专题06 空间向量及其应用（七大题型） （期末真题分类汇编 上海专用）高二数学上学期沪教版

【解析版】 专题06 空间向量及其应用（七大题型） 7大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量的坐标表示 考点04 利用空间向量判断位置关系 考点05 利用空间向量求角 考点06 利用空间向量求距离 考点07 综合题 地 城 考点01 空间向量及其运算 1．(24-25高二上·上海市市金山区··期末) 已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 【答案】 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】由线面平行得到求解即可； 【详解】直线的一个方向向量 平面的一个法向量，且， 所以 解得. 故答案为： 地 城 考点02 空间向量基本定理 2．(24-25高二上·上海市市西中学··期末) 如图，在四棱台中，，， 则的最小值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线面垂直证明线线垂直、用空间基底表示向量 【分析】先判断出的最小值为四棱台的高，添加如图所示的辅助线后可求四棱台的高，从而可得所求的最小值. 【详解】如图，设，则平面， 故， 的最小值即为四棱台的高. 如下图，过作，垂足为，过作，垂足为， 过作平面，垂足为，连接， 则，， 因为，，故， 故，而，故，所以， 因为平面，故，而， 故平面，因平面，故， 故，故，即的最小值为， 故选：B.    3．(24-25高二上·上海市桃浦中学··期末) 在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B．向量与的夹角是 C． D．这个正方体的体积为 【答案】D 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示、空间向量数量积的应用 【分析】利用正方体的结构特征、性质，及空间向量加减、数乘的几何意义、数量积的运算律判断各项正误. 【详解】如下图示正方体，根据各向量对应线段的位置关系，各项判断如下， A：，则， 所以，对； B： ，， 所以向量与的夹角是，对； C： ，对； D：由正方体的结构易得，错. 故选：D 4．(24-25高二上·上海市徐汇中学··期末) 已知棱长为1的正方体，任选2个顶点作为起点和终点所成的向量，与向量的数量积共有 种结果． 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】讨论当的起点和终点分别为正方体上相邻的两个顶点、正方体侧面上对角的两个顶点、正方体底面上对角的两个顶点、正方体体对角线的两端点时，的取值，即可得解. 【详解】 ①当的起点与终点为正方体上相邻的两个顶点，，与平行或垂直， 若，且与同向，即， ； 若，且与反向，即， ； 若，即，； ②当的起点与终点为正方体侧面上对角的两个顶点，，与的夹角为或， 若与的夹角为，即， ； 若与的夹角为，即， ； ③当的起点与终点为正方体底面上对角的两个顶点，，与的垂直， 即，; ④当的起点与终点为正方体体对角线的两端点，，或， 若，即， ； 若，即， . 综上：与向量的数量积共有3种结果，分别为-1，0，1. 故答案为：3. 5．(24-25高二上·上海市宜川中学··期末) 已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】正棱锥及其有关计算、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设 ，再将转化成即可计算求解. 【详解】如图，O为中点，则由题意且， 所以. 因为，则即， 所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则， 所以. 故答案为：. 6．(24-25高二上·上海市延安中学··期末) 在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点满足，则 . 【答案】/ 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】由题意可得，，利用计算即可. 【详解】因为平面，平面，所以，， 所以，， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 地 城 考点03 空间向量的坐标表示 7．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（    ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 【答案】C 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据两点的坐标特征结合已知条件即可得答案. 【详解】因为点和的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数， 所以点和点关于轴对称. 故选：C 8．(24-25高二上·上海市桃浦中学··期末) 若点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则两点（     ） A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于平面对称 【答案】A 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】分别求出点关于平面和轴的对称点的坐标，再判断即得. 【详解】因点关于平面的对称点为， 关于轴的对称点为，而点与点显然关于坐标原点对称. 故选：A. 9．(24-25高二上·上海市位育中学··期末) 在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用底面是平行四边形判断B，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断A,C,D． 【详解】 对于选项A，取的中点,连接,取的中点，连接,若，则，故A错误； 对于选项B，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，故B正确； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，故D错误． 故选：B． 10．(24-25高二上·上海市七宝中学··期末) 如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中、分别在棱上.若是正方形，则截面UVWXYZ的面积为 . 【答案】/ 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，取，六边形UVWXYZ即是所求截面，再求出其面积即可. 【详解】以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，如下图所示： 当时， 则，所以， 又， 设，则，解得， 即，所以共面， 所以共面， 因为，所以，即， 又因为所以是正方形， 所以当时，六边形UVWXYZ就是所求截面， 此时, 所以截面UVWXYZ的面积为， 故答案为：. 地 城 考点04 利用空间向量判断位置关系 11．(24-25高二上·上海市杨浦高级中学··期末) 已知向量，，则在上的投影向量的坐标是 . 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量模长的坐标表示、求投影向量 【分析】根据向量在向量上投影向量的计算公式求解即可. 【详解】∵，， ∴， 所以向量在向量上的投影向量为： . 故答案为：. 12．(24-25高二上·上海市风华中学··期末) 有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【答案】①③ 【知识点】判定空间向量共面 【分析】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 地 城 考点05 利用空间向量求角 13．(24-25高二上·上海海事大学附属北蔡高级中学··期末) 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建系，向量法求直线夹角. 【详解】不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则 则 故所成角的大小为 故答案为：. 14．(24-25高二上·上海市南洋模范中学··期末) 如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面ABC所成的锐二面角的大小为 . 【答案】 【知识点】求二面角 【分析】通过题意易得直三棱柱ABC﹣A1B1C1即为正方体的一半，直接得出答案． 【详解】根据题意，易得直三棱柱1即为正方体的一半， 所求即为平面与平面所成的二面角，即为， 又△为等腰直角三角形，， 故答案为. 15．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期末) 向量，的夹角 . 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】利用两个向量夹角的余弦公式即可求得结果. 【详解】，又因为夹角范围为：，故. 故答案为：. 地 城 考点06 利用空间向量求距离 16．(24-25高二上·上海市南洋模范中学··期末) 空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在平面，平面，平面上的射影长分别为，则这条线段的长为 . 【答案】 【知识点】求空间中两点间的距离 【分析】利用长方体的体对角线的计算方法可求解. 【详解】这条线段可看作一长方体的体对角线，这个长方体的同一个顶点外的三个表面的面对角线为， 设长方体的长、宽、高分别为，则， 所以这条线段的长为. 故答案为：. 17．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据题意设，然后利用空间向量求出点到的最小距离，从而可求出点的坐标，进而可求出的长 【详解】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ，， 则， 设，则， 因为‖，所以，得， 所以（），则， 设点到的距离为，则 ， 所以当时，取得最小值，此时的面积取得最小值， 所以， 所以 故答案为： 18．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期末) 如图，在平行六面体中，，，若为中点，则 .    【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】将用基底，结合空间向量的数量积可求得的值. 【详解】在平行六面体中，， ， 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得，且为中点， 则， 所以 ， 因此，. 故答案为：. 19．(24-25高二上·上海市七宝中学··期末) 如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，，，则点到平面的距离为 . 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为底面是菱形，，连接，则为等边三角形， 取的中点，连接，则，又，所以， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取， 所以点到平面的距离. 故答案为： 地 城 考点07 综合题 20．(24-25高二上·上海市延安中学··期末) 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量模长的坐标表示、求投影向量 【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案． 【详解】向量，， 则，，， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故答案为：. 21．(24-25高二上·上海市青浦高级中学··期末) 已知向量，，，则 . 【答案】 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直的数量积表示求解. 【详解】因为向量，，， 所以，解得， 故答案为： 22．(24-25高二上·上海市黄浦区··期末) 在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 【答案】/ 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】连接并延长交于点，连接，可得，，结合图形将用表示即得. 【详解】 如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接， 则，， 于是 ， 即得，故. 故答案为：. 23．(24-25高二上·上海市宜川中学··期末) 若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】10 【知识点】空间向量共面求参数、用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量基本定理可得，由题设条件推得方程组，求解即得. 【详解】因向量，，共面，且，，是三个不共面的非零向量， 则存在，满足， 即， 则有，解得. 故答案为：10. 地 城 考点03 解答题 24．(24-25高二上·上海市虹口区··期末) 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． (1)求证：平面； (2)若，平面平面，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）取中点，连接，，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）取中点为中点为，连接，，构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标，并求出相关平面的法向量，再由夹角公式求二面角的余弦值. 【详解】（1）取中点，连接，， 三角形中，分别为中点，则且， 又正方形中，为中点，则， 且，四边形为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面； （2）取中点为中点为，连接，， 中，则， 平面平面，平面，平面平面， 所以平面，又四边形为正方形，则， 以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， ，设平面的法向量为， 由，得，所以， 取，则，可得， 设平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则． 由图，二面角为锐角，所以其余弦为． 25．(24-25高二上·上海市南洋模范中··期末) 已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1)或 (2)3 【知识点】三角形面积公式及其应用、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）利用向量平行和向量模长的从标表示列式求解即可； （2）利用向量数量积和向量模长的坐表示求出夹角进而求得面积即可. 【详解】（1）根据题意，，则， 若，设，又由，则， 解可得，故或. （2）根据题意，， 则， 则，故， 故. 26．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，． (1)求该平行六面体的表面积； (2)记在底面上的射影为，，，，求证：，并求侧棱与底面的所成角； (3)求异面直线与的所成角． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【知识点】棱柱表面积的有关计算、证明线面垂直、求线面角、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）分别求出平行六面体的底面积和侧面积，由即可求解； （2）数形结合，作出辅助线，利用，，即可求证，根据平面， ，可知即为所求的侧棱与底面的所成角，计算从而得解； （3）根据题意可得， ，根据数量积运算结合夹角公式求异面直线夹角. 【详解】（1）底面是边长为1的正方形，则,, ，， 所以， 所以该平行六面体的表面积. （2）过 作 平面，连接 AM, HM, AE, HE, AH， 此时平面 ，，，平面， 面， ，， ，得证. 因为，则, 则， 所以 , 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 所以侧棱与底面的所成角为. 所以，侧棱与底面的所成角为. （3）由题意，， ， ， 所以． 而，， 则 ， 所以， 所以直线与所成角为. 27．(24-25高二上·上海市同济大学第一附属中学··期末) 如图，四棱锥中，底面为矩形，，且平面底面.    (1)求该四棱锥的体积； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）设边的中点为，结合面面垂直的性质定理可得平面，则四棱锥的高可求，再利用棱锥的体积公式求解可得答案； （2）法一：利用几何法，在中利用余弦定理求解即可； 法二：利用空间向量法，建立空间直角坐标系，结合线线所成角的向量解法即可得答案. 【详解】（1）等腰中，设边的中点为，易知， 因为平面底面，且底面， 则平面，在中，，所以， 则体积. （2）法一：因为， 所以即为异画直线和所成的角或其补角； 由（1）知平面底面，且平面底面 矩形中，， 因为平面底面，且底面， 所以面，又因为面，从而， 中，，所以 同理可得中，， 由余弦定理可得 ， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 法二：以的中点为为原点， 为轴建立空间坐标系，    则， 所以， ， 所以异面直线和所成角余弦值为. 28．(24-25高二上·上海市长宁区··期末) 如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱上.    (1)若分别是棱的中点，求证：平面； (2)设底面是边长为1的正方形，，，二面角的正切值为，若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【知识点】证明线面平行、已知线线角求其他量、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）取中点，连接，结合三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由题意可得二面角的平面角为，则可求得，由已知可证得两两垂直，所以以B为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接，    因为分别是棱的中点， 所以‖，， 因为四边形是平行四边形， 所以，‖， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为四边形为正方形，所以，，， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，. 所以二面角的平面角为， 所以，所以. 因为，，， 所以两两垂直， 所以以B为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 则，， 所以 ， 所以， 设，则， 因为，所以 所以 所以 所以当时，取到最小值.    29．(24-25高二上·上海市徐汇区··期末) 如图，在直三棱柱中，，，，交于点E，D为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）先证明，从而可得平面，进而可得，再由线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求解即可 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面， 又平面， 所以. 因为，，，平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. 因为，，，平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系. 则，，，，， 设，，，， 因为，所以，即，则， 由（1）平面的一个法向量为. 又 设直线与平面所成角的大小为，则 . 因此，直线与平面所成角的大小为. 30．(24-25高二上·上海市长宁区··期末) 如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2) 【知识点】圆锥表面积的有关计算、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）由已知条件求出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式求解即可； （2）以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）因为圆锥的底面半径， 经过旋转轴SO的截面是等边，可得， 所以圆锥的侧面积为. （2）以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，    由题意可得，则，，，，， 则，， 所以，，， 所以， 设异面直线PQ与SO所成角的大小为，， 则， 故异面直线PQ与SO所成角的余弦值为. 31．(24-25高二上·上海市华东师范大学第二附属中学··期末) 我们知道，平面中的结论有不少可以向空间中进行推广，现有如下平面中的结论：如图，已知对任意三角形，都能找到三条等距的平行线，使得. (1)根据以上平面中的结论，若D为与边的交点，试判断D在线段上的位置； (2)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对任意给定的四面体，能否作出四个相互平行的平面，使，且相邻两个平面间的距离都相等.如能，说明作法并作图，如不能，说明理由. (3)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对一个正四面体，能够作出第（2）小题中的四个平面，且四个平面间距离为1，求此正四面体的体积. 【答案】(1)D为中点 (2)答案见解析 (3) 【知识点】锥体体积的有关计算、判断图形中的线面关系、证明面面平行、平行平面距离的向量求法 【分析】（1）由已知结论即可得点D为中点； （2）根据面面平行判定定理以及性质定理可知取的三等分点的中点，的中点，分别作平面为平面，平面，可得结果； （3）根据正四面体性质建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为，利用点到平面距离的向量求法得出棱长，即可求出此正四面体的体积. 【详解】（1）D为中点 根据已知结论可得直线即为，若为三条等距的平行线， 所以D为中点； （2）如图所示， 取的三等分点的中点，的中点， 过三点，，作平面，过三点作平面， 因为，又，所以； 又，且，所以； 又因为，且， 所以平面, 再过点分别作平面与平面平行， 那么四个平面依次相互平行， 由线段被平行平面截得的线段相等知，其中毎每相邻两个平面间的距离相等， 故即为所求平面（注：也可将正四面体放入正方体内说明） （3）设正四面体的棱长为，综合（2）有的中点， 再取的中点，连接交于， 则由等边三角形的性质可知为的中点，且， 则以为坐标原点，以平行于直线且过点的直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，， 令为的三等分点，为的中点， 则，， 所以，，. 设平面的法向量， 则有，即，取，则， 即. 又相邻平面之间的距离为1， 所以点到平面的距离为， 解得. 由此可得，边长为的正四面体满足条件. 可知所求正四面体的体积. 【说明】解决第（3）问的关键在于利用（2）中的已知结论，建立空间直角坐标系，将平面间的距离转化为点到面的距离，求得正四面体的棱长即可计算出其体积. 32．(24-25高二上·上海市金山区··期末) 我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. (1)若，求； (2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； (3)证明，并用表示三棱锥的体积. 【答案】(1)； (2)①答案见解析；②； (3)证明见解析， 【知识点】锥体体积的有关计算、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法、立体几何新定义 【分析】（1）根据向量新定义应用坐标运算即可； （2）①得出方向是平面的法向量；②应用线面角正弦公式计算； （3）应用定义计算证明；结合点到平面距离公式计算应用体积公式计算即可. 【详解】（1），. （2）①的方向是平面的法向量； 因为，， ， 所以， ， 所以的方向是平面的法向量； ②由题意知， 设平面的法向量为， 则设，则， 则直线与平面的所成角的正弦值为， 则直线与平面所成角们大小为. （3） ， 由题意知点到平面的距离为， 33．(24-25高二上·上海市金山区··期末) 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】（1）利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果. （2）利用三角形法则得，又由（1）的结论，两个向量求数列积即可. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以 34．(24-25高二上·上海市进才中学··期末) 如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】求空间图形上的点的坐标、已知线面角求其他量、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）由题意可得，再根据，即可求得点的坐标； （2）由（为平面的法向量），求解即可； （3）求出平面的法向量，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）解：如图所示： ， 故， 因为， 所以； （2）解：因为， 则，， 设平面的法向量为， 故且， 取，则， 由于平面时， 故， 即，解得； （3）解：， 设平面的法向量为， 则有 取， 则， 所以， 所以当时，取最大值. 所以. 35．(24-25高二上·上海市川沙中学··期末) 如图所示，圆锥的底面半径，高，点是弧的中点，点是母线的中点． (1)求圆锥的体积； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、线面角的向量求法 【分析】根据条件，直接利用圆锥的体积公式，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，利用线面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）因为，则圆的面积为， 又，所以圆锥的体积为. （2）易知面圆，又点是弧的中点，则， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，又点是母线的中点，所以， 易知平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成的角为， 则， 又，所以. 36．(24-25高二上·上海市市西中学··期末) 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若． (1)求该“蒺藜形多面体”的表面积和体积； (2)若点，分别在线段，上移动，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】棱锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、求空间中两点间的距离 【分析】（1）根据正四面体的表面积即可求解，利用割补法，结合体积公式即可求解； （2）建立空间坐标系，利用点点距离即可求解. 【详解】（1）因为，所以． 蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成， 故该几何体的表面积为． 该几何体的体积为 （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 设， ， 当且仅当，时，等号成立． 故PQ的最小值为. 37．(24-25高二上·上海市进才中学··期末) 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 【答案】(1) (2) 【知识点】线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量坐标公式计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量坐标公式计算即可. 【详解】（1） 底面是正方形；连接交于点O，连接；因为平面， 平面平面,平面，所以；又O是中点， 故E是中点；因为侧棱底面，底面是正方形， 以点D为坐标原点，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为2，则，, 由题意，是的中点，则， 设平面的法向量为，则, 令，得，记与平面的所成角， 则, 故 （2）由, 则，故，故， 又平面，平面,故平面， 故平面的法向量为，平面的法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角为. 38．(24-25高二上·上海市杨浦高级中学··期末) 如下图所示正四棱锥，其中O为底面ABCD的中心. (1)求证：平面； (2)设E为上的一点，. ①若，求直线与平面所成角的大小. ②已知平面与平面所成锐二面角的大小为，若，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)①直线与平面所成角为；② 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】（1）利用线面平行的判定定理可得平面； （2）①以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据求出点坐标，再求出、平面的一个法向量，根据线面角的向量求法可得答案；②设，根据求出点坐标，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）因为底面是正方形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）①，如图，以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，得 ， ，， 由得， 所以，，由四棱锥是正四棱锥， 可得平面，平面，所以， 由，平面， 所以平面， 因为平面，即平面， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， ， 由，得， 所以直线与平面所成角为； ②，同①以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，得 ， ， 由得， 所以，， 设为平面的一个法向量， 则得，令得， 所以，因为平面， 所以是平面的一个法向量， 设平面与平面所成锐二面角的大小为，得， 由， 解得，即. 39．(24-25高二上·上海市杨浦高级中学··期末) 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱上，且， 是的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）在正方体中建立空间直角坐标系，得到点坐标和线的方向向量坐标，由空间向量数量积为0证明线线垂直； （2）由（1）知道两直线方向向量的坐标，由向量夹角的余弦值的绝对值求得线线角的余弦值. 【详解】（1）在正方体中， ∴以为坐标原点，为坐标轴如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ （2）由（1）知，， 设异面直线与所成角为， 则 40．(24-25高二上·上海市七宝中学··期末) 如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； (3)若，直线和的所成角为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）设基向量，根据空间向量的线性运算可得，又因三点共线可得，即可求得； （2）利用空间向量的数量积运算可得，从而得到不等式，求解得到的最大值； （3）利用空间向量的基本定理与线性运算得到，，再利用向量法求异面直线的夹角的余弦值得到，从而求得的取值范围. 【详解】（1）设基向量， 则， 因为， 所以， 因为三点共线，设， 则， 所以，即， 所以 （2）因为，且， 所以， 配方得：， 即， 故，即， 所以的最大值为. （3）解法一：， ， 则，即， ， 即 ， ， 令 ， . 解法二：因为，，所以， 又因为，所以，即， 所以直线和的所成角为， 当点和点重合时，最小为，即最大为1； 当点和点重合时，最大，即最小， ， 此时. 所以. 解法三：如图，以点为原点，为轴，为轴，建立空间直角直角坐标系. 则， 由点，得，则， 又，则， ， ， 令 ， . 【说明】若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两异面直线所成的角为，； ②直线与平面所成的角为，； ③二面角的大小为，. 41．(24-25高二上·上海市七宝中学··期末) 水平通常指的是与水平面平行的状态.一个保持水平的桌面能够确保使用的舒适性和稳定性， 从而提高工作效率和精度.我们可以使用水平仪检测桌面是否水平， 水平仪可以被用于检测某一条直线是否处于水平状态. (1)请设计一个利用水平仪来检测桌面是否处于水平状态的方案，并借助数学知识来说明其测量原理; (2)现有一张边长为米的正方形四脚木桌 （四条桌腿的长度均为米）， 被放置在倾斜的地面上. 通过测量发现，此时桌面的两条对角线分别呈现出和的倾斜角度. 为了将这张桌子平稳地放置在地面上并使桌面保持水平，我们需要通过锯短桌腿来进行调整，请提供一个最省力的方案.（答案精确到米） 【答案】(1)方案见解析，原理见解析 (2)方案见解析 【知识点】判断线面平行、判断面面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）在桌面上找两条相交直线和，且，利用水平仪来检测这两条直线是否处于水平，结合面面平行的判定定理可得出方案； （2）解法一：假设桌腿的粗细忽略不计，且对角桌腿间的距离米和米，不妨设对角线的倾斜程度为，对角线的倾斜程度为，为了使得桌子平稳地放置在地面上，则，利用梯形的中位线的性质可求得的长，由此可求得三条桌腿、、分别锯掉的长度； 解法二：假设桌腿的粗细忽略不计，且对角桌腿间的距离米和米， 以对角线和的交点为原点，以平面与水平面的交线为轴， 以平面与水平面的交线为轴，以竖直方向为轴的正方向建立空间直角坐标系. 设水平面，倾斜地面，利用空间向量法求出平面与平面的夹角，即可求得桌腿、分别锯掉的长度. 【详解】（1）在桌面上找两条相交直线和，且， 利用水平仪来检测这两条直线是否处于水平， 若直线，且直线，，、平面， 由面面平行的判定定理，桌面， 若直线不平行，或直线不平行，则桌面不平行. （2）解法一：假设桌腿的粗细忽略不计，且对角桌腿间的距离米和米， 不妨设对角线的倾斜程度为，对角线的倾斜程度为. 假设不锯桌腿，要使得水平面，则桌腿需要锯掉, 即，同理， 此时对角线和的交点在线段上的投影为（如图所示）， 为了使得桌子平稳地放置在地面上，则， 由梯形的中位线定理可知，， 所以， ，， 所以三条桌腿、、分别锯掉米、米、米. （锯掉三条桌腿的答案不唯一，在不锯桌腿的假设下，只需要满足， ，， 其中即可） 解法二：假设桌腿的粗细忽略不计，且对角桌腿间的距离米和米， 以对角线和的交点为原点，以平面与水平面的交线为轴， 以平面与水平面的交线为轴，以竖直方向为轴的正方向建立空间直角坐标系. 设水平面，倾斜地面. 由题意可知，未锯腿时的桌面平行于地面，即，， 不妨设，， 设地面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为， 则， 令，则， 可以通过旋转桌面，使得，，此时只需要锯两条桌腿. 则平面与平面的夹角满足， 则 则桌腿、分别锯掉米. 42．(24-25高二上·上海市闵行六校··期末) 在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示．（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量．有四个平面，，， (1)若平面与平面互相垂直，求实数的值； (2)根据点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并用利用法向量和投影向量的相关知识证明． (3)若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，利用（2）的结论求该四面体的体积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】多面体与球体内切外接问题、空间向量垂直的坐标表示、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）根据两平面垂直法向量关系运算得解； （2）根据空间点到平面的距离向量公式运算得证； （3）联立可求得顶点，同理可求得其它顶点坐标，设外接球球心为，根据接球半径，求得球心的坐标，进而求得顶点的坐标，利用（2）的结论求出四面体的高，运算求得四面体的体积. 【详解】（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故. （2）不妨设，在平面内取一点， 则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为. （3）由，解得交点， 同理，可得其它交点，，， 又四面体外接球体积为，故外接球半径， 设球心为，则，即有 得或， 当球心坐标为时，，得（舍去）， 当球心坐标为时，， 得（舍去）或，故， 所以到平面即的距离为 ， 又是正三角形，所以， 故. 【说明】本题第三问解题的关键是理解新定义，求出四面体的各个顶点坐标运算得解. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 【原卷版】 专题06 空间向量及其应用（七大题型） 7大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量的坐标表示 考点04 利用空间向量判断位置关系 考点05 利用空间向量求角 考点06 利用空间向量求距离 考点07 综合题 地 城 考点01 空间向量及其运算 1．(24-25高二上·上海市市金山区··期末) 已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 地 城 考点02 空间向量基本定理 2．(24-25高二上·上海市市西中学··期末) 如图，在四棱台中，，， 则的最小值为（     ）    A． B． C． D． 3．(24-25高二上·上海市桃浦中学··期末) 在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B．向量与的夹角是 C． D．这个正方体的体积为 4．(24-25高二上·上海市徐汇中学··期末) 已知棱长为1的正方体，任选2个顶点作为起点和终点所成的向量，与向量的数量积共有 种结果． 5．(24-25高二上·上海市宜川中学··期末) 已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 6．(24-25高二上·上海市延安中学··期末) 在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点满足，则 . 地 城 考点03 空间向量的坐标表示 7．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（    ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 8．(24-25高二上·上海市桃浦中学··期末) 若点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则两点（     ） A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于平面对称 9．(24-25高二上·上海市位育中学··期末) 在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高二上·上海市七宝中学··期末) 如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中、分别在棱上.若是正方形，则截面UVWXYZ的面积为 . 地 城 考点04 利用空间向量判断位置关系 11．(24-25高二上·上海市杨浦高级中学··期末) 已知向量，，则在上的投影向量的坐标是 . 12．(24-25高二上·上海市风华中学··期末) 有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 地 城 考点05 利用空间向量求角 13．(24-25高二上·上海海事大学附属北蔡高级中学··期末) 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 14．(24-25高二上·上海市南洋模范中学··期末) 如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面ABC所成的锐二面角的大小为 . 15．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期末) 向量，的夹角 . 地 城 考点06 利用空间向量求距离 16．(24-25高二上·上海市南洋模范中学··期末) 空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在平面，平面，平面上的射影长分别为，则这条线段的长为 . 17．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 18．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期末) 如图，在平行六面体中，，，若为中点，则 .    19．(24-25高二上·上海市七宝中学··期末) 如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，，，则点到平面的距离为 . 地 城 考点07 综合题 20．(24-25高二上·上海市延安中学··期末) 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 21．(24-25高二上·上海市青浦高级中学··期末) 已知向量，，，则 . 22．(24-25高二上·上海市黄浦区··期末) 在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 23．(24-25高二上·上海市宜川中学··期末) 若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 24．(24-25高二上·上海市虹口区··期末) 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． (1)求证：平面； (2)若，平面平面，求二面角的余弦值． 25．(24-25高二上·上海市南洋模范中··期末) 已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 26．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，． (1)求该平行六面体的表面积； (2)记在底面上的射影为，，，，求证：，并求侧棱与底面的所成角； (3)求异面直线与的所成角． 27．(24-25高二上·上海市同济大学第一附属中学··期末) 如图，四棱锥中，底面为矩形，，且平面底面.    (1)求该四棱锥的体积； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 28．(24-25高二上·上海市长宁区··期末) 如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱上.    (1)若分别是棱的中点，求证：平面； (2)设底面是边长为1的正方形，，，二面角的正切值为，若，求的最小值. 29．(24-25高二上·上海市徐汇区··期末) 如图，在直三棱柱中，，，，交于点E，D为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 30．(24-25高二上·上海市长宁区··期末) 如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 31．(24-25高二上·上海市华东师范大学第二附属中学··期末) 我们知道，平面中的结论有不少可以向空间中进行推广，现有如下平面中的结论：如图，已知对任意三角形，都能找到三条等距的平行线，使得. (1)根据以上平面中的结论，若D为与边的交点，试判断D在线段上的位置； (2)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对任意给定的四面体，能否作出四个相互平行的平面，使，且相邻两个平面间的距离都相等.如能，说明作法并作图，如不能，说明理由. (3)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对一个正四面体，能够作出第（2）小题中的四个平面，且四个平面间距离为1，求此正四面体的体积. 32．(24-25高二上·上海市金山区··期末) 我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. (1)若，求； (2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； (3)证明，并用表示三棱锥的体积. 33．(24-25高二上·上海市金山区··期末) 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 34．(24-25高二上·上海市进才中学··期末) 如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 35．(24-25高二上·上海市川沙中学··期末) 如图所示，圆锥的底面半径，高，点是弧的中点，点是母线的中点． (1)求圆锥的体积； (2)求直线与平面所成角的大小． 36．(24-25高二上·上海市市西中学··期末) 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若． (1)求该“蒺藜形多面体”的表面积和体积； (2)若点，分别在线段，上移动，求的最小值． 37．(24-25高二上·上海市进才中学··期末) 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 38．(24-25高二上·上海市杨浦高级中学··期末) 如下图所示正四棱锥，其中O为底面ABCD的中心. (1)求证：平面； (2)设E为上的一点，. ①若，求直线与平面所成角的大小. ②已知平面与平面所成锐二面角的大小为，若，求的长. 39．(24-25高二上·上海市杨浦高级中学··期末) 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱上，且， 是的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 40．(24-25高二上·上海市七宝中学··期末) 如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； (3)若，直线和的所成角为，求的取值范围. 41．(24-25高二上·上海市七宝中学··期末) 水平通常指的是与水平面平行的状态.一个保持水平的桌面能够确保使用的舒适性和稳定性， 从而提高工作效率和精度.我们可以使用水平仪检测桌面是否水平， 水平仪可以被用于检测某一条直线是否处于水平状态. (1)请设计一个利用水平仪来检测桌面是否处于水平状态的方案，并借助数学知识来说明其测量原理; (2)现有一张边长为米的正方形四脚木桌 （四条桌腿的长度均为米）， 被放置在倾斜的地面上. 通过测量发现，此时桌面的两条对角线分别呈现出和的倾斜角度. 为了将这张桌子平稳地放置在地面上并使桌面保持水平，我们需要通过锯短桌腿来进行调整，请提供一个最省力的方案.（答案精确到米） 42．(24-25高二上·上海市闵行六校··期末) 在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示．（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量．有四个平面，，， (1)若平面与平面互相垂直，求实数的值； (2)根据点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并用利用法向量和投影向量的相关知识证明． (3)若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，利用（2）的结论求该四面体的体积． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $