专题二十二：统计与概率-2025-2026学年数学寒假中考备战专题练习

专题二十二:统计与概率 一、单选题 1．为拓展学生的时政视野，锻炼学生的辩证思维能力与逻辑表达能力．某学校举办了“家国天下——时政达人秀”时事述评比赛．下面是根据9位评委的打分制作的表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.6 8.3 8.2 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查中位数，根据中位数是将数据排序后，位于中间一位或两位的平均数，得到去除两头的数据，不会对中位数造成影响，判断即可． 【详解】解：由题意，表中数据一定不发生变化的是中位数； 故选C． 2．八（2）班大部分学生的年龄都是14周岁，这里的14周岁指的是八（2）班全体学生年龄的（    ） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 【答案】C 【分析】本题考查众数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数据，解题的关键是熟练掌握众数的概念． 根据题意，“大部分学生的年龄都是14周岁”说明14周岁出现的次数最多，即为众数． 【详解】解：题目中提到八（2）班大部分学生的年龄是14周岁，这表明14周岁是该班学生年龄中出现次数最多的数值。根据众数的定义（一组数据中出现次数最多的数），这里的14周岁对应的是全体学生年龄的众数。 故选：C． 3．一个盒子里有黑球6个，白球若干，这些球除颜色外都相同．将盒子里的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回盒子里，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到白球．则盒子中白球大约有（    ） A．7个 B．10个 C．14个 D．16个 【答案】C 【分析】本题主要考查本题考查了利用频率估计概率的知识，用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 【详解】解：估计这个口袋中球的数量为（个， （个， 答：盒子中白球大约有14个， 故选：C． 4．春节期间，走进影院看电影，成为不少家庭的新年俗．小华和小明分别从如图所示的四部春节档影片中随机选择一部观看，则小华和小明选择的影片相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率，用树状图法表示出所有情况及需要情况求解即可得到答案． 【详解】解：把四部影片分别记作A，B，C，D，画树状图为： 共有种等可能的结果，其中小华和小明选择的影片相同的结果有种， ∴小华和小明选择的影片相同的概率为， 故选C． 5．有同一花色的4张扑克牌，牌面分别是A，2，3，4，将四张牌背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机取出一张牌，记录后放回并洗匀，共计取牌次．若规定每次取牌时，取出的数字即为得分（其中“A”代表1分），前八次的取牌得分情况如下表所示： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 1 4 1 2 3 2 2 1 若第1次至第8次取牌得分的平均数为，第9次和第10次取牌得分的平均数为，则下列说法正确的是（    ） A．事件发生的概率为 B．事件发生的概率为 C．事件发生的概率为0 D．可能出现的数值有4种 【答案】A 【分析】根据表格求出，列出所有最后两次的情况，逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 根据树状图可知， 总的有种情况，分别为：1、、2、、、2、、3、2、、3、、、3、、4， ∴的概率为：，A正确，符合题意， 发生的概率为：，B错误，不符合题意， 事件发生的概率为：，C错误，不符合题意， 可能出现的数值有7种，D错误，不符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查树状图法求概率，解题的关键是正确列出树状图求解． 6．通过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少有一辆车向左转的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用树状图或表格法求概率，利用树状图法或表格法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键．利用树状图法求出一共有9种等可能的结果，其中至少有1辆汽车向左转的结果有5种，然后用概率公式解答即可． 【详解】解：设经过这个十字路口的两辆汽车分别为A，B，画树状图如下： 由树状图可得，一共有9种等可能的结果，其中至少有1辆汽车向左转的结果有5种， 至少有一辆车向左转的概率是． 故选：D． 7．从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示，整理所收集样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 下列结论一定正确的是（    ） ①两园样本数据的中位数均在第3组； ②两园样本数据的众数均在第3组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、中位数、众数、极差，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 分别根据中位数、众数和极差的定义解答即可． 【详解】解：由统计图可知，两园样本数据的中位数均在第3组，故①正确； 甲园的众数在第2组，乙园的众数在第3组，故②结论错误； 两园样本数据的最大数与最小数都是在一个范围内，不能确定具体数值，因此差不一定相等，故③结论错误； 故选：A． 8．有一个掷骰子的游戏，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第个人将一颗骰子抛掷次，记表示“第个人次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于”．现有下列结论：①是必然事件；②发生的概率为；③可能发生；④发生的概率大于0．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查概率的应用，抛掷骰子时，骰子朝上的面上的点数可能为1，2，3，4，5，6中的任何一个，由此判断第n个人次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和与的大小关系，即可求解．注意列举法的应用是解题的关键． 【详解】解：第一个人将一颗骰子抛掷一次，骰子朝上的面上的点数大于或等于1，因而一定大于，可知是必然事件，故①正确； 第二个人将一颗骰子抛掷2次，抛掷结果有种，每种结果出现的可能性相等，36种结果中，两次得到的点数之和小于的情况有1种，即，大于的情况有35种，因而发生的概率为，故②正确； 第四个人将一颗骰子抛掷4次，4次得到的点数之和可能为，，因而可能发生，故③正确； 第五个人将一颗骰子抛掷5次，5次得到的点数之和最大为，，因而发生的概率为0，故④错误； 综上可知，正确的有①②③，共3个， 故选B． 9．从同一副扑克牌中挑出张红桃、张黑桃、张方块，将这张扑克牌洗匀后背面朝上，再从中抽出张牌，抽出的这张牌中恰好有张红桃的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查概率的计算公式，设抽出的牌中有张红桃、张黑桃、张方块，根据，，得出，则的可能取值有，，，最后逐一计算即可，熟记公式是解题的关键． 【详解】设抽出的牌中有张红桃、张黑桃、张方块，则都为正整数，且，， ∵， ∴， ∴的可能取值有，，，， 当时，， ∴，只有种可能； 当时，， ∴，或，，有种可能； 当时，， ∴，，或，或，，有种可能； 当时，， ∴，或，或，或，，有种可能， 共种可能，其中恰好有张红桃的可能有种， ∴所求概率为， 故选：． 10．中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了求概率问题，解题的关键是根据题意计算出彼得彩票店的，加百列彩票店，分别所有的情况数，求出概率进行比较即可． 【详解】解：彼得彩票店的，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， 加百列彩票店，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， ，一样大， 故选：C． 二、填空题 11．不透明袋子中装有15个球，其中有8个红球，5个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ． 【答案】 【分析】根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵有个球，其中有8个红球 ∴P（从袋子中随机取出1个球是红球）=. 故答案为：． 【点睛】此题属于容易题，主要考查概率的求解.失分的原因是未将所求的结果进行约分． 12．已知数据，，…，的方差是3，则一组新数据，，…，的方差是 ． 【答案】12 【分析】如果一组数据，，…，的方差是，那么数据，，…，的方差是（），数据，，…，的方差不变，依此规律即可得出答案． 【详解】解：∵数据，，…，的方差是3， ∴另一组数据，，…，的方差为， ∴，，…，的方差是12． 故答案为：． 【点睛】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数时，平均数也加上这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数时，平均数也乘以这个数（不为0），方差变为这个数的平方倍． 13．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2、3、5中，随机选一个数，是奇数的概率为 ． 【答案】 【分析】根据简单概率的计算公式计算即可． 本题考查了简单的概率计算．概率=事件A发生的情况数所有情况数，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．掌握规概率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：质数2、3、5中有2个奇数， 因此随机选一个数，是奇数的概率为． 故答案为： 14．今年五一期间，河南郑州、开封、洛阳等城市旅游出现“爆棚式”增长．全省接待游客人次居前五位的景区中，城市景点占了三个，分别是银基国际旅游度假区、清明上河园、龙门石窟．小明打算国庆期间从这三个景点中随机选择两个去旅游，则他刚好选到“清明上河园”和“龙门石窟”的概率是 ． 【答案】 【分析】先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到选到“清明上河园”和“龙门石窟”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设银基国际旅游度假区、清明上河园、龙门石窟分别用A、B、C表示，列表如下： A B C A （B，A） （C，A） B （A，B） （C，B） C （A，C） （B，C） 由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中他刚好选到“清明上河园”和“龙门石窟”的结果数为2种， ∴他刚好选到“清明上河园”和“龙门石窟”的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 15．牛年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息． a．两部影片上映第一周单日票房统计图． b．两部影片分时段累计票房如下 上映影片 2月12日-18日累计票房（亿元） 2月19-21日累计票房（亿元） 甲 乙 （以上数据来源于中国电影数据信息网）. 根据以上信息，回答下列问题： (1)2月12日-18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为 ； (2)对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是 ； ①甲的单日票房逐日增加；②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差； ③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大． (3)截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日-21日三天内影片甲的累计票房应超过 亿元． 【答案】(1) (2)②③ (3) 【分析】（1）影片乙单日票房从小到大排序，根据中位数定义可得影片乙单日票房的中位数为：； （2）①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，可判断①不正确；②先求出平均数,,在求出方差，，可判②正确；③求出甲超过乙的差值15日，16日，17日，18日，可判断③正确； （3）利用乙票房的收入减去甲票房前7天的收入即可得到最后三天的累计额即可． 【详解】（1）解：影片乙单日票房从小到大排序为，，，，，，一共7个数据，所以影片乙单日票房的中位数为：， 故答案为：； （2）解：①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降， 所以甲的单日票房逐日增加说法不正确 ②， , ， ， 所以甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差正确； ③甲超过乙的差值从15日开始分别为, 15日，16日，17日，18日， 所以在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大正确． 说法中所有正确结论的序号是②③， 故答案为：②③； （3）解：乙票房截止到21日收入为：亿， 甲票房前7天达到亿，2月19日-21日三天内影片甲的累计票房至少为：亿． 故答案为：． 【点睛】本题考查中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算，掌握中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算是解题关键． 16．陈老师准备在班内开展“道德”、“心理”、“安全”三场专题教育讲座，若三场讲座随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为 ． 【答案】 【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，“心理”专题讲座被安排在第一场的结果有2个，再由概率公式求解即可．． 【详解】解：画树状图，如下： 一共有6种可能出现的结果，其中第一场是“心理”的只有2种， 所以若三场讲座随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 17．某校“节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 85，86，88，90，90，91，92，94 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分4组：第1组，第2组，第3组，第4组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 90 学生评委 93 根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分的众数 ，的值位于学生评委打分数据分组的第 组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，则 （填“＞”“＝”或“＜”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 90 92 90 89 91 乙 90． 91 89 90 91 丙 92 89 91 91 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ． 【答案】(1)①90,3② (2)甲，89 【分析】本题主要考查了条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是解题的关键． （1）①利用众数，中位数的概念计算即可；②利用平均数的公式计算即可； （2）根据题目要求，求出甲和乙的平均数，然后确定丙的平均数为，进而分两种情况分别求出方差进行比较即可． 【详解】（1）解：①评委打分出出现次数最多的数据是90， （分）； 学生评分数据共50个，中位数是第25位和26位数据的平均数， 第1组有4个数据，第2组有12个数据，第3组有28个数据， 所以第25位和26位数据在第3组， 即的值位于学生评委打分数据分组的第3组， 故答案为：90,3； ②，， 故答案为：； （2）解：（分） （分） ∴， 所以甲排在乙的前面， 由于丙中间，， 所以， 解得， ， ①当时， ， ， 此时，，， 所以丙排在乙的后面，不符合题意； ②当时，， 此时，，， 所以甲排在丙的前面，丙排在乙的前面，符合题意； 综上，． 故答案为：甲，． 18．五种不发生反应的化合物Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、V在一个密封的容器中，经过物质检验，得到如下两张图．如果条形图中每个横线刻度间的距离相等，那么化合物Ⅱ的质量是 ． 【答案】72 【分析】本题考查了统计图．熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性质，是解题的关键．根据化合物Ⅲ、Ⅴ的质量相差，与化合物Ⅲ、Ⅴ所占总质量的百分比，求出总质量，再求出化合物Ⅰ、Ⅱ的质量和，设化合物Ⅱ的质量为,列方程解答即可． 【详解】解：五种化合物的总质量， 化合物Ⅴ的质量， 化合物Ⅲ的质量， 化合物Ⅰ、Ⅱ的总质量， 设化合物Ⅱ的质量为， ∵条形图中每个横线刻度间的距离相等， ∴， 解得． 故答案为：72． 三、解答题 19．为感受华夏五千年的文明脉络，某校组织学生开展“璀璨历史，古都魅力”的研学之旅，策划了三条研学路线让学生选择：A．秦文化，走进秦始皇兵马俑；B．唐文化，走在丝路上的传奇；C．汉文化，走进汉长安城未央宫遗址．每人只能选择一条线路，小明和小红两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了三张不透明的卡片，正面分别写上字母，代表线路，卡片除了正面的字母以外其余完全相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明先随机抽取一张卡片，记下字母后放回、洗匀，小红再随机抽取一张卡片．请用画树状图或者列表法，求两人抽到同一路线的概率． 【答案】 【分析】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有9种等可能的结果，其中两人抽到同一路线的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：依题意，画树状图如下：    共有9种等可能的结果，其中小明和小红两人都抽到相同字母的结果有3种，即两人抽到同一路线的结果有3种， ∴两人抽到同一路线的结果的概率是． 20．如图，一个转盘由黑、白两色组成，小明自由转动转盘，记下指针所在区域的颜色，不断重复自由转动转盘n次，下表是小明记录“指针落在黑色区域”的频数、频率统计表． 自由转动转盘n次 100 300 500 1500 3000 … 指针落在黑色区域的频数m 23 78 125 375 750 … 指针落在黑色区域的频率p (1)观察上表，求黑色扇形圆心角的度数． (2)如果小明让转盘自由转动一次，指针恰好落在黑色区域，小明可以获赠一份小礼物，求小明获赠小礼物的概率． 【答案】(1)黑色扇形图心角为 (2)小明获赠小礼物的概率是 【分析】本题考查了求扇形圆心角的度数以及用频率估算概率． （1）先根据表可推出指针落在黑色区域的频率为，再计算圆心角度数即可； （2）根据图表的信息即可得出答案． 【详解】（1）解：由表可推出指针落在黑色区域的频率为， ， 答：黑色扇形图心角为90°； （2）解：由频率估计概率，指针落在黑色区域的概率为， 所以小明获赠小礼物的概率是， 答：小明获赠小礼物的概率是． 21．为更好地开展体育活动，提高学生的身体素质，某中学决定在学生中开设A：足球，B：篮球，C：乒乓球，D：羽毛球四种球类项目，为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机袖取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图．请结合图中的信息解答下列问题： (1)在这项调查中，共调查了 名学生； (2)求被调查的学生中喜欢乒乓球的学生人数，并将条形统计图补充完整． 【答案】(1)150 (2)60人，图见解析 【分析】（1）根据A组人数以及百分比求出总人数即可； （2）求出C组人数，再画出条形图即可． 【详解】（1）解：总人数（名）． 故答为：150； （2）C组人数（名）， 条形图如图所示： 【点睛】此题是条形统计图，是常规题型，考查的是概率与统计中条形统计图、扇形统计图等基础知识点． 22．小丽从A、B、C、D四个景点中，随机选择一个或两个景点游玩． (1)随机选择一个景点，恰好是A景点的概率是______； (2)随机选择两个景点，求A，B景点至少有一个的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式直接可得结果； （2）根据列表法求概率即可求解． 【详解】（1）小丽从A、B、C、D四个景点中，随机选择一个景点，恰好是A景点的概率是； 故答案为：． （2）列表如下 共有12种等可能结果，其中符合题意的有10种， 则A，B景点至少有一个的概率为． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟求概率的方法练掌握是解题的关键． 23．、、三款智能机器人都能执行搬运、组装、测试中的任意一项任务．、、分别从搬运、组装、测试中随机选择一项任务，且选择的任务均不相同． (1)A随机选择搬运的概率是_______； (2)求选择搬运，选择组装，选择测试的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用树状图或者列表法求概率，简单概率的计算公式，解题的关键是熟练掌握树状图或列表法求概率． （1）利用树状图即可求出概率； （2）利用树状图即可求出概率． 【详解】（1）解：根据题意，画出树状图如下： 等可能出现的情况有6种，符合要求的情况有2种， 所以，A随机选择搬运的概率是， 故答案为：； （2）解：根据题意，画出树状图如下： 等可能出现的情况有6种，符合要求的情况有1种， 所以，选择搬运，选择组装，选择测试的概率是． 24．为了传承优秀传统文化，某校学生会组织了一次全校3500名学生参加的“汉字听写”大赛，后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 频率 10 0.05 30 0.15 40 b a 0.35 50 0.25      请根据所给信息，解答下列问题： (1)请补全频数分布直方图，并填空：________，________； (2)样本中，成绩中位数所在的分数段是________； (3)若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3500名学生中成绩“优”等的约有多少人？ 【答案】(1)补全直方图见解析，70，0.2 (2) (3)该校参加这次比赛的3500名学生中成绩“优”等约有875人 【分析】（1）用被抽查学生总数乘以分数段对应的频率即可得到a的值，用分数段的人数除以被抽查总人数即可得到b的值，再根据所求数据补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义即可找到所在的分数段； （3）用该校参加这次比赛的总人数乘以样本中成绩“优”等对应的频率即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得（人）， ， 故答案为：70，0.2 补全直方图如下：    （2）样本中，成绩中位数所在的分数段是， 故答案为： （3）该校参加这次比赛的3500名学生中成绩“优”等约有：（人）， 答：该校参加这次比赛的3500名学生中成绩“优”等约有875人． 【点睛】此题考查了频数分布直方图、频率与频数、样本估计总体、中位数等知识，读懂题意，正确计算是解题的关键． 25．阅读下列材料，回答问题如图，我们将钢琴键的12个键分别记作、、…、，设，若且，我们称、、是原位大三和弦，若且，我们称、、是原位小三和弦． (1)在一个八度内任意弹一个三和弦； ①分别求这个三和弦是原位大三和弦、原位小三和弦的概率． ②（高考母题）求这12个键可以构成的原位大三和弦和原位小三和弦的个数之和． (2)如果在三和弦的基础上再弹一个音，那么它就构成了七和弦，请回答下列问题（音准范围两个八度）． ①请求出所有七和弦中所有原位大三和弦的个数． ②求在任意七和弦中，是否存在有三个音即能组成原位大三和弦，也可以组成原位小三和弦，若有，请求概率与其个数；若没有，请说明理由． 【答案】(1)①这个三和弦是原位大三和弦的概率为，这个三和弦是原位小三和弦的概率为；② (2)①；②不存在，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式求概率； （1）①根据题意，分别求得原位大三和弦和原位小三和弦的个数，以及三和弦的总数，根据概率公式，即可求解； ②根据①的结论，即可求解； （2）①在两个八度内，根据原位大三和弦的条件找出所有组合数； ②分析是否存在满足条件的三个音，即可求解． 【详解】（1）解：当，，为原位大三和弦时，则且， ∴． ∴或或或或， ∴原位大三和弦的个数为5个． 当，，为原位小三和弦时，则且， ∴． ∴或或或或． ∴原位小三和弦的个数为个． 三和弦是从12个键中任选3个不同的键，总组合数为：（种） ①这个三和弦是原位大三和弦的概率为，这个三和弦是原位小三和弦的概率为； ②用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为． （2）七和弦是在三和弦的基础上再弹一个音，音准范围两个八度（共个键）； 三和弦是从第一个八度的个键中选取，附加音是从两个八度的个键中选取，但不能与三和弦中的音重复，因此附加音有种选择； 七和弦总数为： ①所有七和弦中所有原位大三和弦的个数 原位大三和弦要求三个音，，满足且，其中．但七和弦的三和弦部分来自第一个八度，附加音来自两个八度，因此只有起始音到的大三和弦可能被包含在七和弦中（因为对于，大三和弦至少有两个音在第二个八度，而七和弦最多只有一个音在第二个八度，无法包含）． 对于，，，，（大三和弦完全在第一个八度内）： 子情况：三和弦恰好等于大三和弦，有种选择；附加音有种选择．个七和弦． 子情况：三和弦包含的两个音但不包含第三个音，有种选择（从中选两个音，从剩余个音中选一个）；附加音必须为的第三个音，有种选择．个七和弦． 每个：个七和弦，共个七和弦． 对于，，（大三和弦有两个音在第一个八度，一个音在第二个八度）： 三和弦必须包含第一个八度的两个音，有种选择（从剩余个音中选一个）；附加音必须为第二个八度的音，有种选择．个七和弦． 共个七和弦． 总原位大三和弦个数（即七和弦中包含原位大三和弦的总次数）： ②在任意七和弦中，是否存在有三个音即能组成原位大三和弦，也可以组成原位小三和弦 对于任意三个音，，（，其音程关系固定．原位大三和弦要求且，而原位小三和弦要求且．这两个条件不能同时满足，因为和不能既为又为．因此，不存在这样的三个音． 概率为，个数为． 26．某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 【答案】(1)甲、乙的报告成绩分别为76，92分 (2)125 (3)①130；② 【分析】（1）当时，甲的报告成绩为：分，乙的报告成绩为：分； （2）设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，依题意可知，丙的原始成绩合格，则丁的原始成绩不合格，从而列出方程组，解得； （3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②原始成绩分，报告成绩分合格，得到方程，解得，而由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为，故合格率为：． 【详解】（1）解：当时，甲的报告成绩为：分， 乙的报告成绩为：分； （2）解：设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分， ∵丙、丁的报告成绩分别为92分和64分， ∴丙的原始成绩合格，则丁的原始成绩不合格，即， ∴ 解得：，且符合题意， ∴的值为； （3）解：①共计100名员工，且成绩已经排列好， ∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数， 由表格得第50，51名员工成绩都是130分， ∴中位数为130； ②∵①中的中位数换算成报告成绩为90分， ∴原始成绩分，报告成绩分合格， ∴，解得， ∴ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为， ∴合格率为：． 【点睛】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程，熟练知识点，正确理解题意是解决本题的关键． 试卷第2页，共25页 试卷第1页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二十二:统计与概率 一、单选题 1．为拓展学生的时政视野，锻炼学生的辩证思维能力与逻辑表达能力．某学校举办了“家国天下——时政达人秀”时事述评比赛．下面是根据9位评委的打分制作的表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.6 8.3 8.2 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 2．八（2）班大部分学生的年龄都是14周岁，这里的14周岁指的是八（2）班全体学生年龄的（    ） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 3．一个盒子里有黑球6个，白球若干，这些球除颜色外都相同．将盒子里的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回盒子里，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到白球．则盒子中白球大约有（    ） A．7个 B．10个 C．14个 D．16个 4．春节期间，走进影院看电影，成为不少家庭的新年俗．小华和小明分别从如图所示的四部春节档影片中随机选择一部观看，则小华和小明选择的影片相同的概率为（    ） A． B． C． D． 5．有同一花色的4张扑克牌，牌面分别是A，2，3，4，将四张牌背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机取出一张牌，记录后放回并洗匀，共计取牌次．若规定每次取牌时，取出的数字即为得分（其中“A”代表1分），前八次的取牌得分情况如下表所示： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 1 4 1 2 3 2 2 1 若第1次至第8次取牌得分的平均数为，第9次和第10次取牌得分的平均数为，则下列说法正确的是（    ） A．事件发生的概率为 B．事件发生的概率为 C．事件发生的概率为0 D．可能出现的数值有4种 6．通过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少有一辆车向左转的概率是（    ） A． B． C． D． 7．从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示，整理所收集样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 下列结论一定正确的是（    ） ①两园样本数据的中位数均在第3组； ②两园样本数据的众数均在第3组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． A．① B．①② C．①③ D．①②③ 8．有一个掷骰子的游戏，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第个人将一颗骰子抛掷次，记表示“第个人次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于”．现有下列结论：①是必然事件；②发生的概率为；③可能发生；④发生的概率大于0．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．从同一副扑克牌中挑出张红桃、张黑桃、张方块，将这张扑克牌洗匀后背面朝上，再从中抽出张牌，抽出的这张牌中恰好有张红桃的概率是（　　） A． B． C． D． 10．中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 二、填空题 11．不透明袋子中装有15个球，其中有8个红球，5个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ． 12．已知数据，，…，的方差是3，则一组新数据，，…，的方差是 ． 13．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2、3、5中，随机选一个数，是奇数的概率为 ． 14．今年五一期间，河南郑州、开封、洛阳等城市旅游出现“爆棚式”增长．全省接待游客人次居前五位的景区中，城市景点占了三个，分别是银基国际旅游度假区、清明上河园、龙门石窟．小明打算国庆期间从这三个景点中随机选择两个去旅游，则他刚好选到“清明上河园”和“龙门石窟”的概率是 ． A B C A （B，A） （C，A） B （A，B） （C，B） C （A，C） （B，C） 15．牛年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息． a．两部影片上映第一周单日票房统计图． b．两部影片分时段累计票房如下 上映影片 2月12日-18日累计票房（亿元） 2月19-21日累计票房（亿元） 甲 乙 （以上数据来源于中国电影数据信息网）. 根据以上信息，回答下列问题： (1)2月12日-18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为 ； (2)对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是 ； ①甲的单日票房逐日增加；②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差； ③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大． (3)截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日-21日三天内影片甲的累计票房应超过 亿元． 16．陈老师准备在班内开展“道德”、“心理”、“安全”三场专题教育讲座，若三场讲座随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为 ． 17．某校“节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 85，86，88，90，90，91，92，94 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分4组：第1组，第2组，第3组，第4组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 90 学生评委 93 根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分的众数 ，的值位于学生评委打分数据分组的第 组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，则 （填“＞”“＝”或“＜”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 90 92 90 89 91 乙 90． 91 89 90 91 丙 92 89 91 91 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ． 18．五种不发生反应的化合物Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、V在一个密封的容器中，经过物质检验，得到如下两张图．如果条形图中每个横线刻度间的距离相等，那么化合物Ⅱ的质量是 ． 三、解答题 19．为感受华夏五千年的文明脉络，某校组织学生开展“璀璨历史，古都魅力”的研学之旅，策划了三条研学路线让学生选择：A．秦文化，走进秦始皇兵马俑；B．唐文化，走在丝路上的传奇；C．汉文化，走进汉长安城未央宫遗址．每人只能选择一条线路，小明和小红两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了三张不透明的卡片，正面分别写上字母，代表线路，卡片除了正面的字母以外其余完全相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明先随机抽取一张卡片，记下字母后放回、洗匀，小红再随机抽取一张卡片．请用画树状图或者列表法，求两人抽到同一路线的概率． 20．如图，一个转盘由黑、白两色组成，小明自由转动转盘，记下指针所在区域的颜色，不断重复自由转动转盘n次，下表是小明记录“指针落在黑色区域”的频数、频率统计表． 自由转动转盘n次 100 300 500 1500 3000 … 指针落在黑色区域的频数m 23 78 125 375 750 … 指针落在黑色区域的频率p (1)观察上表，求黑色扇形圆心角的度数． (2)如果小明让转盘自由转动一次，指针恰好落在黑色区域，小明可以获赠一份小礼物，求小明获赠小礼物的概率． 21．为更好地开展体育活动，提高学生的身体素质，某中学决定在学生中开设A：足球，B：篮球，C：乒乓球，D：羽毛球四种球类项目，为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机袖取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图．请结合图中的信息解答下列问题： (1)在这项调查中，共调查了 名学生； (2)求被调查的学生中喜欢乒乓球的学生人数，并将条形统计图补充完整． 22．小丽从A、B、C、D四个景点中，随机选择一个或两个景点游玩． (1)随机选择一个景点，恰好是A景点的概率是______； (2)随机选择两个景点，求A，B景点至少有一个的概率． 23．、、三款智能机器人都能执行搬运、组装、测试中的任意一项任务．、、分别从搬运、组装、测试中随机选择一项任务，且选择的任务均不相同． (1)A随机选择搬运的概率是_______； (2)求选择搬运，选择组装，选择测试的概率． 24．为了传承优秀传统文化，某校学生会组织了一次全校3500名学生参加的“汉字听写”大赛，后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 频率 10 0.05 30 0.15 40 b a 0.35 50 0.25      请根据所给信息，解答下列问题： (1)请补全频数分布直方图，并填空：________，________； (2)样本中，成绩中位数所在的分数段是________； (3)若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3500名学生中成绩“优”等的约有多少人？ 25．阅读下列材料，回答问题如图，我们将钢琴键的12个键分别记作、、…、，设，若且，我们称、、是原位大三和弦，若且，我们称、、是原位小三和弦． (1)在一个八度内任意弹一个三和弦； ①分别求这个三和弦是原位大三和弦、原位小三和弦的概率． ②（高考母题）求这12个键可以构成的原位大三和弦和原位小三和弦的个数之和． (2)如果在三和弦的基础上再弹一个音，那么它就构成了七和弦，请回答下列问题（音准范围两个八度）． ①请求出所有七和弦中所有原位大三和弦的个数． ②求在任意七和弦中，是否存在有三个音即能组成原位大三和弦，也可以组成原位小三和弦，若有，请求概率与其个数；若没有，请说明理由． 26．某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 试卷第6页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $