专题02 等差数列（压轴题6大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

专题02 等差数列及其前n项和 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、等差数列通项公式基本量计算及性质应用 1 类型二、等差数列前n项和公式及基本量计算 3 类型三、等差数列中与的关系 3 类型四、等差数列前n项和公式的重要性质 4 类型五、等差数列中的函数性质 5 类型六、等差数列的证明 6 压轴专练 7 类型一、等差数列通项公式基本量计算及性质应用 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）通项公式的推广：． （3）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （4），…仍是等差数列，公差为． （5）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． （6）若，是等差数列，则也是等差数列． 1．已知等差数列中，，则（ ） A．3 B．6 C．9 D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知四个正数成等差数列，则（    ） A． B． C． D．3 3．（25-26高二上·江苏泰州·期中）等差数列中，若，则的值为（   ）. A．35 B．42 C．49 D．70 4．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知是公差不为0的等差数列，若，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 5．（25-26高二上·江苏苏州·月考）在等差数列中，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．49 6．已知数列满足，则等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．在等差数列的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则（    ） A． B． C．1 D． 8．（24-25高二下·北京房山·期中）我国古代数学名著《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问：各得几何？”意思是：五个人分五钱（“钱”是古代的一种计量单位），每人所得依次相差一样多，前两人所得钱数与后三人所得钱数一样多，问每个人分得多少.在这个问题中分得最少的一个得到（    ） A．钱 B．钱 C．钱 D．1钱 9．（24-25高二下·河南焦作·期末）已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 类型二、等差数列前n项和公式及基本量计算 设等差数列的公差为，其前项和． 1．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）记等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．63 B．70 C．84 D．126 2．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．24 B．30 C．60 D．120 3．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合．“苏州码子”中0～9的写法依次为〇、丨、刂、川、〤、δ、〦、〧、〨、攵．某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着“川丨”代表距离始发车站的里程为31公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“刂〧”，在B点处里程碑上刻着“〧δ”，则从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为（ ） A．720 B．792 C．867 D．945 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知等差数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．40 B．50 C．60 D．100 5．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设为等差数列，公差，为其前项和，若，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设数列的前n项和为，若，则（   ） A．110 B．130 C．290 D．190 类型三、等差数列中与的关系 1．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知数列的前项和，则 ． 2．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为 3．若等差数列的前n项和为，则该数列的公差为 ． 4．（24-25高二下·湖南·月考）已知数列的前项和，则 . 类型四、等差数列前n项和公式的重要性质 （1），…也成等差数列，公差为． （2）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． 为等差数列，公差为． （3）若与为等差数列，且前项和为与，则． 1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．51 B．57 C．63 D．66 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·甘肃金昌·月考）设等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·重庆·月考）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 类型五、等差数列中的函数性质 将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得. 当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 2．（23-24高二下·重庆·月考）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二下·北京海淀·月考）已知无穷等差数列前项和为，若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（ ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 类型六、等差数列的证明 判断或证明一个数列是等差数列的方法 1、定义法：（常数）是等差数列； 2、中项法：是等差数列； 3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。 1．已知数列中，，． (1)证明：是等差数列； 2．已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； 3．（25-26高二上·甘肃·期中）已知数列中，，前n项和为，且为等差数列. (1)证明：数列是等差数列； 4．（24-25高二下·广东湛江·期末）已知为各项均为正数的数列，其前项和为，. (1)求的通项公式； 5．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正项数列的前n项之积为，且. (1)求证：数列是等差数列； 6．对任意的正整数，数列满足，且. (1)求，； (2)证明：是等差数列； 7．已知数列和满足，且． (1)当时，求数列的通项公式； (2)若，求证：数列是等差数列； 1．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知为等差数列，，，则（   ） A．6 B．5 C．12 D．8 2．（24-25高二上·北京东城·期末）做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京·期末）若等差数列满足，，则（   ） A．5 B．7 C． D． 4．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 5．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知为等差数列的前项和，，则（   ） A．66 B．16.5 C．33 D．24 6．（24-25高二下·河北衡水·期末）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．320 B．400 C．480 D．560 7．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（   ） A．550 B．450 C．1100 D．900 8．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 9．（24-25高二下·重庆·期末）等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则当取得最大值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（24-25高二下·广东广州·月考）已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则是数列的第（ ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 13．（24-25高二上·河南·月考）已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B．3 C． D． 14．（24-25高二下·广东广州·期末）已知两个等差数列及，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则（    ） A．45 B．50 C．54 D．60 15．设等差数列的前项和为，若，且，则的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 16．（24-25高二下·重庆·月考）等差数列的前项和分别是，且，则（   ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·湖北·期中）已知数列的前项和（为常数），则“为递增的等差数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（多选题）数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．不可能为常数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 19．（24-25高二上·广西南宁·期末）已知数列的前项和公式为，则的通项公式 . 20．（23-24高二上·浙江金华·月考）已知数列的前n项和，则通项公式= ． 21．（25-26高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列满足：. (1)求证：为等差数列； 22．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）设数列满足，. (1)证明：为等差数列； 23．已知正项数列的前项和为，且； (1)求和的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； 24．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知：数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； 25．记数列的前n项和为，已知，. (1)证明：数列为等差数列； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等差数列及其前n项和 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、等差数列通项公式基本量计算及性质应用 1 类型二、等差数列前n项和公式及基本量计算 5 类型三、等差数列中与的关系 7 类型四、等差数列前n项和公式的重要性质 9 类型五、等差数列中的函数性质 11 类型六、等差数列的证明 14 压轴专练 18 类型一、等差数列通项公式基本量计算及性质应用 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）通项公式的推广：． （3）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （4），…仍是等差数列，公差为． （5）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． （6）若，是等差数列，则也是等差数列． 1．已知等差数列中，，则（ ） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】C 【分析】先根据等差数列的通项公式把已知条件转化为关于首项和公差的关系式，即可求解． 【详解】数列是等差数列，设首项是，公差是，则， 又， ， ． 故选：C． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知四个正数成等差数列，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由等差数列性质列方程组即可求解. 【详解】因为四个正数成等差数列，所以，解得． 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏泰州·期中）等差数列中，若，则的值为（   ）. A．35 B．42 C．49 D．70 【答案】A 【分析】设的公差为，依题意可得，再由等差数列通项公式计算可得. 【详解】设的公差为，则，即， 则. 故选：A 4．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知是公差不为0的等差数列，若，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】由等差数列通项公式代入题设即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题得. 故选：C 5．（25-26高二上·江苏苏州·月考）在等差数列中，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．49 【答案】B 【分析】结合对数运算性质，根据等差数列的等差中项性质求解即可. 【详解】因为数列为等差数列， 所以， 所以. 故选：B 6．已知数列满足，则等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据已知确定为等差数列，再应用等差数列的性质求得、，进而求. 【详解】由，易知为等差数列， 所以，可得，且，可得， 所以. 故选：B 7．在等差数列的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】依题意可得，，求出公差，再由通项公式计算可得. 【详解】依题意可得新的等差数列中，， 设公差为，则， 所以. 故选：B 8．（24-25高二下·北京房山·期中）我国古代数学名著《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问：各得几何？”意思是：五个人分五钱（“钱”是古代的一种计量单位），每人所得依次相差一样多，前两人所得钱数与后三人所得钱数一样多，问每个人分得多少.在这个问题中分得最少的一个得到（    ） A．钱 B．钱 C．钱 D．1钱 【答案】B 【分析】由题意分析出五人所分钱成等差数列，得钱最多者为，列出等式和，根据等差数列的性质即可求出和，再求出即可. 【详解】由题意可知五人所分钱成等差数列，得钱最多者为，则公差， 所以有，解得， 又因为，即， 则，所以， 所以分得最少的一个得到钱. 故选：B 9．（24-25高二下·河南焦作·期末）已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质即可得数列是首项为1，公差为20的等差数列，从而得所求. 【详解】由题可知是首项为1，公差为4的等差数列，是首项为1，公差为5的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为20的等差数列，故. 故选：C. 类型二、等差数列前n项和公式及基本量计算 设等差数列的公差为，其前项和． 1．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）记等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．63 B．70 C．84 D．126 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质及前n项和公式计算即可. 【详解】因是等差数列，故，于是 故选：C. 2．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．24 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】由等差数列的性质及前项和求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 3．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合．“苏州码子”中0～9的写法依次为〇、丨、刂、川、〤、δ、〦、〧、〨、攵．某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着“川丨”代表距离始发车站的里程为31公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“刂〧”，在B点处里程碑上刻着“〧δ”，则从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为（ ） A．720 B．792 C．867 D．945 【答案】C 【分析】根据规定确定A点和B点处的里程碑的数值，依题意知里程碑上的数字成等差数列，再求出从A到B的所有里程碑个数，进而利用等差数列前n项和公式计算即可． 【详解】由题意知，A点处里程碑刻着数字27，B点处里程碑刻着数字75， 又里程碑上的数字成等差数列，公差为3， 则从A到B的所有里程碑个数为， 所以从A到B的所有里程碑上的数字之和为． 故选：C． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知等差数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．40 B．50 C．60 D．100 【答案】B 【分析】只需根据已知求得，再结合等差数列性质以及求和公式即可求解. 【详解】等差数列中，由，得，解得， 所以． 故选：B. 5．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设为等差数列，公差，为其前项和，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到，利用等差中项求得，然后依次求得，即可求得. 【详解】∵，∴， 即，∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 6．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设数列的前n项和为，若，则（   ） A．110 B．130 C．290 D．190 【答案】C 【分析】由题意求出，进而求出并判断数列是等差数列，再由等差数列的前项和公式计算即可. 【详解】因为，所以，即， 所以，则，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则. 故选：C 类型三、等差数列中与的关系 1．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知数列的前项和，则 ． 【答案】 【分析】当时，由，，即可求出的通项. 【详解】当时，即， 当时，， 又也符合上式， . 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为 【答案】 【分析】利用数列的前 项和 与通项 的关系计算. 【详解】当 时，； 当 时，. , 代入通项公式：, 验证 时：若直接代入 ，得 ，与 矛盾，故需分段表示. 因此，通项公式为分段形式：. 故答案为：. 3．若等差数列的前n项和为，则该数列的公差为 ． 【答案】 【分析】根据数列通项公式与前n项和的关系求得等差数列公差即可. 【详解】因为数列的前n项和为， 所以当时，， 当时，满足上式，所以， 公差为. 故答案为： 4．（24-25高二下·湖南·月考）已知数列的前项和，则 . 【答案】 【分析】由，推导出数列为等差数列，结合等差数列的求和公式可求得结果. 【详解】因为数列的前项和， 当时，， 当，时，， 也满足，故对任意的，， 因为，故数列为等差数列， 所以. 故答案为：. 类型四、等差数列前n项和公式的重要性质 （1），…也成等差数列，公差为． （2）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． 为等差数列，公差为． （3）若与为等差数列，且前项和为与，则． 1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．51 B．57 C．63 D．66 【答案】D 【分析】根据等差数列的前项和性质：片段和仍然成等差数列计算 【详解】等差数列的前项和为，，， ，，，成等差数列， ，，， ，则数列的前三项为，是公差为的等差数列，故，. 故选：D 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为，分别为等差数列，的前n项和， 所以， ， 所以. 故选：A. 3．（23-24高二上·甘肃金昌·月考）设等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解. 【详解】在等差数列中，成等差数列， 则， 设，则， 故，解得， 所以. 故选：A. 4．（24-25高二下·重庆·月考）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及等差数列前n项和的特征，设，，再由求值即可. 【详解】根据已知及等差数列前n项和，设，， 则. 故选：C 类型五、等差数列中的函数性质 将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得. 当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 【答案】A 【分析】根据已知条件求出，把表示为关于n的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】， ∴， 关于n的二次函数，其对称轴为， ∵，∴当或时，最大． 故选：A． 2．（23-24高二下·重庆·月考）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用特殊值说明充分性不成立，根据单调性得到，即可说明必要性成立，从而得解. 【详解】当，满足，但是，显然是递减数列，故充分性不成立， 当是递增数列，则， 若，则单调递减，显然不恒成立， 所以，所以必要性成立， 所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 故选：B 3．（24-25高二下·北京海淀·月考）已知无穷等差数列前项和为，若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等差数列项的符号特点和前项和最值的关系进行分析. 【详解】充分性：等差数列的前项和为， 前项和可看做关于的函数，若有最大值，则，满足充分性； 必要性：等差数列的前项和为，若、公差，则等差数列每一项都是负数，显然取到最大值，必要性成立. 故选：C. 4．（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】作差法得到，若递减，可得为递增数列，充分性成立，可以举出实例说明必要性不成立，从而可得答案. 【详解】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ， 由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：， 则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 5．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（ ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式、与的关系，结合二次函数的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为是公差为1的等差数列， 所以， 因此，所以A正确； B：由上可知：， 因为，所以当或6时，取得最小值，因此B不正确； C：由上可知：， 于是当时，， 显然，符合，所以C正确； D：由上可知：， 令， 显然当时，因为， 所以，而， 显然数列中第5项的值最大，故D正确， 故选：B 类型六、等差数列的证明 判断或证明一个数列是等差数列的方法 1、定义法：（常数）是等差数列； 2、中项法：是等差数列； 3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。 1．已知数列中，，． (1)证明：是等差数列； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）先得到，再把两侧同时取倒数并利用等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）因为，所以， 而，则， 即，得到是首项为2,公差为2的等差数列. 2．已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题干条件进行证明即可； 【详解】（1）由， 得. 又，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. 3．（25-26高二上·甘肃·期中）已知数列中，，前n项和为，且为等差数列. (1)证明：数列是等差数列； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式得到，然后利用得到，最后根据等差数列的定义证明即可； 【详解】（1）证明：因为，故， 又为等差数列，所以， ， 当时，，， 又，所以数列是一个以为首项，公差为的等差数列； 4．（24-25高二下·广东湛江·期末）已知为各项均为正数的数列，其前项和为，. (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）利用的关系，得出数列是等差数列，进而可求得通项公式； 【详解】（1）当时，，得， ∵，∴， 当时，， 两式作差可得：， 即， ∴， 又∵，∴，且， ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴. 5．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正项数列的前n项之积为，且. (1)求证：数列是等差数列； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）根据题意得到，由，化简得到，求得，结合等差数列的定义推理得证. 【详解】（1）依题意，，当时，得，则， 由，得，则，即， 当时，，于是，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 6．对任意的正整数，数列满足，且. (1)求，； (2)证明：是等差数列； 【答案】(1)，. (2)证明见解析 【分析】（1）由得，再得； （2）由进行凑配即可证明. 【详解】（1）由题意得，，算得，. （2）由， 得， 记，则 得，，所以数列是首项为，公差为的等差数列. 故是等差数列. 7．已知数列和满足，且． (1)当时，求数列的通项公式； (2)若，求证：数列是等差数列； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据以及题干，代入计算即可； （2）代入可知，然后根据等差中项进行判断即可； 【详解】（1）当时，， 所以的通项公式为． （2）证明：因为，所以， 则， 两式相减，得， 所以，即，又当时，， 所以， 所以是以1为首项，6为公差的等差数列，即． 1．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知为等差数列，，，则（   ） A．6 B．5 C．12 D．8 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】为等差数列，，，， ，，，. 故选：D. 2．（24-25高二上·北京东城·期末）做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质可得，，利用可得结果. 【详解】记7根横梁的长度从上到下成等差数列， 由题意得，，， ∴，，故，， ∵，∴，即正中间的一根横梁的长度是. 故选：B. 3．（24-25高二下·北京·期末）若等差数列满足，，则（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】先由由求得，再由即可求解. 【详解】设等差数列公差为d，则由得即， 所以由得. 故选：C 4．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的性质可得成等差数列，进而列方程求解即可. 【详解】由题知成等差数列， 即成等差数列， 即，解得. 故选：D. 5．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知为等差数列的前项和，，则（   ） A．66 B．16.5 C．33 D．24 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式求解. 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 故选：C 6．（24-25高二下·河北衡水·期末）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．320 B．400 C．480 D．560 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式求出首项及公差，再求出前20项的和. 【详解】由，得，而，解得，公差， 所以. 故选：B 7．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（   ） A．550 B．450 C．1100 D．900 【答案】A 【分析】由等差数列的下标和性质和前项和公式求解即可. 【详解】由等差数列的性质知：， 所以数列的前10项的和为: . 故选：A. 8．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先对目标式合理变形得到，再结合题意求值即可. 【详解】由题意得， 因为，所以，故A正确. 故选：A. 9．（24-25高二下·重庆·期末）等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则当取得最大值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先求出数列的通项公式，由，，知当取得最大值时有，然后求解即可. 【详解】， 解得，，所以， 所以当取得最大值时，，即，解得， 又，所以. 故选：C 10．（24-25高二下·广东广州·月考）已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等差数列前项和性质可知，也为等差数列，根据等差数列定义求解即可. 【详解】是等差数列，也为等差数列， ，， 设等差数列的公差为，则， ， . 故选：A. 11．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分析可得，即数列从第二项开始，各项均为正数，结合等差数列的通项公式，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由为等差数列，且，所以， 因为数列为递增数列，则，即从第二项开始，各项均为正数， 又因为恒成立，所以数列为常数数列或递增数列，所以， 则有，解可得， 综上可得，，所以实数的取值范围为． 故选：D． 12．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则是数列的第（ ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由等差数列的基本量法求出，再由题意求出后可得. 【详解】由题意可得， 因为在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列， 所以，新数列的公差， 所以， 所以. 故选：B. 13．（24-25高二上·河南·月考）已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，结合等差数列片段和的性质求解即可； 【详解】由题意设，则， 由是等差数列，所以也成等差数列， 所以，解得； ，解得， 所以， 故选：C. 14．（24-25高二下·广东广州·期末）已知两个等差数列及，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则（    ） A．45 B．50 C．54 D．60 【答案】B 【分析】首先求出两数列的公差及其最小公倍数，即为新数列的公差，再找出首先，最后根据等差数列的通项公式计算可得； 【详解】等差数列2，6，10，，190，…的公差为4， 2，8，14，，200，…的公差为6， 2与6的最小公倍数为12， 两个等差数列的公共项为2，14，26，38，50，，则公共项为，． 故选：B. 15．设等差数列的前项和为，若，且，则的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，求得，，得到公差，，结合，求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由，可得， 因为，可得， 所以公差为，， 又因为，可得，则，解得， 则，所以. 故选：C. 16．（24-25高二下·重庆·月考）等差数列的前项和分别是，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由与的关系计算可得. 【详解】由可设， 则，， 所以 故选：D 17．（23-24高二下·湖北·期中）已知数列的前项和（为常数），则“为递增的等差数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列前n项和公式函数性质、与的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列的前项和， 类比表达式，有. 当为递增等差数列时，有； 反之，当时，例如，可得； ，则， 此时数列从第二项开始才为递增的等差数列； 所以“为递增的等差数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 18．（多选题）数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．不可能为常数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 【答案】AC 【分析】根据的关系求出通项，然后根据公差即可判断ABC；利用数列的函数性，分析对应二次函数的开口方向和对称轴位置即可判断D. 【详解】当时，， 当时，， 显然时，上式也成立，所以. 对A，因为， 所以是以为公差的等差数列，A正确； 对B，由上可知，当时，为常数列，B错误； 对C，若为递增数列，则公差，即，C正确； 对D，若为递增数列，由函数性质可知，解得，D错误. 故选：AC 19．（24-25高二上·广西南宁·期末）已知数列的前项和公式为，则的通项公式 . 【答案】 【分析】根据求解即可. 【详解】当时，； 当时，，符合. 所以. 故答案为： 20．（23-24高二上·浙江金华·月考）已知数列的前n项和，则通项公式= ． 【答案】 【分析】根据，可求出首项，继而利用时，，求出的表达式，验证后即可确定答案. 【详解】因为数列的前n项和， 故当时，， 当时， ， 由于不适合该式，故， 故答案为： 21．（25-26高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列满足：. (1)求证：为等差数列； 【答案】(1)证明见详解 【分析】（1）由，两边同时取倒数化简得，即可证明； 【详解】（1）因为，两边同时取倒数可得， 所以， 因为， 所以是以1为首项，3为公差的等差数列. 22．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）设数列满足，. (1)证明：为等差数列； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用构造法可证明数列为等差数列； 【详解】（1）由题可知， 两边同时除以得：，且， 故是以为首项，为公差的等差数列； 23．已知正项数列的前项和为，且； (1)求和的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）依次将代入递推式即可求解； （2）由结合整箱数列递推式计算分析即可求解； 【详解】（1）由题可得，即， 所以即， 又数列为正项数列，所以， 所以， 所以由得； （2）因为，所以由（1）当时，， 当时， ， 整理化简得，又， 所以即， 所以数列是以为公差，1为首项的等差数列， 所以. 24．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知：数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）由与的关系可得，根据等差数列的定义即可证明； 【详解】（1）由，可得，则， 即，，所以是首项为2，公差为1的等差数列. 25．记数列的前n项和为，已知，. (1)证明：数列为等差数列； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，即可求解； 【详解】（1）由， 当时，， 两式相减得，即，① 则，② 由①②整理得，， 所以； 又，则当时，， 当时，，则， 所以，满足， 所以，故数列为等差数列，且首项为，公差为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $