6.3.1 平面向量基本定理 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦平面向量基本定理，从已学的一维向量表示入手，通过力的分解情境类比，引导学生思考平面内向量能否由两个不共线向量表示，搭建从一维到二维的认知支架，衔接前后知识。 亮点在于以问题链驱动探究，力的分解情境培养数学眼光，作图与逻辑推理发展数学思维，例题强化数学语言应用。助力学生构建知识体系，教师使用可有效突破重难点，提升教学效率。

人教版高中数学必修第一册 6.3.1 平面向量基本定理 教 学 设 计 高中数学 平原 6.3.1平面向量基本定理 一、教学目标 1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.会应用平面向量基本定理解决简单平面几何问题. 二、教学重难点 【教学重点】 平面向量基本定理及其简单应用. 【教学难点】 平面向量基本定理的发现过程及对定理的证明. 三、教学过程 1、创设情境，明确问题 前面我们已经学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示，类似的，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？这节课我们就来学习一下平面向量基本定理. 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.如图，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，可以将力分解为多组大小、方向不同的分力. 由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢? 2、数形结合，探究规律 如图6.3-2（1），设，是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与，都不共线的向量.如图6.3-2（2），在平面内任取一点O，作，，.将a按，的方向分解，你有什么发现？(提示：通过作图研究a与e1、e2之间的关系) 6.3-2 6.3-3 如图6.3.3，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N，则.由与共线，与共线可得，存在实数，，使得，，所以.也就是说，与，都不共线的向量a都可以表示成的形式. 当a是与或共线的非零向量时，a也可以表示成的形式；当a是零向量时，a同样也可以表示成的形式. 上述讨论表明，平面内任一向量a都可以按，的方向分解，表示成的形式，而且这种表示形式是唯一的.事实上，如果a还可以表示成的形式，那么.可得.假设，不全为0，不妨假设，则.由此可得，共线.这与已知，不共线矛盾，由此可推出，全为0，即，.也就是说，有且只有一对实数，，使. 3、抽象概括、阐述定理 平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数，，使. 若，不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示.这为我们研究问题带来了极大的方便. 4、例题练习、辨析思考 例1 如图，，不共线，且，用，表示. 解：因为， 所以 .（证明三点共线的一种方法） 5、 总结归纳、深化认知 本节课我们主要学习了哪些内容？ 平面向量基本定理证明及其应用. 6、布置作业、巩固提高 :数学书27页练习 四、教学反思 本节作为定理性的概念课，学生能否准确积极的参与到探究中去很重要。要让学生在已学知识的基础上，实现对平面向量基本定理的理解及应用，同时尽量让学生体会向量的学习是一环扣一环，由一维到二维再到三维是逐步递进的，为知识结构的优化奠定基础。 学科网（北京）股份有限公司 $