2.2二次函数的图象与性质 同步练习题 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版九年级数学下册《2.2二次函数的图象与性质》 同步练习题（附答案） 一、单选题 1．对于抛物线，下列说法不正确的是（   ） A．图象开口向下 B．当时，随x的增大而减小 C．顶点坐标为 D．最小值是1 2．二次函数的图象中，若随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．一次函数的图像经过点，则的最大值等于（    ） A． B． C． D． 4．将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．抛物线的部分图象如图所示，当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 7．已知二次函数（）的图象如图所示，有下列4个结论：①；②当或时，函数y的值都等于0；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．已知抛物线过点，则 ． 9．若点和点都在二次函数图像上，则它的对称轴为 10．当时，函数的最大值与最小值之和是 ． 11．已知抛物线的顶点为，直线平行于轴，且与抛物线交于、两点，点到直线的距离为，若，则 ． 12．已知抛物线，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点，设点的纵坐标为，若，则的取值范围是 ． 13．2025年长江文化艺术节烟花秀场面十分壮观，烟花的飞行路径可视为抛物线，在一次发射中，记录一枚烟花的飞行高度h米与飞行时间t秒的关系式为，则该枚烟花能达到的最大高度为 米． 14．如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是 . 三、解答题 15．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)写出抛物线对称轴和顶点坐标． 16．已知抛物线：． (1)求抛物线的对称轴； (2)当时，直接写出该抛物线关于轴对称的新抛物线的表达式； (3)若抛物线的顶点在轴上，求的值． 17．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（），求的值． 18．已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，利用描点法画出该函数图象（列表）． … … … … 利用函数图象回答下列问题： （2）当 时，随的增大而增大； （3）当时，函数的取值范围为 ． 19．如图，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图像的一部分．王师傅想利用这块边角料截取一个矩形，其中在上（点在点左侧），点在线段上，点在曲线段上．测量发现：，，，，且和之间的距离为4．若以所在直线为轴，以中点为原点构建直角坐标系． (1)求曲线和直线的表达式； (2)设点的纵坐标为，请用含的式子表示矩形的面积，并求出最大值． 20．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求点C的坐标； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握其相关性质是解题的关键．根据二次函数的相关性质逐个判断即可． 【详解】解：∵ 中，， ∴ 抛物线开口向下，故A正确，不符合题意； ∵ 对称轴为 ，且开口向下， ∴ 当时，随增大而减小，故B正确，不符合题意； 顶点坐标为 ，故C正确，不符合题意； ∵ 开口向下，函数有最大值1，没有最小值，故D错误，符合题意， 故选：D． 2．B 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据，可得函数图象开口向上，对称轴为，根据二次函数的单调性，在对称轴右侧随增大而增大． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 函数图象开口向上， 又函数对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大． 故若随的增大而增大，则的取值范围是． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质． 将点坐标代入函数得到c关于a的表达式，然后表示为a的二次函数，化为顶点式作答即可． 【详解】∵函数图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴有最大值，为． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了二次函数平移问题，利用“左加右减，上加下减”的平移规律进行分析，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，关键是利用图象特征判断字母取值； 根据每个选项中的图象特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可． 【详解】解：A选项：由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 6．C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与不等式，掌握通过函数图像找到对应不等式的解集范围是解题的关键． 根据图象可知抛物线过点，利用对称轴求出点的对称点，结合图象求出当时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线过点，对称轴为直线， 点关于对称轴对称的点为， 由图象可知，当时， ． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，并结合系数和图象正确判断各结论． 先从函数图象上得到一些信息，确定出函数与系数的关系，然后再对各个结论进行判断． 【详解】解：根据函数图象，得，，对称轴在轴的右侧，即，则，与轴交于两点． ①，正确； ②当或时，函数y的值都等于0，正确； ③当时，，故错误； ④图象与有两个不同交点，则方程有两个不同的实数根，则，即，故错误； 正确结论的有2个， 故选：B． 8． 【分析】本题考查了二次函数、代数式求值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 将点代入二次函数的解析式可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了已知抛物线上对称的两点求对称轴．利用二次函数图像上两点纵坐标相同时，对称轴为两点横坐标的平均值的性质求解，即可作答． 【详解】解：∵点和点都在二次函数图像上，且它们的纵坐标相同， ∴它的对称轴为直线， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，最小值可能在区间端点处，计算顶点坐标和端点函数值，比较后求和． 【详解】解：由，配方得，故对称轴为直线，顶点为 ，由于开口向下，且，顶点在区间内，故当时，取得最大值； 当 时，； 当时，； 比较函数值，最小值为， 因此最大值与最小值之和为， 故答案为：． 11．4 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的应用等知识，先求出顶点坐标为，设直线的方程为（平行于轴），与抛物线方程联立，并整理得，设A、B的横坐标为，，根据根与系数的关系得出，，根据完全平方公式的变形求出，则，结合已知可得出，设 ，则，解得或，然后分别检验求解即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 设直线的方程为（平行于轴）， 与抛物线方程联立，并整理得， 设A、B的横坐标为，， ∴，， ∴， ∴， ∵点到直线的距离为，， ∴， 设 ，则，解得或， 当时，，与有两个交点矛盾， 故，则． 故答案为：4． 12． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质及关于原点对称的变换，首先求出抛物线的解析式，再根据其开口方向及对称轴位置，分情况讨论上的最大值，令最大值小于等于4，解不等式求的取值范围． 【详解】解：抛物线， 则顶点坐标为， 将绕原点旋转后，抛物线的顶点坐标为，开口方向相反， ∴的解析式为，且图象开口向下，对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线在上的最大值， 分情况讨论： 当时，则时，， ∴，解得 ，故； 当时，则时，， ∴，解得，与矛盾，不符合题意， 当时，则时，， ∴，解得，与矛盾，不符合题意， 综上， 的取值范围为． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查二次函数的性质．由给定的顶点式可直接得出函数的最大值． 【详解】∵，二次项系数， ∴函数有最大值， ∵顶点坐标为， ∴最大高度为34米． 故答案为：34． 14． 【分析】本题考查了图形平移与抛物线，掌握平移的性质以及得出纵坐标相同是解题的关键； 已知和，则平移后的坐标为的坐标为都在抛物线上，且纵坐标相同，可求得，进而求的，即可求得点到点的距离． 【详解】解：设沿轴方向平移了个单位，沿轴方向平移了个单位， 则平移后的坐标为的坐标为， 都在抛物线上，且纵坐标相同， ， 解得， 将代入， ， ． 故答案为：． 15．(1) (2)对称轴为直线，顶点 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）将二次函数解析式化为顶点式求解． （2）由二次函数顶点式求解． 【详解】（1）解： （2）解：由（1）知， ∴对称轴为直线，顶点． 16．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了抛物线的解析式、对称轴、顶点坐标及关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将抛物线化为顶点式，即可求出对称轴； （2）根据关于轴对称，函数值互为相反数，即可求解； （3）将抛物线化为顶点式，由抛物线的顶点在轴上，即可求出的值． 【详解】（1）解： ， 抛物线的对称轴为； （2）解：当时，， 该抛物线关于轴对称的新抛物线的表达式， 则新抛物线的表达式为； （3）解： ，抛物线的顶点在轴上， ， ． 17． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过 点和点作 y轴的垂线，垂足分别为和，证得；由题意得：，进而得，即可求解. 【详解】解：如图；分别过 点和点作 y轴的垂线，垂足分别为和， ∵四边形正方形 ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 由题意得： ∴ ∴ 整理得： ∵ ∴ ∴ ∴. 18．（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查的是抛物线的顶点式，画二次函数的图象，二次函数的性质等知识，掌握以上知识、利用数形结合的方法解题是关键． （1）在对称轴的两侧取两组对称点，列表，然后描点、连线即可； （2）在对称轴的右侧符合题意，从而可得答案； （3）通过图象进而可以判断得解． 【详解】解：（1） … 0 1 2 3 … … 0 0 …   如图： （2）∵ 开口向上；对称轴为：； ∴当时，随的增大而增大 故答案为： （3）当时，由图象可知函数的取值范围为：；                                             故答案为：． 19．(1)曲线的表达式为，直线的表达式为 (2)矩形的面积为，最大值为 【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质，一次函数的图像和性质，矩形的面积，二次函数的最值，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意求出点的坐标，代入点的坐标到，求出曲线的表达式，得到点的坐标，进而得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的表达式； （2）根据题意得到，，代入到直线的不等式求出，再利用矩形的面积公式和二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵点为中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 代入到，得， ∴曲线的表达式为， ∵和之间的距离为4， ∴点的纵坐标为4， 代入到，得，解得， ∴， ∵， ∴， 设直线的表达式为， 代入和，得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：由题意得，，， 代入到，得，解得， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ， ∵， ∴当时，矩形的面积有最大值，最大值为． 20．(1)； (2)； (3)的最大值为，此时． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，三角形的周长及面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）令，求得，即可得出点的坐标； （2）连接交对称轴于点，先求出抛物线的对称轴为直线，根据关于对称轴对称，得到，则，得到当三点共线时，的周长最小，再求出直线的解析式为，即可求出答案； （3）过点作轴交于点，设点坐标为，则，则，得到，∴当时，的最大值为，此时． 【详解】（1）解：当时 ， ∴； （2）解：连接交对称轴于点，如图： 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴对称， ， ， 当三点共线时，的周长最小， ， 设直线的解析式为， ， ， 当时，， ； （3）解：过点作轴交于点，如图： 设点坐标为，则， ， ， 当时，的最大值为， 此时． 学科网（北京）股份有限公司 $