专题03 圆锥曲线（三大题型+好题推送)（期末真题汇编 ，北京专用）高二数学上学期人教B版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03圆锥曲线（三大题型+好题推送） ☆3大高频考点概览 考点01双曲线 考点02抛物线 考点03椭圆 目目 考点01 双曲线 1. (2425高二上北京西城期末)双曲线xy =1的离心率为() 169 A,3 B. 4 3 D.6 2. (23-24高二上北京东嫩期木)双曲线号-y=1的落近线方程为(） A.少=t -x B.y=±V3x 3 C D.y=±2x 3.(2425高二上北京期末)已知双曲线C:-若-1的右货点为F2,0,则双曲线C的商近统方程为 () A.y= B.y=v3x D.y=±3x 3 4. 2425商二上北京期未)双曲线背-°=1的离心率为（) A.3 B.6 c.25 3 D.5 5.(23-24高二上·北京平谷期末)已知双曲线C的焦点分别为F、E,FF=6,双曲线C上一点P满足 PF-PF=4,则双曲线C的离心率为() A.5 B. 3 C.2 D.5 2 6.(2324高二上北京大兴期末)双曲线父-二-1的渐近线方程为《) 42 A.y=tx B.y= 2 1 C.y=±V2x D.y=±5x 2 7.〔2425高二上北京期末)若方程上十，广=1表示双曲线，则实数m的取值范围为(） m-34-3m 1/22 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. B(传 8. (24-25高二上北京期末) 已知双自线号是=b>0的离心幸是2，则6：) A.12 B.2W5 C.5 D.3 9.(23-24高二上北京昌平期末)已知双曲线号 -少=(a>0)的实轴长为4，则双曲线的海近线方程为 () A.y=±5x B.y 2 C.y=2 3 D.y=±2x 10.(2425高二上北京期末)若双曲线父=1的焦距为4，则其渐近线方程为() m A.y 3 B.y=±5x C.y=+5 D.y=±V5x 11.(22-23高二上北京西城期末)已知双曲线x-y'=1的渐近线方程为y=±x,则实数m的值为() 1 m A B.4 C.-4 D. 12.(23.24高二上北京平谷期未)已知双曲线C:之+上=1，则它的渐近线方程为y=2x“是“它的离 m n 心率为5”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13.(24-25高二上·北京·期末)如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固 定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动.当竖屏上的孔隙形状是合适 的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具.若斜杆与圆盘所 成角的大小为60°，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为lcm,则合适孔隙的曲线线方程可能是() A.x2 2=(k>0) B.r2-上=kk>0) 3 C:x2k(>0 D.r背-k>0 2/22 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 14.(23-24高二上北京大兴期末)已知F,B,是双曲线C:x-二=1与椭圆C,的左、右公共焦点，A是 8 C,C2在第一象限内的公共点，若FF=FA,则C,的离心率是() B. 2-5 c 2-3 D. 15.（2425商二上北家期未)如图所示，R,5是双曲战C:若=10a>06>0的左、右焦点，过5的 直线与C的左、右两支分别交于A,B两点若AB:BF,:AF,=3:4:5,则双曲线的离心率为() F A.2 B.15 C.√3 D.5 16.(2013北京西城二模)若双曲线x2+上=1的离心率是2，则实数的值是() k B 1 A.-3 C.3 D.3 17.(23-24高二上北京期末)当实数元≠0时，方程-二=入表示的曲线都是双曲线，当元变化时，这 43 些双曲线的焦距、离心率、渐近线中始终不变的有()个 A.0 B.1 C.2 D.3 18.(23-24高二上·北京·期末)己知AB是平面内两点，且|AB=6,判断当P点满足下列哪个条件时其轨 迹不存在() A.|PA+PB=2024 B.|PA|-|PB=2024 C.|PA×|PB=2024 D.IPA|+|PB=2023 19.(23-24高二上北京海淀期末)已知双曲线C:x-广 =1的左右顶点分别为A,A,,右焦点为F,以 A,F为直径作圆，与双曲线C的右支交于两点P,Q.若线段PF的垂直平分线过A,则b2的数值为() A.3 B.4 C.8 D.9 20.(2425高二上北京大兴期末)已知双曲线+，广=1的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是() m-12-m A.（-0,1 B.(1,2 C.(1,+o) D.（2,+0】 3/22 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2引.《2324商二上北京西城期末)设48为双曲线后若君-a>心0>0的左右质点，M为双线 E上一点，且△AMB为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的一条渐近线方程是() A.y=x B.y=2x C.y=v2x D.y=3x 22.(20-21高一上北京海淀月考)已知椭圆C:+y=1和双曲线C,: 4 :m广=1(m>0)的离心率之积为 1,则双曲线C,的两条渐近线的倾斜角分别为() A云 B C.π5 6’6 D.,2x 3’3 23.(24-25高二上北京昌平期末)已知集合A={x,y)川y=V2+n,n≠0，对于实数m,集合 B={(x,y)川y=mx)且满足A∩B=O,则() A.m=±1 B.m=1 C.m∈(-1,1) D.m∈[-l,1] 24.(2425高二上北京平谷期末)已知圆锥曲线号+上-1的离心率为5，则实数m= 2 m 25.(2425高二上北京平谷期末)双曲线C:-上 =1的焦点到顶点的最小距离是 45 26.(24-25高二上·北京·期末)若对Vm∈R,直线y=2x+m与双曲线Ax2+By2=1最多有一个公共点， 则该曲线的渐近线方程为，离心率为 27.(24-25高二上·北京西城期末)某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状.由 于年代久远，项部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm,底部CD宽5cm, ABIICD,底部离最窄处垂直高度为3cm,斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行， 则其长度为cm. B D 28.(23-24高二上北京期末)在平面直角坐标系中画出方程x2(x2-2=（y2+1(y2-1)表示的曲线 4/22 扇学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 y 3 -5:-4-3-2:-10 1:2:3:4:5 -3 -5 29.(2425高二上北京昌平期未)已知双曲线C:二二=1，则其海衙近线方程为」 过C的 63 右焦点F作圆x2+y2=6的切线，切点为M,则|MF= 30.(2425高二上北京东城期末)双曲线父y2=1的离心率为 渐近线方程为 35.(2024北京西城一模)双曲线M:x2-上=1的渐近线方程为】 ；若M与圆 3 0:x2+y2=r2(r>0)交于A,B,C,D四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则r= 3引.(2425商二上北京期末)已知双曲线号芳-1川@>0,6>0)的一个张点为5,0，且与直线 y=±2x没有公共点，则双曲线的方程可以为 32.(23-24高二上北京西城期末)设0为原点，双曲线C:x2-上=1的右焦点为F,点P在C的右支上.则 3 OP.OF C的渐近线方程是」 的最大值是」 OP 3.23.24高二上北京平谷期末)已知双曲线号+上-1的离心率e=6,则m 2-m 2 34.（23-24高二上北京西城期末)若方程。+，广=1表示的曲线为双曲线，则实数m的取值范围 m+24-m 是 若此方程表示的曲线为椭圆，则实数的取值范围是 35.(23-24高二上北京西城期末)已知双曲线C:x2-上=1，则双曲线C的右焦点到其断近线的距离 4 是 36.（23-24高二上北京大兴期末)已知双曲线C:x2- 一m-1(m>0)是等轴双曲线，则C的右焦点坐标 为 ：C的焦点到其渐近线的距离是 5/22 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7,20-21高三上北京丰台期末)已知双曲线C一y尸=1，则C的右焦点的坐标为一：C的焦点到县 渐近线的距离为 38.(24-25高二上北京期未)双曲线。-上-1的离心率为一，渐近线方程为 94 39. ②2-23高三上北家大兴期未)已知双曲线。yP=(a>0)的一条渐近线方程为+2y=0，则 a= 目目 考点02 抛物线 40. (24-25高二上·北京平谷期末)以(0,2)为焦点的抛物线标准方程是() A.y2=4x B.y2=8x C.x2=4y D.x2=8y 41.（23-24高二上·北京东城期末)设F为抛物线C:y2=4x的焦点，则F到其准线的距离为() A.1 B.2 C.3 D.4 42.(23-24高二上·北京平谷期末)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点A(2,y)到焦点的距离是4，则其准 线方程为() A.x=-2 B.x=-1 C.x=-4 D.x=-8 43.（24-25高二上·北京东城期末)P为抛物线y2=2pxp>0)上一点，点P到抛物线准线和对称轴的距 离分别为10和6，则p=() A.18 B.4 C.2或18 D.4或9 44.(23-24高二上·北京西城期末)抛物线x2=6y的焦点到其准线的距离等于() B.3 C.6 D.8 45.(24-25高二上·北京大兴期末)已知抛物线C:y2=-4x的焦点为F,点P在抛物线C上，若引PF=3, 则P到y轴的距离是() A.2 B.3 C.4 D.5 46.(24-25高二上·北京期末)设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0),若4F=BF, 则AB=() 6/22 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.2W5 C.3 D.3W2 47.(2.23高二上北京西城期末)若抛物线y2=2pxp>0)的焦点与椭圆父+ =1的一个焦点重合， 95 则该抛物线的准线方程为() A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=-2 48.(23-24高二上·北京西城期末)己知抛物线C:y2=12x的焦点为F,点M在C上.若M到直线 x=-2的距离为5，则|MF=() A.6 B.5 C.4 D.3 49.（24-25高二上·北京期末)抛物线y2=12x的焦点为F,点P在此抛物线上，PF=6,则点P的横坐 标为() A.2 B.3 C.4 D.6 50.（24-25高二上·北京东城期末)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,则p的值为() A.1 B.2 C.4 D.8 51.(24-25高二上北京东城期末)设坐标原点为O,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M为线段 OF的中点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线C的一个公共点为D,若△ODF的周长为8，则p的值 为() A.2 B.4 C.6 D.8 52.（24-25高二上·北京·期末)已知圆C的圆心在抛物线y2=4x上，且此圆C过定点(1,0)，则圆C与直线 x+1=0的位置关系为() A.相切 B.相交 C.相离 D.不能确定 53.(24-25高二上·北京·期末)经过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线E于 点A,I是E在点A处的切线.点B是E上异于A的任意一点，过B且垂直于x轴的直线交x轴于点M,交1 于点C,则CM= () IBFI 3 A. B.1 D.不确定 4 54.(24-25高二上·北京期末)如图，F是平面上一点，以F为圆心，分别画出半径为1,2,3,4,5的 同心圆.记半径为4的圆的一条切线为1，再画出与1平行的各圆的切线和一条穿过圆心F与1平行的直线.若 以F为焦点，1为准线的抛物线记为M,则A,B,C,D,E这5个点() 7/22 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.都不在抛物线M上 B.只有1个点在抛物线M上 C.有2个点在抛物线M上 D.有3个点在抛物线M上 55.(23-24高二上，北京期末)如图所示的圆锥中，高P0=4,底面的直径AB=8.M为母线PB的中点.若 平面α经过OM且垂直于轴截面PAB,根据圆锥曲线的定义，可以证明此时平面与圆锥侧面的交线为抛 物线的一部分，则下面四个结论中错误的是() O A.M为抛物线的顶点 B.直线OM为抛物线的对称轴 C.O是抛物线的焦点 D.抛物线的焦点到准线的距离为2√2 56.(24-25高二上·北京期末)已知抛物线C的焦点为F(0,),则C的标准方程为 设点Q(2,3), 点P在C上，则|PF|+PQ的最小值为 57.(24-25高二上·北京·期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的点，点0为其准线 上的点，且满足QF⊥PF,若PF=4,则点P的横坐标为 ,△PQF的面积为 58.(24-25高二上北京平谷期末)抛物线y2=2pxp>0)上一点M到焦点F(1,0)的距离等于3，则点M 的坐标为」 59.(24-25高二上·北京昌平期末)已知抛物线C:x2=2y的焦点为F,准线为1.则焦点F到准线I的距离 为 ； 若点M在抛物线C上，过点M作准线1的垂线，垂足为E,A3,1,则MA+ME的最 小值为 60.（23-24高二上·北京海淀·期末)己知点P(2,-4)在抛物线C:y2=2px上，则点P到抛物线C的焦点的 距离为」 61.(23-24高二上·北京平谷期末)己知抛物线顶项点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选 一个条件，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点F(2,0)；②经过点A(2,1).你所选的条件 8/22 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 是_一，得到的一个抛物线标准方程是」 62.(23-24高二上北京昌平.期末)设F为抛物线y2=4x的焦点，则点F的坐标为 ；若抛物线 上一点M满足MF=5,那么点M的横坐标为 63.(24-25高二上·北京·期末)探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部 分)，正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出，根据光 路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线C:y2=8x,一条光线经过M(8,-6),与x轴平行射到抛物线C上， 经过两次反射后经过N(8,yo)射出，则=_ ,光线从点M到N经过的总路程为」 64.（23-24高二上·北京石景山期末)己知抛物线C:y2=2px(p>0),其准线方程为x=-1. (1)求抛物线C的方程； (2)直线：y=x-1与抛物线C交于不同的两点A,B,求以线段AB为直径的圆的方程 65.(23-24高二上北京海淀·期末)己知直线1：y=kx+1经过抛物线C:x2=2py的焦点F,且与C的两个 交点为P,Q (1)求C的方程； (2)将1向上平移5个单位得到1,1与C交于两点M,N.若MN=24,求k值. 66.（24-25高二上·北京·期末)已知抛物线E:x2=2p>0)的焦点为F,A(2,yO)是E上一点，且4F=2. (1)求E的方程： (2)设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y=x一3交于点P,过点P作x轴的垂线交E于点M ,证明：直线BM过定点 67.(23-24高二上北京大兴期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0),过C的焦点F且垂直于x轴的直线交 C于不同的两点P,2,且PQ=4. (1)求抛物线C的方程； 9/22 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若过点M(0,2)的直线1与C相交于不同的两点A,B,N为线段AB的中点，O是坐标原点，且AOB与 △MON的面积之比为√5：1，求直线I的方程. 目目 考点03 椭圆 68. (24-25高二上·北京期末)椭圆C:2x2+y2=2的焦点坐标为() A.(-1,0),(1,0) B.(0,-1),(0,1D C.（-5,0,(3,0) D.(0,-5),(0,5 69.（22-23高二上北京西城期未)若抛物线y=2x>0)的焦点与椭圆+二=1的一个焦点重合， 95 则该抛物线的准线方程为() A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=-2 70.（23-24高二上北京大兴期末)椭圆父+上 =1的长轴长为() 9 4 A.4 B.5 C.6 D.9 71.(24-25高二上北京平谷期末)已知椭圆号+y=1上一点A和焦点F.AF1x轴，若双曲线 2 =1的一条渐近线经过点A,那么双曲线的离心率e为() A.25 B.7 C.v6 D.3 2 72.(24-25高二上·北京期末)已知椭圆C: +少产=1和双曲线C,: x2 -y2=1(m>0)的离心率之积为1， 4 m2 则双曲线C,的两条渐近线的倾斜角分别为() C.π，5 6’6 D含 7及.（t京市寄淀区203.024学年高二上学期期未缘习友学试卷)已知P为候圆C:号+茶-1上的动点 A(-1,0),B(1,0),且IPA+PB上4，则b2=() A.1 B.2 C.3 D.4 74.(23-24高二上北京·期末)己知AB是平面内两点，且|AB=6,判断当P点满足下列哪个条件时其轨 迹不存在() A.|PA+|PB=2024 B.|PA-PB=2024 C.PAx|PB|=2024 D.|PA+|PB=2023 75.(北京市人大附中2023-2024学年高二上学期期末数学试题)如图，F,万是双曲线G:x2-二=1与 10/22 专题03 圆锥曲线（三大题型+好题推送） 3大高频考点概览 考点01 双曲线 考点02 抛物线 考点03 椭圆 地 城 考点01 双曲线 1．（24-25高二上·北京西城·期末）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的值，即可求出该双曲线的离心率的值. 【详解】对于双曲线，，，则， 因此，该双曲线的离心率为. 故选：C. 2．（23-24高二上·北京东城·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线渐近线的求法求得正确答案. 【详解】由解得双曲线的渐近线方程为. 故选：A 3．（24-25高二上·北京·期末）已知双曲线的右焦点为，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标求出，即可得到双曲线方程，从而求出渐近线方程. 【详解】因为双曲线的右焦点为， 又，即，所以， 则双曲线方程为，则渐近线方程为. 故选：B. 4．（24-25高二上·北京·期末）双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出、、的值，可求得双曲线的离心率. 【详解】在椭圆中，，，则， 因此，双曲线的离心率为. 故选：C. 5．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知双曲线的焦点分别为、，，双曲线上一点满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的定义求出，由可得，然后由离心率的计算公式计算即可. 【详解】因为双曲线的焦点分别为、，， 所以，故， 又因为双曲线上一点满足，所以，故， 所以双曲线的离心率为. 故选：B. 6．（23-24高二上·北京大兴·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由渐近线的定义即可得解. 【详解】由题意双曲线的渐近线方程为，即. 故选：B. 7．（24-25高二上·北京·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，再解不等式即可. 【详解】依题意，，则或. 故选：A 8．（24-25高二上·北京·期末）已知双曲线的离心率是2，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线离心率公式即可求出结果. 【详解】由题意可得， 解得， 故选：B. 9．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实轴长得到，再根据渐近线公式得到答案. 【详解】因为双曲线的实轴长为4，即，解得， 所以双曲线的标准方程为，即， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：A. 10．（24-25高二上·北京·期末）若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用题设的焦距求解m, 由题设，双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为：即得解. 【详解】双曲线的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3， 由题设，双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为： 所以双曲线的渐近线方程为：yx． 故选：A． 【点睛】本题考查了双曲线的方程及性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 11．（22-23高二上·北京西城·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则实数m的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线方程得出，再利用渐近线定义得，解方程求出值. 【详解】已知方程表示的曲线为双曲线，所以， 该双曲线的渐近线为，又，得出 故选：B. 12．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知双曲线，则“它的渐近线方程为”是“它的离心率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】依题意可分别讨论参数的符号，再分别验证渐近线和离心率即可得出结论. 【详解】根据意题意，若，则渐近线方程为，即可得， 此时离心率为，即充分性不成立； 若，当离心率为时可得，即可得， 此时渐近线方程为，显然必要性也不成立； 即可得“它的渐近线方程为”是“它的离心率为”的既不充分也不必要条件； 故选：D 13．（24-25高二上·北京·期末）如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过斜杆与圆盘所成角以及斜杆与特定边的距离，求出渐近线与某一坐标轴的夹角，从而得到渐近线斜率，再根据双曲线标准方程中渐近线斜率与参数的关系，确定合适的双曲线方程. 【详解】已知斜杆与圆盘所成角为，那么斜杆与竖屏（即与竖屏所在平面）所成角为. 则渐近线与轴正方向夹角为，所以渐近线斜率， 双曲线的标准方程为：，可知，所以. 所以双曲线的方程为， 观察选项，只有满足. 故选：B. 14．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知是双曲线与椭圆的左､右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线定义、椭圆定义以及离心率公式，结合已知条件运算即可得解. 【详解】 由知， 所以， ∵，∴，∴， ∵，∴的离心率是. 故选：A. 15．（24-25高二上·北京·期末）如图所示，是双曲线的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨令，利用勾股定理可得，根据双曲线的定义可求出，在中，利用勾股定理求出，即可求出，再根据双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】， 不妨令， 又由双曲线的定义得， ， ， 在中，， 又. 故选：C. 16．（2013·北京西城·二模）若双曲线的离心率是2，则实数的值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为，由双曲线方程求，结合离心率定义列方程求. 【详解】设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为， 因为双曲线方程可化为， 所以，，， 所以双曲线的离心率，故， 所以. 故选：A. 17．（23-24高二上·北京·期末）当实数时，方程表示的曲线都是双曲线，当变化时，这些双曲线的焦距、离心率、渐近线中始终不变的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】分别求与时双曲线的的值，由此判断各选项的对错. 【详解】当时，方程可化为， 所以 ，，， 焦点坐标在x轴，实轴长为，离心率为，渐近线为， 当时，方程可化为， 所以 ，，， 焦点坐标在y轴，实轴长为，离心率为，渐近线为， 所以这些双曲线有相同的渐近线. 故选：B. 18．（23-24高二上·北京·期末）已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆，双曲线定义结合轨迹判断各个选项即可； 【详解】对于A选项：,轨迹为椭圆； 对于B选项：,轨迹不存在．； 对于C选项：的轨迹存在， 比如点就在轨迹上； 对于D选项：,轨迹为椭圆； 故选：B. 19．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知双曲线的左右顶点分别为，右焦点为F，以为直径作圆，与双曲线C的右支交于两点．若线段的垂直平分线过，则的数值为（    ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由双曲线方程得，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得是的中点，得到关系求，进而求出. 【详解】由双曲线，得，， 由题意，点在以为直径的圆上，则， 取的中点,由线段的垂直平分线过，则， 则，故是的中点， 且，所以，解得， 故. 故选：C.    20．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知双曲线的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程表示的双曲线特征，列相应不等式，即可求解. 【详解】由双曲线的焦点在x轴上， 可得，即m的范围为， 故选：D 21．（23-24高二上·北京西城·期末）设为双曲线的左､右顶点，为双曲线上一点，且为等腰三角形，顶角为，则双曲线的一条渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点在双曲线的右支上，且在第一象限，可计算出点的坐标为，将点的坐标代入双曲线的标准方程，可求出的值，即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意，不妨设点在右支，坐标为， 则，， 则，， 将点的坐标代入双曲线的标准方程得，解得. 因此，该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 22．（20-21高一上·北京海淀·月考）已知椭圆和双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】求得椭圆的离心率，双曲线的离心率为，运用离心率公式，解方程可得，再由双曲线的渐近线方程，结合直线的斜率和倾斜角关系可得所求角. 【详解】设椭圆的离心率为，则， 双曲线的离心率为， 由题意可得， 解得， 故双曲线的渐近线方程为， 可得渐近线的倾斜角分别为，， 故选：C. 23．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知集合，对于实数，集合且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知集合表示焦点在轴上的双曲线的上支或焦点在轴上的双曲线的上部分，集合表示过原点的直线，求出双曲线的渐近线方程即可满足题意. 【详解】由，得， 当时，集合表示焦点在轴上的双曲线的上支， 而集合表示过原点的直线，如图， 因为，所以双曲线的上支与过原点的直线没有交点， 该直线即为双曲线的渐近线，即，所以； 当时，集合表示焦点在轴上的双曲线的上部分， 而集合表示过原点的直线，如图， 因为，所以双曲线的上部分与过原点的直线没有交点， 该直线即为双曲线的渐近线，即，所以或， 综上，. 故选：A 24．（24-25高二上·北京平谷·期末）已知圆锥曲线的离心率为，则实数 . 【答案】/ 【分析】先根据离心率的范围确定是双曲线，结合离心率公式即可求得的值. 【详解】因离心率为，故表示双曲线， 故，由，解得,符合题意. 故答案为：. 25．（24-25高二上·北京平谷·期末）双曲线的焦点到顶点的最小距离是 . 【答案】1 【分析】双曲线焦点到顶点的最小距离为. 【详解】双曲线的焦点到顶点的最小距离为， 故答案为：1 26．（24-25高二上·北京·期末）若对，直线与双曲线最多有一个公共点，则该曲线的渐近线方程为 ，离心率为 ． 【答案】 或 【分析】由已知条件和双曲线与直线的位置关系可知，该曲线的一条渐近线与该直线的斜率相等，故而可解空1；分别求出当双曲线的焦点在轴与轴上时，的值，再利用求得曲线的离心率，即可求解空2. 【详解】①因为对，直线与双曲线最多有一个公共点， 所以直线与双曲线的一条渐近线斜率相等， 因而可得该曲线的渐近线为； ②若双曲线的焦点在轴上，则可得， 则，所以该曲线的离心率为， 若双曲线的焦点在轴上，则可得，即， 则，所以该曲线的离心率为， 所以该曲线的离心率为或. 故答案为：，或. 27．（24-25高二上·北京西城·期末）某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为 cm. 【答案】 【分析】以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求得双曲线方程，令，可求结论. 【详解】以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意，，所以， 因双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程为， 又点在双曲线上，所以，解得， 所以双曲线方程为，因为斧高12cm， 令，得，所以，解得， 所以，所以. 故答案为：. 28．（23-24高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中画出方程表示的曲线. 【答案】图形见解析 【分析】化简方程得或，再作图即可. 【详解】解：由，得， 得，得或，即或， 如图所示： 29．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知双曲线，则其渐近线方程为 ；过的右焦点作圆 的切线，切点为，则 ． 【答案】 【分析】由双曲线渐近线方程的定义，即可得到双曲线的渐近线方程；由是圆的切线，则在中，利用勾股定理即可求得. 【详解】 因为双曲线方程为， 则, 所以其渐近线方程为； 因为， 所以双曲线的右焦点为，则， 因为为圆 上的点，所以， 因为是圆的切线，所以， 则在中，. 故答案为：；. 30．（24-25高二上·北京东城·期末）双曲线的离心率为 ，渐近线方程为 ． 【答案】 /； ； 【分析】根据双曲线的标准方程先确定的值，再利用离心率和渐近线的定义求出即可. 【详解】由题可得双曲线的焦点在x轴上，且， 所以双曲线的离心率为，渐近线方程为. 故答案为：；. 35．（2024·北京西城·一模）双曲线的渐近线方程为 ；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 ． 【答案】 【分析】结合双曲线渐近线的定义与正方形的性质计算即可得. 【详解】由，故其渐近线方程为； 令，由题意可得，即有，解得， 故，即. 故答案为：；.    31．（24-25高二上·北京·期末）已知双曲线的一个焦点为，且与直线没有公共点，则双曲线的方程可以为 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】取直线为双曲线的渐近线，则，根据焦点得到，，得到双曲线方程. 【详解】取直线为双曲线的渐近线，则， 双曲线的一个焦点是，故， 由，解得，故双曲线方程为. 故答案为：(答案不唯一) 32．（23-24高二上·北京西城·期末）设为原点，双曲线的右焦点为，点在的右支上．则的渐近线方程是 ；的最大值是 ． 【答案】 【分析】由双曲线方程可得、，即可得渐近线；设出点坐标，表示出向量后结合点在双曲线的右支上即可得的最大值. 【详解】由可得，，故，， 则其渐近线方程为； 设，则，， ，由点在双曲线上，故，即， 故 ，由，故. 故答案为：；. 33．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知双曲线的离心率，则 . 【答案】1 【分析】由双曲线的标准方程确定，求得，再利用离心率求得． 【详解】由题意显然有，，因此，，解得， 故答案为：1. 34．（23-24高二上·北京西城·期末）若方程表示的曲线为双曲线，则实数的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线和椭圆的标准方程依次建立不等式（组），解之即可求解. 【详解】若方程为双曲线时，，解得或， 即实数m的取值范围为； 若方程为椭圆时，，解得， 即实数m的取值范围为. 故答案为：； 35．（23-24高二上·北京西城·期末）已知双曲线，则双曲线的右焦点到其渐近线的距离是 ． 【答案】2 【分析】根据双曲线的标准方程写出右焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线距离公式求解即可． 【详解】的右焦点坐标为，渐近线方程为． 到即的距离为． 由对称性知到的距离为． 故答案为：2． 36．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知双曲线是等轴双曲线，则的右焦点坐标为 ；的焦点到其渐近线的距离是 . 【答案】 1 【分析】根据等轴双曲线的概念求得，即可得焦点，再根据点到直线的距离可得结果． 【详解】双曲线是等轴双曲线，则，， ，则，则则的右焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离， 故答案为：，1． 37．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知双曲线，则的右焦点的坐标为 ；的焦点到其渐近线的距离为 . 【答案】 【解析】根据双曲线方程求出即可得出焦点坐标，利用点到直线距离公式即可求出焦点到渐近线的距离. 【详解】由双曲线方程，可得，则， 故右焦点的坐标为， 由于双曲线的对称性，不妨取渐近线，即， 故焦点到渐近线的距离为. 故答案为：；1. 38．（24-25高二上·北京·期末）双曲线的离心率为 ，渐近线方程为 . 【答案】 【分析】由双曲线的标准方程求出，即求离心率和渐近线方程. 【详解】由双曲线，可得， ， 所以离心率，渐近线方程. 故答案为：；. 39．（22-23高二上·北京大兴·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 ． 【答案】 【分析】先由双曲线的渐近线设出双曲线的方程，再利用待定系数法即可求得的值. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以双曲线的方程可设为，即， 因为， 所以，解得（负值舍去）， 所以. 故答案为：. 地 城 考点02 抛物线 40．（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点位置，设其标准方程，求出的值，即得. 【详解】由题意，抛物线方程形如，因，解得， 故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 41．（23-24高二上·北京东城·期末）设F为抛物线C：的焦点，则F到其准线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线方程求解出焦点和准线方程，则结果可知. 【详解】因为抛物线方程，所以焦点为，准线为， 所以焦点到准线的距离为， 故选：B. 42．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离是4，则其准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义可直接写出答案. 【详解】因为抛物线的准线为：，根据抛物线的定义，可得到准线的距离为，即. 所以准线方程为. 故选：A 43．（24-25高二上·北京东城·期末）为抛物线上一点，点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则（    ） A．18 B．4 C．2或18 D．4或9 【答案】C 【分析】由抛物线方程，可得准线方程，再由点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，可得点坐标，代入抛物线方程，即可求得答案. 【详解】由抛物线方程，可得准线方程， 因为点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，所以点， 代入抛物线方程得， 解得或. 故选：C 44．（23-24高二上·北京西城·期末）抛物线的焦点到其准线的距离等于（    ） A． B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由抛物线方程直接得焦点坐标，准线方程即可求解. 【详解】由题意抛物线的焦点坐标、准线方程分别为， 所以抛物线的焦点到其准线的距离等于3. 故选：B. 45．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，则到轴的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等，即可得到答案. 【详解】抛物线的焦点为F的坐标为，准线为：， 由点P到的距离为3，可知到轴的距离是2. 故选：A 46．（24-25高二上·北京·期末）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 47．（22-23高二上·北京西城·期末）若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程. 【详解】∵椭圆的右焦点坐标为， ∴抛物线的焦点坐标为， ∴抛物线的准线方程为， 故选：D. 48．（23-24高二上·北京西城·期末）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】结合抛物线的定义计算即可得. 【详解】由抛物线可知其焦点为，其准线为， 到的距离为5，则到的距离为， 故. 故选：A. 49．（24-25高二上·北京·期末）抛物线的焦点为，点在此抛物线上，，则点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据焦半径公式即可求解. 【详解】根据焦半径公式可得，故， 故选：B 50．（24-25高二上·北京东城·期末）已知抛物线的准线方程为，则p的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由抛物线的准线方程为可得结果. 【详解】由题意得，抛物线的准线方程为， ∴，解得. 故选：B. 51．（24-25高二上·北京东城·期末）设坐标原点为O，抛物线的焦点为F，M为线段的中点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线C的一个公共点为D，若的周长为8，则p的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用抛物线的方程及已知条件可以求得点的横坐标为及，再利用抛物线的定义，得到的长度，最后利用的周长列出关于的方程，从而求解. 【详解】 抛物线的方程为， ，， M为线段的中点，， 过点且垂直于轴的直线为，点的横坐标为， 点在抛物线上，根据抛物线的定义，， 由题意可知，， 的周长为8，，即， . 故选：B. 52．（24-25高二上·北京·期末）已知圆的圆心在抛物线上，且此圆过定点，则圆与直线的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义可知，到焦点的距离等于到准线的距离， 所以圆与直线相切. 故选：A 53．（24-25高二上·北京·期末）经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于点，是在点处的切线. 点是上异于的任意一点，过且垂直于轴的直线交轴于点，交于点，则 （    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】先求点的坐标，再利用求出直线的方程，最后利用设而不求的思想及抛物线的定义即可求解. 【详解】不妨设在第一象限，把代入抛物线方程得，即点的坐标为， 显然直线斜率存在，设直线的方程为， 与抛物线联立消去得：， 因为直线是抛物线的切线，所以， 所以直线的方程为， 设点的坐标为，则点的坐标为，所以. 故选：B 54．（24-25高二上·北京·期末）如图，F是平面上一点，以F为圆心，分别画出半径为1，2，3，4，5的同心圆．记半径为4的圆的一条切线为l，再画出与l平行的各圆的切线和一条穿过圆心F与l平行的直线．若以F为焦点，l为准线的抛物线记为M，则A，B，C，D，E这5个点（    ） A．都不在抛物线M上 B．只有1个点在抛物线M上 C．有2个点在抛物线M上 D．有3个点在抛物线M上 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，得出抛物线及同心圆方程，联立可得，据此判断即可. 【详解】不妨以点D为坐标原点，过点D且平行于直线的直线为轴，过点D且垂直于直线的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图 此时，则抛物线的方程为， 易知该组同心圆的方程为， 联立解得， 由图可知，所给5点的纵坐标不小于0，故， 当时，可得，该点为点D； 当时，，该点为点E； 当时，，该点不存在； 当时，，该点为点B； 综上所述，有3个点在抛物线上 故选：D 55．（23-24高二上·北京·期末）如图所示的圆锥中，高，底面的直径．M为母线PB的中点．若平面经过OM且垂直于轴截面PAB，根据圆锥曲线的定义，可以证明此时平面与圆锥侧面的交线为抛物线的一部分，则下面四个结论中错误的是（    ） A．M为抛物线的顶点 B．直线OM为抛物线的对称轴 C．O是抛物线的焦点 D．抛物线的焦点到准线的距离为 【答案】C 【分析】以M为原点，MO为x轴建立坐标系，利用坐标法求出抛物线方程，分别判断各个选项即可. 【详解】如图： 由题可得圆锥的母线，， 所以，所以PB⊥PA. 连结OM，在中，O为AB的中点，M是中点， 所以OM为中位线，所以, 所以. 设平面交底面圆于CD，则. 以M为原点，MO为x轴建立坐标系如图示，则. 可设抛物线，把带入抛物线方程可得：， 所以抛物线为：，焦点，故A，B选项正确；C选项错误， 所以焦点到准线的距离为，D选项正确. 故选：C. 56．（24-25高二上·北京·期末）已知抛物线的焦点为，则的标准方程为 ；设点，点在上，则的最小值为 . 【答案】 4 【分析】利用抛物线的性质可得抛物线方程；利用抛物线的性质可求得的最小值. 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，开口向轴正方向， 所以的标准方程为； 抛物线的准线为，过向准线作于， 由抛物线的性质可得，所以， 当在一直线上时，的值最小， 最小值即为点到直线的距离. 故答案为：；. 57．（24-25高二上·北京·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则点的横坐标为 ，的面积为 ． 【答案】 3 【分析】根据抛物线的定义求出点的横坐标，设，利用求出点坐标，再根据两点距离公式求出进而求的面积即可. 【详解】因为抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设，则，， 因为，所以，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：3；. 58．（24-25高二上·北京平谷·期末）抛物线上一点到焦点的距离等于3，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】由抛物线的焦点坐标求出， 结合抛物线的定义求出，再代入抛物线方程求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点 ， 则 ，即 ， 所以抛物线方程为 ，准线方程为， 因为到焦点的距离等于3， 所以到的距离等于3， 则 ， ，则 ， 则点的坐标为 故答案为： . 59．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知抛物线的焦点为，准线为.则焦点到准线的距离为 ；若点在抛物线上，过点作准线的垂线，垂足为，，则 的最小值为 . 【答案】 1 【分析】①根据抛物线中p的几何意义可求解； ②根据抛物线的定义，转化为点到焦点的距离，利用数形结合可求解. 【详解】①由抛物线知，， 所以抛物线的焦点到准线的距离是， ②如图所示，过点，则， 当点在线段上时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：①；②. 60．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为 ． 【答案】4 【分析】先确定抛物线的标准方程，再根据抛物线的定义求有关距离. 【详解】因为点在抛物线上，所以. 所以，抛物线：，焦点： 所以到焦点的距离：. 故答案为：4 61．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是 ，得到的一个抛物线标准方程是 . 【答案】 ① 【分析】利用抛物线焦点坐标以及标准方程形式即可得出答案. 【详解】若选择①，由焦点坐标可设，又可知，可得抛物线标准方程是； 若选择②，根据题意可知，抛物线只能开口向右或向上， 若开口向右，可设，将代入可得抛物线标准方程为； 若开口向上，可设，将代入可得抛物线标准方程为； 故答案为：①；（②；或） 62．（23-24高二上·北京昌平·期末）设为抛物线的焦点，则点的坐标为 ；若抛物线上一点满足，那么点的横坐标为 . 【答案】 4 【分析】根据抛物线方程易得，即得焦点坐标；利用抛物线的定义将焦半径转化，即可求得点的横坐标. 【详解】由可得抛物线的焦准距为，故焦点的坐标为； 不妨设，由可得：，即得：，即点的横坐标为. 故答案为：；4. 63．（24-25高二上·北京·期末）探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过射出，则 ，光线从点到经过的总路程为 ． 【答案】 【分析】由点与点的纵坐标相同和韦达定理可得，利用抛物线的定义可求得总路程. 【详解】如图，设第一次射到抛物线上的点记为，第二次射到抛物线上的点记为，易得，因为， 所以直线的方程为． 联立消去整理得， 可设，显然和是该方程的两个根， 则，所以． （方法一）光线从点到经过的总路程为 ． （方法二）设抛物线的准线为，则其方程为，分别过点，做准线的垂线，垂足分别为，，则，，所以， 故光线从点到经过的总路程为 ． 故答案为：；20. 64．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知抛物线，其准线方程为. (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于不同的两点，求以线段为直径的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据准线方程，确定，即可求抛物线方程； （2）首先直线与抛物线方程联立，利用韦达定理求中点坐标以及弦长，即可求解圆的方程. 【详解】（1）由题意知，所以. 所以抛物线的方程为. （2）联立，得，其中， 设，线段的中点为. 则，所以. ， 所以以线段为直径的圆的圆心为，半径为4， 所以以线段为直径的圆的方程为. 65．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线经过抛物线的焦点，且与C的两个交点为P，Q． (1)求C的方程； (2)将向上平移5个单位得到与C交于两点M，N．若，求值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与轴交点得焦点，待定可得方程； （2）联立直线与抛物线的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于的方程，求解可得. 【详解】（1）抛物线的焦点在轴上， 直线，令，得，则焦点， 所以，即， 所以抛物线的方程为； （2）直线向上平移5个单位得到， 由，消得， 设直线与交于两点， 则，且， ， 由，化简整理得， 解得（舍）或， 所以. 66．（24-25高二上·北京·期末）已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|＝2. （1）求E的方程； （2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点. 【答案】（1）x2＝4y；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用抛物线的定义与性质求得的值，即可写出抛物线方程； （2）设点、，由直线的方程和抛物线方程联立，消去，利用韦达定理和、、三点共线，化简整理可得的方程，从而求出直线所过的定点． 【详解】（1）由题意得，解得， 所以，抛物线的标准方程为. （2）证明： 设点、，设直线的方程为， 联立，消去得， 由韦达定理得，， 由轴以及点在直线上，得， 则由、、三点共线，得， 整理得， 将韦达定理代入上式并整理得， 由点的任意性，得，得， 所以，直线的方程为，即直线过定点. 67．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知抛物线，过的焦点且垂直于轴的直线交于不同的两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与相交于不同的两点为线段的中点，是坐标原点，且与的面积之比为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可得直线方程，进而可得，可求得值，即可得答案. （2）设直线的方程为，联立直线与抛物线，根据韦达定理及弦长公式求得点的横坐标，，求出到直线距离，由与的面积的关系列式求出，可得答案. 【详解】（1）抛物线的焦点， 则两点所在的直线方程为：， 代入抛物线，得，， 则，故， ∴抛物线的方程为 （2）由题意，设直线的方程为，， 联立，得， ∴，解得且， ， ∴点的横坐标为， ∴ 到直线距离， ∴的面积， 的面积， 由题意， ∴，整理得，解得或， ∴直线的方程为或. 地 城 考点03 椭圆 68．（24-25高二上·北京·期末）椭圆：的焦点坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】先化为标准方程，求得，判断焦点位置，写焦点坐标. 【详解】因为椭圆：， 所以标准方程为， 解得， 因为焦点在y轴上， 所以焦点坐标为，. 故选：B 69．（22-23高二上·北京西城·期末）若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程. 【详解】∵椭圆的右焦点坐标为， ∴抛物线的焦点坐标为， ∴抛物线的准线方程为， 故选：D. 70．（23-24高二上·北京大兴·期末）椭圆的长轴长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】由椭圆的方程即可得出答案. 【详解】由可得，则. 故选：C. 71．（24-25高二上·北京平谷·期末）已知椭圆上一点和焦点.轴，若双曲线的一条渐近线经过点，那么双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出A点坐标后，再代入双曲线渐近线方程可得，再代入可得双曲线的离心率. 【详解】根据椭圆方程可知，焦点坐标为，不妨设焦点F为右焦点， 因为轴，A在椭圆上，假设A点在第一象限，所以A点坐标为. 由题可知，双曲线的渐近线方程为， 又因为双曲线的一条渐近线经过点A，所以代入可知， 所以双曲线的离心率为 故选：C. 72．（24-25高二上·北京·期末）已知椭圆和双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】求得椭圆的离心率，双曲线的离心率为，运用离心率公式，解方程可得，再由双曲线的渐近线方程，结合直线的斜率和倾斜角关系可得所求角. 【详解】设椭圆的离心率为，则， 双曲线的离心率为， 由题意可得， 解得， 故双曲线的渐近线方程为， 可得渐近线的倾斜角分别为，， 故选：C. 73．（北京市海淀区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试卷）已知P为椭圆上的动点．，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点的轨迹表示以为焦点的椭圆，进而求得的值. 【详解】因为，可得，则， 由椭圆的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的椭圆， 其中，可得，所以， 又因为点在椭圆，所以. 故选：C. 74．（23-24高二上·北京·期末）已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆，双曲线定义结合轨迹判断各个选项即可； 【详解】对于A选项：,轨迹为椭圆； 对于B选项：,轨迹不存在．； 对于C选项：的轨迹存在， 比如点就在轨迹上； 对于D选项：,轨迹为椭圆； 故选：B. 75．（北京市人大附中2023-2024学年高二上学期期末数学试题）如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是（    ）    A．双曲线的渐近线为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程为 D．的面积为 【答案】D 【分析】A选项，利用渐近线方程直接进行求解；B选项，设椭圆方程为，利用双曲线定义和椭圆定义求出和，得到离心率；C选项，在B基础上求出，得到椭圆方程；D选项，利用余弦定理，同角三角函数关系，面积公式求出答案. 【详解】A选项，双曲线：的渐近线方程为，A错误； B选项，由题意得，， 故，由双曲线定义得，故， 设椭圆方程为，故，即，解得， 又，故离心率为，B错误； C选项，，故椭圆的方程为，C错误； D选项，在中，由余弦定理得 ， 故， 所以的面积为，D正确. 故选：D 76．（24-25高二上·北京·期末）设椭圆的焦点为，离心率为，则“”是“上存在一点，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用数量数量积的坐标表示，结合椭圆的几何性质，求出椭圆上存在一点使得的等价条件，然后判断推出关系是否成立，从而可得答案. 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，， 则 椭圆上存在一点使得即 等价于,易知=， ， 若成立，不一定成立，即充分性不成立； 若成立，则一定成立，所以必要性成立， 所以“”是“上存在一点，使得”的必要而不充分条件. 故选：B. 77．（24-25高二上·北京西城·期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线（）的焦点重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得出抛物线的焦点在轴的正半轴，从得出抛物线与椭圆的右焦点重合，求出椭圆的右焦点，即可得出抛物线的焦点，从而得解. 【详解】因为抛物线的焦点在轴的正半轴， 所以抛物线焦点与椭圆的右焦点重合， 又椭圆方程为，所以，所以 所以椭圆的右焦点为，所以抛物线焦点也是这个， 即 故选：C 78．（24-25高二上·北京·期末）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 79．（24-25高二上·北京·期末）曲线与曲线（）的 A．短轴长相等 B．长轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】本道题结合，计算a,b,c的值，即可． 【详解】A选项，明显短轴不相等，一个，故错误；B选项，一个 另一个为，故错误．D选项，离心率，结合前面提到了a不相等，故错误；曲线的焦半径满足，而焦半径满足 ，故两曲线的焦半径相等，故焦距相等，C正确． 【点睛】本道题考查了椭圆的基本性质，关键抓住，难度中等． 80．（24-25高二上·北京·期末）已知椭圆，点P，Q为椭圆W上不同的两点．给出下列两个结论 ①若给定点，则对任意的点P，都存在点Q，使得； ②若给定点，则对任意的点P，都存在点Q，使得． 下列选项中判断正确的是（    ） A．①②均正确 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和椭圆的性质求解即可得 【详解】由知，， 所以焦点坐标为，则 又，所以是椭圆的右焦点， 所以，即， 若，则， 根据椭圆的对称性得，P、Q关于原点对称即可满足条件， 又P是椭圆上任一点，则关于原点对称点Q存在，故①对； 因为P是椭圆上任一点，又，所以，， 所以， 又， 所以对任意的点P，都存在点Q，使得 故②对； 故选：A 81．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知椭圆的右焦点为 F ，过原点的直线l与C 交于 A，B 两点，若，且，则椭圆C 的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性以及题设条件可得四边形为矩形，结合题设和椭圆定义推出，利用勾股定理可求出关系式，即可求得答案. 【详解】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得，， 则四边形为平行四边形，结合，则四边形为矩形， 则， 由，得， 又，则， 在中，，即， 则，即椭圆C 的离心率为， 故选：C 82．（24-25高二上·北京·期末）椭圆与双曲线有公共的焦点，，，抛物线的方程为，P为，，的一个公共点，若，则，，离心率的乘积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设椭圆方程为：，双曲线方程为：，过点分别向，及轴作垂线，垂足分别为,结合勾股定理确定的关系即可求解； 【详解】画出简图： 设椭圆方程为：，双曲线方程为：， 因为P为，，的一个公共点， 则， 联立可得：， 又抛物线的方程为，所以焦点坐标为：，准线方程为：， 过点分别向，及轴作垂线，垂足分别为, 则， 又，结合， 易得， 所以, 结合勾股定理：，及可得： ， 联立方程可得：， 所以， 由抛物线离心率为1，所以，，离心率的乘积为4， 故选：D 83．（23-24高二上·北京·期末）已知同时为椭圆：与双曲线：（，）的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，O为坐标原点，给出下列四个结论： ①； ②若，则； ③的充要条件是； ④若，则的取值范围是. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据椭圆以及双曲线的关系，即可判断A选项；根据椭圆以及双曲线的定义，结合余弦定理，可推得B、C选项；根据椭圆以及双曲线的定义结合三角形的三边关系，得出的关系式.进而根据对勾函数的单调性，即可得出D选项. 【详解】 对于A项，由已知椭圆与双曲线共焦点可得，，故A选项正确； 对于B项，根据椭圆以及双曲线的定义， 可得，所以. 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得：. 所以，即，故B项正确； 对于C项， 必要性：若，则为直角三角形， 所以， 即， 整理可得：， 两边同时除以可得，，即，满足必要性； 充分性：若，易可得，， 所以，所以为直角三角形，且， 可得，满足充分性. 故C项正确； 对于D项，由已知可得. 所以，. 令，则. 因为，所以. 又，所以有，所以有； ，所以有，所以有. 所以. 设函数，再设， 则， 由于，得，，， 所以，即，函数在区间上单调递增， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 84．（24-25高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，根据平方关系得到，即可得到点在椭圆上，则当过点且与椭圆相切（切点为）时取得最大值，设切线方程为，联立直线与椭圆方程，消元，根据求出的值，即可得解. 【详解】因为，即，所以， 又，所以，即点在椭圆上， 又点在椭圆外，所以当过点且与椭圆相切（切点为）时取得最大值， 设切线方程为，由，消去整理得， 由，解得， 所以的最大值为. 故选：B 85．（24-25高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，根据平方关系得到，即可得到点在椭圆上，则当过点且与椭圆相切（切点为）时取得最大值，设切线方程为，联立直线与椭圆方程，消元，根据求出的值，即可得解. 【详解】因为，即，所以， 又，所以，即点在椭圆上， 又点在椭圆外，所以当过点且与椭圆相切（切点为）时取得最大值， 设切线方程为，由，消去整理得， 由，解得， 所以的最大值为. 故选：B 86．（20-21高二上·北京丰台·期末）椭圆的离心率是 . 【答案】 【解析】利用题目所给的标准方程，求出，然后求解，即可求解离心率. 【详解】解：椭圆的长半轴为，短半轴为， 则半焦距为， 所以椭圆的离心率为：， 故答案为：. 87．（24-25高二上·北京西城·期末）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为 .    【答案】 【分析】根据给定图形求出及的坐标，进而求出离心率. 【详解】依题意，，则椭圆半焦距，短半轴长， 因此该椭圆长半轴长， 所以该椭圆的离心率 故答案为：. 88．（24-25高二上·北京·期末）如图，直线过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】分别令直线方程中y＝0和x＝0，进而求得b和c，进而根据b，c和a的关系求得a，则椭圆的离心率可得． 【详解】解：在l：x﹣y+2＝0上，令y＝0得F1（﹣2，0），令x＝0得B（0，2），即c＝2，b＝2． ∴a＝2，e． 故答案为． 89．（23-24高二上·北京石景山·期末）方程表示的曲线是 ，其标准方程是 . 【答案】 椭圆 【分析】根据椭圆的定义即可得解. 【详解】方程， 表示点到两点的距离之和等于，而， 所以方程表示的曲线是椭圆， 且长轴长，焦距，所以， 所以半短轴长， 所以其标准方程为. 故答案为：椭圆；. 90．（23-24高二上·北京西城·期末）若方程表示的曲线为双曲线，则实数的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线和椭圆的标准方程依次建立不等式（组），解之即可求解. 【详解】若方程为双曲线时，，解得或， 即实数m的取值范围为； 若方程为椭圆时，，解得， 即实数m的取值范围为. 故答案为：； 91．（24-25高二上·北京·期末）椭圆的焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于A，B两点，若，的面积为1，则该椭圆的焦距为 ，的周长为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出椭圆半焦距即得焦距的值；利用椭圆对称性及已知列式求出，再利用椭圆定义求出三角形周长. 【详解】椭圆的焦点在轴上，令半焦距为，则， 所以该椭圆的焦距为； 设点，而，则的面积， 解得，又直线过原点，且，由椭圆对称性知， 因此，解得，又，则， 整理得，而，于是，解得， 所以的周长为. 故答案为：； 92．（24-25高二上·北京大兴·期末）与双曲线有相同焦点的一个椭圆的方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一，焦点为即可） 【分析】先求出双曲线的焦点，从而得到椭圆的焦点，进而得到椭圆的方程. 【详解】由双曲线方程可知，其焦点在轴上，且焦点坐标为， 故可设椭圆方程为，则， 取，则椭圆的方程为. 故答案为：（答案不唯一，焦点为即可）. 93．（22-23高二上·北京西城·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，若，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】根据已知可得，，.根据椭圆的定义有，根据有.即可求出，进而求出三角形的面积. 【详解】 由已知可得，，，所以，. 因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得，， 所以. 又，所以为直角三角形，则， 所以，所以. 故答案为：3. 94．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为 ． 【答案】/ 【分析】设出点坐标，由，可得，结合点在椭圆上计算即可得. 【详解】设，由椭圆可得、， 有， 由， 故， 由在椭圆上，故有，即， 故，解得， 故，故点到轴的距离为. 故答案为：. 95．（23-24高二上·北京大兴·期末）画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上两个动点.直线的方程为.给出下列四个结论： ①的蒙日圆的方程为； ②在直线上存在点，椭圆上存在，使得； ③记点到直线的距离为，则的最小值为； ④若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为. 其中所有正确结论的序号为 . 【答案】①②④ 【分析】由在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得关系，由此可知①正确；由过且在蒙日圆上，可知当恰为切点时，，知②正确；根据椭圆定义可将转化为，可知时，取得最小值，由点到直线距离公式可求得最小值，代入可得的最小值，知③错误；由题意知，蒙日圆为矩形的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系，利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知④正确． 【详解】对于①，过可作椭圆的两条互相垂直的切线：， ∴在蒙日圆上，∴蒙日圆方程为， 由，得， ∴的蒙日圆方程为，故①正确； 对于②，由方程知：过， 又满足蒙日圆方程，∴在圆上， 当恰为过作椭圆两条互相垂直切线的切点时，，故②正确； 对于③，∵在椭圆上，∴， ∴， 当时，取得最小值，最小值为到直线的距离， 又到直线的距离， ∴，故③错误； 对于④，当矩形的四条边均与相切时，蒙日圆为矩形的外接圆， ∴矩形的对角线为蒙日圆的直径， 设矩形的长和宽分别为，则， ∴矩形的面积，当且仅当时取等号， 即矩形面积的最大值为，故④正确. 故答案为：①②④． 96．（24-25高二上·北京大兴·期末）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论： ①面积的最大值为； ②的最大值为7； ③若，则； ④若，垂足为，则. 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】对于①：根据椭圆性质分析判断；对于②：根据椭圆定义结合几何性质分析判断；对于③：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于④，延长交于点，应用对称性及圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：. 对于①：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故①正确； 对于②：因为，则， 可得， 所以的最大值为7，故②正确； 对于③：由椭圆的光学性质，得点 P与l垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则， 可得， 则， 即, 整理可得，解得或， 当时，，M与O重合，不合题意， 所以，即，故③正确； 对于④：如图，延长交于点， 则在中，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故④错误. 故答案为：①②③. 97．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知椭圆与经过左焦点的一条直线交于两点. (1)若为右焦点，求的周长； (2)若直线的倾斜角为，求线段的长. 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）直接画出图形结合椭圆的定义即可求解. （2）由题意结合左焦点的坐标以及直线的倾斜角为，可得直线的方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理以及弦长公式即可得解. 【详解】（1） 由题意，由椭圆定义有， 所以的周长为. （2）设， 由题意直线的斜率为，，即， 所以直线的方程为，将它与椭圆方程联立得， 消去并化简整理得， 显然，由韦达定理得， 所以线段的长为. 98．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点. (1)求椭圆的离心率； (2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据四边形面积得到，结合焦点坐标，求出，得到离心率； （2），设，得到，结合，求出的取值范围，得到的取值范围. 【详解】（1）由题意得，且，即， 解得， 所以椭圆的离心率. （2）由题意，得. 设，则. 所以，. 因为， 所以当时，；当时，. 所以的取值范围为. 99．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知椭圆的两个顶点分别为，离心率为椭圆上的动点，直线分别交动直线于点C，D，过点C作的垂线交x轴于点H． (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合即可求解； （2）结合两点式得直线方程，进而得到点坐标，由直线与直线垂直得到直线的斜率，结合点斜式得直线的方程，进而的到点坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解. 【详解】（1）由，又两个顶点分别为， 则，， 故椭圆E的方程为； （2）为椭圆上的动点，则，故直线的斜率存在且不为0， 则直线：，即，则点， 则直线：，即，则点， 则直线的斜率为，故直线：， 令,得， 又在椭圆上，则，整理得， 所以，则， 所以 综上，存在，使得有最大值. 100．（24-25高二上·北京·期末）已知O为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，，A为椭圆C的上顶点，为等腰直角三角形，其面积为1． (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线l交椭圆C于P，Q两点，点W在过原点且与l平行的直线上，记直线WP，WQ的斜率分别为，，的面积为S．从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立． ①；②；③W为原点O． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】(1)根据椭圆的几何性质即可求出a、b、c，从而可得椭圆的标准方程； (2)(i)选②③为条件：设，分l斜率存在和不存在两种情况讨论.l斜率存在时，设l为，由可得(*)，联立直线l与椭圆的方程，得，代入(*)可得k和t的关系，根据弦长公式求出|PQ|，根据点到直线距离公式求出O到l的距离d，根据即可求出S；(ii)选①③为条件：设，分l斜率存在和不存在两种情况讨论.当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立直线和椭圆方程可得，根据弦长公式求出|PQ|，根据点到直线距离公式求出到直线的距离d，根据可得k和t的关系，表示出，根据即可求出；(iii)选①②为条件：设，分l斜率存在和不存在两种情况讨论.当直线l的斜率存在时，设，直线l的方程为：，联立直线和椭圆方程可得，根据弦长公式求出|PQ|，根据点到直线距离公式求出W到直线的距离d，根据可得k和t的关系，表示出，根据即可求出W的坐标． 【详解】（1）记，由题意知：， ∴，解得， ∴， ∴椭圆的标准方程为：． （2）(i)选②③为条件：设， 当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点在第一象限， 则由，可得， 此时直线的方程为，与联立，解得， ∴． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 则，即， 将代入得：， ∴， ∴， ∴，即． ， ∵点到直线的距离， ∴， 综上，①成立． (ii)选①③为条件：设， 当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点在第一象限， 则由，可得， 又，解得，∴； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 将代入得：， ∴， ， ∵点到直线的距离， ∴， 即， ∵， ∴． 综上，②成立． (iii)选①②为条件：设， 当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点在第一象限，则， ∴，又，解得， ∴，∴， ∴为坐标原点，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设，直线l的方程为：， 将带入得：， ∴， ， 点到直线的距离， ∴， 即，∵， ， 则由， 即， 得：， 即，∵， ∴，即． 综上，③成立． 101．（23-24高二上·北京西城·期末）设椭圆左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点.已知椭圆的离心率为的周长为8. (1)求椭圆的方程； (2)判断轴上是否存在一点，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦，使得为的一条内角平分线？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）利用给定的离心率及三角形周长求出即得. （2）假定存在符合题意的点并设出坐标，设直线的方程，与椭圆方程联立借助韦达定理、斜率坐标公式，结合已知列式计算即得. 【详解】（1）依题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）假设轴上存在一点符合题意， 由题意，设直线， 由消去得， ，， 显然直线的斜率存在，且为， 同理，直线的斜率为， 于是， 由为的一条内角平分线，得， 即，显然此式对任意非零的实数都成立， 因此，解得， 所以轴上存在一点，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦，使得为的一条内角平分线. 102．（23-24高二上·北京·期末）已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且.过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，直线，分别与直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论； (3)求面积的最大值. 【答案】(1) (2)点在以为直径的圆的内部，详见解析 (3) 【分析】（1）由题意得求出，然后求解，即可得到椭圆方程． （2）当直线的斜率不存在时，验证，即．当直线的斜率存在时，设，其中．联立设，利用韦达定理，结合直线的方程，求出的坐标．利用向量的数量积，转化求解即可． （3）分直线l的斜率不存在和存在两种情况讨论，其中当直线l的斜率存在时，先求出点到直线的距离，再利用韦达定理求出线段的长，进而求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意得解得， 从而， 所以椭圆C的方程为． （2） 当直线l的斜率不存在时，有，，， 则，，故，即． 当直线l的斜率存在时，设，其中． 联立得． 由题意，知恒成立，设， 则，． 直线的方程为， 令，得，即，同理可得． 所以，． 因为 ， 所以， 综上，点在以为直径的圆的内部. （3）当直线l的斜率不存在时，有，，， 则的面积为． 当直线l的斜率存在时，由于， 点到直线的距离为：， 线段的长为：． 则的面积为， 构造函数，令， 显然函数在区间上单调递减， 且当时，；当时，； 所以，从而面积的范围为； 综上，面积的最大值为. 103．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知椭圆的左右顶点距离为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点，斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长与椭圆的离心率求得，进而得到椭圆标准方程； （2）设与椭圆方程联立后，得到韦达定理的形式，利用中点坐标公式表示出点坐标，从而得到方程；令可求得在轴的截距，利用函数值域的求解方法可求得结果. 【详解】（1）由题意，，即， 又，所以， 故， 故所求椭圆的标准方程为. （2）如图， 由题意知：直线的斜率存在且不为零， 设，，，，中点， 联立，消去并整理得：， 恒成立， 则，，， ， 则方程为：，即， 化简得： 设直线在轴上截距为，令得， 由可知， 所以直线在轴上的截距的取值范围为. 104．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆过点，，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设点，直线与椭圆的另一个交点为，为坐标原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)垂直，理由见解析. 【分析】（1）由题意可得、，计算即可得，即可得椭圆的方程； （2）求出直线，与曲线联立后可计算出点坐标，即可得直线与直线的斜率，即可得其位置关系. 【详解】（1）椭圆过点，，故，离心率，故， 则，故； （2）由、，则直线为，即， 联立，可得，则， 故，则，即， 则、，有， 故直线与直线垂直. 105．（23-24高二上·北京东城·期末）已知椭圆：，点，在上. (1)求椭圆的方程； (2)过点作与x轴不垂直的直线，与椭圆C交于不同的两点A，B，点D与点A关于x轴对称，直线与轴交于点Q，O为坐标原点、若的面积为2，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入方程，求出系数即可. （2）用斜率表示关键点的坐标，再解方程求参数即可. 【详解】（1）由题意得，则椭圆C的方程为，代入，可得. 故椭圆C的方程为 （2）第二问图见下    设直线的方程为，. 由得. 由，得. 设，，则. ，. 直线的方程为， 令，得. 所以. 因为， 所以.经检验满足. 所以直线的斜率为. 106．（24-25高二上·北京·期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于两点（在第三象限），是椭圆上的动点（不与顶点重合），直线分别交直线于点，记，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率及四边形面积求出，即可得椭圆标准方程. （2）求出两点的坐标，设，并表示出点的坐标，结合向量共线求出即可推理得证. 【详解】（1）由椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为4，得，则， 由的离心率为，得，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，， 由，解得或，则，， 设，有，直线的方程为， 由，解得点的横坐标， 直线的方程为，由，解得点的横坐标， 由，得，同理， 所以， 而， 所以为定值. 107．（24-25高二上·北京·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为. (1)求椭圆的方程； (2)延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)有条件列出关于的方程，解方程求，由此可得椭圆C的方程； (2)由求点P的坐标，根据点在椭圆上列方程求直线l的斜率. 【详解】（1）由题意可知，，， ∵， ∴，， ∴椭圆的方程为. （2）设直线l的方程为，，， 联立，消去y得，， 则， 若四边形为平行四边形，则，设 ∴，， ∵点P在椭圆上， ∴， 解得，即， ∴当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为. 108．（24-25高二上·北京·期末）已知椭圆：经过点，且. (1)求的方程； (2)设椭圆的左焦点为，过的直线交于两点. 是否存在点，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）代入点到椭圆方程中，即可联立求解， （2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，将问题转化为两直线的斜率问题，代入化简即可求解. 【详解】（1）因为点在椭圆上，所以， 因为，所以， 解得，，， 所以椭圆C的方程为. （2）假设存在点，使得恒成立， 易知点，设点, 若直线斜率不存在，则当时，恒成立. 若直线斜率存在，设其方程为：， 由，得， 依题意， 所以，，（*） 若满足，则，即， 整理得，， 又，， 所以， 整理得，， 将（*）式代入得，， 整理得 依题意不恒为0，则， 所以存在点使得恒成立. 109．（24-25高二上·北京·期末）已知焦点在y轴上的椭圆C：（）过点，且离心率为.设分别为椭圆的下顶点和上顶点，为椭圆上异于的一点，直线分别与直线：相交于两点，且直线与椭圆交于另一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)判断三点是否共线，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)共线，证明见解析 【分析】（1）根据已知条列出有关的方程组，求出的值，可得椭圆的标准方程； （2）设点，将点的坐标代入椭圆的方程可得出与之间的关系，然后利用斜率公式，确定直线与的斜率之积为定值，设直线的方程为，可得直线的方程，与直线联立，可求出的坐标，然后求出直线的斜率，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求出点的坐标，再计算，的斜率，利用这两直线斜率相等可得结论. 【详解】（1）根据题意得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2） 根据题意可知直线与的斜率都存在且不为零，， 设，则（）， 则， 因为， 所以， 所以， 所以直线与的斜率之积为定值； ，，三点共线，证明如下： 设直线的方程为， 则直线的方程为， 所以， 所以， 所以设直线的方程为， 由，得， 设，则， 所以， 所以， 因为， 所以，， 所以， 所以，，三点共线. 110．（24-25高二上·北京·期末）已知椭圆的离心率为，上顶点为．过的直线与的另一个交点为. (1)求的方程； (2)若. （i）求的方程； （ii）求的面积. 【答案】(1) (2)（i）或； （ii）． 【分析】（1）根据离心率以及即可求解， （2）联立直线与椭圆方程可得，即可根据弦长公式求解（i），根据三角形的面积公式即可求解（ii）. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，     所以，即， 因为的上顶点为，所以 因为，所以，所以，所以， 所以椭圆的方程为． （2）（i）若直线的斜率不存在，则，不合题意． 若直线的斜率存在，设的方程为，设， 由，得， 因为，所以，所以， 所以， 化简得，解得或（舍， 所以，解得或，都满足， 所以直线方程为或； （ii）由（i）得的坐标为， 所以的面积． 111．（24-25高二上·北京西城·期末）已知椭圆的左顶点为，右顶点为，点在椭圆上（与点、不重合），过且与轴垂直的直线交直线于点，交直线于点. (1)求椭圆的短轴长和离心率； (2)若线段的中点为，求点坐标. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据方程可得，进而可得椭圆的短轴长和离心率； （2）求直线、的方程，进而可得点、的坐标，再根据中点坐标公式运算求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为. 由椭圆方程可得， 所以椭圆的短轴长，离心率. （2）由题意可知：直线的方程为， 令，得， 即. 直线的方程为， 令，得，即， 因为的中点为，则， 若，则，与重合，舍去； 若，则，解得， 将代入，得，即或. 综上所述：点坐标为或. 112．（20-21高三上·全国·月考）知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为 (1)求椭圆E的方程； (2)如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据题意过且斜率为的直线设出来，令直线方程里的求出的值，把此点代入椭圆方程，再根据的关系求解. （2）把直线方程设出来，与椭圆联立得到关于的一元二次方程，韦达定理求出用来表示，然后把方程用表示出来，令方程里的，求出点的坐标，把三角形的面积用表示，同理的面积也用表示出来，所以用，表示，然后根据韦达定理代入化简可得. 【详解】（1）过且斜率为的直线的方程为， 令，得， 由题意可得，解得， 椭圆E的方程为：； （2）由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC：， ，， 联立，得 ，， 由，得， ， ， 直线AD的方程为，令，解得， 则，同理可得， 113．（24-25高二上·北京·期末）已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求k的值． 【答案】（1） （2）1或－1. 【详解】 （1）由题意得解得．所以椭圆C的方程为． （2）由得． 设点M，N的坐标分别为，，则，，，． 所以|MN|===． 由因为点A（2,0）到直线的距离， 所以△AMN的面积为． 由，解得，经检验，所以． 114．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知椭圆的右顶点，P为椭圆C上的动点，且点P不在x轴上，O是坐标原点，面积的最大值为1． (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆C交于另一点Q，直线分别与y轴相交于点E，F．当时，求直线的方程． 【答案】(1), (2)或 【分析】(1)由椭圆的右顶点可得，若要面积最大，则需最长，此时点P在轴上，面积可得，从而求得椭圆C的方程，再由可求得，从而可得离心率； (2)设直线的方程为：，与椭圆联立方程组可解得一元二次方程，从而可得出韦达定理的表达式，再通过直线，的方程得出点E，F坐标，进而表达出，从而可解得，求得直线的方程. 【详解】（1）椭圆，，， P为椭圆C上的动点，且点P不在x轴上，O是坐标原点，过点P 作轴，垂足为，故面积为， 若要面积最大，则需最长，此时点P在轴上，即时，使得面积最大，,,. 椭圆C的方程为，离心率为. （2）P为椭圆C上的动点，过点的直线与椭圆C交于另一点Q， 可记，， 当直线的斜率不存在时，即轴时，， 此时直线分别与y轴相交于点E，F．此时，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 联立 ，消去可得,化简得，由韦达定理可得 ， 所以， 由，，，则直线的方程为：，直线的方程为：，因为直线分别与y轴相交于点E，F，令分别代入直线,直线可得：点 ，， 又，在直线方程上，所以有， 分别代入 并化简可得 ， ， ，则，解得，， 故直线的方程为：或， 即或. 115．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线分别交直线轴，轴于点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率、顶点坐标及求出可得答案； （2）直线的方程与椭圆方程联立，设，利用韦达定理求出点坐标，可得直线的方程，令、可得、点坐标，利用两点间的距离公式求出、，再做比值可得答案. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）椭圆的标准方程为，可得， 可得直线的方程为， 与椭圆方程联立，可得， 易知，设，所以，， 所以，代入直线的方程得， 所以， 所以直线的方程为， 当时，， 当时，， 所以，， 所以， ， 所以.   . 116．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，设椭圆上一点（不与左右顶点重合），直线与椭圆的另一个交点为，且的周长为6. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆的左顶点，直线，分别与直线交于，两点.试判断：以为直径的圆与直线的位置关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)相切，理由见解析 【分析】（1）根据椭圆定义并利用即可求得标准方程为； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立并利用韦达定理可求得的中点为，且，再由点到直线距离即可得出结论. 【详解】（1）由椭圆定义可得的周长为； 又，解得； 所以椭圆的标准方程为. （2）相切，理由如下： 如下图所示： 易知，设直线的方程为，， 联立，整理可得，显然； 且， 可得直线的方程为，直线的方程为； 所以，设的中点为 可得 ， 即圆心； 则， 易知， 化简可得； 所以以为直径的圆的半径为， 又到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即以为直径的圆与直线相切. 117．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知椭圆的焦距为，下顶点和右顶点的距离为， (1)求椭圆方程； (2)设不经过右顶点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于，若点为线段的中点，求证：直线经过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的性质求解即可； （2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合已知条件求出的关系即可求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）联立得，且, 设, 则有, 故， 因为，所以直线，即，则, 因为， 所以直线，所以． 因为点为线段的中点，所以， 所以， ， ， ， ， ， ， 因为，所以， 直线， 所以直线恒过定点. 118．（24-25高二上·北京·期末））已知椭圆过点，且． (1)求椭圆ω的方程； (2)设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题可得，进而得出，即可得出椭圆方程； （2）先考虑直线斜率不存在时，可得，当斜率存在时，设出直线方程，联立直线与椭圆，得出韦达定理，得出直线的方程，可表示出坐标，同理表示出的坐标，进而利用韦达定理可求出. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以. 因为，所以. 所以椭圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线的方程为. 不妨设此时，， 所以直线的方程为，即. 直线的方程为，即. 所以. 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由，得. 依题意，. 设，，则，. 又直线的方程为， 令，得点的纵坐标为，即，同理. 所以 . 综上，为定值，定值为. 119．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，为直线上一点，过点作的垂线交椭圆于两点，连接与交于点（为坐标原点）.求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先将条件转化为关于的方程，即可求解； （2）首先讨论时的特殊情况，再讨论当时，再求直线的方程，与椭圆方程联立，写出韦达定理，再让直线与直线联立方程，求点的坐标，即可判断点与点的关系，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 椭圆的方程为. （2）设则直线的斜率为， （i）当时，则直线与轴垂直，点即为点，则； （ii）当时，则直线的斜率为，则直线的方程， 联立方程，消去得：， 显然，设，则. 直线的方程为，联立方程，解得， 因为，所以点为线段的中点，则； 综上所述：. 120．（24-25高二上·北京·期末）已知椭圆：的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线与椭圆相交与，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在定点 【分析】（1）由题意列关于的方程组，求解的值，进而得到椭圆方程； （2）假设在轴上假设存在点，使得，恰好关于轴对称，设，，再设直线：，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合列式，求解的值，得到结论． 【详解】（1）由题意得，解得， 椭圆的标准方程为； （2） 在轴上假设存在点，使得，恰好关于轴对称， 设，，直线：，， 联立，得，则，， 因为，恰好关于轴对称，所以，即， 即，即 整理可得， 则，即得，即． 故在轴上存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称. 121．（24-25高二上·北京东城·期末）已知椭圆的离心率为，并且经过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆C交于不同的两点A，B，点M是线段的中点，直线过点M，且与直线l垂直．记直线与y轴的交点为N．请问：是否存在直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程； （2）首先将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦长，再求点的坐标，根据直线的方程求点的坐标，表示，根据，求直线的方程，即可求解. 【详解】（1）由题意椭圆的离心率为，并且经过点, 可知，，所以． 所以． 所以椭圆C的标准方程为． （2）设，，． 联立，整理得， ，． 从而，． ．， 因为M是线段的中点，所以， 则，故． 直线的方程为，即． 令，得，则， 所以． 欲使，只需，， 解得，满足要求．所以， 故存在满足要求的直线l，其方程为， 即或． 122．（24-25高二上·北京平谷·期末）已知点和椭圆，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)点为椭圆上一点（不与椭圆的顶点重合），直线交轴于点，直线交直线于点，证明：直线经过右顶点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据，，得到之间的关系，联立方程组求解即可得到椭圆的标准方程； （2）设，依次求出直线方程，进而得到点的坐标，得到直线的方程，因为点符合直线方程，所以直线经过右顶点. 【详解】（1）因为，，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2） 设，又因为，所以直线的方程为， 令，得，所以， 又因为，所以直线的方程为， 因为，则直线的方程为， 联立，解得，所以， 因为，所以直线的方程为即， 当时，， 因为点在椭圆上，所以，代入式得， 所以点在直线上，即直线经过右顶点. 123．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知椭圆的短轴长为，是的右焦点，是的下顶点，且． 过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)．离心率为． (2)存在，， ． 【分析】（1）根据短轴长，，，可得出的等量关系求解即可； （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零．又因为，所以．设直线的方程为，直线的方程为，联立消可得，设，得出，，表示出斜率，得出直线的方程为，即可判断恒过定点问题， 当为中点时，对与的位置关系进行分类讨论． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得                   所以椭圆的方程为．离心率为． （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零． 又因为，所以． 因为， 所以直线的方程为，直线的方程为． 由可得．             设，则． 所以．                     同理可得：．                     因为， 所以直线的方程为， 即．                               所以直线过定点．                 当为中点时，                        因为点是过点作直线的垂线的垂足， 所以当与重合时，．           当与不重合时，根据直角三角形的性质，． 所以当为的中点时，即时，的长度为定值． 【好题推送】 124．（22-23高二上·北京西城·期末）已知曲线，点，下面有四个结论： ①曲线C关于x轴对称； ②曲线C与y轴围成的封闭图形的面积不超过4； ③曲线C上任意点P满足； ④曲线C与曲线有5个不同的交点． 则其中所有正确结论的序号是（    ） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据点对称即可判断①；根据椭圆的几何性质可判断②；根据双曲线和椭圆上的点到的距离可做出判断③；由直线与曲线的关系可判断④. 【详解】①：在上时，也在上，曲线关于轴对称，故①对； ②：当 ，此时曲线是椭圆的右半部分.矩形的面积为封闭图形面积不超过故②对； ③：当时 ，， ， 当时，， 当 时，，综上，可知曲线上任意点满足，故③对. ④：与曲线相交于点，与曲线相交于点， 当 时，，此时双曲线的渐近线方程为，与， 平行， 故不会有交点.所以共有3个交点，故④错. 故选：D. 125．（23-24高二上·北京·期末）已知同时为椭圆：与双曲线：（，）的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，O为坐标原点，给出下列四个结论： ①； ②若，则； ③的充要条件是； ④若，则的取值范围是. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据椭圆以及双曲线的关系，即可判断A选项；根据椭圆以及双曲线的定义，结合余弦定理，可推得B、C选项；根据椭圆以及双曲线的定义结合三角形的三边关系，得出的关系式.进而根据对勾函数的单调性，即可得出D选项. 【详解】 对于A项，由已知椭圆与双曲线共焦点可得，，故A选项正确； 对于B项，根据椭圆以及双曲线的定义， 可得，所以. 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得：. 所以，即，故B项正确； 对于C项， 必要性：若，则为直角三角形， 所以， 即， 整理可得：， 两边同时除以可得，，即，满足必要性； 充分性：若，易可得，， 所以，所以为直角三角形，且， 可得，满足充分性. 故C项正确； 对于D项，由已知可得. 所以，. 令，则. 因为，所以. 又，所以有，所以有； ，所以有，所以有. 所以. 设函数，再设， 则， 由于，得，，， 所以，即，函数在区间上单调递增， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 126．（24-25高二上·北京·期末）已知曲线：，：，给出下列四个结论： ①曲线与且只1个公共点； ②曲线与中，有且只有一个是轴对称图形； ③曲线与中，有且只有一个关于原点成中心对称图形； ④设P为上一点（异于坐标原点O），过点P作直线，则l与有且只有1个公共点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】根据曲线联立求根判断①，直线和曲线联立结合判别式判断④，根据点代入得出曲线的对称性判断②③即可. 【详解】因为曲线：，：， 对于①：因为，所以，化简得出或，即得出或（舍）， 所以曲线与且只1个公共点，①正确； 对于②：把代入曲线：，：成立， 所以曲线与都是轴对称图形，②错误； 对于③：把代入曲线：，：都不成立， 曲线与都不关于原点成中心对称图形，③错误； 对于④：设为上一点（异于坐标原点O），所以，， 因为过点P作直线，所以， 因为，所以， 所以， ， 则l与有且只有1个公共点，④正确． 故答案为：①④. 127．（24-25高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由长度关系可得，知，在中，利用可构造齐次方程求得双曲线离心率. 【详解】 设， 为等边三角形，，，又， ，，， ，， ，解得：（舍）或， 双曲线的离心率为. 故选：C. 128．（24-25高二上·北京·期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切．过A作直线x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0的垂线，垂足为B，则|MA|+|MB|的最小值为（    ） A．2 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，设M（x，y），求出点轨迹方程y2＝4x，即可得M的轨迹是抛物线，其焦点为A（1，0），准线为x＝﹣1，过点M作MD与准线垂直，且交准线于点D，分析可得直线x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0经过定点（3，﹣2），设P（3，－2），由点性质可得B在以AP为直径的圆上，由抛物线的定义可得又由|MA|＝|MD|，则|MA|+|MB|＝|MD|+|MB|，通过（为中点，圆心）结合图形分析可得答案． 【详解】根据题意，设M（x，y），以MA为直径的圆的圆心为（，）， 又由动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，则有（）2＝（1）2+（）2， 变形可得：y2＝4x， 则M的轨迹是抛物线，其焦点为A（1，0），准线为x＝﹣1， 过点M作MD与准线垂直，且交准线于点D， 设直线l为x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0，变形可得m（y+2）＝y﹣x+5， ∴可得直线l经过定点（3，﹣2）， 设P（3，－2），设AP的中点为C，则C的坐标为（2，﹣1），|CP|， 若AB⊥l，则B在以AP为直径的圆上，该圆的方程为， 又由|MA|＝|MD|，则|MA|+|MB|＝|MD|+|MB|， 则当C、M、D三点共线时，|MA|+|MB|取得最小值，且|MA|+|MB|取得最小值为圆上的点到D的最小值， 此时|MA|+|MB|min＝|CD|﹣r＝3， 故选：D．    【点睛】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与圆的位置关系，关键是求出M的轨迹方程，属于综合题． 129．（24-25高二上·北京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为在中，由正弦定理得， 则由已知，得，即，, 由双曲线的定义知 ， 由双曲线的几何性质知 所以解得 又，故双曲线的离心率 57．（24-25高二上·北京西城·期末）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点，直线与直线 分别交于点，线段的中点为. 是否存在实数，使得以为直径的圆总与轴相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由定点及四边形面积列出等式求解即可； （2）设直线方程，，联立椭圆方程，设，结合 韦达定理，分别得到的方程，进而得到坐标，从而得到坐标，再结合中点到轴的距离等于一半列出等式求解即可； 【详解】（1）由题意，得     所以.     所以椭圆的方程为. （2） 由题意，过的直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为. 联立方程组 消去得.     显然，.     设，则 ，.     在中，令，得. 所以.     直线的方程为，     令，得， 所以.     同理可得.     设中点，则 ， 所以.     设中点为，则. 假设存在实数，使得以为直径的圆与轴相切，则点到轴的距离为 . 又因为， 所以，     化简得. 解得. 所以存在，使得以为直径的圆总与轴相切. 130．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知椭圆的上､下顶点为，左､右焦点为，四边形是面积为2的正方形. (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆上异于的点，判断直线和直线的斜率之积是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由； (3)已知圆的切线与椭圆相交于两点，判断以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，定值为 (3)过定点，定点为 【分析】（1）根据题意列式求，即可得椭圆方程； （2）设，根据斜率公式结合椭圆方程分析求解； （3）取特例可知定点应为，再对一般情况，利用韦达定理可得，即可得结果. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）是定值，理由如下： 设，则，可得， 由（1）可知：， 则， 所以直线和直线的斜率之积是定值. （3）由题意可知：圆的圆心为，半径为， 因为，可知圆在椭圆内，可知切线与椭圆相交， ①当直线的斜率不存在时，因为直线与圆相切，故切线方程为， 若切线方程为代入椭圆方程可得，可得，， 则以为直径的圆的方程为； 若切线方程为代入椭圆方程可得，可得，， 则以为直径的圆的方程为； 联立方程，解得，即两圆只有一个交点， 若存在定点，则定点应为； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 则，整理得， 联立方程，消去得， 设，， 则，， 所以， 所以 即，所以以为直径的圆经过定点； 综上可知，以为直径的圆过定点． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $