专题02 直线与圆（七大题型+好题推送）（期末真题汇编，北京专用）高二数学上学期人教B版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02直线与圆（八大题型+好题推送) ☆8大高频考点概览 考点01直线倾斜角与斜率 考点02直线与直线的位置关系 考点03直线方程与距离 考点04圆的方程 考点05直线与圆的位置关系 考点06圆的切线 考点07圆与圆的位置关系 考点08圆的最值问题 目目 考点01 直线倾斜角与斜率 (24-25高二上北京大兴期末)已知直线1经过A(-1,0),B(0,-1两点，则直线1的倾斜角为() 2 C. 3π 3 D. 4 2.(24-25高二上·北京·期末)直线√5x+y-1=0的倾斜角为() A. B.3 D.2π 3. (24-25高二上北京昌平期末)已知直线1：2x-3y+6=0,则直线1的倾斜角的正切值为() c 4.(24-25高二上·天津·月考)若直线1的方向向量是e=-1,W5,则直线1的倾斜角是() B. 。号 D 5.(2425高二上北京期末)如图，在直角三角形0A8中，4=，边0A所在直线的领斜角为石则直 6 线AB的斜率为() 1/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.-√5 B.- 3 C.-1 D.1 6.(24-25高二上北京东城期末)若直线1过P(0,),Q(V3,2)两点，则直线1的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150 7.(21-22高三上·北京·月考)若直线1的斜率为-√5，则1的倾斜角为() A等 B.8 c号 D.5r 6 8.(23-24高二上北京平谷期末)直线√5x-y+1=0的倾斜角为() A君 B.子 c D. 6 9.(21-22高二上河北唐山期中)已知直线1经过两点P(1,2),Q(4,3,那么直线1的斜率为() A.-3 c D.3 10.(16-17高一·全国·课后作业)若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为() A.3 B.-V5 c.3 3 D.3 3 11.(20-21高二上北京丰台期末)已知A2,V3、B1,0),则直线AB的倾斜角为() A. B D.5n 6 目目 考点02 直线与直线的位置关系 12.(20-21高二上北京丰台期末)过点1,2)且与直线x+2y-9=0平行的直线方程是（) A.2x-y=0 B.2x-y-3=0 C.x+2y-5=0 D.x+2y-4=0 2/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(24-25高二上北京东城期末)己知直线1：2x+3y+1=0,12:ax+2y-2=0,若4⊥l2,则实数a的 值为() A.3 B. 3 C.-3 14.(22-23高二上·北京怀柔期末)若直线2x+y-1=0与直线x-my=0垂直，则m=() A.-2 1 B.2 C.2 D. 15.(23-24高二上北京昌平期末)己知直线4：x-y+1=0,4:x-by-2=0,则=-1”是“41，的() b A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条 件 16.(24-25高二上·北京·期末)点P3,0)关于直线：2x-y-1=0的对称点0的坐标是() A.(-2,-3) B.(-1,2) C.(-1,-3) D.(1,0) 17.(23-24高二上·北京石景山期末)已知直线l:x+3y-7=0,直线2：c-y-2=0.若4⊥12，则实数 k=() A.-3 c D.3 18.(22-23高二上北京西城期末)己知直线1过点A(-3,1),且与直线x-2y+3=0垂直，则直线1的一般 式方程为() A.2x+y+3=0B.2x+y+5=0 C.2x+y-1=0 D.2x+y-2=0 19.(24-25高二上北京平谷期末)经过点P(1,0),且与直线1：y=2x-1平行的直线方程是 20.(24-25高二上北京西城期末)已知直线a-y-3=0与2x+y=0垂直，那么a=一 21.(24-25高二上·北京昌平.期末)已知直线1：2x+my-3=0与直线l:x-y+1=0垂直，则实数m的值 为」 22.(23-24高二上北京平谷期末)己知直线4：ax+y+2=0和直线2：2x+(a+1)y-3=0平行，那么 a= 23.(23-24高二上·北京西城期末)过点A(2,-3)且与直线x+y+3=0平行的直线方程为】 24.(23-24高二上北京大兴期末)经过原点(0,0)且与直线3x+4y+5=0垂直的直线方程为 25.(9-10高二湖北黄冈期中)已知两直线1：x+8y+n=0和☑：2x+my-1=0, 3/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若1与交于点P(m,-1),求m,n的值： (2)若W儿2，试确定m,n需要满足的条件. 目目 考点03 直线方程与距离 26. (23-24高二上·北京西城期末)直线3x-4y+1=0不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 27.(23-24高二上·北京昌平期末)已知直线过点P(-1,1),且倾斜角是45°，则直线不经过() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 28.(23-24高二上山东青岛期中)直线y=2x+1关于x轴对称的直线方程为() A.y=2x-1 B.y=2x+1 C.y=-2x+1 D.y=-2x-1 29.(23-24高二上·北京大兴期末)两条平行直线x-y=0与x-y-1=0间的距离等于() A.② B.1 C.√2 D.2 2 30.(23-24高二上·北京石景山期末)直线l:2x-y+1=0与直线l2:2x-y-1=0之间的距离为」 31.(16-17高二上·北京海淀·期中)当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大值时，m的值 为」 32.(2020北京朝阳·二模)圆心在直线x-y=0上且与y轴相切于点(0,1)的圆的方程是() A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+I)2+(y+1)2=2 33.(24-25高二上北京东城期末)已知点A(x,y),B(x2,y2),直线1：ax+by+c=0,记点A到直线1的 距离为d,点B到直线1的距离为d,则“d,>d”是ax+y>ax+y”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 34.(23-24高二上·北京石景山期末)菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为A-4,7,C(6,-5),BC边所在 4/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 直线过点P(4,-1) (I)求BC,AD边所在直线的方程： (2)求对角线BD所在直线的方程. 35.(24-25高二上北京昌平.期末)己知ABC的三个顶点的坐标分别为A-1,2),B(3,-2),C(1,4). (I)设D为AC的中点，求直线BD的方程； (2)求ABC的面积. 目目 考点04 圆的方程 36.(24-25高二上·北京昌平.期末)以A(2,3),B(4,9)为直径的两个端点的圆的方程为() A.(x-1)2+0y-3)2=√10 B.(x-3)2+0y-6)2=10 C.(x-1)2+(y-3)2=10 D.(x-3)2+(y-6)2=10 37.(20-21高二上·北京海淀·期末)已知0为原点，点A(2,-2),以OA为直径的圆的方程为() A.(x-1)+(y+1)2=2 B.（x-1)2+y+12=8 C.(x+12+(y-1)2=2 D.(x+12+(y-12=8 38.(20-21高二上·内蒙古赤峰·月考)圆心为(-1,2)且过原点的圆的方程是() A.(x-1)2+(y-2)2=5 B.(x+1)2+y-22=5 C.(x+1)+(y+22=5 D.(x-1)2+(y+2)2=5 39.（24-25高二上北京昌平.期末)“a>1”是“坐标原点在圆x2+y2-ay+a-1=0的外部的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 40.(23-24高二上北京朝阳期末)AB是圆C,:(x-2)2+(y-m)2=4上两点，AB=2√3，若在圆 C,:(x-2)2+(y+1)2=9上存在点P恰为线段AB的中点，则实数m的取值范围为() A.[-5-3[1,3] B.[-4,-22,4]C.[1,3]D.【-5,3 41.(24-25高二上·北京东城期末)在平面直角坐标系中，直线y=c+mk≠0)与x轴和y轴分别交于 5/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A,B两点，AB=2√2，若CA1CB,则当k,m变化时，点C到点(2,2)的距离的最大值为」 42.(23-24高二上·北京期末)已知点B(2,0)和点C(2,4),直角ABC以BC为斜边，求直角顶点A的轨 迹方程 43.(20-21高二上北京丰台期末)己知圆(x+3)2+0y-1)2=r2(r>0)与x轴相切，则r= 44.（23-24高二上北京石景山期末)己知圆x2+y2+2x-ay-4=0的半径为3，则a的值为 45. (23-24高二上·北京东城期末)已知圆x2+2x+y2-4y+4=0,则圆心坐标为 ；半径 为」 46.(24-25高二上北京东城期末)已知圆C:x2+y2+4y+4-a=0(a>0)与x轴相切. (I)求圆C的圆心坐标及半径： (2)直线I:2x+y-2=0与圆C交于A,B两点，求线段AB的长. 47.（23-24高二上北京西城期末)已知⊙C经过点A1,3)和B(5,1,且圆心C在直线x-y+1=0上 (1)求0C的方程； (2)设动直线I与⊙C相切于点M,点N(8,0)若点P在直线l上，且PM=PN,求动点P的轨迹方程 48.(24-25高二上北京期末)已知圆C:x2+y2+4x-12y+24=0,过点M(4,0)作斜率为1的直线1交 圆C于A,B两点. (1)写出圆C的标准方程，圆心坐标和半径； (2)求线段AB的中垂线方程； (3)求AB. 目目 考点05 直线与圆的位置关系 49. (24-25高二上·北京·期末)已知直线1：x+y+a=0与圆0：x2+y2=4相交于A,B两点.若圆0上存在 一点P,使得四边形OAPB为菱形，则实数a的值是() A. B.1 C. D.±2 2 50.(24-25高二上北京平谷期末)已知圆(x-2)+(y+1)=9,直线x+y+m=0,若圆上至少有3个点 到直线的距离为2，则m可以是() A.3 B.-3 C.2 D.-2 51.(24-25高二上·北京东城期末)在平面直角坐标系中，圆C截x轴所得弦长为1，截y轴所得弦长为2， 6/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则这样的圆C的面积() A.有最大值，有最小值 B.有最大值，无最小值 C.无最大值，有最小值 D.无最大值，无最小值 52.(23-24高二上·北京平谷期末)已知曲线x2+y2-ax-3=0关于直线x+y-1=0对称，若直线 y=k(x+)被曲线截得的弦长为2√3，则k=一 53.(17-18高二上北京期中)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a的值 为 54.(23-24高二上，北京平谷·期末)己知圆C:x2+y2-2x+4y+2=0内有一点P(2,-1),经过点P的直线1 与圆C交于A,B两点，当弦AB恰被点P平分时，直线1的方程为 55.（20-21高二上北京丰台期末)已知直线x-y+2=0与圆x2+y2=3交于A,B两点，则 IAB= 56.(22-23高二上·北京西城期末)已知圆C:(x-1)2+(y+1)2=4,若直线y=x+1与圆C相交得到的弦 长为2√5，则k= 57.(24-25高二上北京期末)若直线1：x+y+m=0与圆O:x2+y2=1交于A,B两点，0A.0B≥0， 则实数m的取值范围是 58.（23-24高二上·北京昌平.期末)已知圆C的圆心为2,3)，且过坐标原点 (1)求圆C的方程； (2)若过点(0,2)的直线1与圆C相交于M,N两点，且MN=6,求直线1的方程. 59.(24-25高二上北京昌平.期末)已知圆C:(x-1)2+0y-3)2=5 (1)过点A(2,-1)的直线I与圆C交于M,N两点，当MW=4时，求直线1的方程： (2)判断直线mx-y+1-m=0与圆C的位置关系，并说明理由 60.(24-25高二上·北京平谷·期末)已知直线1：x+√5y-1=0与圆C:x2+y2-2x+4y-1=0相交于A、B两 点 (I)求线段AB的长： (2)求线段AB的垂直平分线方程. 7/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 61.(23-24高二上·四川成都期末)己知A(2,4),B(-1,1),0为坐标原点，圆C为A0B的外接圆 (1)求圆C的标准方程； (2)过原点的直线1被圆C截得的弦长为3√2，求直线1的方程， 62.(16-17高三上河北沧州月考)己知圆C经过点A(2,0),与直线x+y=2相切，且圆心C在直线 2x+y-1=0上 (1)求圆C的方程： (2)已知直线1经过点(0,1)，并且被圆C截得的弦长为2，求直线1的方程 考点06 圆的切线 63. (21-22高一上陕西渭南期末)若直线3x+4y+m=0与圆(x-12+(y-1)=1相切，则m的值是() A.-2或12 B.2或-12 C.-2或-12 D.2或12 64.(23-24高二上北京石景山期末)P为直线y=c-2上一点，过P总能作圆x2+y2=1的切线，则k的 最小值() A.5 B.3 C.-3 D.-5 3 65.(23-24高二上·北京东城期末)在平面直角坐标系中，M,N分别是x,y轴正半轴上的动点，若以 MN为直径的圆与直线3x+4y-10=0相切，则该圆半径的最小值为() A.方 B.1 D.2 66. (23-24高二上·北京昌平.期末)已知圆D:x2+y2+6x-8y+9=0,则圆D的半径为；与圆D 和圆x2+y2=1都相切的直线的方程为 (只需写出一条直线的方程) 67.(21-22高三上·浙江·开学考试)已知直线l:x-y+3=0,2:2x+y=0相交于点A,则点A的坐标 为」 圆C:x2+y2-2x+4y+1=0,过点A作圆C的切线，则切线方程为 68.(24-25高二上北京·期末)己知圆C的圆心为C(3,0),且过点A1,√5)，直线1的方程为y=x-2. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线1与圆C相切，求k的值； (3)若O为坐标原点，点P满足PO=2PC,且点P在直线1上，求k的取值范围. 8/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点07 圆与圆的位置关系 69. (20-21高二上北京丰台期末)己知圆C:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+7=0,则圆CG与圆C,的位 置关系是() A.相离 B.相交 C.内切 D.外切 70.（23-24高二上北京大兴期末)圆C:x2+y2=2与圆C2:(x-2)2+(y-2)2=2的位置关系是() A.相交 B.相离 C.内切 D.外切 71.(24-25高二上·北京·期末)圆(x-3)2+(y+2)2=1与圆(x-7)2+(y-1)2=16的位置关系是() A.相交 B.内切 C.外切 D,内含 72.（23-24高二上·四川成都期末)圆(x-3)2+(y+2)2=1与圆(x-7)2+(y-1)2=16的位置关系是() A.相交 B.内切 C.外切 D.内含 73. (24-25高二上北京·期末)已知圆x2+y2=r2和圆(x-5)2+y2=9相交于A,B两点，则半径r可以 是 (写出一个符合题目要求的取值即可) 目目 考点08 圆的最值问题 74.（23-24高二上·北京大兴期末)过点1,0)且被圆x2+(y+2)2=1截得的弦长最大的直线方程为() A.2x+y-2=0 B.2x-y-2=0 C.x+2y-1=0 D.x-2y-1=0 75.（24-25高二上·北京西城期末)在平面直角坐标系中，己知点A(-2,0),B(-2,2),若点P为圆 C:x2+y2=1上的动点，则1AB+AP1的最大值为() A.3 B.3 C.5 D.2V2+1 76.(23-24高二上·北京海淀·期末)已知直线：mx+y=0恒过定点A,直线l2:x-my-2=0恒过定点B, 且直线与马交于点P,则点P到点(0,2√2)的距离的最大值为() A.4 B.2W5 C.3 D.2 77.(23-24高二上·北京西城期末)己知直线：x=my-2,P为圆C:x2+y2-4x=0上一动点，则点P到 直线的距离的最大值为() A.3 B.4 C.5 D.6 9/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 78.(2014高三·全国.专题练习)在平面直角坐标系x0y中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线 y=x+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是() A手 B D. 79.(23-24高二上·北京平谷期末)己知半径为1的圆经过点A(2,3),过点M(-2,0)向圆作切线，则切线 长的最大值为() A.√35 B.26 C.5 D.4V5 80.(24-25高二上·北京期末)已知直线4,2的斜率分别为k,k2,倾斜角分别为01，a2,则 “cosa1-a2)≤0”是“kk2≤0”的(） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 81.(24-25高二上北京·期末)在平面直角坐标系中，已知点A(2,0),B(0,2),圆C:(x-a2+y2=1,若 圆C上存在点M,使得MA+MBP=12,则实数a的取值范围为() A.[1-2,1+25] B.[1-2V2,1+221 c.[1,1+22] D.[1-2,1+2 82.（23-24高二上·北京西城期末)在直角坐标系x0y内，圆C:(x-2)2+(y-2)2=1,若直线 :x+y+m=0绕原点0顺时针旋转90°后与圆C存在公共点，则实数n的取值范围是() A.[-2,N5] B.[-4-V2,-4+V2 C.[-2-2,-2+2 D.[-2+2,2+V2] 83.(23-24商=上北京期末)已知4小、8为满足：+=1，对+-1,5+=片 则代数式3x1-4y+3x2-4y2的取值范围是 84.(24-25高二上·北京平谷期末)生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、 和谐、简洁美曲线C:4-x=√4-y2.下面是关于曲线C的四个结论： ①曲线C关于原点中心对称； 10/11 专题02 直线与圆（八大题型+好题推送） 8大高频考点概览 考点01 直线倾斜角与斜率 考点02 直线与直线的位置关系 考点03 直线方程与距离 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆的位置关系 考点06 圆的切线 考点07 圆与圆的位置关系 考点08 圆的最值问题 地 城 考点01 直线倾斜角与斜率 1．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知直线l经过两点，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用经过两点的斜率公式与，即可求得结果. 【详解】直线l经过两点，所以， 又倾斜角的取值范围为，所以. 故选：D 2．（24-25高二上·北京·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到直线的斜率，即可得到倾斜角. 【详解】直线的斜率为，则倾斜角为. 故选：D. 3．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知直线，则直线的倾斜角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线方程化为斜截式，可得斜率，即可得到倾斜角的正切值. 【详解】直线方程化为斜截式， 则直线的斜率为， 因为直线的斜率等于倾斜角的正切值， 所以直线的倾斜角的正切值为. 故选：C. 4．（24-25高二上·天津·月考）若直线l的方向向量是 则直线l的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解 【详解】由直线l的方向向量是得直线的斜率为， 设直线的倾斜角是， 故选：C. 5．（24-25高二上·北京·期末）如图，在直角三角形中，，边所在直线的倾斜角为，则直线的斜率为 （    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直求得对应的斜率. 【详解】边所在直线的倾斜角为，则斜率为， ，即，故， 解得. 故选：A. 6．（24-25高二上·北京东城·期末）若直线l过，两点，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线上的两点坐标计算直线的斜率，即可得到直线的倾斜角. 【详解】由题意得，直线的斜率， ∴直线l的倾斜角为. 故选：A. 7．（21-22高三上·北京·月考）若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由倾斜角与斜率关系可得答案. 【详解】设的倾斜角为，则， 由，故. 故选：C. 8．（23-24高二上·北京平谷·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求直线的斜率，根据公式求倾斜角. 【详解】直线方程可化为，所以直线的斜率为：，即， 又，所以. 故选：C 9．（21-22高二上·河北唐山·期中）已知直线经过两点，那么直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率公式求得直线的斜率. 【详解】依题意，直线的斜率为. 故选：C 10．（16-17高一·全国·课后作业）若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，故选A. 11．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知、，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线的倾斜角为，利用直线的斜率公式求出直线的斜率，进而可得出直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，由斜率公式可得， ，因此，. 故选：B. 地 城 考点02 直线与直线的位置关系 12．（20-21高二上·北京丰台·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】因为所求直线与直线平行，可设所求直线方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得. 因此，所求直线方程为. 故选：C. 【点睛】结论点睛：已知直线的一般方程为. （1）与直线平行的直线的方程可设为； （2）与直线垂直的直线的方程可设为. 13．（24-25高二上·北京东城·期末）已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直的公式计算可得结果. 【详解】∵， ∴，解得. 故选：C. 14．（22-23高二上·北京怀柔·期末）若直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用两直线垂直，斜率相乘为-1，列出方程求解即可. 【详解】∵直线与直线垂直， 故选：C 15．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，求得即或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】因为直线，， 所以当时，，即，即或， 所以“”能推出“”，“”不能推出“”， 所以“”是“”充分不必要条件， 故选：A. 16．（24-25高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可. 【详解】设对称点的坐标为则解得： 故选：B. 17．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知直线，直线.若，则实数（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】代入两直线垂直的公式，即可求解. 【详解】因为，所以，得. 故选：D 18．（22-23高二上·北京西城·期末）已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程 【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为， 因为直线过点，所以，得， 所以直线方程为， 故选：B. 19．（24-25高二上·北京平谷·期末）经过点，且与直线平行的直线方程是 . 【答案】 【分析】利用所求直线与直线平行，可设其方程，代入点，计算即得. 【详解】因所求直线与直线平行，故可设为， 代入点，解得， 故所求的直线方程为：. 故答案为：. 20．（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线与垂直，那么 . 【答案】 【分析】由斜率乘积为，即可求解； 【详解】的斜率为， 因为与垂直， 所以的斜率为， 所以， 故答案为：. 21．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为 . 【答案】2 【分析】根据两直线的位置关系计算即可求解. 【详解】当时，，此时不成立； 故，若，则，解得. 综上，. 故答案为：2 22．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知直线和直线平行，那么 . 【答案】或 【分析】利用两直线平行的斜率关系即可求得或. 【详解】易知直线的斜率一定存在，且为， 由两直线平行可得，解得或； 经检验或都符合题意； 故答案为：或 23．（23-24高二上·北京西城·期末）过点且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据平行得出斜率，利用过点即可得出直线方程. 【详解】由题意， 与直线平行的直线的斜率为， 直线过点， ∴过点且与直线平行的直线方程为：， 即：. 故答案为：. 24．（23-24高二上·北京大兴·期末）经过原点且与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】与直线垂直的直线方程可设为：，再将代入即可得出答案. 【详解】与直线垂直的直线方程可设为：， 又因为经过原点，所以. 所求方程为 故答案为：. 25．（9-10高二·湖北黄冈·期中）已知两直线：和：， (1)若与交于点，求的值； (2)若，试确定需要满足的条件． 【答案】(1) (2)当或时， 【分析】（1）将点代入则得到方程，解出即可； （2）根据平行列出方程，解出，再排除重合的情况即可. 【详解】（1）将点代入两直线方程得：和， 解得. （2）由得：， 又两直线不能重合，所以有，对应得， 所以当或时，． 地 城 考点03 直线方程与距离 26．（23-24高二上·北京西城·期末）直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】将直线方程化为斜截式，根据直线的斜率和截距分析判断. 【详解】由直线，即， 可知斜率，纵截距为， 所以直线不经过第四象限. 故选：D. 27．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知直线过点，且倾斜角是，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据题意，求出直线方程，画出图象，结合图象得到答案. 【详解】直线过点，且倾斜角是， 所以直线斜率， 所以直线方程为，即， 画出直线图象为 结合图象可知，直线不过第四象限， 故选：D. 28．（23-24高二上·山东青岛·期中）直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线斜率之间的关系，以及所求直线过已知直线与x轴交于点可得. 【详解】直线的斜率为2，与x轴交于点， 则与关于x轴对称的直线斜率为，并过点， 所以，所求方程为，即. 故选：D 29．（23-24高二上·北京大兴·期末）两条平行直线与间的距离等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】直接利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】两条平行直线与， 由两平行线间的距离公式可知，所求距离为． 故选：A． 30．（23-24高二上·北京石景山·期末）直线与直线之间的距离为 . 【答案】 【分析】代入平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】直线， 则与之间的距离. 故答案为： 31．（16-17高二上·北京海淀·期中）当点到直线的距离最大值时，的值为 ． 【答案】 【详解】直线可化为， 由点斜式方程可知直线恒过定点，且斜率为， 结合图象可知当与直线垂直时，点到直线距离最大， 此时，， 解得：． 32．（2020·北京朝阳·二模）圆心在直线上且与y轴相切于点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据圆的标准方程得到圆心坐标，代入直线方程验证是否满足，再把点代入所给的选项验证是否满足，逐一排除可得答案. 【详解】A. 圆心为，满足，即圆心在直线， 代入，即成立，正确； B. 圆心，满足，即圆心在直线， 代入，错误； C. 圆心，满足，即圆心在直线， 代入，错误； D. 圆心，满足，即圆心在直线， 代入，错误. 故选：A. 【点睛】本题考查圆的标准方程，圆与直线的位置关系，属于基础题. 33．（24-25高二上·北京东城·期末）已知点，，直线，记点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式表示，通过举反例可确定答案. 【详解】由题意得，. 由得，， 令，则， 满足，但，故充分性不成立； 令，满足， 但，，，故必要性不成立. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 34．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 【答案】(1)BC所在直线方程为，AD所在直线方程为 (2) 【分析】（1）求出，由点斜式求出直线方程； （2）求出的中点坐标，再根据垂直关系得到，利用点斜式写出直线方程，得到答案. 【详解】（1）由菱形的性质可知，则. 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. （2）线段的中点为， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. 35．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)设为的中点，求直线的方程； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先确定中点的坐标，根据两点确定直线的斜率，利用直线方程的点斜式写出直线方程. （2）法一：确定直线的方程及，利用点到直线的距离求三角形的高，再求三角形面积； 法二：通过判断直线与的关系，可得为直角三角形，利用直角三角形的面积的计算方法求三角形面积. 法三：利用行列式的方法求三角形面积. 【详解】（1）的中点的坐标为.  所以直线的斜率.               所以直线的方程为，即. （2） 法一： 因为,所以直线的方程为，即.    所以点到直线的距离.    因为，                       所以.                 法二： 因为，，                所以. 所以.                                             因为， ，                     所以. 法三：由题意：. 地 城 考点04 圆的方程 36．（24-25高二上·北京昌平·期末）以，为直径的两个端点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可． 【详解】易知该圆圆心为的中点，半径， 所以该圆方程为：． 故选：D． 37．（20-21高二上·北京海淀·期末）已知为原点，点，以为直径的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒ 【详解】由题知圆心为，半径， ∴圆的方程为﹒ 故选：A﹒ 38．（20-21高二上·内蒙古赤峰·月考）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据条件求出半径即可. 【详解】因为圆心为且过原点，所以 所以圆的方程是 故选：B 39．（24-25高二上·北京昌平·期末）“”是“坐标原点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由“坐标原点在圆的外部”得且，进而可得. 【详解】由坐标原点在圆的外部可得，即且， 故“”是“且”的必要不充分条件， 故选：B 40．（23-24高二上·北京朝阳·期末）是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得弦中点P到圆心的距离，则点在以为圆心，1为半径的圆上，又在圆上存在点，则可转化为两圆有公共点问题求解即可. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由是弦的中点，且，则， 所以， 故点在以为圆心， 以为半径的圆上. 又在圆上存在点恰为线段的中点，， 则两圆有公共点，可得， 即，解得或. 则实数的取值范围为， 故选：A. 41．（24-25高二上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于两点，，若，则当变化时，点到点的距离的最大值为 . 【答案】 【分析】先求得两点坐标，根据得到，再结合可得到轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案. 【详解】由，得， 由，得， 由，得， 设，则， 即， 因此点的轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为，即有， 则代入，整理得：， 即轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外）， 则， 当且仅当点为射线与圆的交点，点为射线与圆的交点时等号成立， 又， 所以点到点的距离的最大值为. 故答案为：. 42．（23-24高二上·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 【答案】 【分析】根据圆的定义可以求解，或直接设，由求解. 【详解】方法一：设点， ，，，， 由题意可知：， ，， 整理得：， 三点不共线， ，，应去除. 直角顶点的轨迹方程为：. 方法二：设BC中点为，则，即A在以D为圆心， 为半径的圆上(不能和B、C重合)， 故A的轨迹方程为. 43．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知圆与轴相切，则 . 【答案】 【解析】根据圆的方程可得圆心坐标，要使圆与轴相切，则需要使半径等于圆心到轴的距离，即纵坐标的绝对值. 【详解】解：由题可知圆心坐标为：， 要使圆与轴相切，则需要使半径等于圆心到轴的距离， 即时，圆与轴相切， 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查圆的方程和位置，考查运算求解能力，属于基础题型；解题方法是求出圆心坐标，然后令半径等于纵坐标的绝对值；解题的关键是圆心坐标的求解. 44．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知圆的半径为3，则的值为 . 【答案】 【分析】首先将圆的一般方程，写成标准方程，再利用半径为3，即可求解. 【详解】圆的一般方程写成标准方程为， 由圆的半径为可知，，得. 故答案为： 45．（23-24高二上·北京东城·期末）已知圆，则圆心坐标为 ；半径为 . 【答案】 1 【分析】将圆的方程化简为标准方程，即可求圆心和半径. 【详解】将圆的一般方程，化简为圆的标准方程为 ， 即圆的圆心为，半径为1. 故答案为：； 46．（24-25高二上·北京东城·期末）已知圆与x轴相切． (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)直线与圆C交于A，B两点，求线段的长． 【答案】(1)圆心坐标为，半径长为2 (2) 【分析】（1）首先化为圆的标准方程，再根据半径与圆心坐标的关系，即可求解； （2）首先计算圆心到直线的距离，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】（1）配方得， 由此可得圆心坐标为． 因为圆C与x轴相切， 所以圆心到x轴的距离为． 所以半径长为2． （2）因为直线与圆C交于A，B两点， 所以圆心C到直线l的距离为． 由（Ⅰ）可知， 所以． 47．（23-24高二上·北京西城·期末）已知经过点和，且圆心在直线上. (1)求的方程； (2)设动直线与相切于点，点.若点在直线上，且，求动点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心坐标和半径后可得圆标准方程； （2）由圆的切线，得，所以，化简可得动点的轨迹方程. 【详解】（1）由题意，设的圆心，半径为， 则 解得： 所以的方程为. （2）由平面几何，知为直角三角形，且， 所以. 由，得. 设，则. 即，经检验符合题意. 所以动点的轨迹方程为. 48．（24-25高二上·北京·期末）已知圆，过点作斜率为1的直线交圆于，两点． (1)写出圆的标准方程，圆心坐标和半径； (2)求线段AB的中垂线方程； (3)求． 【答案】(1)标准方程为，圆心为，半径； (2) (3)． 【分析】（1）化圆的方程为标准形式，再写出圆心坐标及半径. （2）由圆的性质，结合直线的点斜式方程求出线段AB的中垂线方程. （3）利用圆的弦长公式，结合点到直线距离求解. 【详解】（1）圆C的标准方程为，圆心为，半径. （2）由直线的斜率为1，得线段AB的中垂线m的斜率为， 又m过圆心，则m方程为， 所以线段AB的中垂线方程为. （3）直线的方程为， 圆心到直线的距离为：， 所以. 地 城 考点05 直线与圆的位置关系 49．（24-25高二上·北京·期末）已知直线与圆相交于两点．若圆上存在一点，使得四边形为菱形，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形为菱形，得到到的距离等于1，由点到线的距离公式列出等式求解即可； 【详解】    因为圆上存在一点，使得四边形为菱形， 所以到的距离等于, 即， 解得：， 故选：C. 50．（24-25高二上·北京平谷·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则可以是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意，只需使圆心到直线的距离，解得的范围，根据选项逐一判断即得. 【详解】由圆方程可得圆心坐标为， 依题意需使点到直线的距离，解得. 故选：D. 51．（24-25高二上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，圆C截x轴所得弦长为1，截y轴所得弦长为2，则这样的圆C的面积（   ） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】C 【分析】设，根据半径相等建立等量关系可得，则圆C半径为，根据范围可得结果. 【详解】 如图，圆C与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于两点（点在点的上方）， 设，则线段中点坐标为，线段中点坐标为 ∵，∴， 由得，， 整理得，即， 由得，， ∴圆的半径，即圆的半径无最大值，有最小值1， ∴圆C的面积无最大值，有最小值. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用半径相等分析出圆心横、纵坐标之间的关系，结合范围即可得到答案. 52．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知曲线关于直线对称，若直线被曲线截得的弦长为，则 . 【答案】 【分析】曲线方程化为桂圆的标准方程后得出圆心坐标，代入对称直线方程得值，由弦长得出圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式可求得． 【详解】曲线的标准方程是，它表示圆，圆心坐标为， 由题意，解得，即圆心为，半径为， 直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离为， 所以，解得． 故答案为：． 53．（17-18高二上·北京·期中）圆的圆心到直线的距离为1，则的值为 【答案】 【解析】由已知圆的方程求出圆心坐标，代入点到直线距离公式，即可求得值． 【详解】解：圆的圆心坐标为：， 故圆心到直线的距离， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，属于基础题． 54．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知圆内有一点，经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为 . 【答案】 【分析】求得圆心坐标为，易知，利用斜率之间的关系可得，即可求得直线的方程. 【详解】易知可表示为， 可知圆的圆心坐标为，半径为，如下图所示： 根据题意由圆的性质可知，易知，所以； 由直线的点斜式方程可得直线的方程为，即. 故答案为： 55．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知直线与圆交于，两点，则 . 【答案】 【解析】算出圆心到直线的距离后利用垂径定理可求弦长. 【详解】圆心到直线的距离为，故， 故答案为：2. 56．（22-23高二上·北京西城·期末）已知圆，若直线与圆C相交得到的弦长为，则 ． 【答案】/-0.75 【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式和几何法求出圆的弦长，列出关于k的方程，解之即可. 【详解】由圆，得圆心，半径， 则圆心到直线即的距离为 ，所以， 有，解得. 故答案为：. 57．（24-25高二上·北京·期末）若直线l：与圆O：交于A，B两点，，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义确定范围，进而求出点到直线的距离的范围，再借助点到直线距离公式列式求出范围. 【详解】由，得，而， 则，圆心到直线的距离， 又直线交圆于两点，则，因此，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 58．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知圆的圆心为，且过坐标原点. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依题意，设出圆的方程，代入原点，即可得圆的方程； （2）根据斜率有无分别设出直线方程，根据，求出直线方程即可. 【详解】（1）设圆的方程为, 依题意，，   所以圆的方程为. （2） 设圆心到直线的距离为， 由， ，解得. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，满足条件； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即. 可得，解得 ， 此时，直线的方程为. 所以直线的方程为或. 59．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知圆. (1)过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程； (2)判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)或. (2)直线与圆相交，理由见解析 【分析】（1）易知直线符合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程，利用点线距公式和几何法求弦长建立关于的方程，解之即可求解； （2）法一：求出直线恒过定点，将定点代入圆的方程，结合点与圆的位置关系即可下结论； 法二：利用点线距公式，结合直线与圆的位置关系计算即可下结论. 【详解】（1）由圆可得，圆心，半径. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为. 圆心到直线的距离为， 此时，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即. 圆心到直线的距离为. 因为，所以.所以. 解得.所以直线的方程为，即. 综上，所求直线的方程为或. （2）法一： 因为直线过定点， 又因为， 所以点在圆内. 所以直线与圆相交. 法二： 圆心到直线的距离， 因为，所以. 所以. 所以直线与圆相交. 60．（24-25高二上·北京平谷·期末）已知直线与圆相交于、两点. (1)求线段的长； (2)求线段的垂直平分线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后根据弦长公式求出线段AB的长.（2）线段AB的垂直平分线一定过圆心且与直线AB垂直，先求出直线AB的斜率，进而得到垂直平分线的斜率，再利用点斜式求出垂直平分线方程. 【详解】（1）圆，配方可得，所以圆心，半径. 求圆心C到直线的距离： 根据点到直线的距离公式,. 根据弦长公式，把，代入可得. （2）直线，可化为，其斜率. 求线段AB垂直平分线的斜率： 因为垂直的两条直线斜率乘积为，所以线段AB垂直平分线的斜率. 线段AB的垂直平分线过圆心，由点斜式（为直线上一点，为直线斜率）可得垂直平分线方程为，即. 61．（23-24高二上·四川成都·期末）已知为坐标原点，圆为的外接圆. (1)求圆的标准方程； (2)过原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法，设出圆的一般方程，带入已知点，建立方程组，可得答案； （2）由（1）可得圆心与半径，利用圆的弦长公式，结合分类讨论，可得答案. 【详解】（1）设的外接圆的方程为. 均在圆上， 解得，所以圆的方程为. 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知圆心，半径为，因为直线被圆截得的弦长为， 所以点到直线的距离为. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 则，两边同时平方得，解得或. 当直线的斜率不存在时，不满足条件. 所以直线的方程为或. 62．（16-17高三上·河北沧州·月考）已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上. (1)求圆C的方程； (2)已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程. 【答案】(1)（x﹣1）2+（y+1）2＝2 (2)x＝0或3x+4y﹣4＝0 【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可. （2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论. 【详解】（1）因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）. 则点C到直线x+y＝2的距离d. 据题意，d＝|AC|，则， 解得a＝1. 所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d， 则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2. （2）k不存在时，x＝0符合题意； k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0，圆心到直线的距离1，∴k， ∴直线方程为3x+4y﹣4＝0. 综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0. 地 城 考点06 圆的切线 63．（21-22高一上·陕西渭南·期末）若直线与圆相切，则的值是（    ） A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12 【答案】C 【分析】解方程即得解. 【详解】解：由题得圆的圆心坐标为半径为1， 所以或. 故选：C 64．（23-24高二上·北京石景山·期末）为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到直线与圆相切或相离，结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由题意，点为直线上一点，过总能作圆的切线， 可得直线与圆相切或相离， 则满足圆心到直线的距离，解得，即， 所以的最小值为. 故选：D. 65．（23-24高二上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】首先确定以为直径的圆过原点，则以原点到直线的距离为直径的圆的半径最小，利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为是直径，， 所以原点在圆上， 过作垂直直线，垂足为点， 因为圆与直线相切， 所以要使圆的半径最小，此时为圆的直径， 点到直线的距离 所以圆的半径的最小值为1. 故选：B 66．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知圆，则圆的半径为 ；与圆和圆都相切的直线的方程为 .（只需写出一条直线的方程） 【答案】 （答案不唯一，或亦可） 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可得圆心；设出两圆的公切线方程，注意讨论斜率是否存在，由切线的性质列式计算即可得公切线方程. 【详解】由，即， 故圆的半径为，圆心坐标为， 设直线与圆和圆都相切， 若直线斜率不存在，设直线为， 需有，解得，故符合要求； 若直线斜率存在，设直线为，即， 需有，两式相除得， 故或， 化简得或， 由可得， 故有或， 化简得或， 即或， 则或， 故该直线为或， 即或， 综上所述，与圆和圆都相切的直线的方程有： 、、. 故答案为：；（答案不唯一，或亦可） 67．（21-22高三上·浙江·开学考试）已知直线，相交于点，则点的坐标为 ，圆，过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】 或 【分析】第一空 两直线方程联立得方程组的解即为交点坐标，第二空 利用圆心到切线的距离等于半径可得关于k的方程.解得k值。设直线方程时注意斜率存在和不存在两种情况。 【详解】联立，得. 若切线斜率存在，则设切线方程为， ∴， ∴，∴； 若斜率不存在，则切线方程为. 综上，切线方程为或. 故答案为：，或. 68．（24-25高二上·北京·期末）已知圆的圆心为，且过点，直线的方程为． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相切，求的值； (3)若为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据半径求出圆的半径，即可求出圆的方程； （2）根据圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可； （3）设，根据求出点的轨迹方程，依题意直线与圆有公共点，利用圆心到直线的距离不大于半径得到不等式，解得即可. 【详解】（1）因为圆的圆心为，且过点， 则圆的半径， 所以圆的标准方程为； （2）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得. （3）设，因为，即， 即，即点在以为圆心，为半径的圆上， 又点在直线上，即直线与圆有公共点， 所以，解得，即的取值范围为. 地 城 考点07 圆与圆的位置关系 69．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D 70．（23-24高二上·北京大兴·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】求出两个圆的圆心距即可判断得解. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 显然，所以圆与外切. 故选：D 71．（24-25高二上·北京·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 【答案】C 【分析】根据圆心距与半径的关系即可求解. 【详解】的圆心和半径为， 的圆心和半径为, 故两圆的圆心距离为, 故两圆为外切， 故选：C 72．（23-24高二上·四川成都·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 【答案】C 【分析】由两圆圆心距与半径和差的关系可得. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径； 则，则， 故两圆外切. 故选：C. 73．（24-25高二上·北京·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则半径r可以是 ．（写出一个符合题目要求的取值即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】由两圆相交位置关系列出关于r不等式即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为r， 因为圆和圆相交于A，B两点， 所以. 故答案为：3（答案不唯一） 地 城 考点08 圆的最值问题 74．（23-24高二上·北京大兴·期末）过点且被圆截得的弦长最大的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的性质可知所求直线即为过圆心的直线，结合直线的截距式方程求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为， 显然圆的最大弦长为直径，所求直线即为过圆心的直线， 可得直线方程为，即. 故选：B. 75．（24-25高二上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为圆上任意一点，利用向量的坐标运算得，进而利用的几何意义可求得的最大值. 【详解】设为圆上任意一点， 因为，，所以，， 所以，所以， 表示点到点的距离， 又的圆心到点的距离为， 又圆的半径为， 所以到点的距离的最大值为， 所以的最大值为. 故选：D. 76．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，则点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和 【详解】设 由直线，可得 由直线，可得， 因为直线与直线满足， 所以， 所以点P在以AB为直径的圆上，所以点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和， 由，，得AB中点为，半径为1， 所以点P到点的距离的最大值为， 故选：A    77．（23-24高二上·北京西城·期末）已知直线，为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，即可得圆心到直线的距离的最大值，加上半径即为点到直线的距离的最大值. 【详解】由，即， 即圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 故圆心到直线的距离的最大值为， 则点到直线的距离的最大值为. 故选：D. 78．（2014高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 化圆的方程为，求出圆心与半径，由题意，只需与直线有公共点即可． 【详解】 解：圆的方程为，整理得：，即圆是以为圆心，1为半径的圆； 又直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点， 只需圆与直线有公共点即可． 设圆心到直线的距离为， 则，即， ． 的最小值是． 故选：． 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“与直线有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题． 79．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得圆心的轨迹方程为圆，得到圆上到点的最大距离为，结合圆的切线长公式，即可求解. 【详解】设圆的圆心坐标为， 因为圆的半径为，且过点，可得， 即，即圆心的轨迹表示以为圆心，半径为1的圆， 可得，则圆上的点到点的最大距离为， 又由切线长公式，可得切线长的最大值为. 故选：A. 【好题推送】 80．（24-25高二上·北京·期末）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据余弦的差角公式，结合斜率的计算公式即可求解. 【详解】由题意可知，故， 若，则， 由于，故，则， 所以，故充分性成立， 若，结合， 取满足，但，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 81．（24-25高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的轨迹方程，利用两圆相交或相切的位置关系，即可求出的取值范围. 【详解】设，， ，即， 圆上存在点，使得， 所以两圆相交或相切， ，即， . 故选：B. 82．（23-24高二上·北京西城·期末）在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意首先得出旋转后的直线为，然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接，设（即以轴正方向为始边，为终边的角）， 由题意对于直线上任意一点，存在，使得， 则直线绕原点顺时针旋转后，点对应点为，即， 因为在直线上，所以满足 设，所以， 即所在直线方程为， 而圆的圆心，半径分别为， 若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：A. 【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线，从而即可顺利得解. 83．（23-24高二上·北京·期末）已知、满足：，，，则代数式的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知，、在圆上，且，记，，对、与直线的位置关系进行分类讨论，引入参数表示、，利用三角恒等变换结合三角函数的有界性可求得的取值范围. 【详解】设、，，，， 故、在圆上， 且，其中为坐标原点， 因为，则， 因为，则是腰长为的等腰三角形，且， （1）当点、在直线的同侧时， 设直线交圆于、两点，如下图所示：    记，，记，则，其中， 则，， 所以， ， 因为，则，所以，， 则； （2）当点、在直线的异侧时， 设直线交圆于、两点，如下图所示：    记，，记，则，其中， 则，， 所以， ， 因为，则，则， 则； （3）当点、中有一点在直线上时，    则. 综上所述，代数式的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义： （1）：表示点与点连线的斜率； （2）：表示点到点的距离； （3）：表示点到直线的距离的倍. 84．（24-25高二上·北京平谷·期末）生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美曲线.下面是关于曲线的四个结论： ①曲线关于原点中心对称； ②曲线上点的横坐标取值范围是 ③曲线上任一点到坐标原点的最小距离为； ④若直线与曲线无交点，则实数的取值范围是 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】利用曲线的对称性可判断①；由可解出的取值范围，可判断②；利用二次函数的基本性质可求出曲线上任一点到坐标原点的距离的取值范围，可判断③；作出曲线的图象，数形结合可判断④. 【详解】对于①，在曲线上任取一点，则点关于原点的对称点为， 因为，即点在曲线上， 所以，曲线关于原点对称，①对； 对于②，由可得，解得或， 所以，曲线上点的横坐标取值范围是，②错； 对于③，在曲线在曲线上任取一点， 则，可得，则， 所以，，故， 所以，曲线上任一点到坐标原点的最小距离为，③对； 对于④，在曲线上任取一点，则点关于轴的对称点为， 因为，即点在曲线上， 所以，曲线关于轴对称，同理可知，曲线也关于轴对称， 当，时，曲线的方程可化为， 化简得，此时，，作出曲线的图象如下图所示： 考查当直线与圆相切，且圆的圆心为，半径为， 则，解得， 由对称性结合图形可知，若直线与曲线无交点，则实数的取值范围是，④对. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键点在于利用曲线的对称性，化简曲线方程，再结合对称性作出图形，数形结合来求解. 85．（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1)作图见解析 (2)不会有触礁危险，理由见解析 【分析】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【详解】（1） （2）以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 86．（24-25高二上·北京西城·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若圆与直线交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若在圆C上存在点，使四边形为平行四边形，其中为坐标原点，求的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先设圆心坐标，再根据两点间距离计算求参，即可得出圆的方程； （2）（ⅰ）根据圆心到直线的距离小于半径得出范围；（ⅱ）根据平行四边形结合已知得出菱形，再应用点到直线距离为1得出参数. 【详解】（1）根据圆心在直线上，设圆心.                   因为圆经过，所以，                                          所以，解得.                                                所以圆心，所以圆的方程为. （2）（ⅰ）由题意，，所以， 即，所以的取值范围是.                             （ⅱ）因为四边形为平行四边形，又因为，所以为菱形.                                    因为，所以点到直线的距离，                   所以，符合题意. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $