专题03 二元一次方程组的应用（10大题型）（高效培优专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题03 二元一次方程组的应用 题型一：错解复原问题 题型二：构造二元一次方程组求解 题型三：已知解的情况求参数 题型四：方案问题 题型五：行程问题 题型六：销售、利润问题 题型七：和差倍分问题 题型八：几何问题 题型九：图表信息题 题型十：古代问题 题型一：错解复原问题 1．（23-24七年级上·安徽·单元测试）解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）已知关于，的二元一次方程组，小明同学由于看错了方程组中的，得到方程组的解为；小李同学由于看错了，得到方程组的解为 (1)求，的值； (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 3．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为． (1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 题型二：构造二元一次方程组求解 4．已知，当时，代数式的值是6；当时，代数式的值是3，代数式的值是（    ） A． B． C．2 D． 5．对，定义一种新运算“※”，规定：（其中，均为非零常数），若，，则的值为（    ） A．4 B．9 C．10 D．12 6．当a、b都是整数时，我们称（a，b）为一个有序整数对，如（-2，2）和（2，-2）是两个不同的有序整数对，则满足|a-b|+|ab|=1的有序整数对有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 7．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． （1）已知，，则的值为 ； （2）若，则的值为 ． 8．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）对于多项式（k，b为常数），若x分别用7，13代入时，的值分别为16，28，求k和b的值． 题型三：已知解的情况求参数 9．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D．4 10．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）若方程组的解中x与y的值互为相反数，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知关于x，y的方程组给出下列结论：a．当时，方程组的解也是的解；b．无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；c．x，y均为正整数的解只有1对；d．若，则．正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知关于的方程组下列结论错误的是（    ） A．当时，该方程组的解也是方程的解 B．存在实数，使得 C．当时， D．不论取什么实数，的值始终不变 13．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知关于的方程组的解满足，求的值为 ． 14．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 ． 15．（23-24七年级上·安徽·单元测试）若关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数，则的值是 16．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知关于，的方程组， （1）若，互为相反数，则 ； （2）若，满足，则 ． 17．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）已知关于，的方程组． (1)若，求的值； (2)若方程组的解满足方程，求的值． 18．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 题型四：方案问题 19．（23-24七年级上·安徽六安·期末）我县某乡镇狠抓科技兴农，在乡农业科技人员的技术指导下，该乡镇的农民种植的“蜜糖心”品牌萝卜品质好、口感好，耐运输、耐储存，因而受到很多外地客商的青睐．现某物流公司欲将该乡镇一批萝卜运往外地销售，若租用2辆A型车和1辆B型车载满萝卜，一次可运走10吨；若租用1辆A型车和2辆B型车载满萝卜，一次可运走11吨，现有萝卜31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满萝卜．根据以上信息，解答问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满萝卜一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？请你直接写出所有的租车方案． 20．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）自2023年12月17日，肥西县气温骤降，根据市场的需要，某超市销售A、B两种型号的取暖器．如表所示是近2周的销售情况：（温馨提示：请同学们注意用电取暖的安全！）． 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 2900元 第二周 6 8 5000元 (1)求A、B两种型号取暖器的销售单价； (2)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的取暖器若干台，两种型号都购买，且资金恰好用完，请你为该公司设计不同的购买方案． 21．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某玩具店经销A，两种玩具，进价和售价如下表所示： 名称 进价（元） 45 60 售价（元） 66 90 (1)第一次进货时，玩具店购进A，两种玩具30件共花了1500元，请问A，两种玩具各进了多少件？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种玩具进价每件上涨了5元，种玩具进价每件上涨了10元，但两种玩具的售价不变．玩具店计划用1200元同时购进A，两种玩具，1200元刚好用完．请问有几种购进方案，并说明哪种购进方案获得利润最多，是多少元？ 22．（23-24七年级上·安徽池州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计110万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计115万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均要购买，且400万元全部用完），问该公司有哪几种购买方案，请通过计算列举出来； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.8万元，销售1辆B型汽车可获利0.5万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 23．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计120万元；3辆型汽车和4辆型汽车的进价共计170万元． (1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你写出所有购买方案； (3)若该公司销售1辆型汽车可获利1．8万元，销售1辆型汽车可获利1．1万元，在第（2）问中的所有购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大，最大利润是多少元． 24．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）2023年12月18日甘肃临夏州积石山发生6.2级地震，某物流公司计划用两种车型往地震灾区运输救援物资，已知：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和3辆B型车一次可运15吨，某物流公司现有31吨救灾物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次110元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 25．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）乡村振兴，科技先行．砀山某果园要将一批梨运往合肥的一家水果加工厂进行精加工，分两次租用了某物流公司A，B两种型号的货车，具体信息如表（每辆车均满载）： A型货车/辆 B型货车/辆 累计运货量/吨 第一次 3 2 16 第二次 2 3 19 根据以上信息，解答下列问题： (1)求每辆A型货车和每辆B型货车都满载一次可分别运货多少吨； (2)该果园现有42吨砀山梨，计划同时租用A型货车a辆，B型货车b辆，要求一次运完这批梨，且恰好每辆车都满载． ①请你帮该果园设计租车方案； ②若A型货车每辆需租金120元/次，B型货车每辆需租金150元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费用． 26．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某商场计划拨款万元从厂家购进台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共台，用去万元，请研究一下商场的进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利元，销售一台乙种电视机可获利元，销售一台丙种电视机可获利元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案． (3)若商场准备用万元同时购进三种不同的电视机台，请你设计进货方案． 题型五：行程问题 27．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【问题背景】 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮胎换位的建议． 【资料显示】 汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到时报废．如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎． 【问题解决】 (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量设为单位“1”，则前轮行驶每千米的磨损量为______，后轮行驶每千米的磨损量为______； (2)汽车行驶里程达到多少时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶总里程． 28．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）某高速公路准备新增一个出口，现有甲、乙两个工程队都可完成此项工程．若让两队合作，12个月可以完工，需费用1200万元；若让两队合作10个月后，剩下工程由乙队单独做还需10个月才能完成，这样只需费用1100万元．问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月多少万元？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需几个月？ 29．甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时． （1）A、B两地的距离可以表示为　 　千米（用含a，b的代数式表示）； （2）甲从A到B所用的时间是：　 　小时（用含a，b的代数式表示）； 乙从B到A所用的时间是：　 　小时（用含a，b的代数式表示）． （3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？ 题型六：销售、利润问题 30．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）灯笼高高照，春联对对妙．挂灯笼、贴春联是春节的传统习俗．临近春节，某超市计划购进春联和灯笼这两种商品销售．已知1个灯笼和2副春联的进价共计60元；5个灯笼和3副春联的进价共计195元．如果该超市拟购进10个灯笼和40副春联，那么准备1000元进货够了吗? 31．2022年北京冬奥会服装外观设计灵感来源于中国传统山水画与北京冬奥会核心图形的雪山图景。某品牌制衣厂现有240名制作服装的工人，每天都制作冬奥会特许商品国旗款运动服装恤和短裤，每人每天可制作这种恤3件或短裤5条． (1)若该厂要求每天制作的恤和短裤数量相等，则应各安排多少人制作恤和短裤？ (2)已知制作一件恤可获得利润25元，制作一条短裤可获得利润18元，若该厂要求每天获得利润18900元，则需要安排多少名工人制作恤？ 32．某校开展校园艺术节系列活动，校学生会代表小亮到文体超市购买文具作为奖品． （1）小亮第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小亮的对话图片，求小亮原计划购买文具袋多少个？ （2）小亮第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小亮购买了钢笔和签字笔各多少支？ 33．（23-24七年级上·安徽·期末）某水果店购进一批柚子和橘子，用元可以购进柚子和橘子，用元可以购进柚子和橘子． (1)求购进的这两种水果的单价． (2)若该水果店共购进柚子，橘子，柚子和橘子的售价分别为元和元，现柚子以折销售，橘子以折销售，则这两种水果售完后，该水果店可获利多少元？ 34．（2024七年级上·安徽·专题练习）一商店在某一时间将甲、乙两种商品分别打6折和7.5折销售，已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为180元，打完折后两种商品售价相同． (1)甲商品原销售单价为__________元，乙商品原销售单价为__________元，甲、乙两种商品打完折后售价为__________元； (2)若本次活动中售出甲、乙两种商品共20件，比按原价销售少560元，则甲、乙两种商品各销售多少件？ (3)若本次活动中售出甲、乙两种商品各一件，其中甲商品亏损25%，乙商品盈利25%，则商店卖出这两件商品总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 题型七：和差倍分问题 35．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 36.根据小亮与小丽的一段对话，求一支笔与一本笔记本的单价分别是多少元． 37．（22-23七年级上·安徽六安·期中）小明逛，两家网店发现都有他看中的甲，乙两种课外资料在售卖，且每种课外资料在两家店的售价相同，甲，乙两种课外资料的单价之和是 200元，且每本甲种课外资料售价比乙种课外资料售价的2倍少40元． (1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是多少元？ (2)某一天恰好赶上商家促销，网店所有商品打八五折销售，网店全场购买每满50元减8元，小明需要购买两种课外资料各一本，请通过计算判断怎样购买更省钱？ 题型八：几何问题 38．（24-25七年级上·安徽六安·期末）在长方形中，放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．试求阴影部分的面积． 39．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 40．数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B．它们表示的数分别为－3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n． (1)在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n． (2)若AM＝BN，，求m和n值． 41．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）定义：数轴上点，表示的数叫做点和点的坐标，且线段的长度可以利用数轴上右侧点的坐标减去左侧点的坐标来表示，如图，数轴上点和点的坐标分别为和1. (1)设数轴上两点，的坐标分别为，． ①当点，重合，则__________；当时，则线段的长度为_________； ②若，求的值； (2)设数轴上两点，的坐标分别为，，点在点的右侧，若，，求和的值． 题型九：图表信息题 42．如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．在图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，请你求出x，y的值及左下角的方格内应填的数． 43．某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元． 营养品信息表 营养成分 每千克含铁42毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 (1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？ (2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ 44．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）． （1）已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． （2）7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量． 阶梯 电量x（单位：度） 电费价格 一档 a元/度 二档 b元/度 三档 0.9元/度 题型十：古代问题 45．（22-23七年级下·安徽阜阳·阶段练习）清朝数学家梅文鼎的《方程论》中有这样一题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？译文为：若有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？ 46．（22-23七年级上·安徽滁州·期中）被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．只雀、只燕重量为斤．问雀、燕每只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题． 47．《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是其最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛三、羊一，直金七两；牛二、羊三，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有3头牛、1只羊，值金7两；2头牛、3只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二元一次方程组的应用 题型一：错解复原问题 题型二：构造二元一次方程组求解 题型三：已知解的情况求参数 题型四：方案问题 题型五：行程问题 题型六：销售、利润问题 题型七：和差倍分问题 题型八：几何问题 题型九：图表信息题 题型十：古代问题 题型一：错解复原问题 1．（23-24七年级上·安徽·单元测试）解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识，根据题意，由错解得到，再由正解确定，进而得到二元一次方程组，求解即可得到，代入代数式即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识是解决问题的关键． 【详解】解：设一学生将看错成，则方程组的解是， ，则， 方程组的解是， ，则， 综上所示，联立，解得， ， 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）已知关于，的二元一次方程组，小明同学由于看错了方程组中的，得到方程组的解为；小李同学由于看错了，得到方程组的解为 (1)求，的值； (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，同解方程组： （1）将方程组的解代入未看错的方程中，求出的值即可； （2）将的值代入中，求出方程组的解，再将方程组的解代入中，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，知满足方程， 即，解得． 满足方程， 即，解得． （2）当，时，原方程组可变为， 解得 把代入方程组得 解得 当，时，． 3．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为． (1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把错看成了1；乙把错看成了1 (2) 【分析】 此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识． （1）分别将两组解代入方程组，求出正确的与的值，以及错误与的值即可； （2）将正确的与的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可． 【详解】（1） 解：将，代入方程组得 ， 解得：， 将，代入方程组得 ， 解得：， ∴甲把错看成了1；乙把错看成了1； （2） 解：根据（1）得正确的，， 则方程组为， 解得：． 题型二：构造二元一次方程组求解 4．已知，当时，代数式的值是6；当时，代数式的值是3，代数式的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】把和分别代入得到和，解方程组求得a，b，代入即可求解． 【详解】解：根据题意得 ，解得， ∴， 故选：D 5．对，定义一种新运算“※”，规定：（其中，均为非零常数），若，，则的值为（    ） A．4 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】由已知条件，根据所给定义可得到关于m、n的方程组，则可求得m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，1※1＝4，1※2＝3， ∴ ， 解得， 则x※y＝5x﹣y ∴2※1＝2×5﹣1＝9， 故选：B． 6．当a、b都是整数时，我们称（a，b）为一个有序整数对，如（-2，2）和（2，-2）是两个不同的有序整数对，则满足|a-b|+|ab|=1的有序整数对有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】D 【分析】根据整数的性质可知当a、b都是整数，且|a-b|+|ab|=1时，，或，再根据绝对值的定义以及有理数的混合运算法则分别求出满足与满足的有序整数对即可． 【详解】解：∵a、b都是整数，且|a-b|+|ab|=1， ∴，或． 满足的有序整数对有（1，1），（-1，-1）； 满足的有序整数对有（1，0），（0，1），（-1，-0），（0，-1）． 综上所述，满足|a-b|+|ab|=1的有序整数对有（1，1），（-1，-1），（1，0），（0，1），（-1，-0），（0，-1），一共6个． 故选：D． 7．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． （1）已知，，则的值为 ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 3 【分析】（1）按照定义代入计算即可求出的值，代入进行计算即可得到答案； （2）按照定义将转化成方程，求解即可得到的值． 【详解】解：（1）根据题意可得：，， 整理得：， 解得：， ∴， 故答案为：3； （2）∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 8．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）对于多项式（k，b为常数），若x分别用7，13代入时，的值分别为16，28，求k和b的值． 【答案】k的值为2，b的值为2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用． 把x分别用7，13代入多项式，结果分别等于16和28，得到关于k和b的方程组，解方程组就可以得到k和b的值． 【详解】解：根据题意得： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：． 所以． 即k的值为2，b的值为2． 题型三：已知解的情况求参数 9．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查根据方程组的解的情况，求参数的值，先求出方程组的解，把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， 把代入，得：， 解得：； 故选A． 10．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）若方程组的解中x与y的值互为相反数，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是已知二元一次方程组的解求参数，二元一次方程的解法，由与的值互为相反数，可得，再代入原方程组求解即可． 【详解】解：∵方程组的解中与的值互为相反数， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故选：A． 11．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知关于x，y的方程组给出下列结论：a．当时，方程组的解也是的解；b．无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；c．x，y均为正整数的解只有1对；d．若，则．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解等知识，将已知分别代入进而解方程得出答案，即可判断． 【详解】a．当时，关于的方程组为， 解得， 所以， 当时，， 所以当时，方程组的解也是的解，正确； b．解方程组，得， 所以， 所以无论取何值，的值不可能互为相反数，正确； c．由得， 所以原方程组的正整数解是，共2对，错误； d．， 得，， 因为， 所以， 解得，正确； 所以正确的有． 故选：C． 12．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知关于的方程组下列结论错误的是（    ） A．当时，该方程组的解也是方程的解 B．存在实数，使得 C．当时， D．不论取什么实数，的值始终不变 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解与参数，加减消元法，代入消元法求解的运用，根据题意，分别代入计算验证即可求解． 【详解】解：A、当时，代入二元一次方程组得，， 得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴，故原选项正确，不符合题意； B、， 得，，整理得，， 把代入①得，，整理得，， 若，则有， 解得，，是实数，故原选项正确，不符合题意； C、， 得，， 当时，则有， 解得，，故原选项错误，符合题意； D、由B选项可得，， ∴， ∴不论取什么实数，的值始终不变，故原选项正确，不符合题意； 故选：C ． 13．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知关于的方程组的解满足，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由二元一次方程组的解求参数，先解二元一次方程组，分别用表示出，再代入中解答即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 由②得，， ∵， ∴， ∴， 把代入①得，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 14．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据方程组的特点，①+②得，得出，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：， ①+②得，，即， 又因为， 所以， 解得． 故答案为：． 15．（23-24七年级上·安徽·单元测试）若关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数，则的值是 【答案】 【分析】本题考查由含参数的二元一次方程组解的情况求参数，根据题意得到，联立求解得到，进而代入得，解方程即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数， ， 联立，解得， 将代入得，解得， 故答案为：． 16．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知关于，的方程组， （1）若，互为相反数，则 ； （2）若，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，幂的乘方和同底数幂的乘法，有理数的乘方，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤及运算法则是解题的关键． （1）根据，互为相反数即可求出的值； （2）先解方程求出，，由可得，进而求出，再代入即可求解． 【详解】解：（1），互为相反数， ， 即， 解得：， 故答案为：； （2）由， 解得：， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）已知关于，的方程组． (1)若，求的值； (2)若方程组的解满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解含有参数的二元一次方程组； （1）解方程组得，代入，解一元一次方程，即可求解； （2）解方程组得，代入，解一元一次方程，即可求解； 掌握含有参数的二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程组得， ， ， 解得； （2）解：， ， ， 解得：． 18．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不对，理由见解析 【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键． （1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入，再化简，即得出． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； （2）解：将代入含有m、n的方程得：， 解得：； （3）解：将代入，得： ， 化简得：， 该说法错误． 题型四：方案问题 19．（23-24七年级上·安徽六安·期末）我县某乡镇狠抓科技兴农，在乡农业科技人员的技术指导下，该乡镇的农民种植的“蜜糖心”品牌萝卜品质好、口感好，耐运输、耐储存，因而受到很多外地客商的青睐．现某物流公司欲将该乡镇一批萝卜运往外地销售，若租用2辆A型车和1辆B型车载满萝卜，一次可运走10吨；若租用1辆A型车和2辆B型车载满萝卜，一次可运走11吨，现有萝卜31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满萝卜．根据以上信息，解答问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满萝卜一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？请你直接写出所有的租车方案． 【答案】(1)1辆A型车载满萝卜一次可运送3吨，1辆B型车载满萝卜一次可运送4吨 (2)该物流公司共有3种租车方案，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设1辆A型车载满萝卜一次可运送x吨，1辆B型车载满萝卜一次可运送y吨，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意得到，然后由a，b都是正整数求解即可． 【详解】（1）设1辆A型车载满萝卜一次可运送x吨，1辆B型车载满萝卜一次可运送y吨， 依题意得： ，    解得． 答：1辆A型车载满萝卜一次可运送3吨，1辆B型车载满萝卜一次可运送4吨． （2）∵现有萝卜31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆， ∴， ∵a，b都是正整数， ∴当时，；当时，；当时，； ∴该物流公司共有3种租车方案： 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 20．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）自2023年12月17日，肥西县气温骤降，根据市场的需要，某超市销售A、B两种型号的取暖器．如表所示是近2周的销售情况：（温馨提示：请同学们注意用电取暖的安全！）． 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 2900元 第二周 6 8 5000元 (1)求A、B两种型号取暖器的销售单价； (2)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的取暖器若干台，两种型号都购买，且资金恰好用完，请你为该公司设计不同的购买方案． 【答案】(1)A种型号取暖器的销售单价为元，B种型号取暖器的销售单价为元 (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程实际应用--方案选择问题． （1）根据题意列出方程组正确解答即可得到本题答案； （2）根据题意列出算式并分情况说明即可． 【详解】（1）解：设A种型号取暖器的销售单价为x元，B种型号取暖器的销售单价为y元， 依题意得：，解得． （2）解：设购买a台A种型号取暖器，b台B种型号取暖器， 依题意得：， 又∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴该公司共有3种购买方案， 方案1：购买4台A种型号取暖器，7台B种型号取暖器； 方案2：购买8台A种型号取暖器，4台B种型号取暖器； 方案3：购买12台A种型号取暖器，1台B种型号取暖器． 21．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某玩具店经销A，两种玩具，进价和售价如下表所示： 名称 进价（元） 45 60 售价（元） 66 90 (1)第一次进货时，玩具店购进A，两种玩具30件共花了1500元，请问A，两种玩具各进了多少件？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种玩具进价每件上涨了5元，种玩具进价每件上涨了10元，但两种玩具的售价不变．玩具店计划用1200元同时购进A，两种玩具，1200元刚好用完．请问有几种购进方案，并说明哪种购进方案获得利润最多，是多少元？ 【答案】(1)，两种玩具各进20件，10件 (2)共有三种购进方案，其中购进A种玩具17件，种玩具5件利润最多为372元 【分析】本题主要二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组和二元一次方程成为解题的关键． （1）设A种玩具进件，种玩具件，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设第二次A种玩具购进件，种玩具购进件，根据题意得：，即；然后列举出a、b的可能取值进行解答即可． 【详解】（1）解：设A种玩具进件，种玩具件，根据题意得： ，解得：． 答：A、两种玩具各进20件，10件． （2）解：设第二次A种玩具购进件，种玩具购进件，根据题意得： ，化简得： 因为，只能取正整数，所以采购方案共有三种，分别是 方案一：A种17件，种5件，利润为：元； 方案二：A种10件，种10件，利润为：元； 方案三：A种3件，种15件，利润为：元． 答：共有三种购进方案，其中购进种玩具17件，种玩具5件利润最多为372元． 22．（23-24七年级上·安徽池州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计110万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计115万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均要购买，且400万元全部用完），问该公司有哪几种购买方案，请通过计算列举出来； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.8万元，销售1辆B型汽车可获利0.5万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为20万元 (2)共有以下3种购买方案： 方案1：A型号的汽车购进4辆，B型号的汽车购进15辆； 方案2：A型号的汽车购进8辆，B型号的汽车购进10辆； 方案3：A型号的汽车购进12辆，B型号的汽车购进5辆． (3)方案3获利最大，最大利润是12.1万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程整数解，有理数混合运算的应用； （1）等量关系式：购买2辆A型汽车的费用购买3辆B型汽车的费用110万元，购买3辆A型汽车购买2辆B型汽车的费用115万元；据此列出方程组，即可求解； （2）设A型号的汽车购进a辆，B型号的汽车购进b辆，等量关系式：购买a辆A型号的汽车的费用购买b辆B型号的汽车的费用400万元，列出方程，求出正整数解，即可求解； （3）根据（2）的购买方案，求出每种方案的获利情况，进行比较，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设A型号的汽车每辆进价为x万元，B型号的汽车每辆进价为y万元，依题意得： ， 解得：， 答：A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为20万元． （2）解：设A型号的汽车购进a辆，B型号的汽车购进b辆，依题意得： ， 即：， 因为两种型号的汽车均购买， 所以a、b均为正整数， 所以或或， 所以共有以下3种购买方案： 方案1：A型号的汽车购进4辆，B型号的汽车购进15辆； 方案2：A型号的汽车购进8辆，B型号的汽车购进10辆； 方案3：A型号的汽车购进12辆，B型号的汽车购进5辆． （3）解：方案1可获利：（万元） 方案2可获利：（万元） 方案3可获利：（万元） 因为 所以方案3获利最大，最大利润是12.1万元． 23．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计120万元；3辆型汽车和4辆型汽车的进价共计170万元． (1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你写出所有购买方案； (3)若该公司销售1辆型汽车可获利1．8万元，销售1辆型汽车可获利1．1万元，在第（2）问中的所有购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大，最大利润是多少元． 【答案】(1)型汽车每辆的进价为30万元，型汽车每辆的进价为20万元 (2)共3种购买方案：方案一：购进型车2辆，型车7辆；方案二：购进型车4辆，型车4辆；方案三：购进型车6辆，型车1辆 (3)方案三购进型车6辆，型车1辆获利最大，最大利润是11．9万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计120万元；3辆型汽车和4辆型汽车的进价共计170万元列出方程组求解即可； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，由题意得，解方程即可得到答案； （3）根据（2）所求分别求出三种方案的利润即可得到答案． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：， 答：型汽车每辆的进价为30万元，型汽车每辆的进价为20万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 化简，得：， ，均为正整数或或； 共3种购买方案：方案一：购进型车2辆，型车7辆；方案二：购进型车4辆，型车4辆；方案三：购进型车6辆，型车1辆； （3）解：方案一获得利润：（万元）； 方案二获得利润：（万元）； 方案三获得利润：（万元）； ， 方案三购进型车6辆，型车1辆获利最大，最大利润是11．9万元． 24．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）2023年12月18日甘肃临夏州积石山发生6.2级地震，某物流公司计划用两种车型往地震灾区运输救援物资，已知：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和3辆B型车一次可运15吨，某物流公司现有31吨救灾物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次110元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆型车装满物资一次可运3吨，1辆型车装满物资一次可运4吨 (2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用1辆型车，7辆型车；方案2：租用5辆型车，4辆型车；方案3：租用9辆型车，1辆型车 (3)最省钱的租车方案为租用1辆型车，7辆型车，最少租车费为870元 【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和3辆B型车一次可运15吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方程； （3）根据总租金=每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆型车装满物资一次可运吨，1辆型车装满物资一次可运y吨， 依题意：得， 解得：， 答：1辆型车装满物资一次可运3吨，1辆型车装满物资一次可运4吨． （2）解：依题意，得： ， 又均为正整数， 或或， 该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用1辆型车，7辆型车； 方案2：租用5辆型车，4辆型车； 方案3：租用9辆型车，1辆型车． （3）解：方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． ， 最省钱的租车方案为租用1辆型车，7辆型车，最少租车费为870元． 25．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）乡村振兴，科技先行．砀山某果园要将一批梨运往合肥的一家水果加工厂进行精加工，分两次租用了某物流公司A，B两种型号的货车，具体信息如表（每辆车均满载）： A型货车/辆 B型货车/辆 累计运货量/吨 第一次 3 2 16 第二次 2 3 19 根据以上信息，解答下列问题： (1)求每辆A型货车和每辆B型货车都满载一次可分别运货多少吨； (2)该果园现有42吨砀山梨，计划同时租用A型货车a辆，B型货车b辆，要求一次运完这批梨，且恰好每辆车都满载． ①请你帮该果园设计租车方案； ②若A型货车每辆需租金120元/次，B型货车每辆需租金150元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费用． 【答案】(1)2，5； (2)①共有5种租车方案，分别为：（方案）租用A型货车1辆、B型货车8辆，（方案）租用A型货车6辆、B型货车6辆，（方案）租用A型货车11辆、B型货车4辆，（方案）租用A型货车16辆、B型货车2辆，（方案）租用A型货车21辆、B型货车0辆．②租用A型货车1辆、B型货车8辆最省钱，最少的租车费用为1320元． 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，求二元一次方程的非负整数解、掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）分别设每辆A型货车和每辆B型货车都满载一次的运货量为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）①根据题意，写出关于a和b的二元一次方程并求其非负整数解即可； ②分别计算各个租车方案的租车费用并比较大小即可． 【详解】（1）解：设每辆A型货车满载一次可运货x吨，每辆B型货车满载一次可运货y吨． 根据题意，得， 解得， 答：每辆A型货车满载一次可运货2吨，每辆B型货车满载一次可运货5吨； （2）解：①根据题意，得， 该方程的非负整数解为，，，，， 共有5种租车方案，分别为： （方案1）租用A型货车1辆、B型货车8辆， （方案2）租用A型货车6辆、B型货车6辆， （方案3）租用A型货车11辆、B型货车4辆， （方案4）租用A型货车16辆、B型货车2辆， （方案5）租用A型货车21辆、B型货车0辆； ②方案1的租车费用为（元）， 方案2的租车费用为（元）， 方案3的租车费用为（元）， 方案4的租车费用为（元）， 方案5的租车费用为（元）， ， ∴方案1租用A型货车1辆、B型货车8辆最省钱，最少的租车费用为1320元． 26．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某商场计划拨款万元从厂家购进台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共台，用去万元，请研究一下商场的进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利元，销售一台乙种电视机可获利元，销售一台丙种电视机可获利元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案． (3)若商场准备用万元同时购进三种不同的电视机台，请你设计进货方案． 【答案】(1)一共有两种方案：①购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台；②购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； (2)为使销售时获利最多，应选择购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； (3)一共有四种进货方案：①购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；②购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；③购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；④购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）分三种情况：购进甲、乙两种型号的电视机；购进甲、丙两种型号的电视机；购进乙、丙两种型号的电视机；根据建立方程求解即可； （2）根据（1）所求分别计算出两种方案的利润，比较即可得到答案； （3）设购进甲种电视台，乙种电视台，则购进丙种电视的数量为台，根据购买费用为9万元建立方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：当购进甲、乙两种型号的电视机时， 设购进甲种型号的电视机x台，则购进乙种型号的电视机台， 由题意得，， 解得， ∴， ∴购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台； 当购进甲、丙两种型号的电视机时， 设购进甲种型号的电视机a台，则购进丙种型号的电视机台， 由题意得，， 解得， ∴， ∴购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； 当购进乙、丙两种型号的电视机时，∵，且， ∴此种情况不成立； 综上所述，一共有两种方案：①购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台；②购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； （2）解：方案①获利为：（元）； 方案②获利为：（元）． ∵， ∴为使销售时获利最多，应选择第②种进货方案． （3）解：设购进甲种电视台，乙种电视台，则购进丙种电视的数量为台． 由题意得，， 化简整理，得， ∴ 又∵，且均为整数， ∴当时，，； 当时， ，； 当时，，； 当时，，； ∴一共有四种进货方案：①购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；②购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；③购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；④购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台． 题型五：行程问题 27．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【问题背景】 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮胎换位的建议． 【资料显示】 汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到时报废．如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎． 【问题解决】 (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量设为单位“1”，则前轮行驶每千米的磨损量为______，后轮行驶每千米的磨损量为______； (2)汽车行驶里程达到多少时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶总里程． 【答案】(1)， (2)应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，轮胎报废时汽车的行驶总里程为千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据汽车前后轮轮胎报废的里程，即可得出安装在前、后轮的轮胎行驶每千米的磨损量； （2）设应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，再行驶千米，两对轮胎同时报废，根据两对轮胎同时报废时两对轮胎的磨损量均为1，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到60000千米时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到80000千米时报废， ∴设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮行驶每千米的磨损量为，后轮行驶每千米的磨损量为， 故答案为：，； （2）解：设应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，再行驶千米，两对轮胎同时报废， 根据题意得， 解得， ∴， 答：应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，轮胎报废时汽车的行驶总里程为千米． 28．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）某高速公路准备新增一个出口，现有甲、乙两个工程队都可完成此项工程．若让两队合作，12个月可以完工，需费用1200万元；若让两队合作10个月后，剩下工程由乙队单独做还需10个月才能完成，这样只需费用1100万元．问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月多少万元？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需几个月？ 【答案】(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月90万元，10万元 (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需15月，60月 【分析】（1）设甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月x万元，y万元，根据两队合作，12个月可以完工，需费用1200万元；让两队合作10个月后，剩下工程由乙队单独做还需10个月才能完成，这样只需费用1100万元列出方程组求解即可； （2）根据工作效率工作总量工作时间进行列式求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月x万元，y万元， 由题意得：， 解得， 答：甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月90万元，10万元； （2）解：， ， ∴乙单独完成此项工程需要60个月； ， ∴乙单独完成此项工程需要15个月； 答：甲、乙两队单独完成此项工程各需15个月，60个月． 29．甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时． （1）A、B两地的距离可以表示为　 　千米（用含a，b的代数式表示）； （2）甲从A到B所用的时间是：　 　小时（用含a，b的代数式表示）； 乙从B到A所用的时间是：　 　小时（用含a，b的代数式表示）． （3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？ 【答案】（1）2（a+b）；（2）（2+）；（2+）；（3）36. 【分析】（1）根据两地间的距离=两人的速度之和×第一次相遇所需时间，即可得出结论； （2）利用时间=路程÷速度结合2小时后第一次相遇，即可得出结论； （3）设AB两地的距离为S千米，根据路程=速度×时间，即可得出关于（a+b），S的二元一次方程组（此处将a+b当成一个整体），解之即可得出结论． 【详解】（1）A、B两地的距离可以表示为2（a+b）千米． 故答案为：2（a+b）． （2）甲乙相遇时，甲已经走了千米，乙已经走了千米， 根据相遇后他们的速度都提高了1千米/小时，得甲还需小时到达B地，乙还需小时到达A地， 所以甲从A到B所用的时间为（2+ ）小时，乙从B到A所用的时间为（2+）小时． 故答案为：（2+）；（2+）． （3）设AB两地的距离为S千米，3小时36分钟＝小时． 依题意，得： ， 令x＝a+b，则原方程变形为， 解得：． 答：AB两地的距离为36千米． 题型六：销售、利润问题 30．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）灯笼高高照，春联对对妙．挂灯笼、贴春联是春节的传统习俗．临近春节，某超市计划购进春联和灯笼这两种商品销售．已知1个灯笼和2副春联的进价共计60元；5个灯笼和3副春联的进价共计195元．如果该超市拟购进10个灯笼和40副春联，那么准备1000元进货够了吗? 【答案】准备1000元够 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键．设每个灯笼的进价是x元，每副春联的进价是y元．1个灯笼和2副春联的进价共计60元；5个灯笼和3副春联的进价共计195元．据此列方程组并解方程组得到单价，即可求出购进10个灯笼和40副春联的钱数，即可得到结论． 【详解】解：设每个灯笼的进价是x元，每副春联的进价是y元． 根据题意得：， 解得：． ∵， ∴准备1000元够． 31．2022年北京冬奥会服装外观设计灵感来源于中国传统山水画与北京冬奥会核心图形的雪山图景。某品牌制衣厂现有240名制作服装的工人，每天都制作冬奥会特许商品国旗款运动服装恤和短裤，每人每天可制作这种恤3件或短裤5条． (1)若该厂要求每天制作的恤和短裤数量相等，则应各安排多少人制作恤和短裤？ (2)已知制作一件恤可获得利润25元，制作一条短裤可获得利润18元，若该厂要求每天获得利润18900元，则需要安排多少名工人制作恤？ 【答案】(1)制作恤和短裤的人分别为150人，90人 (2)需要安排180名工人制作恤 【分析】（1）设制作衬衫和裤子的人为x，y．由题意可得出方程组，则可得出答案； （2）安排人制作恤，人制作短裤，根据该厂要求每天获得利润不少于18900元可列二元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设制作恤和短裤的人分别为人，人． 可得方程组， 解得， 答：制作恤和短裤的人分别为150人，90人； （2）解：设安排人制作恤，人制作短裤，可获得要求的利润18900元． 可列方程组， 解得， 答：需要安排180名工人制作恤． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组，根据题目条件列出方程组是解题的关键． 32．某校开展校园艺术节系列活动，校学生会代表小亮到文体超市购买文具作为奖品． （1）小亮第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小亮的对话图片，求小亮原计划购买文具袋多少个？ （2）小亮第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小亮购买了钢笔和签字笔各多少支？ 【答案】（1）13个；（2）小亮购买了钢笔30支，签字笔20支 【分析】（1）设小亮原计划购买文具袋个，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设小亮购买了钢笔支，签字笔支，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：（1）设小亮原计划购买文具袋个， 依题意得：， 解得：． 答：小亮原计划购买文具袋13个． （2）设小亮购买了钢笔支，签字笔支， 依题意得：，解得：． 答：小亮购买了钢笔30支，签字笔20支． 【点睛】本题考查一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，理解题意，找准等量关系建立方程或方程组是解题关键． 33．（23-24七年级上·安徽·期末）某水果店购进一批柚子和橘子，用元可以购进柚子和橘子，用元可以购进柚子和橘子． (1)求购进的这两种水果的单价． (2)若该水果店共购进柚子，橘子，柚子和橘子的售价分别为元和元，现柚子以折销售，橘子以折销售，则这两种水果售完后，该水果店可获利多少元？ 【答案】(1)购进的柚子的单价为元，橘子为元 (2)则这两种水果售完后，该水果店可获利元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意正确建立方程组是解题的关键． （1）根据题意建立方程组求解即可； （2）根据题意列示求解即可． 【详解】（1）解：设购进的柚子的单价为元，橘子为元， 根据题意可得：， 解得：， 答：购进的柚子的单价为元，橘子为元； （2）解：此时柚子的售价为：（元千克） 橘子的售价为：（元千克） 则这两种水果售完后，该水果店可获利元； 34．（2024七年级上·安徽·专题练习）一商店在某一时间将甲、乙两种商品分别打6折和7.5折销售，已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为180元，打完折后两种商品售价相同． (1)甲商品原销售单价为__________元，乙商品原销售单价为__________元，甲、乙两种商品打完折后售价为__________元； (2)若本次活动中售出甲、乙两种商品共20件，比按原价销售少560元，则甲、乙两种商品各销售多少件？ (3)若本次活动中售出甲、乙两种商品各一件，其中甲商品亏损25%，乙商品盈利25%，则商店卖出这两件商品总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 【答案】(1)，， (2)甲种商品8件，乙种商品12件 (3)亏损8元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，正负数的应用，理解题意，正确列出算式或等式是解题关键． （1）设甲商品原销售单价为x元，则乙商品原销售单价为元，根据题意可列出关于x的一元一次方程，求解即可； （2）设本次活动中售出甲种商品件，乙种商品件，根据题意可列出关于和的二元一次方程组，求解即可； （3）先计算出甲、乙两种商品的成本，再计算总利润即可． 【详解】（1）解：设甲商品原销售单价为x元，则乙商品原销售单价为元， 根据题意有：， 解得：， 则乙商品原销售单价为：（元）， 打折之后，两种商品的价格为：（元）， 故答案为：，，； （2）解：设本次活动中售出甲种商品件，乙种商品件， 根据题意有：， 解得：， 答：本次活动中售出甲种商品8件，乙种商品12件； （3）解：两种商品售价均为元， 则甲商品的成本价为：（元）， 乙商品的成本价为：（元）， 则总利润为：（元）， 答：商家总的是亏损，亏损8元． 题型七：和差倍分问题 35．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 【答案】两种车型各有座位个和个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设两种车型各有座位个和个，根据租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设两种车型各有座位个和个，由题意，得： ，解得：； 答：两种车型各有座位个和个． 36.根据小亮与小丽的一段对话，求一支笔与一本笔记本的单价分别是多少元． 【答案】笔的单价为1.5元，笔记本的单价为8元 【分析】设笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，根据“第一次买了4支笔和5本笔记本共花了46元钱；第二次买了8支笔和4本笔记本共花了44元钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设笔的单价为x元，笔记本的单价为y元， 依题意，得： ， 解得：． 答：笔的单价为1.5元，笔记本的单价为8元． 37．（22-23七年级上·安徽六安·期中）小明逛，两家网店发现都有他看中的甲，乙两种课外资料在售卖，且每种课外资料在两家店的售价相同，甲，乙两种课外资料的单价之和是 200元，且每本甲种课外资料售价比乙种课外资料售价的2倍少40元． (1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是多少元？ (2)某一天恰好赶上商家促销，网店所有商品打八五折销售，网店全场购买每满50元减8元，小明需要购买两种课外资料各一本，请通过计算判断怎样购买更省钱？ 【答案】(1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是120元，80元 (2)在网店B购买更省钱 【分析】（1）设乙种课外资料的售价为x元，则甲种课外资料的售价为元，再根据两种资料单价和为200元列出方程求解即可； （2）根据（1）所求结合所给的折扣分别计算出两个网店的花费即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种课外资料的售价为x元，则甲种课外资料的售价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是120元，80元 （2）解：网店A的花费为元， 网店B的花费为元， ∵， ∴在网店B购买更省钱． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求出两种资料的单价是解题的关键． 题型八：几何问题 38．（24-25七年级上·安徽六安·期末）在长方形中，放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．试求阴影部分的面积． 【答案】32 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 由图得等量关系：（1）1个长个宽；（2）3个宽个长个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设小长方形宽为，长为， 根据题意得：， 解得， ， ∴阴影部分的面积为 32 ． 39．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 【答案】小长方形花坛的长为，宽为 【分析】设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为．构造方程组解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为． 根据题意，得     解得 答：小长方形花坛的长为，宽为． 40．数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B．它们表示的数分别为－3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n． (1)在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n． (2)若AM＝BN，，求m和n值． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】（1）分三种情况：①当M是A，N的中点时；②当A是M、N的中点时；③当N是M、A的中点时分别进行求解； （2）根据AM＝BN，可得，再根据，可得，二者组成方程组即可求解． 【详解】（1）解：①当M是A，N的中点时， ∴n＝2m＋3 ②当A是M、N的中点时， ∴n＝－6－m ③当N是M、A的中点时，． （2）解：∵AM＝BN， ∴， ∵， ∴ ∴或或或， 解得或或或 ∵ ， ∴或或． 41．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）定义：数轴上点，表示的数叫做点和点的坐标，且线段的长度可以利用数轴上右侧点的坐标减去左侧点的坐标来表示，如图，数轴上点和点的坐标分别为和1. (1)设数轴上两点，的坐标分别为，． ①当点，重合，则__________；当时，则线段的长度为_________； ②若，求的值； (2)设数轴上两点，的坐标分别为，，点在点的右侧，若，，求和的值． 【答案】(1)①；7；②或 (2)或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用、数轴以及坐标与图形性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）①由点M，N重合（即点M，N的坐标相同），可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，代入，可求出点M，N的坐标，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出线段的长度； ②由，可列出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出x的值； （2）由点N在点M右侧，可得出，由，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之可得出m，n的值，再结合，即可确定结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：， 解得：， 当时，点M的坐标为，点N的坐标为， ， 故答案为：①；7； 根据题意得：， 即或， 解得：或； （2）因为点在点右侧，所以且 因为，所以，因为，所以， 或或或 所以或或或， 因为， 所以或或． 题型九：图表信息题 42．如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．在图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，请你求出x，y的值及左下角的方格内应填的数． 【答案】，，左下角的方格内应填的数为0 【分析】根据图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用左下角的方格内应填的数=第一行三个数之和-2-y，即可求出结论． 【详解】解：依题意得：， 解得：， ∴左下角的方格内应填的数为2x+3+2-2-y=2×（-1）+3+2-2-1=0． 答：x的值为-1，y的值为1，左下角的方格内应填的数为0． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 43．某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元． 营养品信息表 营养成分 每千克含铁42毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 (1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？ (2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ 【答案】(1)甲食材每千克的进价为40元，乙食材每千克的进价为20元 (2)该公司每日购进甲食材400千克，乙食材100千克 【分析】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元建立方程求解即可 （2）抓住两个等量关系列方程求解：一是甲、乙两种食材每日购买的进价和为18000；二是制成营养品的含铁量与甲、乙两种食材含铁量的和相等，列出方程组即可求解． 【详解】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由题意，得 4×2a－5×a＝60， 解得a＝20， 则2a＝40． 答：甲、乙两种食材每千克的进价分别是40元、20元； （2）设该公司每日购进甲食材x千克，乙食材y千克， 由题意，得 解得 44．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）． （1）已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． （2）7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量． 阶梯 电量x（单位：度） 电费价格 一档 a元/度 二档 b元/度 三档 0.9元/度 【答案】（1）a=0.6，b=0.7；（2）415度 【分析】（1）根据“小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费285.5元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）依题意得：， 解得：． 答：a的值为0.6，b的值为0.7． （2）若一个月用电量为350度，电费为180×0.6+（350-180）×0.7=227（元）， ∵285.5＞227， ∴小明家7月份用电量超过350度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：180×0.6+（350-180）×0.7+（x-350）×0.9=285.5， 解得：x=415． 答：小明家7月份的用电量为415度． 题型十：古代问题 45．（22-23七年级下·安徽阜阳·阶段练习）清朝数学家梅文鼎的《方程论》中有这样一题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？译文为：若有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？ 【答案】每亩山田相当于实田亩，每亩场地相当于实田 亩 【分析】设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，根据“若有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田亩”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩， 可列方程组为 ， 解得 ， 答：每亩山田相当于实田亩，每亩场地相当于实田 亩． 46．（22-23七年级上·安徽滁州·期中）被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．只雀、只燕重量为斤．问雀、燕每只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题． 【答案】雀、燕每一只各重斤、斤 【分析】设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可． 【详解】解：设雀、燕每只各重斤、斤．根据题意，得 整理，得 解得 答：雀、燕每只各重斤、斤． 47．《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是其最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛三、羊一，直金七两；牛二、羊三，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有3头牛、1只羊，值金7两；2头牛、3只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 【答案】每头牛值金两，每只羊值金两 【分析】设每头牛值金两，每只羊值金两，根据等量关系式：3头牛价钱+1只羊价钱=7两，2头牛价钱+3只羊价钱=8两，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每头牛值金两，每只羊值金两， 可列方程组， 解得：，， 答：每头牛值金两，每只羊值金两． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $