4.5.1函数的零点与方程的解（培优教学课件）数学人教A版2019必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的零点与方程的解，通过回顾二次函数零点与方程根的联系导入，衔接已学的函数概念与性质，以问题链引导学生从二次函数推广到一般函数，构建“数”与“形”的知识支架。 其亮点在于融合数学眼光与数学思维，通过代数法与几何法结合（如例1用函数单调性和图象交点求零点个数），培养学生抽象能力与推理意识。课堂小结用关系图梳理“数”“形”联系，帮助学生形成结构化认知，也为教师提供系统的题型训练与方法总结，提升教学效率。

4.5.1 函数的零点与方程的解 第四章 指数函数与对数函数 人教A版2019必修第一册·高一 前情回顾 答：方程的根即图像与轴的交点横坐标 二次函数的零点 一般地，对于二次函数， 我们把使的实数 叫做 函数的零点 注意：零点不是点，是交点的横坐标，是数值。 y=x2－12x＋20 你还记得：一元二次方程的根与二次函数图象之间的联系吗？ 章节导读 4.1 ＋4.2函数的概念 4.3＋4.4 函数的性质 4.5函数的应用 指数 函数的零点和方程的解 二分法求方程的近似解 指数函数 对数 对数函数 学 习 目 标 1 2 3 了解函数零点的概念和方程的根之间的联系. 理解零点存在定理的条件并能判断函数零点所在区间. 能运用零点的相关知识解决零点个数及参数问题. 读教材 阅读课本P142-P144，4分钟后完成下列问题： 1. 函数的零点与函数图象和对应方程的根之间有何联系？ 我们一起来探究“函数的零点与方程的解”吧！ 2. 若，则在区间上一定存在零点吗？ 新课引入 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次 方程的实根就是相应函数的零点。那么，像这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究 它的解的情况呢？ 类比二次函数的零点定义，推广到一般函数的零点. 学习过程 01 03 02 目录 1 函数的零点 2 零点存在定理 3 题型训练 新知探究1 探究1 二次函数的零点和函数图象，方程的根之间有何联系？ 二次函数的零点与方程的解的关系 对应方程 的实数解 二次函数的零点 二次函数 的图象与轴的公共点横坐标值 数 形 新知1 函数的零点与方程的解 1. 函数的零点与方程的解： 对于一般函数，我们把使的实数 叫做函数 的零点. 方程的实数解、函数的图象与 轴的交点、函数的零点三者之间的联系： 对应方程的实数解 函数的零点 函数的图象与轴的 公共点横坐标值 数 形 典例分析 例1 求方程的实数解的个数？ 解：设函数， 利用计算工具，列出函数的 对应值表，并画出图象： 可知，函数，∈（０，＋∞）是增函数，所以它只有一个零点，即相应方只有一个实数解． 代数法 典例分析 例1 求方程的实数解的个数？ 解：求函数的零点个数，可看成与的交点个数。如图，只有一个交点，即相应方只有一个实数解． 减函数 增函数 几何法 方法总结 两个简单函数和运算构成的函数零点问题 对应方程 的实数解 函数－的零点 函数的图象与函数的 公共点横坐标值 数 形 典例分析 例2 下列图象表示的函数中没有零点的是( ) 解：选C.函数的零点为函数图象与 轴交点的横坐标，其中只有 选项C中的图象与 轴没有交点，即函数没有零点. C A. B. C. D. 典例分析 例3 已知函数，则函数 的零点为( ) 解：选C.由可得， 由 ,可得，，解得 . C A.1 B.0 C. D. 典例分析 例4 函数 的零点个数为___. 解：令 ，可得 ， 设， ， 在同一平面直角坐标系下画出： 函数 ， 的图象， 如图所示，两个函数图象有2个交点，因此函数 的零点个数为2. －等价于 函数的图象与函数的公共点横坐标值 2 学习过程 01 03 02 目录 1 函数的零点 2 零点存在定理 3 题型训练 新知探究2 思考: 路边有一条河,小明从点走到了 点.观察上面两图，并推断 哪一个图能说明小明的行程一定渡过河? 答：图1. 河水若视为x轴，说明函数图象不间断； 图象一定经过x轴说明区间端点值必须异号。 新知探究2 探究2 函数的图象在轴公共点处的变化规律？ 观察二次函数的图象 在轴公共点处的变化规律？ 答：函数图象在零点处自上而下穿过轴， 函数图象在零点 3 处自下而上穿过轴. 新知探究2 探究2 函数的图象在轴公共点处的变化规律？ 思考: 能否用零点和3附近函数值来描述这个变化规律？ 答：在－1附近： 上：，下：. 在3附近： 下：，上：. 总结： 当时在内有零点 当 时 . 新知2 函数零点存在定理 2. 函数零点存在定理： 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线， 且有， 那么，函数在区间内有零点，即存在, 使得，这个也就是方程的根. 0 y x 函数零点存在定理可以证明函数有零点， 但不能判定零点的个数。 概念辨析 思考1：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上有 f(a) f(b)<0， 那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？ 0 y x 不一定 思考2：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线， 且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有f(a)f(b)<0 ？ x y 0 不一定 典例分析 例1 （多选）已知函数 的图象是连续不断的，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 6 7 1 4 2 在下列区间中，函数 必有零点的区间为( ) A. B. C. D. 解：由所给的函数值表知，,, , 由函数零点存在定理可知 在区间,, 内至少各有一个零点. BCD 典例分析 例2 (多选)函数，下列必存在函数零点的是( ) A.B.C. D. 解：选. ， ， 可得，由函数零点存在定理可得必存在函数 零点的区间是 ； ，可得 ； ，可得 ； ，可得 ， 由函数零点存在定理可得必存在函数零点的区间是 . AD 学习过程 01 03 02 目录 1 函数的零点 2 零点存在定理 3 题型训练 利用函数零点求参数 题型1 题型探究 例1 已知函数的零点在区间内， 求实数 解：由题意知在区间 上连续且单调递增，因为 ， ， 所以函数在区间内有零点，所以 . 利用函数零点求参数 题型1 题型探究 例2 已知函数的零点在区间上, 求实数的值？ 解：由题意知，函数,在 上单调递减，所以函数在 上连续且单调递减，又 , ， 所以，则函数的零点在区间 上， 又因为函数的零点在区间 上，所以 . 求函数的零点个数 题型2 题型探究 例3 求函数 的的 的零点个数？ 解：方法一：函数零点的个数即为：函数 的图象 与函数 的图象交点的个数.在同一平面直角坐标系下， 作出两函数的图象（如图）. 由图象知， 函数的图象与函数 的图象只有 一个交点.即函数 只有一个零点. 求函数的零点个数 题型2 题型探究 例3 求函数 的的 的零点个数？ 解：方法二：由于 ， ， 所以 ，又的图象在上 是连续的，所以在 上必有零点，又在 上 是单调递增的，所以函数 只有一个零点. 求函数的零点个数 题型2 题型探究 例4 求函数 零点的个数？ 解：由得函数 的 定义域为 ， 函数 零点的个数， 即函数的图象和函数 的图象的交点个数， 如图所示，函数 的图象和函数的图象的交点个数为2，即函数 零点的个数为2. 由零点个数求参数范围 题型3 题型探究 例5 已知函数若函数 有3个零点，则 的取值范围？ 解：令，故 ， 画出函数 与直线 的图象如图所示，函数 有3个零点， 即函数的图象与直线有3个不同的交点， 则 ，解得 . 由零点个数求参数范围 题型3 题型探究 例6 函数的零点最多有___个， 并求此时 的取值范围？ 解：的零点个数为函数 的图象 与直线的交点个数. 的大致图象如图所示， 当时， 的零点个数最多，且最多为3. 课堂小结 1. 函数的零点与方程的解： 对于一般函数，我们把使的实数 叫做函数 的零点. 2. 函数零点存在定理： 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线， 且有， 那么，函数在区间内有零点，即存在, 使得，这个也就是方程的根. 课堂小结 方程的实数解、函数的图象与 轴的交点、函数的零点三者之间的联系： 对应方程的实数解 函数的零点 函数的图象与轴的 公共点横坐标值 数 形 对应方程 的实数解 函数－的零点 函数的图象与函数的 公共点横坐标值 数 形 感谢聆听! $