12.5.2 销售和其他问题 课件- 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

冀教（2024）版数学8年级上册 第十二章 分式和分式方程 12.5.2 销售和其他问题 1.分析销售问题数量关系并正确列出分式方程. 2.感受列分式方程解决问题的一般步骤. 3.通过解决实际问题来提高分析、解决问题的能力，发展学生的应用意识的核心素养. # 幻灯片分页内容：12.5.2 分式方程的应用——销售和其他问题 ## 第1页：导入——分式方程的多元应用场景 - 回顾旧知：复习分式方程解实际问题的通用步骤“审—设—列—解—验—答”，强调验根需兼顾增根排除和实际意义验证。 - 场景引入：生活中除工程、行程问题外，商场进货定价、旅游分摊车费、物品采购分配等问题也常需用分式方程解决。其中销售问题是高频考点，还有旅游、分配等其他典型场景，本节课聚焦这两类问题展开学习。 - 学习目标：掌握销售问题中核心量的关系，能列分式方程解决定价、进货等销售问题；学会处理旅游、分配等其他场景的分式方程应用题，提升实际建模能力。 ## 第2页：模块一——销售问题核心知识梳理 ### 核心公式 销售问题的解题关键是理清单价、数量、总价、利润、利润率的关系，核心公式如下： 1. 总价 = 单价×数量，变形得数量 = 总价÷单价； 2. 利润 = 售价 - 进价； 3. 利润率 =（利润÷进价）×100%； 4. 打折售价 = 原价×折扣（如九折即原价×0.9）。 ### 常见等量关系 1. 不同购买方式下数量相等（如两种商品花费不同总价，购买数量相同）； 2. 前后进货中数量成倍数关系（如二次进货数量是首次的2倍）； 3. 不同销售阶段的利润关系（如两个月获利的差值固定）。 ## 第3页：销售问题例题解析 ### 例题1：单价差异类问题 - 问题：某公司计划买台灯和电筒，台灯单价比电筒高50元，用240元买台灯的数量和用90元买电筒的数量相等，求两者单价。 - 解答： 1. 设电筒单价为\(x\)元，则台灯单价为\((x + 50)\)元； 2. 等量关系：240元买的台灯数量 = 90元买的电筒数量，列方程\(\frac{240}{x + 50}=\frac{90}{x}\)； 3. 解方程：交叉相乘得\(240x = 90(x + 50)\)，化简得\(150x = 4500\)，解得\(x = 30\)； 4. 验根：\(x = 30≠0\)，\(x + 50 = 80≠0\)，符合实际； 5. 答：电筒单价30元，台灯单价80元。 ### 例题2：进货倍数类问题 - 问题：超市用5000元试销苹果，后续又用11000元进货，此次进货价比试销时每千克多0.5元，且数量是试销时的2倍，求试销时苹果的进货价。 - 解答： 1. 设试销时进货价为每千克\(x\)元，则此次进货价为\((x + 0.5)\)元； 2. 等量关系：第二次进货数量 = 2×试销时进货数量，列方程\(\frac{11000}{x + 0.5}=2×\frac{5000}{x}\)； 3. 解方程：化简得\(11000x = 10000(x + 0.5)\)，解得\(x = 5\)； 4. 验根：\(x = 5≠0\)，\(x + 0.5 = 5.5≠0\)，符合实际； 5. 答：试销时苹果进货价为每千克5元。 ## 第4页：销售问题易错点与分层练习 ### 高频易错点 1. 公式混淆：误将利润率算成（利润÷售价）×100%，导致等量关系错误； 2. 折扣计算失误：如七折误算为原价×7，忽略折扣是原价的十分之几； 3. 漏算额外成本：二次进货时忽略单价上涨，导致数量关系列错。 ### 分层练习 1. 基础题：粽子打9折后花54元比平时多买3个，求平时每个粽子单价（答案：2元）； 2. 提高题：用8800元购进“吉祥兔”的数量是用4000元购进“如意兔”的2倍，且“吉祥兔”进价贵4元，求两者进价（答案：吉祥兔44元，如意兔40元）； 3. 拓展题：某商品第一个月进价提高25%销售获利6000元，第二个月进价提高10%销售，销量增80件且多获利400元，求商品进价（答案：500元）。 ## 第5页：模块二——其他问题（旅游、分配等） 除销售问题外，分式方程还可解决旅游分摊、物品分配、资源调配等实际问题，核心仍是找准隐藏的等量关系。 ### 例题3：旅游车费分摊问题 - 问题：几名同学包租面包车旅游，租价180元，出发前增加2名同学，每个同学比原来少分摊3元车费，求原来参加的学生人数。 - 解答： 1. 设原来有\(x\)名学生，原来每人分摊\(\frac{180}{x}\)元，增加后每人分摊\(\frac{180}{x + 2}\)元； 2. 等量关系：原分摊费用 - 现分摊费用 = 3，列方程\(\frac{180}{x}-\frac{180}{x + 2}=3\)； 3. 解方程：化简得\(180(x + 2)-180x = 3x(x + 2)\)，即\(x^2 + 2x - 120 = 0\)，解得\(x = 10\)（舍去负解）； 4. 验根：\(x = 10≠0\)，\(x + 2 = 12≠0\)，符合实际； 5. 答：原来有10名学生。 ### 例题4：物资分配问题 - 问题：希望学校收到65件礼物，计划每班分相同数量，还差3件；改为每班少分1件，剩余14件，求学校教学班数量。 - 解答： 1. 设学校有\(x\)个教学班，原计划每班分\(\frac{65 + 3}{x}\)件，调整后每班分\(\frac{65 - 14}{x}\)件； 2. 等量关系：原计划每班件数 - 调整后每班件数 = 1，列方程\(\frac{68}{x}-\frac{51}{x}=1\)； 3. 解方程：得\(17 = x\)，即\(x = 17\)； 4. 验根符合实际，答：学校有17个教学班。 ## 第6页：其他问题易错点与拓展练习 ### 高频易错点 1. 设元不当：未设直接相关量，导致方程复杂易错（如例题3中误设分摊费用为未知数）； 2. 忽略实际意义：解得人数、班数等为负数或小数，未舍去； 3. 等量关系找错：如物资分配中混淆“缺件”和“剩件”的数量关系。 ### 拓展练习 1. 基础题：甲每小时卖氢气球数量是乙的1.4倍，两人各卖700个，甲比乙少用4小时，求乙每小时卖多少个（答案：50个）； 2. 提高题：纯电车行驶A到B电费27元，燃油车油费108元，燃油车每千米油费比电车电费多0.54元，求电车每千米电费（答案：0.18元）。 ## 第7页：销售与其他问题综合对比 ### 共性与差异总结 |对比维度|销售问题|其他问题（旅游、分配等）| | ---- | ---- | ---- | |核心量|单价、数量、总价、利润|人数、费用、班数、物资数量| |等量关系特点|多围绕价格、数量的倍数或差值|多围绕分配份额、人数增减的差值| |设元技巧|优先设单价或进价|优先设人数、班数等整数类量| |验根重点|单价、利润为正|人数、班数为正整数| ### 通用解题技巧 1. 通读题干标注已知量，圈出“相等”“几倍”“多/少”等关键词，锁定等量关系； 2. 优先设直接未知数，若计算复杂，可设间接未知数简化方程； 3. 验根时除排除增根，务必结合场景验证解的合理性（如人数非负、单价为正）。 ## 第8页：课堂小结 - 核心内容：销售问题需牢记“总价=单价×数量”等公式，其他问题聚焦分配、分摊等场景，两类问题均以分式方程为建模工具； - 解题关键：找准等量关系是核心，验根是保障，结合实际意义取舍解是最终要求； - 思维提升：学会将各类实际问题转化为数学模型，体会数学与生活的紧密联系，提升用方程解决问题的综合能力。 学习目标 思考：回忆利润问题中有哪些量？它们之间的关系是什么？ 利润问题中常见量： 进价、售价、标价、利润、利润率、销售量、销售额； 关系： 利润＝售价-进价； 售价＝标价×折扣； 利润率＝（售价-进价）÷进价； 销售量＝销售额÷售价. 情景导入 某服装店销售一种服装，若按原价销售，则每月销售额为10000元；若按八五折销售，则每月多卖出20件，且销售额还增加1900元.每件服装的原价为多少元？ 情景导入 学生活动一 【一起探究】 （1）先找出题目中的数量：售价、件数、销售总额； （2）若设原售价为x元，则等量关系是八五折销售的件数- 原价的件数＝20； （3）列出方程，解决问题. 探究新知 解：设每件服装原价为x元，根据题意，得 ： － ＝20. 解得x＝200.经检验， x＝200是原分式方程的解. 答：每件服装的原价为200元. 探究新知 学生活动二 【新课探究】 今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年后父亲的年龄与儿子的年龄的比是22∶9，求父亲和儿子今年的年龄. 1.问题中有哪些等量关系？ ①今年父亲的年龄＝今年儿子的年龄×3 ②5年后父亲的年龄∶5年后儿子的年龄＝22∶9 探究新知 解：设今年儿子的年龄是x岁，则父亲的年龄是3x岁，根据题意，得 ＝ 解得 x＝13,3x＝39. 检验：x＝13是原分式方程的根. 答：父亲今年的年龄是39岁，儿子今年的年龄是13岁. 探究新知 1.相邻的两个偶数的比是24∶25，求这两个偶数之间的奇数. 2.某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销，就分两批分别用 32 000元和68 000元购进了这种玩具销售，其中第二批购进数量是第一批购进数量的1.5倍，但每套进价多了20元.求：该动漫公司这两批的进价各是多少？ 巩固练习 1.解：设这个奇数为x，根据题意，得 = ， 解得x＝49.经检验，x＝49是原分式方程的根. 答：这两个偶数之间的奇数是49. 巩固练习 2.解：设第一批的进价为x元，则第二批的进价为（x+20)元，根据题意，得 ×1.5 = . 解得x＝48，经检验，x＝48是原分式方程的根， 所以x+20＝68. 答：第一批和第二批的进价分别为48元、68元.. 巩固练习 1.开学初，某文化用品商店降价促销，全场8折，用60元购买规格相同的签字笔，折价后买到的数量刚好比按原价买到的数量多3支.原来每支签字笔多少元？ 当堂训练 解：设原来每支签字笔x元，根据题意，得 － ＝3 解得x＝5. 经检验，x＝5是原方程的根. 答：原来每支签字笔5元. 当堂训练 1. ［2025承德校级月考］某商场分两次购进某应季服装，第 一次花费4 800元购进服装，由于服装特别畅销，很快全部 售完.第二次花费比第一次多了4 200元购进服装，且第二次 的服装数量是第一次服装数量的 ，购进单价比第一次上涨了 20元.设第一次购进的服装的单价是 元，下列方程正确的是 ( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 14 2. 小荣爷爷现在的年龄是小荣的5倍，12年后，小荣爷爷的 年龄是小荣的3倍，现在小荣的年龄是( ) B A. 11岁 B. 12岁 C. 13岁 D. 14岁 返回 考试考法 15 3.一个两位数的十位数字是6，如果把十位数字与个位数字对 调，那么所得的两位数与原来的两位数之比是 ，原来的两位 数是____. 63 【点拨】设原来的两位数个位数字为 ，则可列方程： ，解得，经检验, 是原方程的解，故原 来的两位数是 . 返回 考试考法 16 4.老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36 元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶， 这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的 原价是每瓶多少元及每箱多少瓶.”以下为四位同学列出的方 程，正确的是________. 甲：设这种饮料的原价是每瓶元，则 乙、丙 考试考法 17 乙：设这种饮料每箱瓶，则 丙：设这种饮料的原价是每瓶元，则 丁：设这种饮料每箱瓶，则 . 考试考法 【点拨】甲：设这种饮料的原价是每瓶 元，根据题意得 ，故不正确；乙：设这种饮料每箱 瓶，根据题 意得 ，故正确；丙：设这种饮料的原价是每瓶 元，根据题意得, ，即 ，故正确；丁：由乙得不正确. 所列方 程正确的是乙、丙. 返回 考试考法 19 5. 现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖 ，两种糖的质量和单价如下表.商店以糖的平均价格作 为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加 入甲种糖____ . 甲种糖 乙种糖 质量/ 20 30 单价/元 25 15 10 考试考法 20 1.用分式方程解决利润问题； 2.利润＝售价-进价，利润率＝ ×100%. 课堂小结 谢谢观看！ $