专题十六：圆（1）-2025-2026学年中考备战数学寒假专题练习

专题十六:圆(1) 一、单选题 1．在扇形中，的长为，，则扇形的半径为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 2．如图，是的直径，是⊙O的弦，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．用半径为的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（   ） A． B． C． D． 4．一个扇形半径，圆心角，用它围成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，内接于，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（    ） A． B． C． D． 7．一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在扇形中，，点O关于的对称点D刚好落在上，则的长是（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，为半圆的直径，、、、是上的五等分点，为直径上的任意一点，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，四边形内接于半径为6的，，连交于E，若E为的中点，且，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm．    12．已知扇形的面积为，半径为，则此扇形的圆心角为 度． 13．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是 ． 14．如果正六边形的边心距为3，那么它的半径是 ． 15．如图，的两边、分别切于点、，若，则 ．    16．如图，正方形中，，E点沿线段由A向D运动（到D停止运动），F点沿线段由C向B运动（到B停止运动），两点同时出发，速度相同，连接，作于P点，则在整个运动过程中P点的运动轨迹长为 ． 17．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将绕着点A逆时针旋转得到，已知A，，C在同一直线上的格点上，则的长为 ． 18．如题图，在中，，，以为直径的与相交于点．若，则图中阴影部分的面积是 ． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，已知，，；    (1)将沿轴负方向平移个单位至，画图并写出的坐标____________； (2)以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得，画图并写出的坐标_____； (3)在平移和旋转过程中线段扫过的面积为___________． 20．如图1是一座拱桥，图2是其侧面示意图，斜道的坡度，斜道的坡度，测得湖宽米，米，米，已知弧所在圆的圆心在上．（备注：坡度即坡角的正切值，如的坡度．） (1)分别求拱桥部分C、D到直线的距离； (2)求弧的长（结果保留π）． 21．如图，是的直径，C在上，延长至点D，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的值． 22．如图，在中，，D为边上一点，以为直径的与交于点F，且切于点E，连接．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 23．如图，是的直径，是的弦，M为的中点，与交于点F，过点D作，交的延长线于点E，且平分． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 24．点A是矩形边上的点，以为直径的圆交于点D和点C，，连接． (1)求证：． (2)已知，求CD的长． 25．如图，为的直径，点为圆周上一点（不与重合），点为的中点，连接并延长至点，连接，恰有平分． (1)求证：为的切线； (2)作，垂足分别为点，若，求的长． 26．如图，为的直径，是的切线，D为外一点，交于E点，，，垂足为C．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十六:圆(1) 一、单选题 1．在扇形中，的长为，，则扇形的半径为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题涉及扇形弧长公式，通过已知的弧长和圆心角，利用弧长公式来求解半径． 将已知条件代入弧长公式，然后通过计算得出半径的值． 【详解】解：由题意得：， ， 故答案为：8． 2．如图，是的直径，是⊙O的弦，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“同弧所对的圆周角相等”可得，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵ ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查“同弧所对的圆周角相等”．熟记相关结论并加以运用是解题关键． 3．用半径为的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于半圆的弧长圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长为，底面半径． 【详解】解：由题意知：底面周长， ∴底面半径． 故选：B． 【点睛】本题考查圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长=圆锥的底面周长． 4．一个扇形半径，圆心角，用它围成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得． 【详解】解：这个圆锥的底面周长为 故选：C． 5．如图，内接于，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到再由已知即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D 6．一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查垂径定理以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心O，连接，， ， ，纸条的宽为，，， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 7．一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的实际应用，解直角三角形，不规则图形的面积，根据得出是解题的关键． 连接，过点O作交的延长线于点E，通过解直角三角形求出大圆O的半径，证明，得出，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作交的延长线于点E， 由旋转知，经过点O，且， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选A． 8．如图，在扇形中，，点O关于的对称点D刚好落在上，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，要求的长度，已知半径，关键求出对应的圆心角．连接，，根据对称性，可以证明，为等边三角形，从而可得到圆心角的大小，即而求得弧长． 【详解】解：连接，，如图所示， O和D关于对称， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， 同理：， ， ， 的长． 故选：B． 9．如图所示，为半圆的直径，、、、是上的五等分点，为直径上的任意一点，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆的知识与阴影部分面积的计算．、、、是上的五等分点，可知，连接，，,可得和是等底等高，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，， ∵、、、是上的五等分点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和是等底等高，， ∴半径 ∴， 故选：C． 10．如图，四边形内接于半径为6的，，连交于E，若E为的中点，且，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点O作，垂足为F，连接．由等腰三角形的三线合一的性质可知：，然后由特殊锐角三角函数值可知，从而得到，根据圆周角定理可知：，过点A作，垂足为N，过点C作，垂足为M，首先证明，从而得到，然后由圆周角定理证明，从而得到，然后等腰三角形三线合一的性质可知：．在中，求得AN，证明．得，根据四边形的面积便可得结果． 【详解】解：如图所示，过点O作，垂足为F，连接．    ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． 如图所示，过点A作，垂足为N，过点C作，垂足为M．    ∵E为的中点，， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． 在中，． ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∴四边形的面积． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定、解直角三角形，全等三角形的性质和判定的综合应用，由若E为的中点，，得到，从而证得是解题的关键． 二、填空题 11．如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm．    【答案】 【分析】利用弧长公式计算即可． 【详解】解：重物上升的高度为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键． 12．已知扇形的面积为，半径为，则此扇形的圆心角为 度． 【答案】120 【分析】本题考查扇形的面积，解题的关键是利用扇形的面积公式：计算． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 则有， 解得， 故答案为：120． 13．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是 ． 【答案】24 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， 解得， ∴母线长是． 故答案为：24． 14．如果正六边形的边心距为3，那么它的半径是 ． 【答案】 【分析】连接，作于，由正六边形的性质得出，，得出，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：如图所示：    连接、，作于， 则，，， ∴， ∴设，则， 由勾股定理可得，， 解得：， ∴， 即它的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正六边形的性质，运用勾股定理求出是解决问题的关键． 15．如图，的两边、分别切于点、，若，则 ．    【答案】15°/度 【分析】如图，连接，，求解，可得，证明，再利用三角形的外角和的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵的两边、分别切于点、， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴，    ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，圆周角定理的应用，切线的性质，四边形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟记以上基础知识是解本题的关键． 16．如图，正方形中，，E点沿线段由A向D运动（到D停止运动），F点沿线段由C向B运动（到B停止运动），两点同时出发，速度相同，连接，作于P点，则在整个运动过程中P点的运动轨迹长为 ． 【答案】 【分析】连接，交于点O，利用全等三角形的判定与性质得到点O为正方形的中心，利用得到整个运动过程中P点的运动轨迹为以为直径的半圆，再利用圆的周长的公式解答即可． 【详解】解：如下图，连接，交于点O， 由题意得：，四边形为正方形， ， ， ， ， ， O为正方形的中心， 正方形中，， ， ， ， ， ， 整个运动过程中P点的运动轨迹为以为直径的半圆， 整个运动过程中P点的运动轨迹：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的全等的判定与性质，点的轨迹的性质，圆，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质确定出点的轨迹是解题的关键． 17．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将绕着点A逆时针旋转得到，已知A，，C在同一直线上的格点上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是弧长的计算、旋转的性质，熟记弧长公式是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意可知：，， 则的长为：， 故答案为： 18．如题图，在中，，，以为直径的与相交于点．若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质，求出，结合推出，，再根据，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，已知，，；    (1)将沿轴负方向平移个单位至，画图并写出的坐标____________； (2)以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得，画图并写出的坐标_____； (3)在平移和旋转过程中线段扫过的面积为___________． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】（1）根据平移的性质得出对应点坐标进而得出答案； （2）根据旋转的性质得出对应点坐标，进而得出对应点坐标即可； （3）根据平移的性质以及旋转的性质进而得出线段扫过的面积． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求，， 故答案为：； （2）如图所示：即为所求，， 故答案为：； （3）根据题意，每个小正方形的边长为， ∴， ， ∵将沿轴负方向平移个单位至， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴在平移和旋转过程中线段扫过的面积为： ， 故答案为：．    【点睛】本题考查作图—平移变换、旋转变换，平行四边形和扇形面积公式等知识，根据题意得出平移和旋转过程中线段扫过的面积是解题关键． 20．如图1是一座拱桥，图2是其侧面示意图，斜道的坡度，斜道的坡度，测得湖宽米，米，米，已知弧所在圆的圆心在上．（备注：坡度即坡角的正切值，如的坡度．） (1)分别求拱桥部分C、D到直线的距离； (2)求弧的长（结果保留π）． 【答案】(1)点C到直线的距离为15米，点D到直线的距离为20米 (2)米 【分析】（1）过点C作于E，过点D作于F，根据坡度的概念分别设出、、、的长，再利用勾股定理即可求出结果； （2）连接，，根据勾股定理求、，根据全等三角形的性质求出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：过点C作于E，过点D作于F， 在中，∵， 设（米），则（米）， 由勾股定理得， 解得：，（舍去）， ∴（米），（米）， 同理可证，在中， （米） 答：点C到直线的距离为15米，点D到直线的距离为20米． （2）解：连接，， ∵（米），（米），（米）， ∴（米）． 设米，则米， ∴． 解得：，即（米），（米）． 在和中， ∴． ∴，． ∴弧的长（米）． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题、弧长的计算，掌握坡度坡角的概念并熟记锐角三角函数的定义及弧长公式是解决问题的关键． 21．如图，是的直径，C在上，延长至点D，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由是的直径，得出，结合，证明，结合角的等量代换，得，即可作答． （2）根据勾股定理得出，结合相似三角形的性质得，再结合勾股定理列式代入数值，即，运用公式法解方程，即可作答． 【详解】（1）证明：连接． ∵是的直径， ∴， 即． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∵OC是的半径， ∴CD是的切线． （2）解：由题知：． 在中，，． ∵是的切线， ∴，即． 由（1）知： ∴． 设，则 在中，， 即， 解得，，（舍去）． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质与判定，公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22．如图，在中，，D为边上一点，以为直径的与交于点F，且切于点E，连接．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键. （1）连接，，先证明，再证明，即可得出答案； （2）连接，先求出，再证明，得出，，进而得出，再根据勾股定理即可得出答案. 【详解】（1）解：证明：如图1，连接，.    与相切于点E， ，即 ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，连接，    ，，， ， ， ， ，即. ，， ， ， 为的直径， . 在中，，，由勾股定理得， 的长为. 23．如图，是的直径，是的弦，M为的中点，与交于点F，过点D作，交的延长线于点E，且平分． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据角平分线定义和半径性质得到，得到，根据，得到，即得是的切线； （2）连接， 根据， ，，得到，根据，即得； （3）根据，，得到，得到， ，得到，，得到，即得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：∵中，，， ∴， ∴， 由（2）知，， ∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆综合．熟练掌握圆切线的判定与性质，等腰三角形性质，角平分线定义，锐角三角函数解直角三角形，平行线判定和性质，圆周角定理及其推论，是解决问题的关键． 24．点A是矩形边上的点，以为直径的圆交于点D和点C，，连接． (1)求证：． (2)已知，求CD的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）如图所示，连接，先推出，再由直径所对的圆周角是直角得到，则可推出，进而得到，即可证明 （2）先利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出的长，即可求出的长，由此即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 25．如图，为的直径，点为圆周上一点（不与重合），点为的中点，连接并延长至点，连接，恰有平分． (1)求证：为的切线； (2)作，垂足分别为点，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）根据点为的中点，可证是等腰三角形，根据同弧所对圆周角相等，等量待会可得，根据角平分线的性质可得，根据直径所对圆周角为直角性质，即为的直径，可得，且为的半径，由此即可求证； （2）如图所示，过点作于点，可证四边形为矩形，根据垂径定理可得，由等腰三角形的性质可得，在中，由勾股定理可得，根据相似三角形的判定可得，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵点为的中点， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，即，且为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图所示，过点作于点， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 由（1）知：，即， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 解得，． 【点睛】本题主要考查圆与几何图形的综合，掌握切线的证明方法，圆周角定理，同弧或等弧所对圆周角相等，同圆或等圆中等弧对等弦，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质等知识的综合是解题的关键． 26．如图，为的直径，是的切线，D为外一点，交于E点，，，垂足为C．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接和，根据切线定理证得，再证明，即可求解． （2）由（1）得：，，设，根据勾股定理得，解方程即可解答． 【详解】（1）证明：连接和，   为的直径， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：由（1）得：，， 设， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了切线的性质定理，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 试卷第28页，共29页 试卷第27页，共29页 学科网（北京）股份有限公司 $