专题05 统计与概率（五大题型+好题推送）（期末真题汇编 ，北京专用）高二数学上学期人教B版

专题05 统计与概率（五大题型+好题推送） 5大高频考点概览 考点01 二项式定理 考点02 排列组合 考点03概率（古典、条件、相互独立） 考点04 随机变量及其分布 考点05 古典概型统计 地 城 考点01 二项式定理 1．（24-25高二上·北京昌平·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京大兴·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A．60 B．15 C． D． 4．（23-24高二上·北京西城·期末）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．（24-25高二上·北京·期末）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京海淀·期末）的展开式中x项的系数为（    ） A． B． C．5 D．10 7．（24-25高二上·北京·期末）在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．5 C． D．10 8．（24-25高二上·北京·期末）若且，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 9．（23-24高二上·北京昌平·期末）若，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 10．（24-25高二上·北京·期末）设，则 . 11．（23-24高二上·北京昌平·期末）在的展开式中，的系数为 . 12．（24-25高二上·北京·期末）若，则 . 13．（24-25高二上·北京·期末）若展开式的各项系数之和为32，则 ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 14．（23-24高二上·北京西城·期末）在的展开式中，所有项的系数和等于 .（用数字作答） 15．（24-25高二上·北京西城·期末）已知，则 . 16．（24-25高二上·北京·期末）在的展开式中，的系数为 ． 17．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知的展开式中各二项式系数的和为． (1)求的值； (2)求该展开式中所有项的系数和． 18．（24-25高二上·北京昌平·期末）设，求： (1)； (2)； (3). 地 城 考点02 排列组合 19．（24-25高二上·北京大兴·期末）用这个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高二上·北京西城·期末）从数字中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 21．（24-25高二上·北京昌平·期末）有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 22．（23-24高二上·北京昌平·期末）为了迎接在杭州举行的第十九届亚运会，学校开展了“争做运动达人，喜迎杭州亚运”活动.现从某班的4名男生和3名女生中选出3人参加活动，则这3人中既有男生又有女生的选法种数为（    ） A．20 B．30 C．35 D．60 23．（24-25高二上·北京·期末）某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·北京·期末）某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时 参加，则不同的邀请方法有 A．84种 B．98种 C．112种 D．140种 25．（23-24高二上·北京石景山·期末）用可以组成无重复数字的两位数的个数为（    ） A．25 B．20 C．16 D．15 26．（23-24高二上·北京西城·期末）在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（    ） A．12种 B．24种 C．32种 D．36种 27．（24-25高二上·北京大兴·期末）若，则 ． 28．（23-24高二上·北京海淀·期末）从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数共有 个． 29．（24-25高二上·北京西城·期末）某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了种不同的荤菜和种不同的素菜. (1)当时，若每份学生餐有荤素，共有多少种不同的配餐供学生选择？ (2)若每位学生可以任选荤素，要保证至少有种以上的不同选择，求的最小值. 30．（23-24高二下·北京通州·期中）某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名． (1)将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？ (2)从6名中选出3人参加某公益活动． （i）共有多少种不同的选择方法？ （ii）如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？ 31．（23-24高二上·北京昌平·期末）北京的三条文化带——大运河文化带、长城文化带、西山永定河文化带，是北京文化脉络乃至中华文明的精华所在.为了让同学们了解这三条文化带的内涵，现从4名老师中选3名老师，每人讲述一条文化带，每条文化带由一名老师讲述，则不同的分配方案种数是 . 32．（23-24高二上·北京西城·期末）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？ 地 城 考点03 概率（古典、条件、相互独立） 33．（24-25高二上·北京·期末）采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数： 907   966   181   925   271   932   812   458   569   683 431   257   393   027   556   488   730   113   537   989 根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二上·北京东城·期末）线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A，B两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如下： 支付金额（元） 支付方式 大于1000 仅使用A 20人 8人 2人 仅使用B 10人 6人 4人 从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高二上·北京平谷·期末）某学校高二趣味运动会中设置了障碍投篮比赛，每名运动员投篮3次.已知甲同学投篮命中率为，那么投篮比赛中甲同学恰好命中一次的概率是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（    ） A．22.5% B．30% C．40% D．75% 37．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知展台上四个盲盒中装有由卡通动漫人物设计的四款不同的产品，学生甲喜欢其中的一款.甲从四个盲盒中抽选两个，则“学生甲抽到了喜欢的那一款”的概率为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高二上·北京东城·期末）2023年10月第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京胜利召开.某校准备进行“一带一路”主题知识竞赛活动.要求每位选手回答A，B两类问题，且至少一类问题的成绩达到优秀才能获奖.已知张华答A，B两类问题成绩达到优秀的概率分别为0.6，0.5，则张华在这次比赛中获奖的概率为 . 39．（18-19高一下·北京丰台·期末）如果事件A与事件B互斥，且，，则＝ ． 40．（24-25高二上·北京平谷·期末）将2名男生和1名女生随机排成一排，则2名男生相邻的概率为 . 41．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知盒子中有大小、形状都相同的4个红球和2个白球，每次从中取一个球，取到红球记1分，取到白球记2分.如果有放回的抽取2次，则“2次所得分数之和为3分”的概率是 . 42．（23-24高二上·北京东城·期末）2023年9月23日第19届亚运会开幕式在杭州隆重举行.为调查某地区全体学生收看开幕式的情况，采用随机抽样的方式进行问卷调查，统计结果如下： 方式 手机 电脑 电视 未观看 频率 0.5 0.2 0.1 0.2 假定每人只用一种方式观看，且每人观看的方式相互独立、用频率估计概率. (1)若该地区有10000名学生，试估计该地区观看了亚运会开幕式的学生人数； (2)从该地区所有学生中随机抽取2人，求这2人都观看了亚运会开幕式的概率； (3)从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，求这2人中至少有1人使用电脑观看了亚运会开幕式的概率. 43．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知某公司统计了一种产品在2023年各月的销售情况，如图，公司将每连续3个月的销售量做为一个观测组，对该公司这种产品的销售量（单位：万）进行监测和预测. (1)现从产品的10个观测组中任取一组，求组内三个月中至少有一个销售量高于50万的概率； (2)若当月的销售量大于上一个月的销售量，则称该月的销售指数增长；若当月的销售量小于上一个月的销售量，则称该月的销售指数下降.（已知1月份的销售量低于2022年12月份销售量）.现从10个观测组中任取一组，求抽到的观测组中销售指数增长月份恰有2个的概率. (3)假设该产品每月的销售指数是否增长只受上一个月销售指数的影响，预测2024年1月份“销售指数增长”和“销售指数下降”的概率估计值哪个最大（直接写出结果）. 地 城 考点04 随机变量及其分布 44．某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（    ） A．9.6% B．10.4% C．80% D．99.2% 45．某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同. 时段 新闻点击量 第1天到第15天 ↑ - ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ - ↓ ↓ 第16天到第30天 - ↑ - ↑ - ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ ↑ 用频率估计概率. (1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率； (2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求的分布列和数学期望； (3)从样本给出的30天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差，大小关系. 46．地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）. 明年冬小麦统一收购价格（单位：元） 概率 表1 假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率. (1)试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率； (2)设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望； (3)地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由. 47．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了  做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、 患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户.若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不  能脱贫户”. （1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率； （2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中乙村的户数，求的分布 列和数学期望； （3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）. 地 城 考点05 统计 48．（24-25高二上·北京东城·期末）在一次业余歌唱比赛中，随机从观众中抽出10人担任评委．下面是他们给某位选手的打分情况： 43 44 45 45 46 48 49 49 50 51 设这10个分数的平均数为，再从中去掉一个最高分，去掉一个最低分，设剩余8个分数的平均数为，则（   ） A． B．且 C．且 D．且 49．（24-25高二上·北京·期末）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A．图（1）的平均数＝中位数＞众数 B．图（2）的众数＜中位数＜平均数 C．图（2）的平均数＜众数＜中位数 D．图（3）的中位数＜平均数＜众数 50．（24-25高二上·北京·期末）设数据1，2，3，4，5的第m百分位为，，则集合M中元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．9 D．100 51．（23-24高二上·北京海淀·期末）某区12月10日至23日的天气情况如图所示．如：15日是晴天，最低温度是零下9℃，最高温度是零下4℃，当天温差（最高气温与最低气温的差）是5℃．    (1)从10日至21日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是晴天的概率： (2)从11日至20日中随机抽取两天，求恰好有一天温差不高于5℃的概率： (3)已知该区当月24日的最低温度是零下10℃．12日至15日温差的方差为，21日至24日温差的方差为，若，请直接写出24日的最高温度．（结论不要求证明） （注：，其中为数据的平均数） 52．（24-25高二上·北京平谷·期末）某学校为提升学生的体质水平，要求所有学生在一学期内完成规定的运动任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其运动打卡成绩的频率分布直方图及相应过程性积分数据，整理如下： 运动打卡成绩（km） 运动过程性积分 5 4 3 2 1 (1)求的值，并估计从该校随机抽取一名学生，这名学生的运动过程性积分不少于4分的概率； (2)在抽取的100名学生中，采取分层抽样的方法从运动打卡成绩在和内抽取5人，再从这5名学生中随机选取2人，求这2名学生的运动过程性积分之和为3的概率； (3)从该校运动过程性积分不高于2分的学生中随机抽取一名，其运动打卡成绩记为，上述100名学生运动打卡成绩的平均值记为.若根据图表信息是否能推断恒成立？（直接写出结论） 53．（24-25高二上·北京东城·期末）从某小区随机抽取了100户居民进行了网费调查，将他们的网费分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： (1)根据该频率分布直方图，求x的值； (2)已知该小区共2000户，估计该小区中网费落在区间内的户数； (3)假设同组中的每个数据用该组区间的左端点值代替，估计该小区的户均网费． 54．（24-25高二上·北京东城·期末）2021年7月11日18时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台2021年首次发布暴雨橙色预警.中央气象台预计，7月11日至13日，华北地区将出现2021年以来的最强降雨.下表是中央气象台7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域. 北京密云 山东乐陵 河北迁西 山东庆云 北京怀柔 河北海兴 河北唐山 天津渤海A平台 河北丰南 山东长清 180 毫米 175 毫米 144 毫米 144 毫米 143 毫米 140 毫米 130 毫米 127 毫米 126 毫米 126 毫米 (1)从这10个区域中随机选出1个区域，求这个区域的降雨量超过135毫米的概率； (2)从这10个区域中随机选出3个区域，求恰有一个北京区域的概率； (3)在7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过140毫米的区域降雨量的方差为，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为，全部十个区域降雨量的方差为.试判断的大小关系.（结论不要求证明） 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 统计与概率（五大题型+好题推送） 5大高频考点概览 考点01 二项式定理 考点02 排列组合 考点03概率（古典、条件、相互独立） 考点04 随机变量及其分布 考点05 古典概型统计 地 城 考点01 二项式定理 1．（24-25高二上·北京昌平·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由展开式的通项可得. 【详解】的展开式通项为， 当，即时，得，系数是， 故选：A 2．（24-25高二上·北京大兴·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式写出展开式通项，进而确定常数项即可. 【详解】由题设，展开式通项为，， 令，则常数项. 故选：B 3．（24-25高二上·北京·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A．60 B．15 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，进而求出常数项. 【详解】二项式的展开式的通项为， 由，得，所以所求常数项为. 故选：A 4．（23-24高二上·北京西城·期末）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】写出每一项的表达式，即可得出的系数. 【详解】由题意， 在中，每一项为， 当即时，， 故选：D. 5．（24-25高二上·北京·期末）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可. 【详解】对于，由二项展开式的通项得， 令解得， 则所求系数为， 故选：D 6．（23-24高二上·北京海淀·期末）的展开式中x项的系数为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 【分析】求出展开式的通项公式为，令，得，即可求解. 【详解】解：的展开式的通项为：， 令，得， 得的展开式中x项的系数为：. 故选：A 7．（24-25高二上·北京·期末）在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可. 【详解】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：. 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 8．（24-25高二上·北京·期末）若且，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【分析】根据二项展开式可求得常数项，再利用赋值法即可求得参数的值. 【详解】由二项式定理可知，常数项； 令，得， 又因为， 所以， 可得或. 故选：D. 9．（23-24高二上·北京昌平·期末）若，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用赋值法计算作答. 【详解】因为， 所以当时，， 故选：C. 10．（24-25高二上·北京·期末）设，则 . 【答案】0 【分析】根据给定条件，利用赋值法求出值即可得解. 【详解】取，得， 取，得， 所以. 故答案为：0 11．（23-24高二上·北京昌平·期末）在的展开式中，的系数为 . 【答案】 【分析】求出二项展开式的通项，进而得到的系数. 【详解】展开式的通项为， 令，即， 所以， 所以的系数为， 故答案为：. 12．（24-25高二上·北京·期末）若，则 . 【答案】 【分析】利用赋值法令可计算得出，再应用二项式展开式通项公式计算可得即可求解. 【详解】因为， 令，即可得， 因为展开式中代表系数，所以的展开式中含有三次项， 可得，得， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高二上·北京·期末）若展开式的各项系数之和为32，则 ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 【答案】 5 10 【详解】显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；，常数项C＝10. 14．（23-24高二上·北京西城·期末）在的展开式中，所有项的系数和等于 .（用数字作答） 【答案】 【分析】根据二项式，令即可得出所有项的系数和. 【详解】由题意， 在中，当时所求值即为所有项的系数和，为：， 故答案为：. 15．（24-25高二上·北京西城·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】通过赋值法即可求解； 【详解】令，可得：， 再令，可得：， 两式相加可得：， 所以， 故答案为： 16．（24-25高二上·北京·期末）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【分析】利用二项展开式求通项，再求对应项的系数即可. 【详解】设展开式中通项为： 令，则. 故答案为： 17．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知的展开式中各二项式系数的和为． (1)求的值； (2)求该展开式中所有项的系数和． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据各二项式系数的和可得的值； （2）利用赋值法可求得所有项系数和为1. 【详解】（1）由所有二项式系数的和为，可知， 可得． （2）设二项式可化为． 令，则． 所以展开式中所有项的系数和为． 18．（24-25高二上·北京昌平·期末）设，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)0 (2) (3)729 【分析】（1）（2）（3）根据给定的展开式，利用赋值法计算得解. 【详解】（1）在展开式中，令，得：， 令，得：， 所以. （2）令，得：， 由（1）知，， 两式相加得：， 所以. （3）令，得：. 地 城 考点02 排列组合 19．（24-25高二上·北京大兴·期末）用这个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据分步乘法计数原理运算求解即可. 【详解】因为百位不为0，有9个数字可选， 则十位有9个数字可选， 个位有8个数字可选， 所以可以组成个没有重复数字的三位数. 故选：C. 20．（24-25高二上·北京西城·期末）从数字中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】分别讨论和为6的情况，再结合排列组合概念即可求解； 【详解】三个数字和为6的情况有：222,114,123， 对于3个2的排列只有1个； 对于1，1，4的排列有个， 对于1，2，3的排列有个， 所以这样的三位数有10个， 故选：C 21．（24-25高二上·北京昌平·期末）有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】利用插空法可得. 【详解】由题意，先把3位男生排成一排，然后将2位女生插入3个男生中间或两边，不同的站法共种， 故选：C 22．（23-24高二上·北京昌平·期末）为了迎接在杭州举行的第十九届亚运会，学校开展了“争做运动达人，喜迎杭州亚运”活动.现从某班的4名男生和3名女生中选出3人参加活动，则这3人中既有男生又有女生的选法种数为（    ） A．20 B．30 C．35 D．60 【答案】B 【分析】根据题意，分为两类：一男两女或两男一女，结合组合数公式，即可求解. 【详解】由题意，可分为两类：一男两女或两男一女， 当一男两女时，有种不同的选法； 当两男一女时，有种不同的选法， 由分类计数原理得，共有种不同的选法. 故选：B. 23．（24-25高二上·北京·期末）某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理，先从4人中选出2人作为一组，有种方法，再与另外2人一起进行排列，有种方法，相乘即可得到答案. 【详解】4名学生分到3个小区，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学， ∴4名同学不同的分组方法只能为2，1，1， ∴不同的安排方法有(种). 故选：D. 24．（24-25高二上·北京·期末）某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时 参加，则不同的邀请方法有 A．84种 B．98种 C．112种 D．140种 【答案】D 【详解】∵10位教师中的6人参加一个研讨会， 其中甲、乙两位教师不能同时参加，需要分类来解， ∴当甲和乙有一个参加，则只要从8人中选5个，共有2C85=112种结果， 当甲和乙都不参加，要从8人中选6人，共有C86=28种结果， 根据分类计数原理知共有112+28=140， 故答案为140 25．（23-24高二上·北京石景山·期末）用可以组成无重复数字的两位数的个数为（    ） A．25 B．20 C．16 D．15 【答案】C 【分析】利用间接法，结合排列数公式，即可求解. 【详解】从中任选两个数字，组成两位数的个数有个， 其中数字0排首位的有4个， 所以满足条件的两位数有个. 故选：C 26．（23-24高二上·北京西城·期末）在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（    ） A．12种 B．24种 C．32种 D．36种 【答案】C 【分析】根据题意可知共种选法，由正方体性质可知在6个表面中选取3个点的情况不合题意，共种，即可得出结论. 【详解】如下图所示： 在正方体中，共有6个表面，在这6个表面内任取3个点都在同一平面内，共有种； 在正方体的8个顶点中任选3个共有种； 所以这3个顶点恰好不在同一个表面中的选法共有种. 故选：C 27．（24-25高二上·北京大兴·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】利用排列数公式、组合数公式计算可得答案. 【详解】若，则， 解得，或舍去. 故答案为：. 28．（23-24高二上·北京海淀·期末）从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数共有 个． 【答案】72 【分析】利用分步计数原理与插空法即可得解. 【详解】根据题意，完成这个事情可分为三步： 第一步骤：选数字，有种； 第二个步骤：将选好的三个数字确定一个重复的数字，有种， 第三个步骤：安排这三个数字在四个位置上，且相邻数位上的数字不相同， 即先安排两个不同的数字，再让两个相同的数字去插空，则有种排序方法， 根据分步计数原理可得这样的四位数共有：个. 故答案： 29．（24-25高二上·北京西城·期末）某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了种不同的荤菜和种不同的素菜. (1)当时，若每份学生餐有荤素，共有多少种不同的配餐供学生选择？ (2)若每位学生可以任选荤素，要保证至少有种以上的不同选择，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可求出不同的选择方法种数； （2）利用组合计数原理可得出每位学生的不同选择方法种数，结合题意可得出关于的不等式，由此可求得正整数的最小值. 【详解】（1）当时，学校共有种不同的荤菜和种不同的素菜， 若每份学生餐有荤素，由分步乘法计数原理可知， 不同的选择方法为（种）. （2）从种不同的荤菜和种不同的素菜中，任取荤素，不同的选择方法为（种）. 由题意，得，整理可得，   因为，所以，所以的最小值为. 30．（23-24高二下·北京通州·期中）某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名． (1)将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？ (2)从6名中选出3人参加某公益活动． （i）共有多少种不同的选择方法？ （ii）如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)480 (2)20，16 【分析】（1）根据插空法即可求解； （2）根据组合定义即可求解（i）；用“6名学生中选出3人参加某公益活动”所有情况减去 “6名学生中选出3名男生参加某公益活动”的情况即可求解（ii）． 【详解】（1）男生先排有种，女生插空有种， 所以共有种不同排法． （2）（i）6名中选出3人共有种方法； （ii）6名中选出3名男生有种方法， 所以至少有1位女生入选，共有种不同的选择方法． 31．（23-24高二上·北京昌平·期末）北京的三条文化带——大运河文化带、长城文化带、西山永定河文化带，是北京文化脉络乃至中华文明的精华所在.为了让同学们了解这三条文化带的内涵，现从4名老师中选3名老师，每人讲述一条文化带，每条文化带由一名老师讲述，则不同的分配方案种数是 . 【答案】24 【分析】根据排列的含义结合排列数的计算，即可得答案. 【详解】从4名老师中选3名老师，每人讲述一条文化带，每条文化带由一名老师讲述， 相当于从4个不同元素中选3个元素的排列问题， 则不同的分配方案种数为， 故答案为：24 32．（23-24高二上·北京西城·期末）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？ 【答案】(1)120 (2)360 【分析】（1）利用组合计数，求选择的方法数； （2）利用分步计数原理，结合组合数和排列数的计算，求选派的方法数. 【详解】（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动， 选择方法数为种. （2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有种， 故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为种. 地 城 考点03 概率（古典、条件、相互独立） 33．（24-25高二上·北京·期末）采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数： 907   966   181   925   271   932   812   458   569   683 431   257   393   027   556   488   730   113   537   989 根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给数据计数至少击中两次的次数后计算概率． 【详解】所给数据中有181，271，932，812，431，393，113共7个数据表示至少击中两次， 所以概率为． 故选：B． 34．（23-24高二上·北京东城·期末）线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A，B两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如下： 支付金额（元） 支付方式 大于1000 仅使用A 20人 8人 2人 仅使用B 10人 6人 4人 从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表格数据，分析事件后，再代入古典概型概率公式，即可求解. 【详解】由表格数据可知，仅使用的有30人，其中支付金额多于元的有10人， 仅使用的有20人，其中支付金额多于元的有10人， 则仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率. 故选：D 35．（24-25高二上·北京平谷·期末）某学校高二趣味运动会中设置了障碍投篮比赛，每名运动员投篮3次.已知甲同学投篮命中率为，那么投篮比赛中甲同学恰好命中一次的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由次独立重复试验中恰有次发生的概率公式，计算可得答案. 【详解】因为甲同学投篮命中率为， 所以在3次投篮比赛中， 甲同学恰好命中一次的概率 ， 故选： 36．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（    ） A．22.5% B．30% C．40% D．75% 【答案】C 【分析】由条件概率的公式计算即可得. 【详解】设事件为“抽到喜欢文学阅读的学生”，设事件为“抽到喜欢科普阅读的学生”， 则，， 则， 即在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为. 故选：C. 37．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知展台上四个盲盒中装有由卡通动漫人物设计的四款不同的产品，学生甲喜欢其中的一款.甲从四个盲盒中抽选两个，则“学生甲抽到了喜欢的那一款”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，根据组合数的计算，求得基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，甲四个盲盒中抽选两个，共有种不同的选法， 其中学生甲抽到了喜欢的那一款，有种不同的选法， 根据古典概型的概率计算公式，可得概率为. 故选：D. 38．（23-24高二上·北京东城·期末）2023年10月第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京胜利召开.某校准备进行“一带一路”主题知识竞赛活动.要求每位选手回答A，B两类问题，且至少一类问题的成绩达到优秀才能获奖.已知张华答A，B两类问题成绩达到优秀的概率分别为0.6，0.5，则张华在这次比赛中获奖的概率为 . 【答案】/ 【分析】由题意知可从反面考虑求出不获奖的概率，从而求解出获奖的概率，即可求解. 【详解】由题意知，当张华不获奖时的概率为， 所以张华获奖的概率为. 故答案为：. 39．（18-19高一下·北京丰台·期末）如果事件A与事件B互斥，且，，则＝ ． 【答案】0.5 【分析】表示事件A与事件B满足其中之一占整体的占比．所以根据互斥事件概率公式求解． 【详解】 【点睛】此题考查互斥事件概率公式，关键点在于理解清楚题目概率表示的实际含义，属于简单题目． 40．（24-25高二上·北京平谷·期末）将2名男生和1名女生随机排成一排，则2名男生相邻的概率为 . 【答案】 【分析】利用“相邻”问题捆绑法求得2名男生相邻的排法数，根据古典概型概率公式即可求得概率. 【详解】将2名男生和1名女生随机排成一排，方法数有种， 而2名男生相邻的排法数有种， 由古典概型概率公式，可得2名男生相邻的概率为. 故答案为：. 41．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知盒子中有大小、形状都相同的4个红球和2个白球，每次从中取一个球，取到红球记1分，取到白球记2分.如果有放回的抽取2次，则“2次所得分数之和为3分”的概率是 . 【答案】 【分析】根据相互独立事件概率乘法公式计算即可. 【详解】由题意，2次所得分数之和为3分， 则第1次取出红球第2次取出白球或第1次取出白球第2次取出红球, 由于有放回抽取，两次抽取为相互独立事件， 其概率为. 故答案为： 42．（23-24高二上·北京东城·期末）2023年9月23日第19届亚运会开幕式在杭州隆重举行.为调查某地区全体学生收看开幕式的情况，采用随机抽样的方式进行问卷调查，统计结果如下： 方式 手机 电脑 电视 未观看 频率 0.5 0.2 0.1 0.2 假定每人只用一种方式观看，且每人观看的方式相互独立、用频率估计概率. (1)若该地区有10000名学生，试估计该地区观看了亚运会开幕式的学生人数； (2)从该地区所有学生中随机抽取2人，求这2人都观看了亚运会开幕式的概率； (3)从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，求这2人中至少有1人使用电脑观看了亚运会开幕式的概率. 【答案】(1)8000 (2)0.64 (3) 【分析】（1）首先求观看了亚运会开幕式的学生的频率，再求学生人数； （2）根据（1）的结果可知，每个学生观看亚运会开幕式的概率，再利用独立事件概率公式，即可求解； （3）首先求观看了亚运会开幕式的学生中使用电脑观看的频率，再利用对立事件概率公式，即可求解. 【详解】（1）因为该地区观看了亚运会开幕式的学生的频率为， 所以该地区观看了亚运会开幕式的学生人数估计为. （2）设事件A：从该地区所有学生中随机抽取1人，该学生观看了亚运会开幕式.由频率估计概率，得. 设事件B：从该地区所有学生中随机抽取2人，这2名学生都观看了亚运会开幕式.由于这两名学生观看亚运会开幕式相互独立，则. （3）设事件C：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取1人，该学生使用电脑观看了开靠式，则. 设事件D：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，至少1人用电脑观看了开幕式，则. 43．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知某公司统计了一种产品在2023年各月的销售情况，如图，公司将每连续3个月的销售量做为一个观测组，对该公司这种产品的销售量（单位：万）进行监测和预测. (1)现从产品的10个观测组中任取一组，求组内三个月中至少有一个销售量高于50万的概率； (2)若当月的销售量大于上一个月的销售量，则称该月的销售指数增长；若当月的销售量小于上一个月的销售量，则称该月的销售指数下降.（已知1月份的销售量低于2022年12月份销售量）.现从10个观测组中任取一组，求抽到的观测组中销售指数增长月份恰有2个的概率. (3)假设该产品每月的销售指数是否增长只受上一个月销售指数的影响，预测2024年1月份“销售指数增长”和“销售指数下降”的概率估计值哪个最大（直接写出结果）. 【答案】(1) (2) (3)“销售指数增长”的概率估计值最大 【分析】（1）列举出10个观测组中的数据，求出符合题意的观测组数据个数即可得出概率； （2）将销售指数增长记为“1”，销售指数下降记为“0”，得出每个月的增长指数情况，求出销售指数增长月份恰有2个的数据组数，即可得出结论； （3）易知12月份为“销售指数增长”月，求出连续两个月为增长的概率即可得出结论. 【详解】（1）根据题意可知，四个观测组中的数据分别为： ， ； 至少有一个高于50万的数据有8组， 所以从10个观测组中任取一组，组内三个月中至少有一个销售量高于50万的概率； （2）将销售指数增长记为“1”，销售指数下降记为“0”， 则10个观测组中的销售指数可表示为： ，； 观测组中销售指数增长月份恰有2个的共有6组， 即从10个观测组中任取一组，抽到的观测组中销售指数增长月份恰有2个的概率； （3）易知12月份为“销售指数增长”月，12个月当中每个月的销售指数可表示为0，1，1，1，0，0，1，1，0，1，1，1， 易得“销售指数增长”的月份共有8个， 上个月增长下个月也增长的月份共5个，即可知2024年1月份“销售指数增长”和“销售指数下降”的概率估计值分别为和, 因此2024年1月份“销售指数增长”的概率估计值最大. 地 城 考点04 随机变量及其分布 44．某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（    ） A．9.6% B．10.4% C．80% D．99.2% 【答案】A 【分析】根据独立重复实验的概率公式可求出结果. 【详解】由天气预报的准确率为80%， 则3次预报中恰有1次预报准确的概率为： ，即. 故选：A. 45．某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同. 时段 新闻点击量 第1天到第15天 ↑ - ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ - ↓ ↓ 第16天到第30天 - ↑ - ↑ - ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ ↑ 用频率估计概率. (1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率； (2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求的分布列和数学期望； (3)从样本给出的30天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差，大小关系. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【分析】（1）30天中，有10天点击量下降，从而估计出相应的概率； （2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望； （3）求出，，得到，同理得到，比较出大小. 【详解】（1）30天中，有10天点击量下降，故估计该网站新闻点击量“下降”的概率为； （2）前15天中，有5天的点击量上涨，后15天中，有7天上涨， 故的可能取值为， 则，， ， 故的分布列如下： 0 1 2 ； （3），理由如下： 由（2）知，样本给出的30天中点击量上涨的天数为12， 故，， 则，， 这40天中点击量上涨的天数为， 故，， 故，， 由于，故. 46．地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）. 明年冬小麦统一收购价格（单位：元） 概率 表1 假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率. (1)试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率； (2)设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望； (3)地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， (3)建议农科所推广该项技术改良，理由见解析 【分析】（1）计算出亩产量是的概率，结合表1以及独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则， 设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，计算出增产的会产生增加的收益，与比较大小后可得出结论. 【详解】（1）解：由图可知，亩产量是的概率约为， 亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为， 估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率为 （2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、、， ，， ， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： . （3）解：建议农科所推广该项技术改良， 设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则， 设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，分析可知， 所以，增产的会产生增加的收益为， 故建议农科所推广该项技术改良. 47．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了  做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、 患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户.若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不  能脱贫户”. （1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率； （2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中乙村的户数，求的分布 列和数学期望； （3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）. 【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差. 【详解】试题分析：（1）处于100以下“”图标共5个，由古典概型可求．（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，，的可能值为0，1，2，3. 写出超几何分布列．（3）数据越集中方差越小，数据越分散方差越大，显然乙村更集中． 试题解析：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户， 所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为 （2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意， 的可能值为0，1，2，3.从而 ，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 故的数学期望. （3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差. 地 城 考点05 统计 48．（24-25高二上·北京东城·期末）在一次业余歌唱比赛中，随机从观众中抽出10人担任评委．下面是他们给某位选手的打分情况： 43 44 45 45 46 48 49 49 50 51 设这10个分数的平均数为，再从中去掉一个最高分，去掉一个最低分，设剩余8个分数的平均数为，则（   ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】根据平均数的概念直接计算可得结果. 【详解】由题意得，， ， ∴. 故选：A. 49．（24-25高二上·北京·期末）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A．图（1）的平均数＝中位数＞众数 B．图（2）的众数＜中位数＜平均数 C．图（2）的平均数＜众数＜中位数 D．图（3）的中位数＜平均数＜众数 【答案】B 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A错误； 图（2）频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，平均数大于中位数，故B正确，C错误； 同理图（3）“左拖尾”，众数最大，平均数小于中位数，故D错误. 故选：B. 50．（24-25高二上·北京·期末）设数据1，2，3，4，5的第m百分位为，，则集合M中元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．9 D．100 【答案】C 【分析】根据百分位数的定义，利用的不同取值范围分类讨论求解. 【详解】设％，其中，所以％， 当时，，则的比邻整数为1，所以； 当时，，所以； 当时，，则的比邻整数为2，所以； 当时，，所以； 当时，，则的比邻整数为3，所以； 当时，，所以； 当时，，则的比邻整数为4，所以； 当时，，所以； 当时，，则的比邻整数为5，所以； 当时， ； 综上，， 故选:C. 51．（23-24高二上·北京海淀·期末）某区12月10日至23日的天气情况如图所示．如：15日是晴天，最低温度是零下9℃，最高温度是零下4℃，当天温差（最高气温与最低气温的差）是5℃．    (1)从10日至21日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是晴天的概率： (2)从11日至20日中随机抽取两天，求恰好有一天温差不高于5℃的概率： (3)已知该区当月24日的最低温度是零下10℃．12日至15日温差的方差为，21日至24日温差的方差为，若，请直接写出24日的最高温度．（结论不要求证明） （注：，其中为数据的平均数） 【答案】(1)； (2)； (3)0℃. 【分析】（1）根据给定信息，利用古典概率公式列式计算即得. （2）利用组合求出试验的基本事件总数，所求概率的事件所含基本事件数，再利用古典概率求解即得. （3）利用平均数、方差公式计算，求出24日的温差即可得解. 【详解】（1）设“这三天中至少有两天是晴天”为事件A，连续统计三天共有12个基本事件，事件A共有8个基本事件， 所以. （2）从11日至20日中随机抽取两天共有个基本事件，设“恰好有一天温差不高于5℃”为事件B， 不高于5℃有11日，12日，13日，14日，15日，16日，20日，事件B有个基本事件， 所以. （3）显然12日至15日温差为4，2，5，5，平均数为4，方差， 21日至24日温差为8，11，11，a，平均数为，方差， 依题意，，即，整理得，解得， 而24日的最低温度是零下10℃，所以24日的最高温度是0℃. 52．（24-25高二上·北京平谷·期末）某学校为提升学生的体质水平，要求所有学生在一学期内完成规定的运动任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其运动打卡成绩的频率分布直方图及相应过程性积分数据，整理如下： 运动打卡成绩（km） 运动过程性积分 5 4 3 2 1 (1)求的值，并估计从该校随机抽取一名学生，这名学生的运动过程性积分不少于4分的概率； (2)在抽取的100名学生中，采取分层抽样的方法从运动打卡成绩在和内抽取5人，再从这5名学生中随机选取2人，求这2名学生的运动过程性积分之和为3的概率； (3)从该校运动过程性积分不高于2分的学生中随机抽取一名，其运动打卡成绩记为，上述100名学生运动打卡成绩的平均值记为.若根据图表信息是否能推断恒成立？（直接写出结论） 【答案】(1)； (2) (3)能推断恒成立 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征建立方程，解之即可求出；结合古典概型的概率公式计算即可求解； （2）根据古典概型的概率公式计算即可求解； （3）求出的最大值和的最小值即可下结论. 【详解】（1）由图可知，， 解得； 所以组对应的频率为，对应的人数为， 所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的运动过程性积分不少于4分的概率为. （2）由题意知，成绩在和的人数分别为和20，比例为， 从这两组按分层抽样的方法抽取5人， 则从组内抽得1人，从组内抽得4人， 从这5名学生中随机选取2人，这2名学生的运动过程性积分之和为3的概率为 . 所以从这5名学生中随机选取2人，这2名学生的运动过程性积分之和为3的概率为. （3）从该校运动过程性积分不高于2分的学生中随机抽取一名，其运动成绩记为， 又运动过程性积分为2的成绩对应的组是，则的最大值为， 100名学生运动成绩的平均值记为， 则的最小值为各分数段取最小值求得的平均分， 即， 所以， 所以根据表中信息能推断恒成立. 53．（24-25高二上·北京东城·期末）从某小区随机抽取了100户居民进行了网费调查，将他们的网费分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： (1)根据该频率分布直方图，求x的值； (2)已知该小区共2000户，估计该小区中网费落在区间内的户数； (3)假设同组中的每个数据用该组区间的左端点值代替，估计该小区的户均网费． 【答案】(1)0.0044； (2)960户； (3)189元. 【分析】（1）利用频率和为1列方程求参数即可； （2）根据频率直方图求出区间的频率，进而求出对应户数； （3）根据直方图确定各区间的频率，结合已知求该小区的户均网费． 【详解】（1）由该频率分布直方图，得． （2）在样本中，网费落在区间内的频率为， 所以估计该小区中网费落在区间内的户数约为户． （3）由（1）可知，这六个组的频率分别为0.06，0.12，0.22，0.30，0.18，0.12． 因为同组中每个数据用该组区间的左端点值代替， 估计该样本的平均值约为． 所以估计该小区的户均网费为189元． 【好题推送】 54．（24-25高二上·北京东城·期末）2021年7月11日18时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台2021年首次发布暴雨橙色预警.中央气象台预计，7月11日至13日，华北地区将出现2021年以来的最强降雨.下表是中央气象台7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域. 北京密云 山东乐陵 河北迁西 山东庆云 北京怀柔 河北海兴 河北唐山 天津渤海A平台 河北丰南 山东长清 180 毫米 175 毫米 144 毫米 144 毫米 143 毫米 140 毫米 130 毫米 127 毫米 126 毫米 126 毫米 (1)从这10个区域中随机选出1个区域，求这个区域的降雨量超过135毫米的概率； (2)从这10个区域中随机选出3个区域，求恰有一个北京区域的概率； (3)在7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过140毫米的区域降雨量的方差为，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为，全部十个区域降雨量的方差为.试判断的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由表格可得雨量在135毫米以上的区域共有6个，进而可得结果； （2）设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量，由超几何分布概率公式可得； （3）结合方差的意义可得结果. 【详解】（1）设这个区域降雨量在135毫米以上为事件， 区域降雨量在135毫米以上的区域共有6个，所以. 故这个区域降雨量在135毫米以上的概率为 （2）设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量， 由题意分析可知服从超几何分布，即表示“恰有一个北京区域”， 则， 故恰有一个北京区域的概率为. （3）表中数据的均值为， 故 ， 降雨量超过140毫米的区域降雨量的均值为， 故， 降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的均值为： ， 故， 故. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $