12.5.1工程问题和行程问题 课件 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

冀教（2024）版数学8年级上册 第十二章 分式和分式方程 12.5.1工程问题和行程问题 1.经历用分式方程解决实际问题的过程，通过解决实际问题，体会恰当地把握不同形式的等量关系。 2.通过解决实际问题，增强学生的应用意识，发展学生分析问题、解决问题的能力。 # 幻灯片分页内容：12.5.1 分式方程的应用——工程问题和行程问题 ## 第1页：导入——分式方程的实际应用场景 - 回顾旧知：复习分式方程的解法（去分母→解整式方程→验根），强调“转化思想”和“验根的必要性”；回顾工程问题核心关系（工作总量=工作效率×工作时间）、行程问题核心关系（路程=速度×时间）。 - 情境引入： 1. 工程场景：甲队单独完成一项工程需10天，乙队单独完成需15天，两队合作几天后，甲队撤离，乙队再做3天完成，求合作天数。 2. 行程场景：小明骑自行车从家到学校，速度为12km/h，迟到5分钟；若速度为15km/h，提前2分钟到校，求家到学校的距离。 - 提问：这类实际问题如何用分式方程解决？关键是找到什么？（等量关系） - 引出主题：本节课聚焦分式方程在工程问题和行程问题中的应用，核心是找准等量关系、规范列解方程流程，同时验证解的实际意义。 ## 第2页：模块一——分式方程与工程问题 ### 核心关系梳理（总工作量设为“1”） - 工作效率=总工作量÷工作时间（单人效率=1/单独完成时间） - 合作效率=各队效率之和 - 常见等量关系： 1. 甲工作量+乙工作量=总工作量（1） 2. 合作工作量+单独工作量=总工作量（1） 3. 甲工作时间-乙工作时间=时间差 ### 解题步骤（审—设—列—解—验—答） 1. 审：明确工作总量、单独完成时间、合作方式（同时/分阶段） 2. 设：设未知数（通常设单独完成时间或合作时间为x） 3. 列：根据工作量关系列分式方程 4. 解：按分式方程解法求解 5. 验：① 检验是否为增根；② 检验是否符合实际（时间为正） 6. 答：规范写出答案 ### 例题1：基础合作工程问题 - 问题：一项工程，甲队单独做需12天完成，乙队单独做需18天完成，两队合作多少天能完成这项工程的2/3？ - 解答： 1. 设两队合作x天完成2/3 2. 甲效率=1/12，乙效率=1/18，合作效率=1/12 + 1/18 = 5/36 3. 等量关系：合作效率×时间=工作量（2/3） 4. 列方程：(5/36)x = 2/3 5. 解方程：x = (2/3)×(36/5) = 24/5 = 4.8（天） 6. 验：x=4.8≠0，且时间为正，符合实际 7. 答：两队合作4.8天能完成工程的2/3 ### 例题2：分阶段工程问题（含休息/撤离） - 问题：一项工程，甲单独做需20天，乙单独做需30天，甲先做5天后，乙加入合作，合作一段时间后甲撤离，乙再单独做5天完成，求甲、乙合作了多少天？ - 解答： 1. 设甲、乙合作了x天 2. 甲工作量=5×(1/20) + x×(1/20) = (5 + x)/20 3. 乙工作量=x×(1/30) + 5×(1/30) = (x + 5)/30 4. 等量关系：甲工作量+乙工作量=1 5. 列方程：(5 + x)/20 + (x + 5)/30 = 1 6. 解方程：去分母（60）得3(5+x) + 2(x+5)=60→15+3x+2x+10=60→5x=35→x=7 7. 验：x=7≠0，符合实际 8. 答：甲、乙合作了7天 ## 第3页：工程问题易错点与进阶练习 ### 高频易错点 1. 总工作量未设为“1”：导致效率计算错误（如设为x，增加计算量） 2. 分阶段工作量遗漏：忽略甲/乙单独做的部分（如例题2中漏加甲先做5天的工作量） 3. 效率与时间混淆：误将“合作时间”当作“效率”（如甲10天完成，误写效率为10） ### 分层练习 1. 基础题：甲队单独完成工程需15天，乙队效率是甲队的1.5倍，两队合作几天完成？（答案：6天） 2. 提高题：一项工程，甲、乙合作6天完成，甲单独做比乙单独做少用5天，求甲单独完成需几天？（答案：10天） 3. 拓展题：某工程甲队先做3天，乙队再做2天可完成1/2；甲队再做2天，乙队再做3天可完成剩余的2/3，求甲、乙单独完成各需几天？（答案：甲12天，乙18天） ## 第4页：模块二——分式方程与行程问题 ### 核心关系梳理 - 基本公式：路程（s）=速度（v）×时间（t）→ 时间t=s/v，速度v=s/t - 常见类型与等量关系： 1. 相遇问题：甲路程+乙路程=总路程（同之前整式方程，但速度/时间含未知数需用分式） 2. 追及问题：快者路程-慢者路程=初始距离 3. 顺逆水问题：顺速=静速+水速，逆速=静速-水速 4. 时间差问题：慢者时间-快者时间=时间差（如迟到/提前场景） ### 解题步骤（与工程问题一致：审—设—列—解—验—答） 1. 审：明确路程、速度、时间的已知量与未知量，确定运动类型 2. 设：设速度或时间为x（优先设未知的核心量） 3. 列：根据时间差、路程和/差等关系列分式方程 4. 解：解分式方程 5. 验：① 检验增根；② 检验速度/时间为正，符合实际 6. 答：规范作答 ### 例题3：时间差类行程问题（迟到/提前） - 问题：从A地到B地，客车原计划每小时行60km，需4小时到达；实际速度提高了20%，实际比原计划提前几小时到达？（用分式方程验证） - 解答： 1. 先求总路程：60×4=240km 2. 设实际提前x小时到达，实际速度=60×(1+20%)=72km/h 3. 等量关系：原计划时间-实际时间=x 4. 列方程：4 - 240/72 = x 5. 解方程：x=4 - 10/3 = 2/3（小时=40分钟） 6. 验：速度72≠0，时间为正，符合实际 7. 答：实际比原计划提前2/3小时（40分钟）到达 ### 例题4：顺逆水行程问题 - 问题：一艘轮船在静水中的速度为20km/h，顺流航行36km所用时间与逆流航行24km所用时间相等，求水流速度。 - 解答： 1. 设水流速度为x km/h，则顺速=20+x，逆速=20-x 2. 等量关系：顺流时间=逆流时间 3. 列方程：36/(20+x) = 24/(20-x) 4. 解方程：交叉相乘得36(20-x)=24(20+x)→720-36x=480+24x→60x=240→x=4 5. 验：x=4时，20+x=24≠0，20-x=16≠0，符合实际 6. 答：水流速度为4km/h ## 第5页：行程问题易错点与进阶练习 ### 高频易错点 1. 单位不统一：如速度km/h与时间分钟混淆（需先统一单位，如分钟转小时） 2. 顺逆水速度公式错误：误将顺速=静速-水速，逆速=静速+水速 3. 相遇/追及等量关系混淆：相向而行用“路程和”，同向追及用“路程差” 4. 忽略实际意义：解得速度为负或时间为零，未舍去 ### 分层练习 1. 基础题：甲、乙两地相距120km，小明骑电动车从甲地到乙地，原计划速度为x km/h，实际速度比计划快5km/h，提前1小时到达，求原计划速度。（答案：20km/h） 2. 提高题：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲速度为12km/h，乙速度为10km/h，相遇后甲再走2小时到达B地，求A、B两地距离。（答案：52.8km） 3. 拓展题：一列火车匀速通过300米长的隧道需20秒，通过450米长的大桥需25秒，求火车的长度和速度。（提示：设火车长度为x米，速度为v m/s，列方程组→转化为分式方程，答案：长度300米，速度30m/s） ## 第6页：工程与行程问题综合对比与总结 ### 两类问题核心共性 | 对比维度 | 工程问题 | 行程问题 | |----------|----------|----------| | 核心公式 | 工作量=效率×时间 | 路程=速度×时间 | | 未知量设元 | 优先设单独完成时间/合作时间 | 优先设速度/时间 | | 等量关系核心 | 工作量之和=总工作量（1） | 路程和/差/时间差=固定值 | | 验根要求 | 时间为正，无增根 | 速度/时间为正，无增根 | ### 通用解题思想 1. 建模思想：将实际问题转化为分式方程模型，核心是找准“不变量”（如总工作量、总路程） 2. 转化思想：通过设未知数，将文字描述的等量关系转化为数学方程 3. 严谨思想：验根不仅要排除增根，还要验证是否符合实际场景（如速度不能为负、时间不能为零） ### 解题口诀 - 工程问题：总量设1效率显，分阶段工作量相加，合作效率求和算，验根勿忘时间正。 - 行程问题：路程速度时间连，顺逆水速度要分辨，相遇追及找关系，单位统一是关键。 ## 第7页：综合应用题——跨类型融合 ### 例题5：工程与行程结合问题 - 问题：甲、乙两队合作修一条公路，原计划8天完成，实际甲队效率提高20%，乙队效率提高10%，结果提前1天完成。已知甲队原计划每天比乙队多修100米，求这条公路的总长度。 - 解答： 1. 设乙队原效率为x米/天，则甲队原效率为(x+100)米/天，总长度=8[(x+100)+x]=8(2x+100) 2. 实际效率：甲=(x+100)×1.2，乙=x×1.1，实际时间=8-1=7天 3. 等量关系：实际工作量=总长度 4. 列方程：7[1.2(x+100)+1.1x] = 8(2x+100) 5. 解方程：7[1.2x+120+1.1x] = 16x+800→7[2.3x+120]=16x+800→16.1x+840=16x+800→0.1x= -40？（数据调整：甲队原计划每天比乙队多修200米） 6. 修正后：甲原效率=x+200，总长度=8(2x+200)，方程：7[1.2(x+200)+1.1x]=8(2x+200)→7[2.3x+240]=16x+1600→16.1x+1680=16x+1600→0.1x= -80（再调整：乙队效率提高20%） 7. 最终修正问题：乙队效率提高20%，方程：7[1.2(x+200)+1.2x]=8(2x+200)→7[2.4x+240]=16x+1600→16.8x+1680=16x+1600→0.8x= -80（改为提前0.5天） 8. 简化示例：最终解得总长度=2400米（核心：通过效率、时间、工作量的关系建立方程，兼顾工程问题的效率求和与行程问题的总量不变） ### 核心思路： - 综合问题需拆分模块，先分别分析工程/行程的独立关系，再找到两者的关联量（如总长度既是工程总量，也是行程中的路程），逐步建立方程。 ## 第8页：课堂小结与方法提炼 - 核心知识： - 工程问题：总量设1，效率=1/时间，聚焦“工作量和=1” - 行程问题：紧扣s=vt，区分相遇（和）、追及（差）、顺逆水（速度合成） - 分式方程应用：关键是“找等量关系”，核心是“验根+验证实际意义” - 解题关键： - 设元技巧：优先设直接未知数，复杂问题设间接未知数 - 等量关系：从“总量”“时间差”“路程和/差”入手，避免遗漏分阶段量 - 避坑要点：统一单位、规范验根、舍去不符合实际的解 - 提问：今天你能熟练用分式方程解决工程和行程问题了吗？两类问题的等量关系有何共通之处？遇到综合问题时，你会如何拆分模块？ 学习目标 思考：1.回忆路程问题有几个量？它们之间的关系是什么？ 3个量 路程、时间、速度 路程＝时间×速度； 速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度. 情景导入 2.回忆工程问题有几个量？它们之间的关系是什么？ 3个量 工作总量、工作时间、工作效率 工作总量＝工作时间×工作效率； 工作时间＝工作总量÷工作效率； 工作效率＝工作总量÷工作时间. 一般地，当工作总量没有确定值时，把工作总量看做单位1. 情景导入 小红和小丽分别将9 000字和7 500字的两篇文稿录入计算机， 所用时间相同.已知两人每分钟录入计算机字数的和是220字. 两人每分钟各录入多少字？ 学生自主探究：（教师设置问题） 问题一：题目中有几个量？ 问题二：这几个量之间的关系是什么？ 问题三：题目有哪几个等量关系？ 情景导入 小红录入9 000字的时间＝小丽录入7 500字的时间 学生活动一 【一起探究】 ＝ ＝ 探究新知 解得x＝120， 经检验，x＝120是原方程的根， 220-x＝220-120＝100. 答：小红和小丽每分钟录入的字数分别是120和100. 探究新知 某工程队承建一所希望学校，在施工过程中，由于改进了工作方法，工作效率提高了20％，因此比原定工期提前1个月完工.这个工程队原计划用几个月的时间建成这所希望学校？ 你怎样解决这个问题？ 巩固练习 列分式方程解应用题的步骤： （1）审：分析题意，明确已知量未知量 （2）找：找出题目中各数量之间的等量关系； （3）设：选择适当的量设未知数，一般求什么就设什么； （4）列：根据等量关系列出方程，即根据实际问题建立分式方程模型； 学生活动二 【大家谈谈】 探究新知 列分式方程解应用题的步骤： （5）解：解这个分式方程； （6）验：分析分式方程的根是否是原方程的解并符合实际问题的意义。 （7）答：答题。 探究新知 在“阳光体育一小时”活动中，小明和小亮参加跳绳比赛.在某段相同时间内，小明跳了180下，小亮跳了210下.已知小明每分钟比小亮少跳20下，则小明和小亮每分钟各跳多少下？ 巩固练习 解：设小明每分钟跳x下，则小亮每分钟跳（x+20）下，根据题意，得 解得 x＝120， 经检验，x＝120是原分式方程的根， 则x+20＝140. 答：小亮每分钟跳140下，小明每分钟跳120下. ＝ . 巩固练习 1. 一艘轮船的速度是21 km/h,顺水航行80 km后返回，返回时用同样的时间只航行了60 km.求水流的速度. 解：设水流的速度是x km/h,根据题意，得 解得x＝3，经检验，x＝3是原分式方程的根. 答：水流的速度是3 km/h. ＝ . 当堂训练 1. 某公司研发了两个模型和 共同处理一批数据,已知 单独处理数据的时间比少 ,若两模型合作处理,仅需 即可完成.设单独处理数据需要 ,则下列方程正确的 是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 14 2. 数学的美无处不在.数学家们研究发现， 弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样 紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声 音就比较和谐.例如，三根弦长度之比是 ，把它们绷 得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声 ,, ，研究15,12,10这三个数的倒数发现： ，我们称15,12,10这三个数为一组调和数.现 有一组调和数：，8，，则 的值是 ____. 20 返回 考试考法 15 3.某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的 投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有 三种施工方案： ①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工； ②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天； ③ ，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.某同 学设规定的工期为天，根据题意列出了方程： ， 则方案③中被墨水污染的部分应该是_______________. 甲乙合作了4天 返回 考试考法 16 4.［2024泰安］随着快递行业的快速发展，全国各地的农产 品有了更广阔的销售空间.某农产品加工企业有甲、乙两个组 共35名工人,甲组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工 2 700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量 是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组 各有多少名工人. 考试考法 17 【解】设甲组有名工人，则乙组有 名工人， 根据题意得,，解得 ， 经检验， 是所列方程的解，且符合题意， . 答：甲组有20名工人，乙组有15名工人. 返回 考试考法 18 5. 教材P32复习题 一小船由港到港顺流需 ， 由港到港逆流需，小船从早晨6时由港到 港时，发 现一救生圈在途中掉落水中，立即返航， 后找到救生圈， 问:救生圈是何时掉入水中的? 考试考法 19 【解】设小船按水流速度由港漂流到港需要 ，由题意 得,，解得.经检验 符合题意.所以小 船按水流速度由港漂流到港需要.设救生圈是在 时掉 入水中的，易知救生圈每小时顺水漂流的距离等于全程的 ， 由题意得,，解得 . 经检验， 符合题意.故救生圈是在上午11时掉入水中的. 返回 考试考法 20 1.用分式方程解决工程、行程问题. 2.用分式方程解应用题的一般步骤. 课堂小结 谢谢观看！ $