专题07 数列（五大题型）（期末真题分类汇编 上海专用）高二数学上学期沪教版

【原卷版】 专题07 数列（五大题型） 5大高频考点概览 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列 考点04 数学归纳法 考点05 综合题 地 城 考点01 等差数列 1．(24-25高二上·上海市黄浦区··期末) 与的等差中项为 . 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 2．(24-25高二上·上海市宜川中学··期末) 已知等差数列满足，则的值为 ． 3．(24-25高二上·上海市大同中学··期末) 若等差数列 的前n 项和为 ，且满足 > 0， < 0 ，对任意正整数n ，都有，则 的值为 . 4．(24-25高二上·上海市桃浦中学··期末) 已知等差数列中，，则公差 . 5．(24-25高二上·上海市宝山区海滨中学··期末) 已知等差数列的前项和为，若，则 . 6．(24-25高二上·上海市宜川中学··期末) 已知数列为等差数列，且，设，，，当的前n项和最小时，n的值组成的集合为 ． 7．(24-25高二上·上海市桃浦中学··期末) 已知是等差数列的前项和，若，则的值为 . 地 城 考点02 等比数列 8．(24-25高二上·上海市宝山区海滨中学··期末) 数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且，则 . 9．(24-25高二上·上海市宝山区高境第一中学··期末) 设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，有结论：①可能为等差数列；②可能为等比数列．关于以上两个结论，正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立 10．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于4046 11．(24-25高二上·上海市桃浦中学··期末) 已知数列是递减的等比数列，若，则 . 地 城 考点03 数列 12．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期末) 已知数列的前n项和，那么的值为 . 13．(24-25高二上·上海市宝山中学··期末) 已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高二上·上海市宝山区高境第一中学··期末) 已知无穷等比数列和，满足的各项和为9，则数列的各项和为 ． 15．(24-25高二上·上海市宝山区高境第一中学··期末) 已知数列的通项公式为，设其前项和为，若，则的取值范围为 ． 16．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 ． 17．(24-25高二上·上海市嘉定区第一中学··期末) 无穷数列满足，，则数列的所有项和 . 地 城 考点04 数学归纳法 18．(24-25高二下·上海市杨浦区··期末) 用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 19．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 20．(24-25高二下·上海市吴淞中学··期末) 请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 . 地 城 考点05 综合题 21．(24-25高二上·上海市宝山区海滨中学··期末) 在无穷等比数列中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．(24-25高二上·上海市黄浦区··期末) 如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成.这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为10cm、底面半径为5cm.从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积（含最下边圆柱的下底面积）约为 （精确到） 23．(24-25高二上·上海市桃浦中学··期末) 已知数列满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式；写出的具体展开式，并求其值. 24．(24-25高二上·上海市宝山区高境第一中学··期末) 已知数列满足（为正整数）． (1)设是公差为2的等差数列．当时，求的值； (2)设．求正整数，使得对一切正整数，均有； (3)设．当时，求数列的通项公式． 25．(24-25高二上·上海市桃浦中学··期末) 在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 26．(24-25高二上·上海市黄浦区··期末) 若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 27．(24-25高二上·上海市宝山区海滨中学··期末) 在数列中，，且. (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式； (3)求数列的前项和. 28．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为.例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为，则记. (1)计算； (2)设数列满足，，求的通项公式； (3)计算数列（）的逆序数. 29．(24-25高二上·上海市嘉定区第一中学··期末) 设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 30．(24-25高二上·上海市宜川中学··期末) 在等差数列中，，且，，构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 31．(24-25高二上·上海市宝山区高境第一中学··期末) 某公司积极投入本市“五个新城”建设，将总部迁入其中一个新城．该公司2021年第一季度的营业收入为1.1亿元，利润为0.16亿元．预测显示：在以2021年为第一年的未来十年（每年4个季度，共40个季度）内，该公司每一季度的营业收入比上一季度增加0.05亿元，利润比上一季度增长．据此预测，解答以下问题： (1)求2021年至2026年，该公司六年共24个季度营业收入共计多少亿元？ (2)该公司在哪年哪季度的利润将首次超过该季度的营业收入的？ 32．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 【解析版】 专题07 数列（五大题型） 5大高频考点概览 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列 考点04 数学归纳法 考点05 综合题 地 城 考点01 等差数列 1．(24-25高二上·上海市黄浦区··期末) 与的等差中项为 . 【答案】 【知识点】求等差中项 【分析】设与的等差中项为，根据等差中项的定义得到方程，解得即可. 【详解】设与的等差中项为， 则，解得， 所以与的等差中项为. 故答案为： 2．(24-25高二上·上海市宜川中学··期末) 已知等差数列满足，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设数列的公差为,由题设条件化简推出，利用等差数列通项公式可得. 【详解】设数列的公差为，则由可得：， 即，故. 故答案为：4. 3．(24-25高二上·上海市大同中学··期末) 若等差数列 的前n 项和为 ，且满足 > 0， < 0 ，对任意正整数n ，都有，则 的值为 . 【答案】2022 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质及前项和公式计算推理得. 【详解】因为，，所以，即， 则， 又，则， 又因为，且， 所以等差数列单调递减， 则 所以对于任意的正整数，都有， 则. 故答案为： 4．(24-25高二上·上海市桃浦中学··期末) 已知等差数列中，，则公差 . 【答案】2 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据通项公式，表示出求出即可. 【详解】. 故答案为：2. 5．(24-25高二上·上海市宝山区海滨中学··期末) 已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据等差求和公式，结合等差中项的性质即可求解. 【详解】， 故答案为： 6．(24-25高二上·上海市宜川中学··期末) 已知数列为等差数列，且，设，，，当的前n项和最小时，n的值组成的集合为 ． 【答案】 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】依题意得，从而判断数列是单调递增数列，进而可判断数列各项的符号，由此可得结果. 【详解】因为数列为等差数列， 所以，则， 由可以判断数列是单调递增数列， 所以， ， 所以，且，且； 即数列，当时，；当时，；当时，. 所以， 即当的前项和最小时，的取值集合为. 故答案为：. 7．(24-25高二上·上海市桃浦中学··期末) 已知是等差数列的前项和，若，则的值为 . 【答案】52 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】由可得，后由等差数列性质结合前n项和公式可得答案. 【详解】设公差为d ，由， 则. 则. 故答案为：52 地 城 考点02 等比数列 8．(24-25高二上·上海市宝山区海滨中学··期末) 数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且，则 . 【答案】 【知识点】数列的极限、无穷等比数列各项的和 【分析】根据无穷等比数列求和的性质即可得的等式关系，即可得答案. 【详解】因为数列是首项为 ，公比为m的无穷等比数列，且， 由，可得，化简得 ， 即 解得或 (舍去)，则 ， 故答案为：. 9．(24-25高二上·上海市宝山区高境第一中学··期末) 设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，有结论：①可能为等差数列；②可能为等比数列．关于以上两个结论，正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【知识点】求等比数列前n项和、数列综合 【分析】根据题设条件，逐项判断即可：取，则，满足题设，即可判断①；对是否等于1进行讨论，结合有理数性质即可判断②. 【详解】对于①，取，则，满足题设，①成立； 对于②；假设存在，，公比为， 当时，，，则，当时，对任意正整数，不存在正整数m，使得， 当时，，要使，则需， 即，由为常数，为确定的正整数，得是确定的数， 而为任意正整数，是变量，且当趋近于无穷大的正整数时， 趋近于）或趋近于无穷大（），因此②不成立. 故选：C 10．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于4046 【答案】C 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、等比数列的单调性 【分析】分析条件可得数列为递减数列，选项A正确；根据等比数列的性质可得选项B正确；根据可得选项C错误；根据，可得选项D正确. 【详解】∵，∴，∴． ∵，∴，即一个大于1，一个小于1， ∵，∴数列为递减数列，故，即，选项A正确. ，选项B正确. ，选项C错误. ， ，选项D正确. 故选：C． 11．(24-25高二上·上海市桃浦中学··期末) 已知数列是递减的等比数列，若，则 . 【答案】/0.015625 【知识点】判断数列的增减性、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】由，求得的值，从而可得公比，利用等比数列的通项公式可得结果. 【详解】因为数列是递减的等比数列，所以，，所以是方程的两根，所以，所以公比，. 故答案为：. 地 城 考点03 数列 12．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期末) 已知数列的前n项和，那么的值为 . 【答案】 【知识点】对数的运算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据，结合对数运算即可求解. 【详解】， 故答案为：1. 13．(24-25高二上·上海市宝山中学··期末) 已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无穷等比数列各项的和 【分析】根据可得，则，再利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为为无穷等比数列，，设数列的公比为， 则，所以，可得. 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 且，此时，且， 所以. 因为 所以，时等号成立； 即的取值范围为. 故选：B. 14．(24-25高二上·上海市宝山区高境第一中学··期末) 已知无穷等比数列和，满足的各项和为9，则数列的各项和为 ． 【答案】/ 【知识点】无穷等比数列各项的和 【分析】设的公比为，由无穷等比数列各项和公式，求得，进而得到，求得数列的首项和公比，即可求得的各项和． 【详解】设的公比为，由,的各项和为9，得，解得， 则，， 因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以数列的各项和为． 故答案为： 15．(24-25高二上·上海市宝山区高境第一中学··期末) 已知数列的通项公式为，设其前项和为，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】判断等差数列、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式求解得答案. 【详解】由数列的通项公式为，得数列是等差数列， 则，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 16．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 ． 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据求通项公式，验证的结果即可得到答案. 【详解】当时，， 当时，，满足上式， ∴. 故答案为：. 17．(24-25高二上·上海市嘉定区第一中学··期末) 无穷数列满足，，则数列的所有项和 . 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】根据递推公式，得到，结合即可求出数列的各项值，进而得到数列的各项值，由此即可求数列的所有项和. 【详解】因为，所以有：， 因为，由此可得，所以， 所以数列为各项均为的无穷数列， 由此可得：. 故答案为： 地 城 考点04 数学归纳法 18．(24-25高二下·上海市杨浦区··期末) 用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 【答案】C 【知识点】数学归纳法 【分析】利用数学归纳法的定义可得出结论. 【详解】由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立， 故选：C. 19．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数学归纳法 【分析】分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“n从到”左端需增乘的代数式． 【详解】解：当时，左端＝， 当时，左端＝， 故左边要增乘的代数式为. 故选：B． 20．(24-25高二下·上海市吴淞中学··期末) 请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 . 【答案】（1）（2） 【知识点】求等比数列前n项和、数学归纳法证明数列问题 【分析】根据数学归纳法证明的方法与步骤即可得出答案. 【详解】（1）错误：本小题的错误在于没有证明第一步，即没有验证时等式成立， 因为第一步是整个证明的基本， 所以缺了第一步，后面的证明就会出现失误. （2）错误：本小题在证成立时，应用了等比数列的求和公式， 而未使用假设成立时的条件，这与数学归纳法的要求不符， 所以其错误是未使用归纳假设. 故答案为：（1）（2） 地 城 考点05 综合题 21．(24-25高二上·上海市宝山区海滨中学··期末) 在无穷等比数列中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数列的极限、无穷等比数列各项的和、求等比数列前n项和 【分析】设等比数列的公比为，分、，结合等比数列的求和公式进行讨论，即可得答案. 【详解】解：设无穷等比数列公比为， 当时，，不满足题意； 当时，， 则， 若，则， 则有，此时； 若，则， 则有，此时； 综上，. 故选：C. 22．(24-25高二上·上海市黄浦区··期末) 如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成.这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为10cm、底面半径为5cm.从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积（含最下边圆柱的下底面积）约为 （精确到） 【答案】 【知识点】等比数列的简单应用、求等比数列前n项和、圆柱表面积的有关计算 【分析】根据已知第个圆柱的高，底面半径，应用等比数列前n项和公式求工艺品的表面积. 【详解】由题设，第个圆柱的高，底面半径， 所以，第个圆柱的侧面积为，底面积为， 则侧面积之和为， 底面积之和为， 所以工艺品的表面积为. 故答案为： 23．(24-25高二上·上海市桃浦中学··期末) 已知数列满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式；写出的具体展开式，并求其值. 【答案】(1)证明见解析 (2)，， 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用构造法，得到，可证明是等比数列； （2）根据等比数列的通项公式，求出，进而可求的通项公式；直接写出的具体展开式，利用等比数列的前项和公式，直接计算可得答案. 【详解】（1）由，得， 即时，且， 所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列. （2）由（1）知数列是等比数列，公比为3，且首项， 从而，所以， . 24．(24-25高二上·上海市宝山区高境第一中学··期末) 已知数列满足（为正整数）． (1)设是公差为2的等差数列．当时，求的值； (2)设．求正整数，使得对一切正整数，均有； (3)设．当时，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2)5 (3) 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项、累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】（1）根据公差化简计算得出,再代入求值即可； （2）代入求出，再分类得出数列的单调性即可得出； （3）分和两种情况分别应用累加法及分组求和法求出通项公式. 【详解】（1），是公差为2的等差数列， 所以，所以，又因为， 所以，即， ，即． （2）因为，所以， 所以，当，单调递减，所以， 当，单调递增，所以， 所以数列的最小值为，所以，使得对一切正整数，均有； （3）因为，所以， 所以化简得， 当时，， 求和得， 所以； 当时，， 则. 综上所述，. 【说明】本题第3问关键是得到，进而分情况利用累加法及分组求和法进行求解. 25．(24-25高二上·上海市桃浦中学··期末) 在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、递推数列的实际应用 【分析】（1）根据递推公式写出数列前项的值，即可求出的值； （2）对为奇数和偶数两种情况讨论，结合递推公式求出、，结合可求得的值. 【详解】（1）在无穷数列中，均为正整数，且， 当时，则，，，， ，，，， 所以. （2）①若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，满足题意； ②若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上， 26．(24-25高二上·上海市黄浦区··期末) 若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算、数列新定义 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且，依题意可得，即可求出与，即可求出； （2）设的公比为，依题意可得或，即可求出的取值范围，从而得解； （3）依题意可得且，对一切正整数恒成立，即可求出的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且， 由数列是数列的“隔数列”， 则，且， 所以且，即，所以或， 所以或； （2）设的公比为， 因为数列是数列的“隔数列”， 即数列是数列的“隔数列”， 所以或， 解得或，即或， 所以或， 所以整数的值为. （3）因为是的“隔数列”， 所以与都是严格增数列， 由是严格增数，可知对一切正整数恒成立， 又由是严格增数列，可知，即对一切正整数恒成立， 所以且， 这时因为对于一切大于等于的整数恒成立， 故必有， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立，所以，即， 所以的取值范围为. 【说明】本题关键是理解所给定义，再结合等差（等比）数列的基本量计算即可. 27．(24-25高二上·上海市宝山区海滨中学··期末) 在数列中，，且. (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）根据递推式得，结合等差数列定义判断证明即可； （2）由（1）得，应用累加法求通项公式； （3）应用裂项相消法求. 【详解】（1）由，可得，且， 所以是首项为4，公差为2的等差数列，得证； （2）由（1）有且，则，，， 累加得，且， 所以，显然也满足， 综上，. （3）由题设及（2）有， 所以. 28．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为.例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为，则记. (1)计算； (2)设数列满足，，求的通项公式； (3)计算数列（）的逆序数. 【答案】(1)13 (2) (3)答案见解析 【知识点】求等差数列前n项和、构造法求数列通项、数列新定义 【分析】（1）根据逆序数的概念计算可得结果. （2）由（1）得，利用构造法可得数列是以为首项，以14为公比的的等比数列，由此可计算结果. （3）分析数列中奇数项、偶数项的取值范围及单调性，讨论为奇数和为偶数时的逆序数即可得到结果. 【详解】（1）. （2）由（1）得， ∴， ∴数列是以为首项，以14为公比的的等比数列， ∴，故. （3）当为奇数时，． 当为偶数时，，， ∴． 当为奇数时，逆序数为 ， 当为偶数时，逆序数为 . 综上得，. 【说明】解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 29．(24-25高二上·上海市嘉定区第一中学··期末) 设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得的公差和首项，进而可求通项. （2）根据数列中的最大项列不等式，从而求得的所有可能取值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 ，解得， ∴. （2）由（1）得， 由于是数列中最大的项， ∴，则 ， 所以，即 即 解得， 由于是整数，所以的可能取值是. 30．(24-25高二上·上海市宜川中学··期末) 在等差数列中，，且，，构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 【答案】(1) (2)7 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据等差数列基本量结合等比中项列式求解即可； （2）分组求和应用等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）在等差数列中，，设公差为，由，，构成等比数列， 可得，即有，得． 因为当时，，不满足题意，舍去， 所以，． （2）由（1）得，则，递增， 由， 可得时，正整数n的最小值为7． 31．(24-25高二上·上海市宝山区高境第一中学··期末) 某公司积极投入本市“五个新城”建设，将总部迁入其中一个新城．该公司2021年第一季度的营业收入为1.1亿元，利润为0.16亿元．预测显示：在以2021年为第一年的未来十年（每年4个季度，共40个季度）内，该公司每一季度的营业收入比上一季度增加0.05亿元，利润比上一季度增长．据此预测，解答以下问题： (1)求2021年至2026年，该公司六年共24个季度营业收入共计多少亿元？ (2)该公司在哪年哪季度的利润将首次超过该季度的营业收入的？ 【答案】(1) (2)年第4季度 【知识点】求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由已知，可知该公司营业收入组成首项为，公差为的等差数列，利用等差数列求和公式计算即可； （2）设季度后的利润将首次超过该季度的营业收入的，则得 ，利用计算器解得的最小值为，即可得到答案. 【详解】（1）由已知，该公司2021年第一季度起其营业收入组成首项为，公差为的等差数列， 则2021年至2026年，六年共24个季度营业收入共计， 即2021年至2026年，该公司六年共24个季度营业收入共计亿元. （2）设季度后的利润将首次超过该季度的营业收入的， 因为该公司2021年第一季度的利润为0.16亿元， 每一季度的营业收入比上一季度增加0.05亿元，利润比上一季度增长， 所以， 因为，所以利用计算器解得的最小值为，又， 所以该公司在年第4季度的利润将首次超过该季度的营业收入的. 32．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据条件求数列的公差即可得到通项公式. （2）由（1）可得数列是以4为首项，4为公比的等比数列，利用公式即可求出. 【详解】（1）设数列的公差为， ∵，∴ ∴， ∴. （2）由（1）得， ∴， ∴数列是以4为首项，4为公比的等比数列， ∴. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $