专题九：几何图形的基础-2025-2026学年中考备战数学寒假专题练习

专题九:几何图形的基础 一、单选题 1．如图是某一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（    ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．圆柱 【答案】B 【分析】本题主要考查几何体的展开图．根据几何体的侧面展开图是三个矩形，即可得出几何体是三棱柱． 【详解】解：∵三棱柱的侧面展开图是三个矩形， ∴该几何体是三棱柱， 故选：B． 2．如图，已知直线，三角板的直角顶点放在直线上，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质．由对顶角相等可得，再根据三角形内角和为180度求出，再根据两直线平行、同位角相等，可得，结合即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选C． 3．将直角三角板和直尺如图放置、若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作，则，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，过作，    则， ，， 由已知条件得， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4．已知A，B，C，D四个点均在上，连接．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角，圆周角定理．先根据“两直线平行内错角相等”得，再根据“等边对等角”得，进而求出，即可得出，然后根据圆周角定理得出答案. 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：B. 5．如图，两直线，平行，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，关键是构造平行辅助线，把六个角转化成五组同旁内角．利用两直线平行，同旁内角互补，把这六个角转化成5对同旁内角计算即可． 【详解】解：分别过E点，F点，G点，H点作， 如图所示， ∵， ∴， ∴，，， ∴ ， ． 故选：D． 6．如图所示，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，即可得到，再根据，即可得出． 【详解】解：如图： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 7．如图，中，，，于点D，若点E是线段上一动点，则的最小值为（        ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】过点E作于点F，过点C作于点M，交于点N，证明，得出，设，，求出，得出，求出，得出， 垂线段最短，说明当点E在点N处时，最小，即最小，求出即可求出最小值． 【详解】解：过点E作于点F，过点C作于点M，交于点N，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， 则， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当点E在点N处时，最小，即最小，此时， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴的最小值为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，垂线段最短，勾股定理，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，找出使取最小值时，点E的位置． 8．如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西方向，C在B的南偏东方向，且B，C到A的距离相等，则小岛A相对于小岛C的方向是（　　） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 【答案】C 【分析】根据题意可得，，，再根据等腰三角形的性质可得，从而求出的度数，然后利用平行线的性质可得，从而求出的度数，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东， 小岛A相对于小岛C的方向是南偏西． 故选C 【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 9．如图，已知，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质和判定，分别过点，点作，得到，根据平行线的性质和角之间的倍数关系进行计算即可． 【详解】解：分别过点，点作，则： ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 10．如图，在中，，将沿折叠至，，连接平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 11．如图，，交于点E，若，则 ． 【答案】/138度 【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，先求解，再利用邻补角的性质可得答案； 【详解】解：∵，， ， ； 故答案为： 12．如图，从书店到公路最近的是①号路线，数学道理是 ． 【答案】点到直线，垂线段最短 【分析】根据垂线段的性质即可求解． 【详解】解：点到直线，垂线段最短， 故答案为：点到直线，垂线段最短． 【点睛】本题主要考查垂线段的性质，理解并掌握点到直线之间垂线段最短是解题的关键． 13．在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，则， ∴， 故答案为：30． 14．如图，在中，，于点E，若，则 ．    【答案】 【分析】证明，，由，可得，结合，可得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键． 15．如图，将长方形纸片沿折叠，折线交于E，交于F，点C、D的落点分别是、,交于G，再将四边形沿FG折叠，点、的落点分别是、，交于H，下列四个结论： ①；②；③；④其中正确的结论是 （填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是平行线性质的熟练掌握．根据平行线的性质得到，根据折叠性质得到，即可得到，故①正确；根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可求出，故②正确；先证明，根据折叠性质得，结合，得到当时，，故③错误；根据，即可得到，故④正确，符合题意． 【详解】解：∥， 根据折叠的性质得，， 故①正确，符合题意； ∥， ， 根据折叠的性质得，， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 根据折叠的性质得，， ， 当时，， 故③错误，不符合题意； ， 故④正确，符合题意； 故答案为：①②④． 16．如图1，中，D是边上的点，先将沿看翻折，使点A落在点处，且交于点E（如图2），又将沿着翻折，使点C落在点处，若点恰好落在上（如图3），且，则 ° 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，折叠性质，三角形内角和定理，先由平行线性质得：，再由折叠可得：，，，则，由三角形内角和定理知，而，可求得，然后由，则，即可求出度数． 【详解】解：∵， ， 由折叠可得：，，， ， ，， ， ①， ， ②， 由①②解得，， 故答案为：． 17．如图，点E在边长为2的正方形内，且，点F是边的中点，点G是边上的一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先判断出点E在以为直径的上，作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，此时，最短，因为，所以最小值为，利用勾股定理求出长即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴点E在以为直径的上， ∵点E在边长为2的正方形内， ∴点E在以直径上方的半圆弧上， 作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，如图， 此时，最短， ∵边长为2的正方形， ∴，， ∴， 由对称的性质知：，， ∴， ∴最小，最小值为， ∵点F是边的中点，点F关于直线的对称点， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考了查正方形的性质，圆周角定理的推论，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理．正确作出辅助线，得出最小值为是解题的关键． 18．如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点， ，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、，则线段长的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，证明，可得，由勾股定理可得，根据，即可得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，    ， ， 在与中， ， ， ， 正方形中，，是边的中点， ， ， ， ， ， 线段长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质． 三、解答题 19．如图，，将三角尺的直角顶点放在直线上，若，求的度数．    【答案】 【分析】如图，先求出的度数，根据平行线的性质得出，代入求出即可． 【详解】解：， ， ， ．    【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等，题目比较典型，难度适中． 20．如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作关于直线对称的； (2)求的面积； (3)在直线上找一点P，使得最短． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）用长为2、宽为3的矩形面积减去四周三个直角三角形的面积即可得出答案； （3）连接，与直线的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：； （3）解：如图所示，点P即为所求． 21．已知：如图，，点C，点F在 上，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定，现根据平行线的性质得到，再证明，由“”可证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 22．图1是某品牌实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点O，点B为旋转点，可转动，当绕点B顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：．（参考数据：） (1)如图2，，． ①填空： °；②投影探头的端点D到桌面的距离为 ． (2)如图3，将（1）中的向下旋转，当时，求投影探头的端点D到桌面的距离． 【答案】(1)①160；②45； (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，矩形的性质和判定， 对于（1），过点B作交于点F，过点A作，交于点G，根据平行线的性质得，可知；再根据，求出，最后根据点D到桌面的距离是得出答案； 对于（2），如图所示，延长交于点H，作，与延长线相交于点M，作，则四边形是矩形，先求出，进而求出，再求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：如图所示， 过点B作交于点F，过点A作，交于点G， ∵， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴点D到桌面的距离是； 故答案为：①160；②45； （2）解：如图所示，延长交于点H，过点B作，与延长线相交于点M，过A作于点F，则四边形是矩形， 由题意得，， ， ， ， 在中，， ， ， ∴投影探头的端点D到桌面的距离为． 23．（1）计算：； （2）如图，与关于点O成中心对称，求证：． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】本题主要考查了中心对称的性质和实数的混合运算； （1）先运算乘方，代入特殊角的三角函数值和零指数次幂，然后加减解题即可； （2）根据中心对称得到，即可得到，再根据内错角相等，两直线平行解答即可． 【详解】解：（1） ； （2）证明：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴， ∴． 24．【跨学科组合】 小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． (1)求证：； (2)求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识； （1）证，，即可得出结论； （2）先证，得出，即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， （2）由题意得： 由（1）得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．如图所示，是的内接三角形，是直径．作射，使得，过点作，垂足为点． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由等边对等角得出，结合已知条件，等量代换得出，进而可得出，由平行线的性质结合已知条件可得出，即可证明：是的切线． （2）先证明为等边三角形，由等边三角形的性质可得出，，，解Rt求出即可得出半径，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明∶连接， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． （2）， ， 由（1）， ∴， ∵， 为等边三角形， ．． 在Rt中， ， 的长度为 【点睛】本题主要考查了证明直线是圆的切线，平行线的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，弧长公式以及解直角三角形的相关计算，掌握这些定理以及性质和公式是解题的关键． 26．如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中画一个，使与面积相等，顶点D在格点上． (2)在图2中画一个，使与面积的比值为2，且点E在边AC上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质作图是解题的关键． （1）如图：找一个格点D使得，即可确定点D的位置； （2）如图：根据格点作出平行四边形，与的交点E即为所求． 【详解】（1）解：如图：点D即为所求． （2）解：如图：点E即为所求． 试卷第24页，共25页 试卷第23页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $专题九：几何图形的基础 一、单选题 1.如图是某一个几何体的侧面展开图，则该几何体是() A.三棱锥 B.三棱柱 C.圆锥 D.圆柱 2.如图，己知直线a∥b,三角板ABC的直角顶点C放在直线b上，∠A=30°，∠1=20°，则∠2的度数是() 0 B 2 b A.20° B.30° C.40° D.60° 3.将直角三角板和直尺如图放置、若∠1=23，则∠2的度数为() G 丁1 A B E、 20 D A.50° B.45° C.40° D.37° 4.己知A,B,C,D四个点均在O0上，连接AB,OB,OC,CD,AD.若CD‖BO,∠BOC=45°，则∠A的 度数是() A.68 B.67.5° C.67° D.65° 5.如图，两直线4B,CD平行，则1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6)=（） 试卷第7页，共8页 F 4 5 6 D A.945° B.1080° C.1200° D.1350° 6.如图所示，∠1+∠2=180°，则下列结论正确的是() 4 A.∠2=∠4 B.∠3=∠4 C.∠1+∠3=180°D.∠3+∠4=180° B ∠1+∠2=180° 5 -D 4 ·AB∥CD ·L3+∠5=180° ∠5=∠4 ∴.∠3+∠4=180 7.如图，ABC中，AB=AC=I0,tanA=3,BD⊥AC于点D,若点E是线段BD上一动点，则 CE+CBE的最小值为() 10 0 B C A.3V10 B.3i0 C.55 D.10 2 8.如图，某海域中有A,B,C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B,C 到A的距离相等，则小岛A相对于小岛C的方向是() 试卷第8页，共8页 4035 A.北偏东70°B.北偏东75° C.南偏西70° D.南偏西20° 9.如图，已知AB/CD,∠EAF-EAB,∠ECF3CD,若ZEa69°，则∠F的度数为C A B D A.23° B.36 C.42° D.46° 10.如图，在ABC中，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠至△ADB',LACB=2Q,连接B'C,B'C平分 ∠ACB,则∠AB'D的度数是() B B D A.60+2 B.60°+a C.90°- 3 D.90°-a 二、填空题 11.如图，AB∥CD,AF交CD于点E,若∠A=42°，则∠CEF= E D A B 12.如图，从书店到公路最近的是①号路线，数学道理是 书店 ② ③ ① 公路 13.在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD,则∠1的大 试卷第7页，共8页 小为 T1 B 14.如图，在ABCD中，BD=CD,AE⊥BD于点E,若∠C=70°，则∠BAE=°. B l5.如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，折线EF交AD于E,交BC于F,点C、D的落点分别是C、D,ED 交BC于G,再将四边形C'D'GF沿FG折叠，点C、D的落点分别是C"、D”,GD"交EF于H,下列四个结论： ①∠GEF=∠GFE;②2LEFC=∠EGC+180°；③∠EGD"=2LEFG;④LEHG=3LEFB.其中正确的结论是 (填写序号) D 16.如图1，ABC中，D是AC边上的点，先将ABD沿看BD翻折，使点A落在点A处，且A'D∥BC,A'B交 AC于点E(如图2)，又将△BCE沿着A'B翻折，使点C落在点C处，若点C恰好落在BD上（如图3），且 ∠C'EB=75°，则LC= 试卷第8页，共8页 A D D D E E B C 图1 图2 图3 17.如图，点E在边长为2的正方形ABCD内，且AE⊥BE,点F是边AD的中点，点G是边CD上的一动点， 连接EG,FG,则EG+FG的最小值为 D E 18.如图，正方形ABCD中，AB=6,O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=3,连接DE,将线段 DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF,则线段OF长的最小值为 三、解答题 19.如图，a∥b,将三角尺的直角顶点放在直线a上，若∠1=50°，求∠2的度数. b 20.如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个ABC·请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留 作图痕迹，不写作法). 试卷第7页，共8页 M B N (1)作ABC关于直线MN对称的△AB,C; (2)求ABC的面积； (3)在直线MN上找一点P,使得PA+PB最短. 21.已知：如图，AB∥DE,点C,点F在AD上，AF=DC,AB=DE.求证：△ABC≌△DEF. 22.图1是某品牌实物投影仪，图2是它的示意图，折线B-A-0表示固定支架，A0垂直水平桌面OE于点O ,点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量： A0=6cm,CD=8cm,AB=50cm,BC=55cm,(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin40°≈0.64，c0s40°≈0.77 BV70° B D 图1 图2 图3 (1)如图2，∠ABC=70°，BC∥OE. ①填空：∠BAO=_°；②投影探头的端点D到桌面OE的距离为_cm (2)如图3，将(1)中的BC向下旋转，当∠ABC=30°时，求投影探头的端点D到桌面OE的距离. 23.(1)计算：（-1)2025+2tan45°-（元-3）°； 试卷第8页，共8页 (2)如图，AOB与△COD关于点O成中心对称，求证：DC∥AB. D C A B 24.【跨学科组合】 小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根 细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时， 小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D,当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的 A、B、O、C在同一平面上)，过点C作CE⊥OA于点E,测得BD=8cm,OA=17cm, (1)求证：∠C0E=LB; (2)求AE的长 25.如图所示，ABC是OO的内接三角形，AB是直径.作射BD,使得∠ABC=∠DBC,过点C作CE⊥BD, 垂足为点E. ■ BED (1)求证：CE是⊙0的切线， ②若BE=5,cos∠EBC=,求CB的长度。 26.如图，在6×6的网格中，ABC的三个顶点都在格点上 试卷第7页，共8页 B (I)在图1中画一个△ABD,使△ABC与△ABD面积相等，顶点D在格点上. (2)在图2中画一个△ABE,使△ABE与△BCE面积的比值为2，且点E在边AC上. 试卷第8页，共8页