5.4二次项定理（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦二次项定理，涵盖定理推导、展开式结构、通项公式及二项式系数性质。通过回顾多项式乘法与组合数，以问题链引导学生从特殊到一般猜想，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点是以问题驱动探究，从具体实例抽象出定理，培养数学眼光与思维。典例与训练分层设计，结合赋值法等体现数学语言表达，助力学生掌握公式应用，教师可高效教学，提升学生抽象与推理能力。

5.4 二次项定理 第五章 计数原理 北师大版2019选择性必修第一册·高二 学 习 目 标 1 2 3 理解二项式定理的推导过程，掌握二项展开式的结构与通项公式.  能利用二项式定理展开二项式，会求特定项的系数；理解二项式系数与项的系数的区别. 了解杨辉三角与二项式系数的性质，体会“从特殊到一般”的数学思想. 知识回顾 多项式乘法： 组合数： . 表示从n个元素中选个组合数 知识回顾 问题1：展开后有多少项？各项的形式是什么？ 有 5项；形式为. 系数是6；从4个中选2个取（其余取a），即6. 问题2：中的系数是多少？如何得到这个系数？ 问题3：能否猜想的展开形式？ 新知探究 问题1：,展开式中每一项的形式是什么？ 展开式中每一项的形式是 ，由个因式中选个取，其余取得到. 问题2：的同类项有多少个？对应的系数是什么？ 所以. 探究1：二项式定理 的同类项有个； 系数为. 新知探究 可简记为： 探究1：二项式定理 . 的展开式中共有种不同的同类项：,相应的个数为个. 根据分类加法计数原理，其展开式为 新知探究 可简记为： 二项展开式：等号右边的多项式（共项）. 二项式系数： 通项公式：第项为 探究1：二项式定理 . 二项式定理 即时训练： 1.的展开式中,第3项的二项式系数是 ______,第3项的系数是 ______. 2.写出的通项公式,并指出第4项的表达式. 新知探究 探究1：二项式定理 即时训练： 2.写出的通项公式,并指出第4项的表达式. 解 通项 可简记为： 二项展开式：等号右边的多项式（共项）. 二项式系数： . 二项式定理 通项公式：第项为 例题精讲 例1 求的展开式. 分析 令二项式定理中直接代入公式. 解 = 典例分析 例2 求的展开式. 分析 令逐项计算二项式系数与的乘积. 解 . 例题精讲 例3 求的展开式 分析 令,注意 解 典例分析 ① 展开二项式的核心：代入二项式定理公式，明确a、b的对应项； ② 系数计算：注意b含系数或负号时，需将其纳入bk的计算； ③ 通项的应用：若只需某一项，直接用Tk+1计算，无需展开全部项. =. 典例分析 例4 求展开式中的系数. 解 通项=， 求特定项系数的步骤： ① 写出通项公式，明确a、b的形式； ② 根据目标项的次数确定k的值； ③ 代入k计算该项的系数. 令， 则 故系数为-280. 杨辉三角 当n依次取1,2,3,…时， 问题1：杨辉三角中第n+1行的数字与(a+b)n的二项式系数有什么关系？ 新知探究 探究2：二项式系数的性质 图中的表叫作二项式系数表， (a+b)n”展开式的二项式系数如图. 历史上也称为杨辉三角. 第n+1行的数字就是(a+b)n的二项式系数(如第3行对应的系数). (a+b)1……………… (a+b)2……………… (a+b)3…………… (a+b)4…………… (a+b)5………… (a+b)6……… …………………………………………… 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 (a+b)1……………… (a+b)2……………… (a+b)3…………… (a+b)4…………… (a+b)5………… (a+b)6……… …………………………………………… 杨辉三角 问题2：观察杨辉三角，二项式系数有哪些性质？ 新知探究 探究2：二项式系数的性质 杨辉三角中数字关于中间位置对称, 每个数等于“肩上”两数之和, 对称性： 递推性： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 (a+b)1……………… (a+b)2……………… (a+b)3…………… (a+b)4…………… (a+b)5………… (a+b)6……… …………………………………………… 杨辉三角 新知探究 探究2：二项式系数的性质 杨辉三角中数字关于中间位置对称, 每个数等于“肩上”两数之和, 对称性： 即时训练：求证：. 递推性： 证明 (a+b)n . 令, 则. 和为： 二项式系数的性质 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 课堂练习 1.求的展开式. 巩固训练 2.求的展开式(写出前3项）. 3.求的展开式中的系数. 课堂练习 1.求的展开式. 巩固训练 解 =8. 2.求的展开式(写出前3项）. 解 = 3.求的展开式中的系数. 解 通项 ， 令2, 解得k=1, 所以, 所以展开式中的系数为6. 课堂小结 基本知识： (1) 二项式定理： (2) 通项公式： 基本方法： 基本思想： (3) 二项式系数的性质： 对称性、递推性，和为 公式应用法 通项定位法 赋值法 特殊到一般的归纳思想 转化与化归思想 分类与整合思想 基础作业： 课本习题5-2A组第1，2，3题． 拓展练习： 课本习题5-2B组第1，2题． 布置作业 感谢聆听! $