12.2.2 分式的除法 课件- 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

冀教（2024）版数学8年级上册 第十二章 分式和分式方程 12.2.2 分式的除法 1.熟练掌握分式的除法运算，能解决分式的化简求值问题。 2.能灵活运用分式的除法解决简单的实际问题。 3.在学习中体会类比转化的数学思想，积累活动经验，发展合情推理的能力。 下面依旧以幻灯片分页的形式，呈现12.2.2分式的除法的相关内容，涵盖法则、不同题型例题、易错点等，助力系统掌握该知识点： # 幻灯片分页内容：12.2.2 分式的除法 ## 第1页：导入——转化思想，引入新知 - 回顾旧知：先给出分数除法示例$\frac{7}{6}÷\frac{9}{14}$，按照“除以一个数等于乘它的倒数”，转化为$\frac{7}{6}×\frac{14}{9}$，计算得$\frac{98}{54}$，再约分为$\frac{49}{27}$。复习分式乘法及约分知识，强调因式分解的重要性。 - 情境迁移：提出分式除法问题$\frac{ab^3}{2c^2}÷\frac{-5a^2b^2}{4cd}$，提问：分式除法能否类比分数除法转化为乘法计算？转化后如何处理符号与因式？ - 引出主题：本节课学习“分式的除法”，核心是掌握分式除法法则，能熟练处理单项式、多项式型分式的除法运算，将结果化为最简形式，夯实分式运算基础。 ## 第2页：核心法则——分式除法的核心规则 ### 1. 基本法则 - 文字表述：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 - 符号表示：对于整式$A$、$B$、$C$、$D$（其中$B≠0$，$C≠0$，$D≠0$），$\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=\frac{A}{B}×\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}$。 ### 2. 特殊情况——分式与整式相除 - 规则：整式可看作分母为1的分式，再按分式除法法则计算。 - 示例：$5x÷\frac{2x}{3y}$，转化为$\frac{5x}{1}×\frac{3y}{2x}$，计算得$\frac{15y}{2}$。 ### 3. 核心原则 运算结果必须化为最简分式或整式，同时要注意符号法则，同号得正，异号得负。 ## 第3页：基础题型1——分子分母为单项式的除法 ### 运算步骤 1. 将除法转化为乘法，颠倒除式的分子与分母； 2. 确定乘积的符号； 3. 按分式乘法法则，分子分母分别相乘； 4. 约去公因式，得到最简结果。 ### 例题解析 - 例题1：计算$\frac{3a}{b^2}÷\frac{a}{3b}$ 解：第一步，转化为乘法$\frac{3a}{b^2}×\frac{3b}{a}$；第二步，确定符号为正；第三步，约去公因式$ab$，得$\frac{9}{b}$。 - 例题2：计算$\frac{5c^2}{6ab}÷\frac{3b}{a^2c}$ 解：转化为乘法$\frac{5c^2}{6ab}×\frac{a^2c}{3b}$；约去公因式$ab$，计算得$\frac{5a c^3}{18b^2}$。 ## 第4页：进阶题型2——含多项式的分式除法 ### 运算步骤 1. 对分子、分母中的多项式因式分解（常用平方差、完全平方公式等）； 2. 将除法转化为乘法，颠倒除式的分子分母； 3. 约去分子分母的公因式； 4. 整理结果，并标注使原分式有意义的字母取值。 ### 例题解析 - 例题3：计算$\frac{3a - 3b}{25ab^2}÷\frac{a^2 - b^2}{25a^2b^3}$ 解：第一步，因式分解，分子$3a - 3b$提取公因式得$3(a - b)$，分母$a^2 - b^2$用平方差公式分解为$(a + b)(a - b)$；第二步，转化为乘法$\frac{3(a - b)}{25ab^2}×\frac{25a^2b^3}{(a + b)(a - b)}$；第三步，约去公因式$25ab^2(a - b)$，结果为$\frac{3ab}{a + b}$，注明$a≠0$、$b≠0$且$a≠ -b$。 - 例题4：计算$\frac{a^2}{a + 3}÷\frac{6a}{a^2 - 9}$ 解：第一步，分解分母$a^2 - 9$为$(a + 3)(a - 3)$；第二步，转化为乘法$\frac{a^2}{a + 3}×\frac{(a + 3)(a - 3)}{6a}$；第三步，约去公因式$a(a + 3)$，得$\frac{a(a - 3)}{6}$，注明$a≠0$且$a≠ -3$。 ## 第5页：拓展题型——含相反数因式与混合运算 ### 运算要点 遇到分子分母含互为相反数的因式时，先提取负号转化为相同因式；混合运算需遵循“先乘方，再乘除”的顺序。 ### 例题解析 - 例题5：计算$\frac{a + 3}{1 - a}÷\frac{a^2 + 3a}{a^2 - 2a + 1}$ 解：第一步，因式分解，分母$a^2 + 3a$提取公因式得$a(a + 3)$，分子$a^2 - 2a + 1$分解为$(1 - a)^2$；第二步，转化为乘法$\frac{a + 3}{1 - a}×\frac{(1 - a)^2}{a(a + 3)}$；第三步，约去公因式$(a + 3)(1 - a)$，结果为$\frac{1 - a}{a}$，注明$a≠0$、$a≠1$且$a≠ -3$。 - 例题6：计算$(\frac{2a}{b})^2÷\frac{4a}{b^2}$ 解：第一步，先算乘方$\frac{4a^2}{b^2}$；第二步，转化为乘法$\frac{4a^2}{b^2}×\frac{b^2}{4a}$；第三步，约去公因式$4a b^2$，结果为$a$，注明$a≠0$且$b≠0$。 ## 第6页：高频易错点辨析——避坑指南 1. **除式颠倒错误** - 错误：计算$\frac{x}{y}÷\frac{m}{n}$时，误写为$\frac{x}{y}×\frac{m}{n}$； - 正确：应颠倒除式，转化为$\frac{x}{y}×\frac{n}{m}$。 2. **相反数因式符号处理失误** - 错误：$\frac{2 - m}{m + 2}÷\frac{m^2 - 4}{m^2 - 4m + 4}$未处理$2 - m$与$m - 2$的关系； - 正确：先将$2 - m$化为$-(m - 2)$，因式分解后转化为乘法，约去公因式得$-1$。 3. **忽略分母不为0的条件** - 错误：计算$\frac{x^2 - 1}{x}÷(x - 1)$得$x + 1$，未标注限制条件； - 正确：结果需注明$x≠0$且$x≠1$，因这两个值会使原分式无意义。 4. **混合运算顺序混乱** - 错误：计算$\frac{1}{x}÷\frac{2}{x}×\frac{x}{2}$时，先算乘法得$\frac{1}{x}÷1=\frac{1}{x}$； - 正确：乘除为同级运算，从左到右计算，转化为$\frac{1}{x}×\frac{x}{2}×\frac{x}{2}=\frac{x}{4}$。 ## 第7页：分层课堂练习——巩固提升 1. **基础题**：计算$\frac{2x^2}{3y^2}÷\frac{5y}{6x}$（答案：$\frac{4x^3}{5y^3}$） 2. **提高题**：计算$\frac{a^2 - ab}{a^2}÷\frac{a^2 - b^2}{ab}$（答案：$\frac{b}{a + b}$，$a≠0$、$b≠0$且$a≠ -b$） 3. **拓展题**：计算$\frac{x^2 - 4x + 4}{x + 3}÷\frac{x^2 - 4}{x^2 - 9}$（答案：$x - 3$，$x≠ -3$、$x≠2$且$x≠ -2$） ## 第8页：课堂小结 - 核心法则：分式除法的关键是“转化”，即将除法转化为乘法，核心是颠倒除式的分子与分母。 - 关键步骤：遇多项式先因式分解，遇相反数因式先处理符号，混合运算遵循“先乘方后乘除”，结果必化为最简形式。 - 易错提醒：牢记符号法则与分母不为0的隐藏条件，避免因步骤疏漏导致错误。分式除法本质是乘法的变形，熟练掌握转化思想，就能轻松应对各类题型。 学习目标 分式的除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后， 与被除式相乘. ÷ · 探究新知 例1　计算下列各式： 小组讨论，各组总结步骤。 学生活动二 【观察与思考】 （1） ÷ （2） ÷ （3） ÷ 探究新知 第一步：除法变为乘法 第二步：分子分母分解因式 第三步：约分化简 第四步：检查 探究新知 例2 八年级（一）班的同学在体育课上进行长跑训练，小芳跑了1 000m 用了ts，小华用相同的时间跑完了800m.这次训练，小芳的平均速度是小华的平均速度的多少倍？ 学生活动三 【实际应用】 探究新知 完成P10练习 巩固练习 一个分数除以另一个分数，是将除数的分子和分母颠倒位置后，与被除数相乘. 如： 类比分数除法运算，思考 除以 的结果. 学生活动一 【观察与思考】 ÷ × 探究新知 （1） ÷ ·（﹣） （2） ÷（ ）· 当堂训练 （1） ÷ ·（﹣） 解：原式＝ · ·（﹣） ＝ ﹣. 当堂训练 （2） ÷（ ）· 解：原式＝ · · ＝ ＝ . 当堂训练 1. ［2025邢台月考］化简的结果是 ，则“？”的值是 ( ) B A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 母题教材P13习题 化简 的结果是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 12 3. 如果 的运算结果为整式，则被遮挡的式 子可能是( ) B A. B. C. D. 4.若，则 等于____. 【点拨】 ， . 返回 考试考法 13 5.现有,两个圆，圆的半径为,圆的半径为 ， 则圆的面积是 圆面积的___倍. 返回 考试考法 14 6.计算： （1） ; 【解】原式 . （2） ; 原式 . （3） . 原式 . 返回 考试考法 15 7. 已知,则 的值为( ) A A. 6 B. 36 C. 12 D. 3 返回 考试考法 16 8. 老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、 丁四名同学用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能 看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下 一人，最后完成化简，过程如图所示.接力中，自己负责的一 步出现错误的同学是( ) B A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 返回 考试考法 17 9. 代数式的值为，当为整数时，整数 的值 有( ) B A. 0个 B. 7个 C. 8个 D. 无数个 【点拨】由题意得 . 为整 数，且为整数，或或或 或1或 4或0或6或或10或.又且， 且或1或4或0或6或 或10，共有7个. 返回 考试考法 18 10.已知实数,满足 ，则代数式 的值为__. 【点拨】原式 . ， ， 原式 . 返回 考试考法 19 本节课我们主要学习了哪些内容？与同学交流你的想法。 1.分式的除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 2.正确灵活运用法则进行分式除法运算. ÷ · 课堂小结 谢谢观看！ $