解得， 所以的面积； （3）因为，所以， 所以，， 所以的周长 ， 因为，所以，所以， 所以. 11．如图，平面四边形中，． (1)当时，求 (2)求当为何值时，的面积最大？并求出其最大值． 【答案】(1) (2)时，面积取最大值1 【分析】（1）根据余弦定理可得，进而应用正弦定理及结合两角和的正弦公式求解即可； （2）正弦定理结合诱导公式化简，再应用三角形的面积公式结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得 ， ， ， 在中，由正弦定理得， . （2）在中，由正弦定理得， ， 的面积为， 当且仅当时，的面积取最大值1. 12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)D为BC上一点，． （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简求解. （2）（i）利用正弦定理，结合和角的正弦公式求解；（ii）利用向量数量积的运算律及基本不等式求出最大值，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则，即， 整理得，而，所以. （2）（i）由，得，， 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得， 所以. （ii）由得，得，则， 因此，即， 当且仅当时取等号，则，， 所以当时，的面积取得最大值. 13．已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且. (1)证明：； (2)已知点在线段上，且，若，求面积的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理得，结合三角形内角和锐角三角形，证得结果. （2）根据正弦定理和三角形面积公式得，进而利用锐角三角形得到正切的范围，最后得到三角形面积的取值范围. 【详解】（1）证明：由，由正弦定理得， 即， 又，所以， 故， 因为为锐角三角形，所以，，故， 故，即. （2）由（1）可知，中，， 由正弦定理得，所以， 故， 而是锐角三角形，故，，， 解得，故，故面积的取值范围为. 14．在中，，分别为，的中点，与交于点，记，． (1)若，，，求； (2)若，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)16. 【分析】（1）根据题意得是的重心，再根据余弦定理求解； （2）设，根据余弦定理得出，及，，再求出三角形的面积，根据三角恒等变换和均值定理求解即可. 【详解】（1）由题意知是的重心， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以； （2）因为，所以，设，则. 在中，由余弦定理可得， 即，得 又，， 所以 记，则， 则， 当且仅当时等号成立， 故面积的最大值为16. 15．某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得，，两地相距36米. (1)求重兴塔高； (2)如图2，塔顶为点，距离塔顶点竖直向下5米处有点，若在离地面竖直高度为2米的点处用测角仪器测得，求的最大值. 【答案】(1)米 (2) 【分析】（1）设米，可得，，在中，由余弦定理得，，解方程即可求解； （2）过点作交于，设，可得，，由结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得，设米， 在中，，则； 在中，，则. 在中，由余弦定理得，， 整理得，解得或（舍） 所以重兴塔高米 （2）过点作交于，设， 则在中，， 在中，， . 当且仅当，即等号成立 所以的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3解三角形 目录 题型一：射影定理的应用 1 题型二：三角形中的面积、周长范围问题 2 题型三：三角形中的其它范围问题 3 题型四：解三角形的应用 4 题型五：三角形的内切圆相关问题 6 题型六： 三角与圆锥曲线的结合 7 多选题专练 8 综合训练 8 题型一：射影定理的应用 1．在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 2．外接圆半径为2，三个角的对边分别为，若，且，则 . 3．在锐角中，分别是角的对边，且，则的最小值是 ． 4．在中，角对边分别为，且. (1)求； (2)若，，求边上的高. 题型二：三角形中的面积、周长范围问题 1．已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 2．在中，角，，的对边分别为，，，且，. (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 (1)求A； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围. 4．如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 题型三：三角形中的其它范围问题 1．在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，若，则的最大值为 ． 2．在中，内角所对的边分别为，该三角形面积大小记为，则的最大值为 . 3．已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 . 4．记锐角的内角、、所对的边分别为、、，已知． (1)求B； (2)若，求的取值范围． 5．在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角B的大小； (2)若，记边上的高为，求的最大值． 题型四：解三角形的应用 1．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 2．为了测量某古塔（点为塔顶，点为在地平面上的射影）的高度，小张遥控无人机从地平面垂直向上飞行10米后，无人机悬停在古塔外面的处进行拍摄，拍到观测塔顶的仰角为，然后小张遥控无人机朝着水平方向（即垂直于直线的方向）沿直线飞行6米到达处，且距离比距离更远（四点共面），最后小张遥控无人机沿着直线朝着塔顶飞了14米恰好到达塔顶.若将无人机视为质点，则该古塔的高度约为（    ）    A．16.6米 B．17.3米 C．18.7米 D．19.2米 3．目前世界最大跨度斜拉桥——中国常泰长江大桥（如图（1））于2025年9月9日正式通车，这种桥体可减小梁体内弯矩，减轻结构重量，节省材料.如图（2）为一座斜拉桥的设计方案图，AB为主梁，CD为索塔，且CD垂直平分AB，AC，EC为两条斜拉索，若，，，，且，则索塔CD最高为 m. 4．如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则 ，塔高 .    5．目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高.该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰为，测得基站顶端的仰角为. (1)求出山高（结果保留一位小数）； (2)如图（第二幅），当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大？ 参考数据：，，，. 题型五：三角形的内切圆相关问题 1．在中，内角的对边分别为，若，则该三角形内切圆面积的最大值为 . 2．记内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)已知，的内切圆半径为. （ⅰ）当时，求； （ⅱ）求的最大值. 3．已知的外接圆半径为，内切圆半径为，角的对边分别为，且，， (1)求的值； (2)求的取值范围. 4．已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求. (2)若内心为，求的周长的取值范围. 题型六： 三角与圆锥曲线的结合 1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．已知的顶点和，顶点在椭圆上，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则 ． 多选题专练 1．已知的三个内角分别为，，，在线段上，且满足平分.则（    ） A． B． C． D． 2．中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．若且有唯一解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 3．记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（   ） A．的周长为6 B．，，成等差数列 C．角的最大值为 D．面积的最大值为 综合训练 1．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在倾斜角为的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆，当太阳光线的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长度是，则旗杆的高为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，(单位：千米)，则A，B两点的距离为 千米． 4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满． (1)求C； (2)已知角C的平分线交AB于点M，且，当取最小值时，求的面积． 5．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求的取值范围． 6．的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求证：； (2)设边上的中点为D. （ⅰ）若，，求； （ⅱ）记，求的最大值. 8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 9．已知函数． (1)求函数的对称中心和单调递增区间； (2)若中，，且，求面积的最大值． 10．记的内角，，的对边分别为，，，已知，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)求周长的取值范围． 11．如图，平面四边形中，． (1)当时，求 (2)求当为何值时，的面积最大？并求出其最大值． 12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)D为BC上一点，． （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值． 13．已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且. (1)证明：； (2)已知点在线段上，且，若，求面积的取值范围. 14．在中，，分别为，的中点，与交于点，记，． (1)若，，，求； (2)若，，求面积的最大值． 15．某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得，，两地相距36米. (1)求重兴塔高； (2)如图2，塔顶为点，距离塔顶点竖直向下5米处有点，若在离地面竖直高度为2米的点处用测角仪器测得，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $