专题01 平面直角坐标系中的直线（八大题型） （期末真题分类汇编 上海专用）高二数学上学期沪教版

【解析版】专题01 平面直角坐标系中的直线（八大题型） 8大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线斜率的应用 考点03 两直线位置关系的判定 考点04 直线的方程 考点05 直线方程的综合应用 考点06 两直线的交点问题 考点07 两直线间的距离问题 考点08 综合题 地 城 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．(24-25高二上·上海市崇明区··期末) 直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、直线的一般式方程及辨析 【分析】根据给定条件，求出直线斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率，倾斜角范围为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 2．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 直线的倾斜角为 ． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系结合倾斜角的范围求解. 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为， 所以，可得． 故答案为：. 3．(24-25高二上·上海市向明中学··期末) 已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值、斜率与倾斜角的变化关系、直线法向量的概念及辨析、求直线的方向向量（平面中） 【分析】先根据直线的方向向量和法向量之间的关系写出直线的方向向量；再根据直线倾斜角、斜率和方向向量之间的关系分类讨论，结合基本不等式即可求解. 【详解】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为. 当时，，此时直线垂直于轴，. 当时，直线的斜率， 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 综上可得：的取值范围是. 故选：B. 4．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 若向量是直线的一个法向量，则直线的倾斜角为 ．（用反三角表示） 【答案】 【知识点】反三角函数、直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、根据直线的法向量求直线方程 【分析】根据法向量的定义，以及直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【详解】因为向量是直线的一个法向量， 所以直线的一个方向向量为， 所以直线l的斜率，设直线的倾斜角为， 则，又， 所以直线l的倾斜角. 故答案为：. 5．(24-25高二上·上海市上海大学附属中学··期末) 直线的倾斜角的大小是 ． 【答案】/ 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、直线的斜截式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】由方程确定直线的斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由，可得， 所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，又， . 故答案为：. 6．(24-25高二上·上海市延安中学··期末) 若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得. 故答案为： 地 城 考点02 直线斜率的应用 7．(24-25高二上·上海市金山中学··期末) 经过两点和的直线的倾斜角是 . 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】利用斜率公式求得直线的斜率，可得，可求直线的倾斜角. 【详解】因为直线过和， 所以直线的斜率， 记直线的倾斜角为，所以， 又，则可得． 故答案为：. 地 城 考点03 两直线位置关系的判定 8．(24-25高二上·上海市宝山区··期末) 已知直线和互相垂直，则实数 . 【答案】2 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】已知直线和互相垂直， 则，解得. 故答案为：2. 9．(24-25高二上·上海市进才中学··期末) 已知直线与直线相互平行，则实数的值为 ． 【答案】 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】利用两条直线平行的条件即可求得，再代入验证. 【详解】直线与直线相互平行， 得，即得; 当时，与平行. 故答案为： 地 城 考点04 直线的方程 10．(24-25高二上·上海市彭浦中学··期末) 经过点，且法向量为的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】由直线法向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果. 【详解】直线的法向量为，直线的斜率， 直线的方程为，即. 故选：B 11．(24-25高二上·上海市南洋模范中··期末) 已知点，直线.过点且与直线垂直，求直线的方程 . 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】利用直线互相垂直求得直线的斜率，进而利用点斜式求得直线方程. 【详解】因为直线与直线垂直，直线的斜率为，所以直线的斜率为， 因为直线过点，所以，即. 故答案为：. 12．(24-25高二上·上海市川沙中学··期末) 过点且与直线垂直的直线方程为 ． 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】根据条件，利用两直线垂直时，斜率间的关系，得到所求直线的斜率，再由直线的点斜率式，即可求解. 【详解】因为直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程为，即， 故答案为：. 13．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程是 ． 【答案】 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】根据直线平行可设，根据直线经过点可得结果. 【详解】设直线的方程为， ∵直线经过点，∴，解得， ∴直线的方程是. 故答案为：. 14．(24-25高二上·上海市宝山区··期末) 直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为 . 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】依题意可得直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线过点，且与向量垂直， 则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 地 城 考点05 直线方程的综合应用 15．(24-25高二上·上海市青浦区··期末) 点到直线的距离为 . 【答案】 【知识点】求点到直线的距离 【分析】利用点到直线的距离公式直接求解. 【详解】 故答案为： 16．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 【答案】 【知识点】直线过定点问题 【分析】根据已知直线方程化简列方程组计算求解即可. 【详解】由直线，化简可得对任意实数都成立， 所以，所以定点为. 故答案为：. 17．(24-25高二上·上海外国语大学附属浦东外国语学校··期末) 直线在轴上的截距是 ． 【答案】 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】令求出所对应的的值，即可得解. 【详解】对于直线，令，可得， 所以直线在轴上的截距是. 故答案为： 18．(24-25高二上·上海市嘉定区中光高级中学··期末) 直线与直线的夹角的大小为 ． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、两条直线的到（夹）角公式 【分析】根据直线方程确定直线的倾斜角大小，即可求夹角. 【详解】由的斜率为，故其倾斜角为，且的倾斜角为， 所以两直线夹角为. 故答案为： 19．(24-25高二上·上海市延安中学··期末) 直线与的夹角为 ． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、两条直线的到（夹）角公式 【分析】根据直线方程可得各直线斜率，进而可得倾斜角之间的关系，从而得夹角. 【详解】直线的斜率，即倾斜角满足， 直线的斜率，即倾斜角满足， 所以， 所以， 又两直线夹角的范围为， 所以两直线夹角为， 故答案为：. 地 城 考点06 两直线的交点问题 20．(24-25高二上·上海市交通大学附属中学··期末) 将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点、求两点的对称轴 【分析】折痕为点与点的中垂线，得方程，再根据点与原点对称可得答案. 【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 21．(24-25高二上·上海市青浦高级中学··期末) 已知直线：与直线：平行，则 . 【答案】3 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行的充要条件：且即可求解. 【详解】因为，由两直线平行的充要条件可得， 且， 解得. 故答案为； 22．(24-25高二上·上海师范大学附属中学宝山分校··期末) 已知直线与直线的夹角为，则实数 . 【答案】或 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、两条直线的到（夹）角公式 【分析】设两直线夹角为，可得，分和两种情况，结合直线的夹角公式运算求解即可. 【详解】设直线与直线的夹角为， 则，可得，， 设直线的倾斜角为，则， 设直线的倾斜角为， 若，则直线即为，可知， 可得，，符合题意； 若，则， 因为，可得， 即，解得或（舍去）； 综上所述：或. 故答案为：或. 地 城 考点07 两直线间的距离问题 23．(24-25高二上·上海市奉贤区··期末) 若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则 . 【答案】 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据给定的定义，利用平行线间距离公式求解即得. 【详解】直线的方程化为：，显然， 所以. 故答案为： 24．(24-25高二上·上海市崇明区··期末) 已知点、，则线段的垂直平分线方程为 ． 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】由线段的斜率可计算出线段的垂直平分线的斜率，又有的中点是线段的垂直平分线经过的一个点，使用点斜式即可得到线段的垂直平分线方程. 【详解】线段的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线经过， 由点斜式知，线段的垂直平分线方程为：，即. 故答案为：. 25．(24-25高二上·上海市延安中学··期末) 已知直线l与直线垂直，且经过点，则直线l的方程为 ． 【答案】 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】根据直线l与直线垂直，设其方程为，代入点可得答案. 【详解】根据题意，因为直线l与直线垂直，设l的方程为， 又由直线l经过点，则有，解可得， 故直线l的方程为. 故答案为：． 26．(24-25高二上·上海市交通大学附属中学··期末) 平行直线与间的距离为 . 【答案】 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】利用平行线之间的距离即可得到结果. 【详解】易知，即有， 与间的距离. 故答案为： 27．(24-25高二上·上海市彭浦中学··期末) 已知直线与直线的距离为，则 . 【答案】或 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用平行线间的距离公式得到关于的方程，从而得解. 【详解】直线可化为，直线， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或 28．(24-25高二上·上海市东昌中学··期末) 若直线与直线平行，则它们之间的距离为 . 【答案】/0.5 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】由直线平行的判定求得，再应用平行线距离公式求距离. 【详解】由题意，可得，故可写为， 所以两直线距离为. 故答案为： 地 城 考点08 综合题 29．(24-25高二上·上海市交通大学附属中学··期末) 已知直线的倾斜角为，则的余弦的值为 . 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、直线的倾斜角 【分析】由倾斜角与斜率的关系，利用同角三角函数的商数关系与平方关系即可求得结果. 【详解】，所以又，所以. 故答案为：. 30．(24-25高二上·上海市延安中学··期末) 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】 建立如图所求的直角坐标系，得，， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，，, 所以， 所以的周长为. 故选：A． 【说明】本题解题的关键是利用对称性，把的三边转化到同一条直线上，利用直线方程求得点的坐标. 31．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是 【答案】 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】由题知图形为正方形，再往内外膨胀1个单位可得到图形，再计算面积即可. 【详解】图形的方程是，这是在轴上截距的绝对值都为4的封闭图形， 则图形为正方形，边长为， 点集，其图形是正方形往内外膨胀1个单位，可得到图形如下： 则其面积. 故答案为：. 32．(24-25高二上·上海市闵行六校··期末) 台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】根据题意画出示意图，进而求解结论． 【详解】因为，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中； 当是图一时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为； 如图；根据直线的对称性可得：； 当是图2时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为， 如图：根据直线的对称性可得：； 因为，则，故只有. 故答案为：1． 33．(24-25高二上·上海市同济大学第二附属中学··期末) 已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知直线平行求参数、直线截距式方程及辨析、由一般式方程判断直线的平行 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，列方程求解参数即可. （2）由题意得，并分别求解轴上的截距，根据截距相等列方程求解即可. 【详解】（1）当时，满足，解得. 所以实数的值为. （2）因为. 且由题意可知，所以解得且， 令，得，令，得， 所以，解得. 所以实数的值为. 34．(24-25高二上·上海市崇明区··期末) 求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、由两条直线平行求方程 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式即可求得答案； （2）由两直线平行可设直线方程，求出参数，即得答案. 【详解】（1）由题意可得直线斜率为， 故直线方程为，即； （2）由题意可设直线方程为，，结合直线经过点， 可得，则直线方程为. 35．(24-25高二上·上海市宝山区··期末) 已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】（1）令，解方程组即可得解； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解. 【详解】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 36．(24-25高二上·上海市杨浦区··期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【答案】(1)； (2)或. 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、求点到直线的距离 【分析】（1）利用直线方程的点斜式求出方程，再化成一般式即可. （2）利用三角形面积求出点到直线的距离，再结合已知建立方程组求解. 【详解】（1）直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为. （2）依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. 37．(24-25高二上·上海市华东师范大学第二附属中学··期末) 某斜拉索拱形桥的主桥承重梁设计成左右对称的抛物线弧，跨度为200m，桥顶到的距离为20m. (1)以的中点为原点，分别以所在的直线为轴，建立直角坐标系，求曲线的方程； (2)已知为垂直于交于，，在弧上自左到右有点（点与点重合），在弧上自右到左有点（点与点重合），它们在轴上的射影分别将与十等分，在上自上到下有点.，且九等分，并分别将，用斜拉索连结，类似地在上也用斜拉索连结弧与弧上的点（见图）求斜拉索与的长（精确到0.1m） 【答案】(1) (2)斜拉索的长约为164.5m，斜拉索的长约为96.8m 【知识点】求平面两点间的距离、函数 【分析】（1）由题意写出的坐标，设抛物线方程为交点式方程，可得答案. （2）由题意求出的坐标，由两点距离公式，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，，， 可设抛物线方程为（）， 将代入上式可得，解得， 所以曲线的方程为（）. （2）由，且在上，，则的横坐标为， 由，则，易知，， 所以； 易知的横坐标为， 将代入，解得，则， 所以， 则， 可得， 由题意可知点的横坐标为， 将代入，解得，则， 由题意可得点的横坐标为， 将代入，解得，则， 所以， ， 则. 因此可得，斜拉索的长约为164.5m，斜拉索的长约为96.8m. 38．(24-25高二上·上海市华东师范大学第二附属中学··期末) 设直线：，：，点的坐标为过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，的纵坐标均为正数． (1)点是，中点，求斜率； (2)求为坐标原点面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】（1）利用直线的点斜式方程求出直线的方程，解得两交点坐标，再由中点坐标公式可求出； （2）写出的面积表达式，再利用换元法和基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）由题意可得直线的方程为，如下图所示： 联立，解得； 联立，解得； 又点是，中点，可得，且； 解得； （2）因为的纵坐标均为正数， 所以，解得； 易知的面积为， 令，则； 因此； 当且仅当时，即时，等号成立，此时； 所以的最小值为，即的面积的最小值为. 39．(24-25高二上·上海市市西中学··期末) 如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成三角形，设直线的斜率为． (1)求直线的方程（用表示）； (2)求锯成的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的斜截式方程及辨析、求点到直线的距离、直线围成图形的面积问题 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程；（2）先由题意确定的范围，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）设直线， 因为直线过点，所以，即， 所以， （2）又因为，，易得直线，直线， 联立，解得；联立，解得， 故，. 因为，，所以，所以， 因为， 设M到直线的距离为d，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为. 40．(24-25高二上·上海市杨浦高级中学··期末) 已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】（1）根据题意可写出直线的点斜式方程，再化为一般方程即可； （2）将直线的方程变形，求出点的坐标，再利用点到直线的距离公式可求得点到直线的距离. 【详解】（1）因为直线的斜率为，且这条直线经过点， 所以，直线的方程为，化为一般方程即为. （2）直线的方程可化为， 由，解得，即点， 所以，点到直线的距离为. 41．(24-25高二上·上海市宝山区··期末) 已知直线：；：. (1)若，求实数的值； (2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【知识点】已知直线平行求参数、直线截距式方程及辨析、由一般式方程判断直线的平行 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可列式子求解， （2）分别求解轴上的截距，根据相等列方程求解即可. 【详解】（1）当时，满足，解得， （2）由题意可知，故， 令，则， 令，则， 故，解得或 42．(24-25高二上·上海市闵行六校··期末) 已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程； （2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）由题可得，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即； （2）∵直线化简得：， 令，解得，∴定点， 则点到直线的距离， ∴到直线的距离为. 43．(24-25高二上·上海市延安中学··期末) 在中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为． (1)求点C坐标； (2)求直线BC的方程． 【答案】(1)； (2). 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】（1）根据给定条件，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再联立求出点坐标. （2）设，由的中点在直线上求出点，再利用直线的点斜式方程求出直线的方程. 【详解】（1）由直线：的斜率为，得直线的斜率， 直线的方程为，即，由，解得， 所以点C的坐标为. （2）依题意，设，则边的中点在直线上， 于是，解得：，即点， 所以直线BC的方程为，即. 44．(24-25高二上·上海市闵行六校··期末) 如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．    (1)求直线的倾斜角的取值范围． (2)是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？ (3)设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、求直线交点坐标、求点关于直线的对称点 【分析】（1）观察点运动时，直线与线段（不包括端点）有无公共点，数形结合可得出直线的倾斜角的取值范围； （2）假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上，求出直线的斜率，由题意可知，求出直线的斜率，结合（1）中的结论判断即可； （3）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当轴时，直接求出的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，求出点、的坐标，可求出面积的取值范围，进而可得出的取值范围，综合可得出结论. 【详解】（1）解：由图可知，点在第一象限，设点， 因为，，则， 所以，，解得，即点， 由题图可知，当点从原点沿着轴的正方向移动时，直线的倾斜角在逐渐增大， 当直线与直线重合时，设直线交轴的交点为，如下图所示：    当点在线段上运动时，直线与线段（不包括端点）没有公共点， 当点在线段（不包括点）上运动时，直线与线段（不包括端点）有公共点， 且直线的斜率为，直线的倾斜角为， 综上所述，直线倾斜角的取值范围是. （2）解：由（1）可知，、，则直线的斜率为， 假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上， 此时，，则， 此时，直线的倾斜角满足，不合乎题意， 因此，不存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上. （3）解：当轴时，此时，为线段的垂直平分线， 此时，； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，其中， 直线的方程为，即， 联立可得，即点， 联立可得，即点， 所以，， 所以， ， 因为，则，所以，， 综上所述，的取值范围是. 【说明】本题第（3）问在求解三角形面积的取值范围时，要注意对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在设出直线的方程后，关键要求出点、的坐标，再利用三角形的面积公式以及函数思想求范围. 45．(24-25高二上·上海外国语大学附属浦东外国语学校··期末) 已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】已知直线垂直求参数、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据直线垂直即可求解； （2）先对用正弦定理，得到的正弦值，对用正弦定理，得到，设出交点求解二次方程即可求解. 【详解】（1）直线的斜率为，因为直线与直线垂直， 所以，所以； （2） 如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点， 点为直线与轴的交点，点为直线与直线的交点， 点为过点作轴的垂线交直线的交点，，， 设夹角为，因为，所以， 因为，， 所以在中，，所以， 因为，所以在中，， 所以，所以，易知， 设交点坐标为，所以， 所以或，所以交点坐标为或， 所以直线方程为或， 即或. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 【原卷版】专题01 平面直角坐标系中的直线（八大题型） 8大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线斜率的应用 考点03 两直线位置关系的判定 考点04 直线的方程 考点05 直线方程的综合应用 考点06 两直线的交点问题 考点07 两直线间的距离问题 考点08 综合题 地 城 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．(24-25高二上·上海市崇明区··期末) 直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 2．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 直线的倾斜角为 ． 3．(24-25高二上·上海市向明中学··期末) 已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 若向量是直线的一个法向量，则直线的倾斜角为 ．（用反三角表示） 5．(24-25高二上·上海市上海大学附属中学··期末) 直线的倾斜角的大小是 ． 6．(24-25高二上·上海市延安中学··期末) 若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 地 城 考点02 直线斜率的应用 7．(24-25高二上·上海市金山中学··期末) 经过两点和的直线的倾斜角是 . 地 城 考点03 两直线位置关系的判定 8．(24-25高二上·上海市宝山区··期末) 已知直线和互相垂直，则实数 . 9．(24-25高二上·上海市进才中学··期末) 已知直线与直线相互平行，则实数的值为 ． 地 城 考点04 直线的方程 10．(24-25高二上·上海市彭浦中学··期末) 经过点，且法向量为的直线方程是（ ） A． B． C． D． 11．(24-25高二上·上海市南洋模范中··期末) 已知点，直线.过点且与直线垂直，求直线的方程 . 12．(24-25高二上·上海市川沙中学··期末) 过点且与直线垂直的直线方程为 ． 13．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程是 ． 14．(24-25高二上·上海市宝山区··期末) 直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为 . 地 城 考点05 直线方程的综合应用 15．(24-25高二上·上海市青浦区··期末) 点到直线的距离为 . 16．(24-25高二上·上海市实验学校··期末) 对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 17．(24-25高二上·上海外国语大学附属浦东外国语学校··期末) 直线在轴上的截距是 ． 18．(24-25高二上·上海市嘉定区中光高级中学··期末) 直线与直线的夹角的大小为 ． 19．(24-25高二上·上海市延安中学··期末) 直线与的夹角为 ． 地 城 考点06 两直线的交点问题 20．(24-25高二上·上海市交通大学附属中学··期末) 将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 21．(24-25高二上·上海市青浦高级中学··期末) 已知直线：与直线：平行，则 . 22．(24-25高二上·上海师范大学附属中学宝山分校··期末) 已知直线与直线的夹角为，则实数 . 地 城 考点07 两直线间的距离问题 23．(24-25高二上·上海市奉贤区··期末) 若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则 . 24．(24-25高二上·上海市崇明区··期末) 已知点、，则线段的垂直平分线方程为 ． 25．(24-25高二上·上海市延安中学··期末) 已知直线l与直线垂直，且经过点，则直线l的方程为 ． 26．(24-25高二上·上海市交通大学附属中学··期末) 平行直线与间的距离为 . 27．(24-25高二上·上海市彭浦中学··期末) 已知直线与直线的距离为，则 . 28．(24-25高二上·上海市东昌中学··期末) 若直线与直线平行，则它们之间的距离为 . 地 城 考点08 综合题 29．(24-25高二上·上海市交通大学附属中学··期末) 已知直线的倾斜角为，则的余弦的值为 . 30．(24-25高二上·上海市延安中学··期末) 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 31．(24-25高二上·上海市南汇中学··期末) 我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是 32．(24-25高二上·上海市闵行六校··期末) 台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值为 ． 33．(24-25高二上·上海市同济大学第二附属中学··期末) 已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 34．(24-25高二上·上海市崇明区··期末) 求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 35．(24-25高二上·上海市宝山区··期末) 已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 36．(24-25高二上·上海市杨浦区··期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 37．(24-25高二上·上海市华东师范大学第二附属中学··期末) 某斜拉索拱形桥的主桥承重梁设计成左右对称的抛物线弧，跨度为200m，桥顶到的距离为20m. (1)以的中点为原点，分别以所在的直线为轴，建立直角坐标系，求曲线的方程； (2)已知为垂直于交于，，在弧上自左到右有点（点与点重合），在弧上自右到左有点（点与点重合），它们在轴上的射影分别将与十等分，在上自上到下有点.，且九等分，并分别将，用斜拉索连结，类似地在上也用斜拉索连结弧与弧上的点（见图）求斜拉索与的长（精确到0.1m） 38．(24-25高二上·上海市华东师范大学第二附属中学··期末) 设直线：，：，点的坐标为过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，的纵坐标均为正数． (1)点是，中点，求斜率； (2)求为坐标原点面积的最小值. 39．(24-25高二上·上海市市西中学··期末) 如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成三角形，设直线的斜率为． (1)求直线的方程（用表示）； (2)求锯成的面积的最小值． 40．(24-25高二上·上海市杨浦高级中学··期末) 已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 41．(24-25高二上·上海市宝山区··期末) 已知直线：；：. (1)若，求实数的值； (2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 42．(24-25高二上·上海市闵行六校··期末) 已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 43．(24-25高二上·上海市延安中学··期末) 在中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为． (1)求点C坐标； (2)求直线BC的方程． 44．(24-25高二上·上海市闵行六校··期末) 如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．    (1)求直线的倾斜角的取值范围． (2)是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？ (3)设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围． 45．(24-25高二上·上海外国语大学附属浦东外国语学校··期末) 已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $